浙江省杭州学军中学紫金港校区2022-2023学年高二数学下学期5月检测试题（Word版附解析）

这是一份浙江省杭州学军中学紫金港校区2022-2023学年高二数学下学期5月检测试题（Word版附解析），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年5月高中数学
一、单选题
1. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据抛物线的方程求出准线方程；
【详解】因为抛物线，
所以其准线方程为.
故选：C.
2. 设、，向量，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
故选：D.
3. 现有语文､数学､英语､物理各1本书，把这4本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为（ ）
A. 18 B. 24 C. 30 D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，用间接法求解，先由分步计数原理计算4本书放入三个不同抽屉的放法数目，再计算语文与数学在同一抽屉的放法数目，相减即可得到结果.
【详解】4本书放入三个不同的抽屉，
先在4本书中任取2本作为一组，再将其与其他2本书对应三个抽屉，
共有种情况，
若语文与数学放入同一个抽屉，则其他两本放入其余抽屉，
有种情况，
则语文与数学不在同一个抽屉的放法种数为：种；
故选：C.
【点睛】解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．
4. 已知双曲线：（，）的上、下顶点分别为，，点在双曲线上（异于顶点），直线，的斜率乘积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设点由直线，的斜率乘积为得到，则渐近线可求.
【详解】设点，又，，则 ，
所以，又因为点在双曲线上得，
所以，故，所以
则双曲线的渐近线方程为.
故选：B
5. 若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将不等式转化为，构建，利用导数判断其单调性和最值，根据题意利用数形结合，列式求解即可.
【详解】因为，且，可得，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，可得，
且，
由题意可得，解得，
所以的取值范围是.
故选：C.

6. 已知函数的定义域为，其导函数为，，，则（ ）
A. 无极值 B. 有极大值，也有极小值
C. 有极大值，无极小值 D. 有极小值，无极大值
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意赋值可求得，根据结构特征，构造函数，从而判断的函数值情况，即可判断的单调性，确定极值，即可得答案.
【详解】由已知知，
又，所以，
令，则，
又，
令，
所以，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
所以的极小值为，无极大值，
故选：D.
7. 在平面直角坐标系中，若满足的点都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由可得点在圆心，的内部，结合条件列出不等式，即可得到结果.
【详解】，则，，
圆心，，都在，则两圆内切或内含．
∴，∴，
故选:B．
8. ，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先构造函数，通过求导判断单调性，比较出b和c的大小；再找中间值和，通过构造函数，证明，判断，构造函数，通过单调性判断，于是证明，即可求得a、b、c的大小关系.
【详解】令
则，显然
即单调递减，所以，即，.
令
则，即在上单调递增
所以，即，
所以
令
则
当时，，即在上单调递增
又，所以当时，
所以，即
即，
又，所以，即.
综上：.
故选：C.
二、多选题
9. 等差数列前项和为，若，公差，则（ ）
A. 若，则 B. 若，则是中最大的项
C. 若，则 D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据等差数列二次函数的性质可判断A和B选项，然后根据题意判断出，得，判断的正负，即可可判断C和D选项.
【详解】等差数列的前项和，又，，可得，所以是关于的开口向下的二次函数，若，则的对称轴，所以根据对称性可知；若，则对称轴为，所以是最大项；若，则，又，所以可得，故；不能判断正负，所以与不能比较大小.
故选：BC.
【点睛】关于等差数列前项和的最值问题，一般有两种求解方法：
（1）利用的公式判断得是关于的二次函数，计算对称轴，即可求出最值；
（2）利用的正负判断，当时，则在处取最大值，当时，则在处取最小值.
10. 如图所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3个不同的数字，记事件A1：恰好挑出的是1、2、3；记事件A2：恰好挑出的是1、4、7；记事件A3：挑出的数字里含有数字1.下列说法正确的是（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9

A. 事件A1，A2是互斥事件
B. 事件A1，A2是独立事件
C. P(A1|A3)＝P(A2|A3)
D. P(A3)＝P(A1)＋P(A2)
【答案】AC
【解析】
【分析】根据互斥事件和相互独立事件的概念判断AB；利用条件概率公式计算概率判断C；计算判断D.
【详解】A.挑出的是1、2、3和挑出的是1、4、7不可能同时发生，正确；
B.事件A1，A2不是独立事件，错误；
C，正确；
D. ，，错误.
故选：AC.
11. 已知函数，则（ ）
A. 是偶函数
B. 在区间上单调递增
C. 在上有4个零点
D. 的值域是
【答案】AB
【解析】
【分析】根据偶函数的定义、复合函数的单调性、零点的定义以及复合函数的值域，可得答案.
【详解】对于A，函数的定义域为，
且，
所以函数是偶函数，A正确；
对于B，当时，.
令，由于函数在时单调递减，
函数在时单调递增，所以函数在区间上单调递减，
故函数在区间上单调递增，B正确；
对于C，当时，由，得或，
所以或或，所以偶函数在上有6个零点，C不正确；
对于D，当时，.
因为，所以当时，，当时，.
由于函数是偶函数，因此，函数的值域为，D不正确.
故选：AB.
12. 已知抛物线，其焦点为，点是抛物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则（ ）
A. 直线过定点
B. 当点到直线的距离最大时，
C. 动点的轨迹为椭圆
D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意求出直线的定点即可判断选项A；利用点到直线的距离公式，将式子整理化简即可判断选项B；根据垂直即可判断选项C；作出图象，借助抛物线的定义即可判断选项D.
【详解】直线可化为，令，解得：，所以直线过定点，故选项正确；
由题意可知：，则点到直线的距离，
当时，；
当时，，
因为，所以当时，取最大值，也即点到直线的距离最大时，，故选项正确；
因为过点作直线的垂线，垂足为，直线过定点，则，所以点在以（的长度为定值）为直径的圆上，也即动点的轨迹为圆，故选项错误；
过点作与准线垂直并交准线于点，连接，取的中点，则的坐标为，，因为，则点在以为直径的圆上，其方程为，又由，得，如图所示：

的最小值为圆上的点到准线的距离的最小值，过点作与准线垂直并交于点，与圆交于点，与抛物线交于点，则即为的最小值，即,故选项正确，
故选：.
三、填空题
13. 的展开式中的系数为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据展开式的通项公式得，进而得展开式中项为，故，解得.
【详解】解：由二项式定理展开式的通项公式得
，
令，解得，
所以展开式中项为，其系数为，解得.
故答案为：
【点睛】本题解题的关键在于根据题意求得展开式的通项公式为，进而列式求解即可.考查运算求解能力，是基础题.
14. 已知实数，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设直线：，则的几何意义为，点到直线的距离，即可求出取值范围.
【详解】根据题意，设直线：，设点
那么点到直线的距离为：，
因为，所以，且直线的斜率，
当直线的斜率不存在时，，所以，
当时， ，
所以，即，
因为，所以，
故答案为：.

15. 已知定义在R上的偶函数满足.若，且在单调递增，则满足的x的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，是周期为的周期函数，的最小正周期为8，结合与的单调性，易知在一个周期内，由，可得，再结合周期求出范围即可.
【详解】因为是偶函数，所以，
由，可得关于对称，
因为，所以，
则，
因为是偶函数，所以，
因为，所以，
则，
所以函数是周期为的周期函数.
因为是偶函数，且在单调递增，所以在单调递减，
令中，则，则，
又因为关于对称，所以在上单调递增，上单调递减，
结合函数是周期为的周期函数，
综上可得，上单调递增，，上单调递减.
因为的最小正周期为，结合图象可知，

在，上单调递增，在上单调递减，
令中，则，则，
当，又，所以，
当，又，所以，
所以当时，，解得.
又因为与均为周期函数，且8均为其周期，
所以的x的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题解题的关键是求出与的周期性，由，，结合函数的单调性和周期性求解即可.
16. 已知椭圆右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于A，B两点.在中，，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为______.
【答案】.
【解析】
【分析】引入椭圆的另一个焦点，根据椭圆的对称性，将转化为焦点三角形的面积问题进行处理即可.
【详解】取椭圆的左焦点，连接，根据椭圆的对称性：，
于是四边形为平行四边形，由，故，记，
根据椭圆定义，，在中，根据余弦定理：，
即，对两边平方，，故，
显然，根据三角形的面积公式：，由，
即，不等式两边同时除以，整理得到，
结合椭圆离心率范围解得；
另一方面，由余弦定理结合基本不等式：，解得.
于是，.

故答案为：
四、解答题
17. 已知圆.
（1）若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；
（2）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，满足，求点的轨迹方程.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）讨论直线是否存在斜率，当斜率存在时，设出直线方程，利用弦长公式，即可求得直线斜率，则直线方程得解；
（2）根据题意以及几何关系，求得点的轨迹方程，
【小问1详解】
根据题意，圆的方程为：，其圆心为，半径为，

当直线的斜率不存在时，其方程为，
此时直线与圆的交点为，，，符合题意；
当直线的斜率存在时，设其方程为，即，
则圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为，
综上，直线的方程为或；
【小问2详解】
如图，为圆的切线，连接，，则，
所以为直角三角形，即.
设，由（1）知，，
因为，所以，
化简得点的轨迹方程为.
18. 在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解答．
已知数列的前项和为，满足____，____；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】条件性选择见解析，（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）选择①②，可以判断为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；选择②③，由可判断为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；选择①③根据条件可得，根据条件不能求出的值，故不能选①③；根据的条件建立关系即可求出公差，得出通项公式；
（2）利用错位相减法可求解.
【详解】（1）选择①②：
由当时，有，
两式相减得：，即，．
又当时，有，又∵，∴，也适合，
所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；
选择：②③：
由当时，，
两式相减得：，即，．
又当时，有，又∵，∴，也适合，
所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；
选择①③：
由，，则
即，所以，
两式相减可得：，
当时，由，得，即，即
由，得，即，与上式相同，不能求出的值.
故不能选择①③
所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；
设正项等差数列的公差为，∵，且，，成等比数列，
∴，即，解得：或（舍），
∴，故，．
（2）
所以，
则，
两式相减得
．
∴
【点睛】关键点睛：本题考查利用与的关系证明等比数列，等差数列基本量的计算，等比数列前项和问题，解答本题的关键是错位相减法求和中的计算，即由，和相减得到，属于中档题.
如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，底面ABC是等腰直角三角形，
AA1＝AB＝BC＝4，∠A1AB＝60°，cos∠BCC1＝，M，N分别是棱B1C1，A1B1的中点.


19. （1）证明：NB⊥平面A1B1C1；
20. （2）求直线AM与平面BB1C1C所成角的正弦值.
【答案】19. 证明见解析.
20.
【解析】
【分析】(1)先证明，，根据线面垂直判定定理证明NB⊥平面A1B1C1；(2)建立空间直角坐标系，利用向量方法求直线AM与平面BB1C1C所成角的正弦值.
【19题详解】
连接，由已知四边形为平行四边形，又∠A1AB＝60°，AA1＝AB＝4，
∴ 为等边三角形，∵ 为A1B1的中点，
∴ ， ，
∵ 底面ABC是等腰直角三角形， AB＝BC＝4，
∴，，
∵M，N分别是棱B1C1，A1B1的中点，
∴ ，
∵ ，，cos∠BCC1＝，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，M是棱B1C1的中点，
∴ ，
∴ ，∴ ，
又平面，，
∴NB⊥平面A1B1C1；
【20题详解】
取AB的中点O连结AO，则AO//BN，由(1)知平面ABC，AB，
如图，以点为原点，直线OC，OB，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系
则，，， ，，，，，，，
设平面的一个法向量为，则
，∴ ，取，则，
故可取，
设直线AM与平面BB1C1C所成角为，则
，
∴直线AM与平面BB1C1C所成角的正弦值为.

21. 某食品研究员正在对一种过期食品中菌落数目进行统计，为检测该种过期食品的腐败程度，研究员现对若干份过期不同天数的该种食品样本进行检测，并且对样本的菌落数目逐一统计，得到如下数据：
过期天数
（单位：天）
1
2
3
4
5
菌落数目
（单位：千个）






（1）请用线性回归模型拟合与的关系；
（2）实验数据表明，该种食品在未添加防腐剂的条件下（其余条件相同），短期内（7天内）菌落数目（单位：千个）与过期天数（单位：天）应满足关系：.
（i）判断该样本是否添加防腐剂；
（ii）简要分析过期7天内防腐剂发挥的效果.
附：.
【答案】（1）
（2）（i）该样本添加了防腐剂；（ii）抑制食品产生菌落，且效果越来越好.
【解析】
【分析】（1）根据线性回归方程的求法根据已知即可得出答案；
（2）（i）根据回归方程过样本中心列式即可判断；
（ii）根据所给关系得出未添加防腐剂的条件下的各天的菌落数目，与已知添加防腐剂的条件下的各天的菌落数目对比，即可总结得出答案.
【小问1详解】
由题意可得：
，，
且，，
所以，
则，
所以回归直线方程为
【小问2详解】
（i），则样本不满足未添加防腐剂的条件，即该样本添加了防腐剂；
（ii）根据该种食品在未添加防腐剂的条件下应满足关系：，
可得，，，，，
即
过期天数
（单位：天）
1
2
3
4
5
添加防腐剂
菌落数目
（单位：千个）





未添加防腐剂
菌落数目
（单位：千个）





则过期7天内防腐剂让其菌落数目小于未添加防腐剂，且差距越来越大，
即过期7天内防腐剂发挥的效果为抑制食品产生菌落，且效果越来越好.
22. 在平面直角坐标系中，设曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线上的点到原点O的最短距离为．以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为．
（1）求椭圆的标准方程：
（2）设AB是过椭圆中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上的点（与O不重合），若M是l与椭圆的交点，求的面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由封闭图形面积为可得，再由点到直线的距离公式列出方程求得即可得到椭圆的标准方程；
（2）根据题意，分AB斜率为0，AB斜率不存在，AB斜率存在且不为0，三种情况讨论，当AB斜率存在且不为0时，结合弦长公式以及面积公式，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
曲线围成的图形如图

∴，即
且，解得，
∴椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
①若AB斜率为0，则；
②若AB斜率不存在，则；
③若AB斜率存在且不为0，设AB方程为；，
，消去得，则
∴
∵，
∴
令，，∴
一方面，另一方面
综上：面积的取值范围为．
23. 已知函数，（为常数）
（1）求函数在处的切线方程;
（2）设．
（ⅰ）若为偶数，当时，函数在区间上有极值点，求实数的取值范围;
（ⅱ）若为奇数，不等式在上恒成立，求实数的最小值．
【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）．
【解析】
【分析】
（1）根据导数几何意义求得切线斜率，再用点斜式求得切线方程.
（2）（ⅰ）函数在区间上有极值点，则研究其导数在有零点，且零点左右两边导数符号不同即可；（ⅱ）将恒成立问题转化为最值问题，通过求导讨论参数范围，判断单调性来确定最值，从而求最小值.
【详解】解：（1），
，当时，．
∴在处的切线方程为，
即．
（2）（ⅰ）为偶数时，，
，令，
则．
∵且，∴在恒成立．
∴在单调递减，其中，．
∵在有极值点，
∴且，即．
当时，，使．
令，即，在单调递增；
令，即，在单调递减．
∴在有极值点．
因此实数的取值范围．
（ⅱ）为奇数时，在恒成立．
当时，．
当时，因为恒成立，
而，
令，∴．．
∵，
①当时，，∴恒成立．
∴在单调递减，∴．∴符合题意．
②当时，则在恒成立．
∴时，单调递增，，与题意不符，舍去．
③当时，，，
，在上存在零点．
设为在上最小零点，则时，
因此在单调递增，∴，不合题意舍去．
综上，的最小值为．
【点晴】利用导数研究不等式恒成立问题的策略：