湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年高二下学期期末调研考试数学试卷（含答案）

这是一份湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年高二下学期期末调研考试数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年高二下学期期末调研考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2、已知复数，其中i为虚数单位，则复数z的实部与虚部之和为( )
A. B. C. D.
3、若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4、若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
5、今天是星期四，经过天后是星期( )
A.二 B.三 C.四 D.五
6、的展开式中的系数为( )
A.88 B.104 C.-40 D.-24
7、设随机变量，若，则( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
8、数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A.60种 B.78种 C.84种 D.144种
二、多项选择题
9、特值法就是选取一个恰当的特殊值代替一般的情况，将复杂或抽象的问题简单化具体化的方法，例如：若是定义域为R的奇函数，且是偶函数，，则可以选择，由此计算出结果．已知函数是定义域为R的偶函数，且，是奇函数，则( )
A. B. C. D.
10、双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值不可能是( )
A.3 B. C. D.
11、若，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
12、有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有( )
A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B.任取一个零件是次品的概率为0.053
C.如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D.如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
三、填空题
13、___________.
14、已知，若，则______．
15、为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为___________．
16、埃及金字塔是地球上的古文明之一，随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整体搬运到月球上去，为了便于运输，某人设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某座金字塔是棱长均为的正四棱锥，那么设计的金属球壳的表面积最小值为_____________．（注：球壳厚度不计）.
四、解答题
17、已知的内角A、B，C所对的边分别为a、b、c，且．
（1）求角A的值．
（2）若的面积为，且，求a的值．
18、从A，B，C等8人中选出5人排成一排.
（1）A必须内，有多少种排法？
（2）A，B，C三人不全在内，有多少种排法？
（3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？
（4）A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
19、如图，正三棱柱中，E,F分别是棱,上的点，.

（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
20、设函数.
（1）若不等式的解集为，求a，b的值；
（2）若，求不等式的解集.
21、某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，②，其中,,,t均为常数，e为自然对数的底数．

现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据：






20
66
770
200
460
4.20




3125000
21500
0.308
14
（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？
附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
②参考数据：，，．
22、某中学对学生钻研理工课程的情况进行调查，将每周独立钻研理工课程超过6小时的学生称为“理工迷”，否则称为“非理工迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：

理工迷
非理工迷
总计
男
24
36
60
女
12
28
40
总计
36
64
100
（1）根据的独立性检验，能否认为“理工迷”与性别有关联？
（2）在人工智能中常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生是非理工迷”，B表示“选到的学生是男生”请利用样本数据，估计的值.
（3）现从“理工迷”的样本中，按分层抽样的方法选出6人组成一个小组，从抽取的6人里再随机抽取3人参加理工科知识竞赛，求这3人中，男生人数X的概率分布列及数学期望.
参考数据与公式：

0.050
0.010
0.001

3.841
6635
10.828
，其中.
参考答案
1、答案：C
解析：是由集合A,B的相同的元素构成的，由已知条件可得
2、答案：C
解析：由题意得，，
所以实部为，虚部为，实部与虚部之和为．
故选：C
3、答案：B
解析：设向量与的夹角为，
则，,
则在上的投影向量为．
故选：B．
4、答案：B
解析：依题意，不等式对任意实数x均成立，
即不等式恒成立，
当时，不等式可化为恒成立，
当时，
，解得，
综上所述，m的取值范围是.
故选：B
5、答案：B
解析：因为
因为前展开式中的前2023项都包含有7的倍数，
所以最后除以7的余数取决于最后一项即除以7的余数，为6，
所以应该是星期三，
故选：B.
6、答案：D
解析：由题设，的通项为，的通项为；
原多项式的展开式通项可写为，
∴，可得或或，
的系数为.
故选：D.
7、答案：D
解析：随机变量X服从正态分布，且正态曲线的对称轴是：，由，可得，则.
故选：D
8、答案：B
解析：由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2，则先将4门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是0,1,3，则先将4门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是0,2,2则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种
所以每位同学的不同选修方式有种，
故选：B.
9、答案：ACD
解析：由函数是定义域为R的偶函数，且，是奇函数，
可以选择，
则，故A正确，
，故B错误，
，故C正确，
，故D正确，
故选：ACD.
10、答案：CD
解析：



，
当且仅当即时取等号，
所以.
故选：CD.
11、答案：BC
解析：由变形得到，
令，显然在R上为增函数，
所以，显然B正确；
A选项，若或时，A不满足要求，舍去；
C选项，，故，C正确；
D选项，不妨设，则，即，D错误.
故选：BC
12、答案：BCD
解析：记事件A：车床加工零件为次品，记事件：第i台车床加工的零件，
则，，
，，，
对于选项A，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故错误；
对于选项B，任取一个零件是次品的概率为
，故正确；
对于选项C，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
，故正确；
对于选项D，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
，故正确；
故选：BCD．
13、答案：31
解析：由题意，，解得，
又，所以，
所以，
故答案为：31.
14、答案：-1
解析：,,
故答案为：-1.
15、答案：
解析：从10人中任选3人的事件个数为，
恰有1名男生2名女生的事件个数为，
则恰有1名男生2名女生概率为，
故答案为：
16、答案：
解析：由题意，要使金属球壳的表面积最小，则金属球是正四棱锥的外接球.
如图所示，在正四棱锥中，，，
O为其外接球的球心，连接AC与BD相交点于，连接AO，
为顶点S在底面ABCD上的投影，即为正方形ABCD的中心，
设球的半径为R，表面积为S，
则在正方形ABCD中，，
在中，，
则，
在中，，，，
因为，所以，
化简得，则，
所以外接球的表面积为.
故答案为：.

17、答案：（1）；
（2）.
解析：（1）由，得，即，
，，
又，，故．
（2）由面积，得，
又，
，，
由余弦定理，
．
18、答案：（1）4200
（2）5520
（3）240
（4）4440
解析：（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果，再将这4人与A进行全排列有种不同的排法，
故由乘法原理可知共有种不同排法；
（2）从8人中任选5人排列共有种不同排法，A，B，C三人全在内有种不同排法，
由间接法可得A，B，C三人不全在内共有种不同排法；
（3）因A，B，C都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果，A，B必须相邻，有种不同排法，由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法，由乘法原理可得共有种不同排法；
（4）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有种排法；
第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法；
第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法；
第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法，
若A不排中间时，有种排法，共有种排法；
综上，共有4440种不同排法.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：取BC的中点O,连接OA，
在正三棱柱中，不妨设,;
以O为原点，,分别为x轴和y轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则,，,
,,,；
设平面CEF的一个法向量为，则, ，
取，则，即；
设平面的一个法向量为，则,
即，取得.
因为，所以平面平面；

（2）因，由（1）可得，即，
易知平面的一个法向量为,
；
二面角的余弦值为.
20、答案：（1），
（2）答案见解析
解析：（1）函数，
由不等式的解集为，得，
且1和2是方程的两根；
则，解得，
（2）时，不等式为，
可化为，则
当时，不等式为，解得
当时，不等式化为，令，得，
当时，，解不等式得或；
当时，不等式为，解得；
当时，，解不等式得或；
当时，不等式化为，且，
解不等式得
综上知：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
21、答案：（1）模型的拟合程度更好；
（2）（i）；（ii）32.99亿元.
解析：（1），
，
则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好
（2）（i）先建立v关于x的线性回归方程.
由，得，即．
由于，

所以v关于x的线性回归方程为，
所以，则
（ii）下一年销售额y需达到90亿元，即，
代入得，，
又，所以，
所以，
所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元
22、答案：（1）认为理工迷与性别无关
（2）
（3）分布列见解析，数学期望为2
解析：（1）提出假设：“理工迷”与性别无关.
则，而，
根据的独立性检验，可以推断成立，所以认为理工迷与性别无关.
（2）因为，
所以估计的值为.
（3）按照分层抽样，男生抽取人，女生抽取人，
随机变量X的所有可能取值为1，2，3，
所以，，，
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P



则.