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专题25 圆的有关计算与证明- 2023年中考数学真题分类汇编（通用版含解析）
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这是一份专题25 圆的有关计算与证明- 2023年中考数学真题分类汇编（通用版含解析），文件包含专题25圆的有关计算与证明共50题解析版docx、专题25圆的有关计算与证明共50题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共121页， 欢迎下载使用。
专题25 圆的有关计算与证明（50题）
一、单选题
1．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是( )
A． B． C． D．
2．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．20
3．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角的圆心为，半径为；的圆心为，半径为的圆心依次为循环，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在等腰直角中，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，以E为圆心，长为半径画弧，分别与交于点M，N，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留）
9．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留与根号）
10．（2023·重庆·统考中考真题）如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留）
11．（2023·江苏扬州·统考中考真题）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为________．
12．（2023·浙江温州·统考中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．
13．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_____________．（结果保留）
14．（2023·天津·统考中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段的长为________；
（2）若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）________．
15．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在中，，垂足为．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则________________．（结果保留根号）
16．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________．
三、解答题
17．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
18．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，求和的长．
19．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接．
(1)求证：；（请用两种证法解答）
(2)若，的半径为3，，求的长．
20．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点．
(1)求的度数；
(2)如图2，过点作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，求的长．
21．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点．
(1)若，求的长．
(2)求证：．
(3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．
22．（2023·河北·统考中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，．
计算：在图1中，已知，作于点．
（1）求的长．
操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．
探究：在图2中
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小．
23．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，都是的半径，．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
24．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足．
(1)求证：直线直线；
(2)若；
①求证：；
②若，求四边形的周长．
25．（2023·天津·统考中考真题）在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．
(1)如图①，求和的大小；
(2)如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长．
26．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
27．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
28．（2023·湖南·统考中考真题）如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．
(1)求证：．
(2)若，求的半径．
29．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．
(1)求证：为的切线；
(2)延长与的延长线交于点D，求证：；
(3)若，求阴影部分的面积．
30．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
31．（2023·安徽·统考中考真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．
(1)如图1，连接，若，求证；平分；
(2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．
32．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．
33．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)为上一点，连接交于点，若，求的长．
34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长．
35．（2023·广东·统考中考真题）综合探究
如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)以点为圆心，为半径作圆．
①如图2，与相切，求证：；
②如图3，与相切，，求的面积．
36．（2023·山东·统考中考真题）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F．
(1)求证：；
(2)P是上一点，，求；
(3)在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长．
37．（2023·山东·统考中考真题）如图，已知是的直径，，切于点，过点作交于点，若．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，是上一点，在上取一点，使，连接．请问：三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论．
38．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．
(1)若，求的长．
(2)求证：．
(3)若，猜想的度数，并证明你的结论．
39．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图1，已知是的直径，是的切线，交于点，．
(1)填空：的度数是_________，的长为_________；
(2)求的面积；
(3)如图2，，垂足为．是上一点，．延长，与，的延长线分别交于点，求的值．
40．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：；
(4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
41．（2023·浙江台州·统考中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．
(1)如图1，当，的长为时，求的长．
(2)如图2，当，时，求的值．
(3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值．
42．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．
(1)求的长和关于的函数表达式．
(2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值．
(3)延长交半圆于点，当时，求的长．
43．（2023·新疆·统考中考真题）如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
44．（2023·云南·统考中考真题）如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．
(1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
(2)若，求常数的值．
45．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．
(1)求的度数．
(2)①求证：．
②若，求的值，
(3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长．
46．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)当，时，求的长．
47．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
(3)求证：．
48．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且）．
(1)在图1中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度；
(3)如图2，延长至点F，使得，连结，的平分线交的延长线于点P，点M为的中点，连结，若．求证：．
49．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点是的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点．
(1)求证： ；
(2)若，求的值；
(3)连结交于点，若的半径为5
①若，求的长；
②若，求的周长；
③若，求的面积．
50．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)如果是的中点，且，求的长．
专题25 圆的有关计算与证明（50题）
一、单选题
1．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是( )
A． B． C． D．
2．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．20
3．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角的圆心为，半径为；的圆心为，半径为的圆心依次为循环，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在等腰直角中，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，以E为圆心，长为半径画弧，分别与交于点M，N，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留）
9．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留与根号）
10．（2023·重庆·统考中考真题）如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留）
11．（2023·江苏扬州·统考中考真题）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为________．
12．（2023·浙江温州·统考中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．
13．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_____________．（结果保留）
14．（2023·天津·统考中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段的长为________；
（2）若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）________．
15．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在中，，垂足为．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则________________．（结果保留根号）
16．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________．
三、解答题
17．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
18．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，求和的长．
19．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接．
(1)求证：；（请用两种证法解答）
(2)若，的半径为3，，求的长．
20．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点．
(1)求的度数；
(2)如图2，过点作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，求的长．
21．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点．
(1)若，求的长．
(2)求证：．
(3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．
22．（2023·河北·统考中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，．
计算：在图1中，已知，作于点．
（1）求的长．
操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．
探究：在图2中
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小．
23．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，都是的半径，．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
24．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足．
(1)求证：直线直线；
(2)若；
①求证：；
②若，求四边形的周长．
25．（2023·天津·统考中考真题）在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．
(1)如图①，求和的大小；
(2)如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长．
26．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
27．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
28．（2023·湖南·统考中考真题）如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．
(1)求证：．
(2)若，求的半径．
29．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．
(1)求证：为的切线；
(2)延长与的延长线交于点D，求证：；
(3)若，求阴影部分的面积．
30．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
31．（2023·安徽·统考中考真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．
(1)如图1，连接，若，求证；平分；
(2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．
32．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．
33．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)为上一点，连接交于点，若，求的长．
34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长．
35．（2023·广东·统考中考真题）综合探究
如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)以点为圆心，为半径作圆．
①如图2，与相切，求证：；
②如图3，与相切，，求的面积．
36．（2023·山东·统考中考真题）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F．
(1)求证：；
(2)P是上一点，，求；
(3)在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长．
37．（2023·山东·统考中考真题）如图，已知是的直径，，切于点，过点作交于点，若．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，是上一点，在上取一点，使，连接．请问：三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论．
38．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．
(1)若，求的长．
(2)求证：．
(3)若，猜想的度数，并证明你的结论．
39．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图1，已知是的直径，是的切线，交于点，．
(1)填空：的度数是_________，的长为_________；
(2)求的面积；
(3)如图2，，垂足为．是上一点，．延长，与，的延长线分别交于点，求的值．
40．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：；
(4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
41．（2023·浙江台州·统考中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．
(1)如图1，当，的长为时，求的长．
(2)如图2，当，时，求的值．
(3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值．
42．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．
(1)求的长和关于的函数表达式．
(2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值．
(3)延长交半圆于点，当时，求的长．
43．（2023·新疆·统考中考真题）如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
44．（2023·云南·统考中考真题）如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．
(1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
(2)若，求常数的值．
45．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．
(1)求的度数．
(2)①求证：．
②若，求的值，
(3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长．
46．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)当，时，求的长．
47．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
(3)求证：．
48．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且）．
(1)在图1中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度；
(3)如图2，延长至点F，使得，连结，的平分线交的延长线于点P，点M为的中点，连结，若．求证：．
49．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点是的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点．
(1)求证： ；
(2)若，求的值；
(3)连结交于点，若的半径为5
①若，求的长；
②若，求的周长；
③若，求的面积．
50．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)如果是的中点，且，求的长．
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