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2022-2023学年四川省凉山州高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）
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这是一份2022-2023学年四川省凉山州高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省凉山州高二（下）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|−2
C. {x|−2
A. −2 B. 2 C. −2i D. 2i
3. 某学校数学教研组举办了数学知识竞赛(满分100分)，其中高一、高二、高三年级参赛选手的人数分别为1000，800，600.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算可得高二、高三年级参赛选手成绩的样本平均数分别为76，82，全校参赛选手成绩的样本平均数为75，则高一年级参赛选手成绩的样本平均数为( )
A. 69 B. 70 C. 73 D. 79
4. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x+y=0，则双曲线C的离心率为( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 5
5. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AD的中点，则异面直线D1C与EF所成角的大小为( )
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
6. 已知a=log275,b=225,c=ln2，则( )
A. c
A. −π6 B. π6 C. π3 D. 2π3
8. 已知向量a=(−9,m2),b=(1,−1)，则“m=3”是“a//b”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 已知x0是函数f(x)=sinx−2cosx的一个零点，则cos2x0的值为( )
A. −45 B. −35 C. 35 D. 45
10. 已知数列{an}的前n项和为Sn，an=(2n−1)cosnπ，则S2023=( )
A. 1012 B. −1012 C. 2023 D. −2023
11. 已知直线y= 3x+1与抛物线x2=4y交于A，B两点，与圆x2+(y−1)2=1交于C，D两点，A，C在y轴的同侧，则AC⋅DB=( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 设a>0，b>0，且满足lnba−1=a+1a，则下列判断正确的是( )
A. a2>b B. a22
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. (x2−2x+1)3的展开式中x2的系数为______ .(用数字作答)．
14. 若向量AB=(1,1),AC=(1,3)，则△ABC的面积为______ ．
15. 曲线y=ax2+lnx在点(1,a)处的切线与直线y=2x平行，则a= ______ ．
16. 已知函数f(x)=sin(x+π2)x2+1.给出下列四个结论：
①函数f(x)的图象存在对称中心；
②函数f(x)是R上的偶函数；
③f(x)≤1；
④若a∈(−∞,1e)，则函数g(x)=cos(ax−lnx)−(ax−lnx)2−1有两个零点．
其中，所有正确结论的序号为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知{an}是等差数列，且a1=1，a7=7．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=2an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．
18. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a2+c2−b2=ac．
(1)求B的值；
(2)若a=8 3,cosA=35，求b的值．
19. (本小题12.0分)
设甲盒有2个白球，2个红球，乙盒有1个白球，3个红球；现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取1球．
(1)记随机变量X表示从甲盒取出的红球个数，求X的分布列及数学期望；
(2)求从乙盒取出1个红球的概率．
20. (本小题12.0分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M为线段AA1的中点．
(1)证明：A1B//平面MCD1；
(2)求二面角C−MD1−A1的余弦值．
21. (本小题12.0分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，点A(2,1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M(0,1)的直线l交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=(x−2)ex−a2(x2−2x)．
(1)当a=e时，求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值；
(2)若f(x)存在极大值点x0，且f(x0)<0，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵A={x|−2
根据并集的概念，即可求解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为复数(1−i)2=1−2i+i2=−2i．
所以复数的虚部为：−2．
故选A．
按照平方差公式展开，求出复数的实部与虚部即可．
本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．
3.【答案】B
【解析】解：高一、高二、高三年级参赛选手的人数分别为1000，800，600，
现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，
则样本中高一、高二、高三年级参赛选手的人数比为5：4：3，
设高一年级参赛选手成绩的样本平均数为a，
∵高二、高三年级参赛选手成绩的样本平均数分别为76，82，全校参赛选手成绩的样本平均数为75，
则5k×a+4k×76+3k×825k+4k+3k=75，解得a=70．
∴高一年级参赛选手成绩的样本平均数为70．
故选：B．
由分层抽样的方法得样本中高一、高二、高三年级参赛选手的人数比，设高一年级参赛选手成绩的样本平均数为a，列式即可．
本题考查分层抽样、平均数等基础知识，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，
又双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x+y=0，则a=b，
所以c= a2+b2= 2a，
则双曲线C的离心率为e=ca= 2．
故选：B．
利用曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，即可得a与b的关系，再由离心率公式求解．
本题主要考查了双曲线的渐近线、离心率性质．属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：取AA1中点G点，连接EG，FG，BA1，作图如下：
因为ABCD−A1B1C1D1为正方体，所以易知BA1//CD1，
在△ABA1中，因为E，G，分别为AB，AD的中点，所以EG//BA1，
所以EG//CD1，
所以∠GEF即为异面直线D1C与EF所成的角，
设正方体棱长为2，
易知EF= AE2+AF2= 2，FG= AG2+AF2= 2，EG= AE2+AG2= 2，
所以△EFG为等边三角形，所以∠GEF=60°，
故选：B．
取AA1中点G点，连接EG，FG，BA1，作图，通过证明EG//CD1，得到∠GEF即为异面直线D1C与EF所成的角，进而求解即可．
本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：∵a=log275,b=225,c=ln2，
∴0
∴a<12
根据对数函数的单调性比较大小即可．
本题考查函数的性质，考查利用单调性比较大小，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π6个单位长度后，可得y=sin(2x+π3+φ)的图象．
由于得到的图象关于y轴对称，则φ的可能取值为π6．
故选：B．
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的可能取值．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：向量a=(−9,m2),b=(1,−1)，
则(−9)×(−1)=m2，解得m=±3，
故“m=3”是“a//b”的充分不必要条件．
故选：C．
根据已知条件，结合平面向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意知sinx0−2cosx0=0，
∴sinx0=2cosx0，
∴4cos2x0+cos2x0=1，
∴cos2x0=15，
∴cos2x0=2cos2x0−1=25−1=−35．
故选：B．
根据条件得出sinx0=2cosx0，然后即可求出cos2x0的值，从而根据二倍角的余弦公式即可求出cos2x0的值．
本题考查了函数零点的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：∵an=(2n−1)cosnπ，
∴a1=cosπ=−1，a2=3cos2π=3，a3=5cos3π=−5，a4=7cos4π=7，
∴a1+a2=2，a3+a4=2，
以此类推，a5+a6=2，…，a2021+a2022=2，
∴S2023=2×1011+a2023=2022+4045cos2023π=2022−4045=−2023．
故选：D．
由题意可知，a1+a2=2，a3+a4=2，以此类推，a5+a6=2，…，a2021+a2022=2，进而求出S2023的值即可．
本题主要考查了数列的通项公式，考查了并项求和法的应用，属于中档题．
11.【答案】A
【解析】解：直线y= 3x+1与抛物线x2=4y交于A，B两点，
可得y= 3x+1x2=4y，解得x=2 3±4，
可得A(2 3−4,7−4 3)，B(2 3+4,7+4 3)，
直线y= 3x+1与圆x2+(y−1)2=1交于C，D两点，A，C在y轴的同侧，
可得y= 3x+1x2+(y−1)2=1，解得x=±12，
所以C(−12,1− 32)，D(12,1+ 32)，
则AC⋅DB=(72−2 3,7 32−6)⋅(2 3+72,6+7 32)=1．
故选：A．
联立直线与抛物线方程，求解A、B坐标，然后求解C、D坐标，即可求解向量的数量积．
本题考查直线与抛物线的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的数量积的求法，是中档题．
12.【答案】D
【解析】解：∵lnba−1=a+1a，∴lnb−lna2=a2−1a−lna2，令f(x)=x2−1x−2lnx，则f′(x)=2x2−x2+1x2−2x=(x−1)2x2≥0，∴f(x)在(0,+∞)上递增，且f(1)=0．
当00；
当0
当10，即lnb−lna2>0，则b>a2．
又∵lnb−lna2>0，∴lnblna>2，∴logab>2，故选项D正确．
∵不确定a与1的大小关系，故选项AB不正确．
故选：D．
因为lnba−1=a+1a，所以lnb−lna2=a2−1a−lna2.从而构造f(x)=x2−1x−2lnx，通过分析f(x)为单调递增函数，再分类讨论a与1的大小关系．
本题考查对数值大小的比较，属于难题，解题时需要构造函数以及分析函数的单调性．
13.【答案】15
【解析】解：因为(x2−2x+1)3=(x−1)6，
所以(x−1)6展开式的通项公式为Tr+1=∁6rx6−r(−1)r，r=0，1，…，6，
令6−r=2，则r=4，
所以x2的系数为(−1)4×∁64=15．
故答案为：15．
将已知关系式化简可得：(x2−2x+1)3=(x−1)6，然后求出二项式的展开式的通项公式，令x的指数为2，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：∵AB=(1,1),AC=(1,3)，
∴|AB|= 2，|AC|= 10，
∴cosA=cos=AB⋅AC|AB||AC|=1+3 2× 10=2 5，
∴sinA= 1−cos2A= 1−45=1 5，
∴△ABC的面积为12×|AB|×|AC|×sinA=12× 2× 10×1 5=1．
故答案为：1．
根据向量的模公式，向量的夹角公式，三角函数的同角关系，三角形的面积公式，即可求解．
本题考查三角形的面积的求解，向量的模公式，向量的夹角公式，三角函数的同角关系，三角形的面积公式，属基础题．
15.【答案】12
【解析】解：由y=ax2+lnx，得y′=2ax+1x，
∵曲线y=ax2+lnx在点(1,a)处的切线与直线y=2x平行，
∴y′|x=1=2a+1=2，解得a=12．
故答案为：12．
求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再由两直线平行与斜率的关系列式求解a值．
本题考查导数的几何意义及应用，是基础题．
16.【答案】②③
【解析】解：由题意可得：f(x)=sin(x+π2)x2+1=cosxx2+1，且函数f(x)的定义域为R．
对于②：因为f(−x)=cos(−x)(−x)2+1=cosxx2+1=f(x)，
所以函数f(x)是R上的偶函数，故②正确；
对于①：假设函数f(x)的图象存在对称中心(m,n)，
则f(2m+x)+f(−x)=2n，
若m≠0，可得f(2m+x)+f(x)=2n，
则f(4m+x)+f(2m+x)=2n，
所以f(4m+x)=f(x)，
可知函数f(x)是以4m为周期的周期函数，显然不成立；
若m=0，则f(x)+f(−x)=2f(x)=2cosxx2+1(不是定值)，
这与f(2m+x)+f(−x)=2n(为定值)相矛盾；
综上所述：假设不成立，所以函数f(x)的图象不存在对称中心，故①错误；
对于③：因为0<1x2+1≤1，当且仅当x=0时，等号成立，
当−1≤cosx≤0时，cosxx2+1≤0<1，
当0
对于④：令g(x)=cos(ax−lnx)−(ax−lnx)2−1=0，
整理得cos(ax−lnx)(ax−lnx)2+1=1，
由③可得ax−lnx=0，整理得a=lnxx，
设F(x)=lnxx(x>0)，则F(x)=1−lnxx2，
令F′(x)>0，解得0e，
则F(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
则F(x)
由题意可得：函数g(x)有两个零点，等价于y=a与F(x)=lnxx有两个不同的交点，
则0
故答案为：②③．
化简可得f(x)=cosxx2+1，再根据函数的对称性，偶函数的定义，零点的定义，以及导数的性质逐一判断即可．
本题考查函数性质的综合运用，考查利用导数研究函数的极值与最值，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d，且a1=1，a7=7，
则d=a7−a17−1=1，
∴an=1+1⋅(n−1)=n，n∈N*．
(2)由(1)可得，bn=2n，
故Sn=2+22+23+⋯+2n
=2(1−2n)1−2
=2n+1−2．
∴数列{cn}的前n项和为2n+1−2．
【解析】(1)先设等差数列{an}的公差为d，再根据题干已知条件及等差数列的定义推导出公差d的值，即可计算出等差数列{an}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式，再根据等比数列的求和公式即可计算出前n项和Sn．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，等差数列的定义，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：(1)∵a2+c2−b2=ac，
∴由余弦定理可得cosB=a2+c2−b22ac=12，
∵B∈(0,π)，
∴B=π3．
(2)∵a=8 3,cosA=35，A∈(0,π)，
∴sinA= 1−cos2A=45，
由正弦定理可得b=asinBsinA=8 3× 3245=15．
【解析】(1)由已知利用余弦定理可得cosB，结合范围B∈(0,π)，可求B的值．
(2)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，根据正弦定理求解即可．
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：(1)解由题可知，随机变量x可能的取值有0，1，2，
所以P(X=0)=C22C42=16,P(X=1)=C21C21C42=46=23,P(X=2)=C22C42=16，
分布列如下：
X
0
1
2
P
16
23
16
所以E(X)=0⋅16+1⋅46+2⋅16=1．
(2)(i)若X=2，则此时甲盒取出来了2个红球放入乙盒，
此时乙盒有1个白球，5个红球，所以从乙盒取出1个红球的概率为C51C61=56，
(ii)若X=0，
则此时甲盒取出来了2个白球放入乙盒，
此时乙盒有3个白球，3个红球，
所以从乙盒取出1个红球的概率为C31C61=36=12，
(iii)若X=1，则此时甲盒取出来了1个白球，1个红球放入乙盒，
此时乙盒有2个白球，4个红球，所以从乙盒取出1个红球的概率为C41C61=46=23，
所以从乙盒取出1个红球的概率为16⋅12+23⋅23+16⋅56=2436=23．
【解析】(1)根据超几何分布概率求解；
(2)根据甲盒任取2球放入乙盒的不同情况，分类讨论，利用超几何分布概率模型求解．
本题考查超几何分布，考查概率的计算，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
BC//B1C1且BC=B1C1，
A1D1//B1C1且A1D1=B1C1，
所以A1D1//BC且A1D1=BC，
则BCD1A1为平行四边形，
所以BA1//CD1，又BA1⊂平面MCD1，CD1∩平面MCD1，
所以A1B//平面MCD1．
(2)解：因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M是AA1的中点，
如图，建立空间直角坐标系A−xyz
所以C(2,2,0)，A1(0,0,2)，M(0,0,1)，D1(0,2,2)，
由可得MD1=(0,2,1),MC=(2,2,−1)，
设平面MCD1的法向量为n=(x,y,z)，
则n×MD1=2y+z=0n×MC=2x+2y−z=0，
令y=1，则z=−2，x=−2
所以n=(−2,1,−2)，
可得平面MCD1的法向量为n=(−2,1,−2)，
显然平面MD1A1的法向量可以为m=(1,0,0)，
设二面角C−MD1−A1的平面角为q，
所以cosq=m⋅n|m||n|=−23，
所以二面角C−MD1−A1的余弦值−23．
【解析】(1)证明BCD1A1为平行四边形，得到BA1//CD1，即可证明A1B//平面MCD1．
(2)建立空间直角坐标系A−xyz，求解平面MCD1的法向量，平面MD1A1的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角C−MD1−A1的余弦值即可．
本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．
21.【答案】解：(1)已知椭圆C的离心率为 22，
所以e=ca= 22，①
因为点A(2,1)在椭圆C上，
所以4a2+1b2=1，②
又a2−b2=c2，③
联立①②③，解得a2=6，b2=3，
则椭圆C的标准方程为x26+y23=1；
(2)因为过点M(0,1)的直线l交椭圆C于P，Q两点，
不妨设直线l的方程为y=kx+1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立y=kx+1x26+y23=1，消去y并整理得(6k2+3)x2+12kx−12=0，
此时Δ=4×36×(3k2+1)>0，
由韦达定理得x1+x2=−4k2k2+1，x1x2=−42k2+1，
所以S△OPQ=12×1×|x1−x2|=12 (x1+x2)2−4x1x2=2 3k2+12k2+1，
不妨令t= 3k2+1，t≥1，
此时S△OPQ=6t2t2+1，
不妨设f(t)=6t2t2+1，函数定义域为[1,+∞)，
可得f′(t)=6(1−2t2)(2t2+1)2<0，
所以函数f(t)在定义域上单调递减，
则当t=1，即k=0时，S△OPQ取得最大值，最大值为2．
【解析】(1)由题意，将点A代入椭圆方程中，结合离心率公式以及a2−b2=c2，列出等式即可求出椭圆C的标准方程；
(2)设出直线l的方程和点P，Q的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及三角形面积公式得到△OPQ面积的表达式，利用换元法，令令t= 3k2+1，t≥1，构造函数f(t)=6t2t2+1，对函数f(t)进行求导，利用导数得到函数f(t)的单调性和最值，进而即可求解．
本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
22.【答案】解：(1)已知f(x)=(x−2)ex−a2(x2−2x)，函数定义域为R，
当a=e时，f(x)=(x−2)ex−e2(x2−2x)，
可得f′(x)=(x−1)ex−e(x−1)=(x−1)(ex−e)，
当1≤x≤2时，f′(x)≥0，
所以函数f(x)的在区间[1,2]上单调递增，
则当x=2时，函数f(x)取得最大值，最大值f(2)=0；
(2)易知f′(x)=(x−1)ex−a(x−1)=(x−1)(ex−a)，
若a≤0，
当x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=1时，函数f(x)取得极小值，不符合题意；
若a>0，
令f′(x)=0，
解得x=1或x=lna，
当lna=1，即a=e时，
由(1)知，函数f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以当x=1时，函数f(x)取得极小值，不符合题意；
若lna<1，即00，f(x)单调递增，
当lna
所以当x=lna时，函数f(x)取得极大值，
若f(x)存在极大值点x0，且f(x0)<0，
则x0=lna且f(lna)=(lna−2)2(−a2)<0，符合题意；
若lna>1，即a>e时，
当x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当1
所以当x=1时，函数f(x)取得极大值，
此时x0=1且f(1)=−e+a2<0，
解得e
【解析】(1)由题意，将a=e代入函数f(x)解析式中，对函数f(x)进行求导，利用导数得到函数f(x)的单调性，进而即可求解；
(2)对函数f(x)进行求导，分别讨论当a≤0，0e这四种情况，利用导数的几何意义求出函数f(x)的单调性进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
2022-2023学年四川省凉山州高二（下）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|−2
C. {x|−2
A. −2 B. 2 C. −2i D. 2i
3. 某学校数学教研组举办了数学知识竞赛(满分100分)，其中高一、高二、高三年级参赛选手的人数分别为1000，800，600.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算可得高二、高三年级参赛选手成绩的样本平均数分别为76，82，全校参赛选手成绩的样本平均数为75，则高一年级参赛选手成绩的样本平均数为( )
A. 69 B. 70 C. 73 D. 79
4. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x+y=0，则双曲线C的离心率为( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 5
5. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AD的中点，则异面直线D1C与EF所成角的大小为( )
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
6. 已知a=log275,b=225,c=ln2，则( )
A. c
A. −π6 B. π6 C. π3 D. 2π3
8. 已知向量a=(−9,m2),b=(1,−1)，则“m=3”是“a//b”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 已知x0是函数f(x)=sinx−2cosx的一个零点，则cos2x0的值为( )
A. −45 B. −35 C. 35 D. 45
10. 已知数列{an}的前n项和为Sn，an=(2n−1)cosnπ，则S2023=( )
A. 1012 B. −1012 C. 2023 D. −2023
11. 已知直线y= 3x+1与抛物线x2=4y交于A，B两点，与圆x2+(y−1)2=1交于C，D两点，A，C在y轴的同侧，则AC⋅DB=( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 设a>0，b>0，且满足lnba−1=a+1a，则下列判断正确的是( )
A. a2>b B. a22
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. (x2−2x+1)3的展开式中x2的系数为______ .(用数字作答)．
14. 若向量AB=(1,1),AC=(1,3)，则△ABC的面积为______ ．
15. 曲线y=ax2+lnx在点(1,a)处的切线与直线y=2x平行，则a= ______ ．
16. 已知函数f(x)=sin(x+π2)x2+1.给出下列四个结论：
①函数f(x)的图象存在对称中心；
②函数f(x)是R上的偶函数；
③f(x)≤1；
④若a∈(−∞,1e)，则函数g(x)=cos(ax−lnx)−(ax−lnx)2−1有两个零点．
其中，所有正确结论的序号为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知{an}是等差数列，且a1=1，a7=7．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=2an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．
18. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a2+c2−b2=ac．
(1)求B的值；
(2)若a=8 3,cosA=35，求b的值．
19. (本小题12.0分)
设甲盒有2个白球，2个红球，乙盒有1个白球，3个红球；现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取1球．
(1)记随机变量X表示从甲盒取出的红球个数，求X的分布列及数学期望；
(2)求从乙盒取出1个红球的概率．
20. (本小题12.0分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M为线段AA1的中点．
(1)证明：A1B//平面MCD1；
(2)求二面角C−MD1−A1的余弦值．
21. (本小题12.0分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，点A(2,1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M(0,1)的直线l交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=(x−2)ex−a2(x2−2x)．
(1)当a=e时，求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值；
(2)若f(x)存在极大值点x0，且f(x0)<0，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵A={x|−2
根据并集的概念，即可求解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为复数(1−i)2=1−2i+i2=−2i．
所以复数的虚部为：−2．
故选A．
按照平方差公式展开，求出复数的实部与虚部即可．
本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．
3.【答案】B
【解析】解：高一、高二、高三年级参赛选手的人数分别为1000，800，600，
现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，
则样本中高一、高二、高三年级参赛选手的人数比为5：4：3，
设高一年级参赛选手成绩的样本平均数为a，
∵高二、高三年级参赛选手成绩的样本平均数分别为76，82，全校参赛选手成绩的样本平均数为75，
则5k×a+4k×76+3k×825k+4k+3k=75，解得a=70．
∴高一年级参赛选手成绩的样本平均数为70．
故选：B．
由分层抽样的方法得样本中高一、高二、高三年级参赛选手的人数比，设高一年级参赛选手成绩的样本平均数为a，列式即可．
本题考查分层抽样、平均数等基础知识，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，
又双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x+y=0，则a=b，
所以c= a2+b2= 2a，
则双曲线C的离心率为e=ca= 2．
故选：B．
利用曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，即可得a与b的关系，再由离心率公式求解．
本题主要考查了双曲线的渐近线、离心率性质．属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：取AA1中点G点，连接EG，FG，BA1，作图如下：
因为ABCD−A1B1C1D1为正方体，所以易知BA1//CD1，
在△ABA1中，因为E，G，分别为AB，AD的中点，所以EG//BA1，
所以EG//CD1，
所以∠GEF即为异面直线D1C与EF所成的角，
设正方体棱长为2，
易知EF= AE2+AF2= 2，FG= AG2+AF2= 2，EG= AE2+AG2= 2，
所以△EFG为等边三角形，所以∠GEF=60°，
故选：B．
取AA1中点G点，连接EG，FG，BA1，作图，通过证明EG//CD1，得到∠GEF即为异面直线D1C与EF所成的角，进而求解即可．
本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：∵a=log275,b=225,c=ln2，
∴0
∴a<12
根据对数函数的单调性比较大小即可．
本题考查函数的性质，考查利用单调性比较大小，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π6个单位长度后，可得y=sin(2x+π3+φ)的图象．
由于得到的图象关于y轴对称，则φ的可能取值为π6．
故选：B．
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的可能取值．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：向量a=(−9,m2),b=(1,−1)，
则(−9)×(−1)=m2，解得m=±3，
故“m=3”是“a//b”的充分不必要条件．
故选：C．
根据已知条件，结合平面向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意知sinx0−2cosx0=0，
∴sinx0=2cosx0，
∴4cos2x0+cos2x0=1，
∴cos2x0=15，
∴cos2x0=2cos2x0−1=25−1=−35．
故选：B．
根据条件得出sinx0=2cosx0，然后即可求出cos2x0的值，从而根据二倍角的余弦公式即可求出cos2x0的值．
本题考查了函数零点的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：∵an=(2n−1)cosnπ，
∴a1=cosπ=−1，a2=3cos2π=3，a3=5cos3π=−5，a4=7cos4π=7，
∴a1+a2=2，a3+a4=2，
以此类推，a5+a6=2，…，a2021+a2022=2，
∴S2023=2×1011+a2023=2022+4045cos2023π=2022−4045=−2023．
故选：D．
由题意可知，a1+a2=2，a3+a4=2，以此类推，a5+a6=2，…，a2021+a2022=2，进而求出S2023的值即可．
本题主要考查了数列的通项公式，考查了并项求和法的应用，属于中档题．
11.【答案】A
【解析】解：直线y= 3x+1与抛物线x2=4y交于A，B两点，
可得y= 3x+1x2=4y，解得x=2 3±4，
可得A(2 3−4,7−4 3)，B(2 3+4,7+4 3)，
直线y= 3x+1与圆x2+(y−1)2=1交于C，D两点，A，C在y轴的同侧，
可得y= 3x+1x2+(y−1)2=1，解得x=±12，
所以C(−12,1− 32)，D(12,1+ 32)，
则AC⋅DB=(72−2 3,7 32−6)⋅(2 3+72,6+7 32)=1．
故选：A．
联立直线与抛物线方程，求解A、B坐标，然后求解C、D坐标，即可求解向量的数量积．
本题考查直线与抛物线的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的数量积的求法，是中档题．
12.【答案】D
【解析】解：∵lnba−1=a+1a，∴lnb−lna2=a2−1a−lna2，令f(x)=x2−1x−2lnx，则f′(x)=2x2−x2+1x2−2x=(x−1)2x2≥0，∴f(x)在(0,+∞)上递增，且f(1)=0．
当0
当0
当1
又∵lnb−lna2>0，∴lnblna>2，∴logab>2，故选项D正确．
∵不确定a与1的大小关系，故选项AB不正确．
故选：D．
因为lnba−1=a+1a，所以lnb−lna2=a2−1a−lna2.从而构造f(x)=x2−1x−2lnx，通过分析f(x)为单调递增函数，再分类讨论a与1的大小关系．
本题考查对数值大小的比较，属于难题，解题时需要构造函数以及分析函数的单调性．
13.【答案】15
【解析】解：因为(x2−2x+1)3=(x−1)6，
所以(x−1)6展开式的通项公式为Tr+1=∁6rx6−r(−1)r，r=0，1，…，6，
令6−r=2，则r=4，
所以x2的系数为(−1)4×∁64=15．
故答案为：15．
将已知关系式化简可得：(x2−2x+1)3=(x−1)6，然后求出二项式的展开式的通项公式，令x的指数为2，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：∵AB=(1,1),AC=(1,3)，
∴|AB|= 2，|AC|= 10，
∴cosA=cos
∴sinA= 1−cos2A= 1−45=1 5，
∴△ABC的面积为12×|AB|×|AC|×sinA=12× 2× 10×1 5=1．
故答案为：1．
根据向量的模公式，向量的夹角公式，三角函数的同角关系，三角形的面积公式，即可求解．
本题考查三角形的面积的求解，向量的模公式，向量的夹角公式，三角函数的同角关系，三角形的面积公式，属基础题．
15.【答案】12
【解析】解：由y=ax2+lnx，得y′=2ax+1x，
∵曲线y=ax2+lnx在点(1,a)处的切线与直线y=2x平行，
∴y′|x=1=2a+1=2，解得a=12．
故答案为：12．
求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再由两直线平行与斜率的关系列式求解a值．
本题考查导数的几何意义及应用，是基础题．
16.【答案】②③
【解析】解：由题意可得：f(x)=sin(x+π2)x2+1=cosxx2+1，且函数f(x)的定义域为R．
对于②：因为f(−x)=cos(−x)(−x)2+1=cosxx2+1=f(x)，
所以函数f(x)是R上的偶函数，故②正确；
对于①：假设函数f(x)的图象存在对称中心(m,n)，
则f(2m+x)+f(−x)=2n，
若m≠0，可得f(2m+x)+f(x)=2n，
则f(4m+x)+f(2m+x)=2n，
所以f(4m+x)=f(x)，
可知函数f(x)是以4m为周期的周期函数，显然不成立；
若m=0，则f(x)+f(−x)=2f(x)=2cosxx2+1(不是定值)，
这与f(2m+x)+f(−x)=2n(为定值)相矛盾；
综上所述：假设不成立，所以函数f(x)的图象不存在对称中心，故①错误；
对于③：因为0<1x2+1≤1，当且仅当x=0时，等号成立，
当−1≤cosx≤0时，cosxx2+1≤0<1，
当0
对于④：令g(x)=cos(ax−lnx)−(ax−lnx)2−1=0，
整理得cos(ax−lnx)(ax−lnx)2+1=1，
由③可得ax−lnx=0，整理得a=lnxx，
设F(x)=lnxx(x>0)，则F(x)=1−lnxx2，
令F′(x)>0，解得0
则F(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
则F(x)
由题意可得：函数g(x)有两个零点，等价于y=a与F(x)=lnxx有两个不同的交点，
则0
故答案为：②③．
化简可得f(x)=cosxx2+1，再根据函数的对称性，偶函数的定义，零点的定义，以及导数的性质逐一判断即可．
本题考查函数性质的综合运用，考查利用导数研究函数的极值与最值，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d，且a1=1，a7=7，
则d=a7−a17−1=1，
∴an=1+1⋅(n−1)=n，n∈N*．
(2)由(1)可得，bn=2n，
故Sn=2+22+23+⋯+2n
=2(1−2n)1−2
=2n+1−2．
∴数列{cn}的前n项和为2n+1−2．
【解析】(1)先设等差数列{an}的公差为d，再根据题干已知条件及等差数列的定义推导出公差d的值，即可计算出等差数列{an}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式，再根据等比数列的求和公式即可计算出前n项和Sn．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，等差数列的定义，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：(1)∵a2+c2−b2=ac，
∴由余弦定理可得cosB=a2+c2−b22ac=12，
∵B∈(0,π)，
∴B=π3．
(2)∵a=8 3,cosA=35，A∈(0,π)，
∴sinA= 1−cos2A=45，
由正弦定理可得b=asinBsinA=8 3× 3245=15．
【解析】(1)由已知利用余弦定理可得cosB，结合范围B∈(0,π)，可求B的值．
(2)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，根据正弦定理求解即可．
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：(1)解由题可知，随机变量x可能的取值有0，1，2，
所以P(X=0)=C22C42=16,P(X=1)=C21C21C42=46=23,P(X=2)=C22C42=16，
分布列如下：
X
0
1
2
P
16
23
16
所以E(X)=0⋅16+1⋅46+2⋅16=1．
(2)(i)若X=2，则此时甲盒取出来了2个红球放入乙盒，
此时乙盒有1个白球，5个红球，所以从乙盒取出1个红球的概率为C51C61=56，
(ii)若X=0，
则此时甲盒取出来了2个白球放入乙盒，
此时乙盒有3个白球，3个红球，
所以从乙盒取出1个红球的概率为C31C61=36=12，
(iii)若X=1，则此时甲盒取出来了1个白球，1个红球放入乙盒，
此时乙盒有2个白球，4个红球，所以从乙盒取出1个红球的概率为C41C61=46=23，
所以从乙盒取出1个红球的概率为16⋅12+23⋅23+16⋅56=2436=23．
【解析】(1)根据超几何分布概率求解；
(2)根据甲盒任取2球放入乙盒的不同情况，分类讨论，利用超几何分布概率模型求解．
本题考查超几何分布，考查概率的计算，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
BC//B1C1且BC=B1C1，
A1D1//B1C1且A1D1=B1C1，
所以A1D1//BC且A1D1=BC，
则BCD1A1为平行四边形，
所以BA1//CD1，又BA1⊂平面MCD1，CD1∩平面MCD1，
所以A1B//平面MCD1．
(2)解：因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M是AA1的中点，
如图，建立空间直角坐标系A−xyz
所以C(2,2,0)，A1(0,0,2)，M(0,0,1)，D1(0,2,2)，
由可得MD1=(0,2,1),MC=(2,2,−1)，
设平面MCD1的法向量为n=(x,y,z)，
则n×MD1=2y+z=0n×MC=2x+2y−z=0，
令y=1，则z=−2，x=−2
所以n=(−2,1,−2)，
可得平面MCD1的法向量为n=(−2,1,−2)，
显然平面MD1A1的法向量可以为m=(1,0,0)，
设二面角C−MD1−A1的平面角为q，
所以cosq=m⋅n|m||n|=−23，
所以二面角C−MD1−A1的余弦值−23．
【解析】(1)证明BCD1A1为平行四边形，得到BA1//CD1，即可证明A1B//平面MCD1．
(2)建立空间直角坐标系A−xyz，求解平面MCD1的法向量，平面MD1A1的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角C−MD1−A1的余弦值即可．
本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．
21.【答案】解：(1)已知椭圆C的离心率为 22，
所以e=ca= 22，①
因为点A(2,1)在椭圆C上，
所以4a2+1b2=1，②
又a2−b2=c2，③
联立①②③，解得a2=6，b2=3，
则椭圆C的标准方程为x26+y23=1；
(2)因为过点M(0,1)的直线l交椭圆C于P，Q两点，
不妨设直线l的方程为y=kx+1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立y=kx+1x26+y23=1，消去y并整理得(6k2+3)x2+12kx−12=0，
此时Δ=4×36×(3k2+1)>0，
由韦达定理得x1+x2=−4k2k2+1，x1x2=−42k2+1，
所以S△OPQ=12×1×|x1−x2|=12 (x1+x2)2−4x1x2=2 3k2+12k2+1，
不妨令t= 3k2+1，t≥1，
此时S△OPQ=6t2t2+1，
不妨设f(t)=6t2t2+1，函数定义域为[1,+∞)，
可得f′(t)=6(1−2t2)(2t2+1)2<0，
所以函数f(t)在定义域上单调递减，
则当t=1，即k=0时，S△OPQ取得最大值，最大值为2．
【解析】(1)由题意，将点A代入椭圆方程中，结合离心率公式以及a2−b2=c2，列出等式即可求出椭圆C的标准方程；
(2)设出直线l的方程和点P，Q的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及三角形面积公式得到△OPQ面积的表达式，利用换元法，令令t= 3k2+1，t≥1，构造函数f(t)=6t2t2+1，对函数f(t)进行求导，利用导数得到函数f(t)的单调性和最值，进而即可求解．
本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
22.【答案】解：(1)已知f(x)=(x−2)ex−a2(x2−2x)，函数定义域为R，
当a=e时，f(x)=(x−2)ex−e2(x2−2x)，
可得f′(x)=(x−1)ex−e(x−1)=(x−1)(ex−e)，
当1≤x≤2时，f′(x)≥0，
所以函数f(x)的在区间[1,2]上单调递增，
则当x=2时，函数f(x)取得最大值，最大值f(2)=0；
(2)易知f′(x)=(x−1)ex−a(x−1)=(x−1)(ex−a)，
若a≤0，
当x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=1时，函数f(x)取得极小值，不符合题意；
若a>0，
令f′(x)=0，
解得x=1或x=lna，
当lna=1，即a=e时，
由(1)知，函数f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以当x=1时，函数f(x)取得极小值，不符合题意；
若lna<1，即0
当lna
所以当x=lna时，函数f(x)取得极大值，
若f(x)存在极大值点x0，且f(x0)<0，
则x0=lna且f(lna)=(lna−2)2(−a2)<0，符合题意；
若lna>1，即a>e时，
当x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当1
所以当x=1时，函数f(x)取得极大值，
此时x0=1且f(1)=−e+a2<0，
解得e
【解析】(1)由题意，将a=e代入函数f(x)解析式中，对函数f(x)进行求导，利用导数得到函数f(x)的单调性，进而即可求解；
(2)对函数f(x)进行求导，分别讨论当a≤0，0
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
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