2024年高考数学一轮复习专题五立体几何中的热点问题课件

这是一份2024年高考数学一轮复习专题五立体几何中的热点问题课件，共44页。PPT课件主要包含了EF⊂平面PEF，图5-2，图5-3，图D50，ABC，图5-7，题后反思，图D51，图5-10，AO＝2等内容，欢迎下载使用。

题型一 平面图形的翻折问题
平面图形翻折为空间图形问题，重点考查平行、垂直关系，解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征.
[ 例 1](2021年中卫市模拟)如图5­1，在四边形ABCD中，
线段 AD，CD 的中点.以 EF 为折痕把△DEF 折起，使点D到达点P 的位置，G 为线段 PB 的中点.图 5-1
(1)证明：平面 GAC∥平面 PEF；
(2)若平面 PEF⊥平面 ABCFE，求直线 AG 与平面 PAC 所成角
(1)证明：连接 CE，由题意知，四边形 ABCE 为正方形，连接BE 交 AC 于点 O，连接 OG，所以 O 为 BE 中点，如图 5-2 所示.
又因为 G 为 PB 中点，所以 OG∥PE.因为 E，F 分别为 AD，CD 中点，所以 AC∥EF.
因为 OG∩AC＝O，PE∩EF＝E，AC，OG⊂平面 GAC，PE，
所以平面 GAC∥平面 PEF.
(2)解：建立如图 5-3 所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：
【题后反思】三步解决平面图形翻折问题
【互动探究】1.图 5-4 是由矩形 ADEB，Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG，如图 5-5.
(1)证明：图 5-5 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE；(2)求图 5-5 中的二面角 B-CG-A 的大小.
(1)证明：由已知得 AD∥BE，CG∥BE，所以 AD∥CG，所以 AD，CG 确定一个平面，从而 A，C，G，D 四点共面.由已知得 AB⊥BE，AB⊥BC，且 BE∩BC＝B，所以 AB⊥平面 BCGE.
又因为 AB⊂平面 ABC，所以平面 ABC⊥平面 BCGE.
(2)解：如图 D50，作 EH⊥BC，垂足为点 H.
因为 EH ⊂ 平面 BCGE ，BC ⊂ 平面 ABC ，平面 BCGE⊥平面
[例 2](2023年琼山区校级期中)如图5­6所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，四边形ABB1A1，ACC1A1均为正方形，点 D 在线段 AA1 上，点 E 是线段 CC1 的中点.
正方向，建立空间直角坐标系如图 5-7 所示：
(1)解决探索性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在.(2)在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理 a＝λb(b≠0)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围.
(3)利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探索性问题转化为方
程是否有解的问题进行处理.
【互动探究】2.(2021 年全国甲卷理科)如图 5-8，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面 AA1B1B 为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别 为 AC 和 CC1 的 中 点 ， D 为 棱 A1B1 上 的 点 ，BF⊥A1B1.(1)证明：BF⊥DE；(2)当 B1D 为何值时，面 BB1C1C 与面 DFE 所
成的二面角的正弦值最小？
题型三 立体几何的综合应用[例 3]如图 5-9(1)所示，正方形的边长为 4，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以 EF 为棱将正方形 ABCD 折成如图 5-9(2)所示的 60°的二面角，点 M 在线段 AB 上.
(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°？若存在，求此时二面角M­EC­F的余弦值；若不存在，说明理由.
解：(1)因为直线 MF⊂平面 ABFE，
故点 O 在平面 ABFE 内也在平面 ADE 内，所以点 O 在平面
ABFE 与平面 ADE 的交线上，如图 5-10 所示，
因为 AO∥BF，M 为 AB 的中点，所以△OAM≌△FBM，
所以 OM＝MF，AO＝BF，所以点 O 在 EA 的延长线上，且
连接 DF 交 EC 于点 N，因为四边形 CDEF 为矩形，所以 N
连接 MN，因为 MN 为△DOF 的中位线，所以 MN∥OD，
又因为 MN⊂平面 EMC，OD 平面 EMC，所以直线 OD∥平
(2)假设存在，则由已知可得，EF⊥AE，EF⊥DE，AE∩DE＝E，所以 EF⊥平面 ADE，所以平面 ABFE⊥平面 ADE，取 AE 的中点 H，过 H 作 HG⊥FB 于点 G，以 H 为坐标原点，分别以 HA，HG，HD 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图5-11所示的空间直角坐标系，
解得 t＝1 或 t＝3，
所以假设成立，即存在点 M，使得直线 DE 与平面 EMC 所成
取 ED 的中点 Q，因为 EF⊥平面 ADE，QA⊂平面 ADE，所以
易知 QA⊥DE，又 DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面 CEF，
因为当 t＝2 时，cs θ＝0，平面 EMC⊥平面 CEF，
(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.
(2)平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.
3.(2022 年海淀区校级开学)如图 5-12，矩形 ABCD 所在的平面与菱形 ABEF 所在的平面垂直，G 为 BE 边中点，AE＝AF.
(1)求证：直线 AG⊥平面 BCE；
(2)若 AF＝2，________，求二面角 C-AG-F的余弦值.从①BC＝ AB；②BC＝AG 这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题.
证明：(1)∵矩形 ABCD 和菱形 ABEF 所在的平面相互垂直，∴AB⊥BC，
∵矩形 ABCD∩菱形 ABEF＝AB，∴BC⊥平面 ABEF，∵AG⊂平面 ABEF，∴BC⊥AG，
菱形 ABEF 中，∵AE＝AF，∴AE＝AB，又 G 为 BE 边中点，∴AG⊥BE，∵BC∩BE＝B，∴AG⊥平面 BCE.
(2)解：由(1)可知 AD，AF，AG 两两垂直，
如图 D52，以 A 为原点，AG 为 x 轴，AF 为 y 轴，AD 为 z 轴