浙江省杭州第二中学2022-2023学年高一数学上学期分班考试题（Word版附解析）

这是一份浙江省杭州第二中学2022-2023学年高一数学上学期分班考试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题.等内容，欢迎下载使用。

杭二中高一新生实验班选拔考试
数学试卷
注意：（1）本试卷分三部分，17小题，满分150分，考试时间60分钟.
（2）请将解答写在答题卷相应题次上，做在试题卷上无效.
一、选择题.（5分×6=30分）
1. 如果a，b，c是正数，且满足a+b+c＝9，，那么的值为（　　）
A 6 B. 7 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意得出a＝9﹣b﹣c，b＝9﹣a﹣c，c＝9﹣a﹣b，再代入原式进行计算即可．
【详解】∵a，b，c是正数，且满足a+b+c＝9，
∴a＝9﹣b﹣c，b＝9﹣a﹣c，c＝9﹣a﹣b，
∴原式＝+
＝+﹣3
＝9×﹣3
＝7，
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
2. 小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的倍”；小玲对小倩说：“你若给我元，我的钱数将是你的2倍”，其中为正整数，则的可能值的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】设小倩和小玲手上有元，列方程组，结合是正整数的性质求解.
【详解】由题意，，由得，
代入，解得，即，
则，由题意，是正整数，故是的约数，
故可能等于，解得可能等于，此时对应的分别为
故的可能值的个数是个.
故选：D
3. 若质数满足，则数据的中位数是（ ）
A. 4 B. 7 C. 4或7 D. 4.5或6.5
【答案】C
【解析】
【分析】将条件转化成，对进行质因数分解，分析可能的取值，从而得到可能的取值，解出后，根据中位数定义计算.
【详解】由题意，可变为：，即，
由于是质数，故的质因数只可能是，
注意到是质数，故，则，故可能的取值是，
于是可能有以下情况：解得；
解得；，无解；，无解.
当时，的中位数是；
当时，的中位数是.
故选：C
4. ，则（ ）
A. B. 0 C. 32 D. 64
【答案】A
【解析】
【分析】利用赋值法计算可得.
【详解】因为，
令可得，
令可得，
令可得，
所以，
则
故选：A
5. 若四个互不相等的正实数，，，满足，，则的值为（ ）
A. 2012 B. 2011 C. 2012 D. 2011
【答案】A
【解析】
【分析】设，则，将已知等式左侧展开，分别作加减处理即可得，进而可得结果.
【详解】令，且，
所以，则，
两式相减得，故①，
两式相加得，将①代入，
所以，故，
而.
故选：A
二、填空题（6分×8=48分）
6. 设下列三个一元二次方程：；；，至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是___________.
【答案】或
【解析】
【分析】利用正难则反的思想，先考虑每个方程都没有实数根进行计算，所得结果的“反面”即为所求.
【详解】若上述的三个方程都没有实数根，依题意，，
根据解得，恒成立，解得，
于是三个方程都没有实数根的的取值范围是，
故至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是或.
故答案为：或
7. 如图所示，把大正方形纸片剪成五个部分，在分别距离大正方形的四个顶点5厘米处沿方向剪开，中间的部分正好是小正方形，那么小正方形的面积是__________平方厘米.

【答案】50
【解析】
【分析】先判断出是等腰直角三角形，进而求出 ，再判断出四边形是矩形，进而求出，即可得出结论．
【详解】
如图，因为四边形是正方形，
过点 作 交 于 ,
. ,


因为阴影部分是正方形，
所以四边形 为矩形，

那么小正方形的面积是
故答案为：50.
8. 点为轴正半轴上一点，，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.若点的坐标为，且，则所有满足条件的直线的函数解析式为：___________.

【答案】或.
【解析】
【分析】利用抛物线的图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，根与系数关系和相似三角形的判定与性质得到，继续由相似三角形、根与系数、函数解析式求得结果.
【详解】如图，分别过点P，Q作y轴的垂线，垂足分别为C，D.

由点A的坐标为，则点B的坐标为.
设直线的函数解析式为，并设P，Q的坐标分别为，.
由，得，于是，即.
于是.
又因为，所以，因为，所以，
故.
设，，不妨设，则，，
所以，.
因为，所以.
于是，即，所以.
由，即，所以，，于是可求得.
将代入，得到点的坐标或.
再将点的坐标代入，求得或.
所以直线的函数解析式为或.
故答案为：或.
9. 能使成立的正整数的值的个数等于___________.
【答案】
【解析】
【分析】按照绝对值不等式的解法分类求解即可
【详解】由题意，等价于或.
若，即，由于是正整数，则，于是无解；
若，即，两边平方可得，，
化简整理得，，根据平方差公式，，
故解得，满足条件得正整数从到，有个.
故答案为：
10. 如图，四边形中，，，.设，延长线交于，则____________.

【答案】
【解析】
【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，连接，证明四边形为菱形，再进一步证明为等边三角形，进而可求得，即可得解.
【详解】如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，连接，
由作法可知，，
所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为菱形，
所以，
，
因为，所以，
又，所以，
所以为等边三角形，
所以，
所以，
则，
所以，
因为，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，连接，证明四边形为菱形，及为等边三角形，是解决本题的关键.
11. 是的边上的一点，使得，是外接圆上一点，使得，则的值___________.

【答案】
【解析】
【分析】根据圆弧的性质以及三角形相似求解即可；
【详解】解：连接，

∵与是所对的圆周角，
∴，
∵，∴，
又，∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
三、解答题.（12分×6=72分）
12. 已和均为非负数，且满足.
（1）用表示；
（2）求的最小值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）把看作常数，解关于的方程组即可；
（2）根据（1）的结果以及均为非负数，先求出的范围，然后将用表示后进行求解.
【小问1详解】
由题意，，两式相加，解得，由解得，
故，
【小问2详解】
根据（1）中得结果，注意到均为非负数，故，解得，
又，
由于是关于的开口向上，对称轴为的二次函数，时，随的增加而减少，
故时，
13. 由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone6手机二月售价比一月每台降价500元，如果卖出相同数量的Iphone6手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元.
（1）一月Iphone6手机每台售价为多少元?
（2）为了提高利润，该店计划三月购进Iphone6s手机销售，已知Iphone6每台进价为3500元，Iphone6s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案?
（3）该店计划4月对Iphone6的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone6手机再返还顾客现金元，而Iphone6s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，应取何值?
【答案】（1）一月Iphone4每台售价为4500元
（2）有5种进货方案 （3）
【解析】
【分析】（1）设一月Iphone6手机的每台售价为元，根据题意得到，即可求解；
（2）设购进Iphone6手机为台，由题意得到，求得的范围，即可求解；
（3）设总获利元，得到，结合，即可求解.
【小问1详解】
解：设一月Iphone6手机的每台售价为元，则二月Iphone6手机的售价为元，
根据题意，可得，解得（元），
即一月Iphone6手机每台售价为元.
【小问2详解】
解：设购进Iphone6手机为台，则购进的Iphone6手机为台，
根据题意，可得，解得，
因为，所以的取值为，共有种进货方案.
【小问3详解】
解：二月Iphone6手机每台售价为（元），
设总获利元，则，
令，可得，
即当时，（2）中所有的方案获利相同.
14. 如图，在中，，，、是边上的两点，，，，则的面积是多少?

【答案】
【解析】
【分析】作且，连接，利用得到，，应用勾股定理求得，再由得，进而求得，，最后根据求结果即可.
【详解】如下图，作且，则为等腰直角三角形，连接，

由题意为等腰直角三角形，且，，
所以，则，且，
所以，则为直角三角形，
所以，即，
对于有，即，故，
所以，故的面积，且，
所以，在等腰中，则，
又.
15. 若直线：交x轴于点A，交y轴于点B.坐标原点O关于直线的对称点在反比例函数的图象上.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线绕点逆时针旋转角，得到直线，交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与上述反比例函数的图象交于点Q，当四边形的面积为时，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得为等腰直角三角形，根据对称性知四边形为正方形，即可确定坐标，代入求参数，即得解析式；
（2）设且，求得、，由列方程求得，进而结合的正弦值确定角的大小.
【小问1详解】
由题设，，显然为等腰直角三角形，
又坐标原点O关于直线的对称点，则四边形为正方形，
易知：在上，则，故.
【小问2详解】
令且，则，故，
所以，由（1）知：，
而，，
所以，可得，
所以，即，故，则，
在直角中，则.
16. 已知关于的方程有两个正整数根（是整数）.的三边满足.求：
（1）的值；
（2）的面积.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据方程可得两根分别为，再根据两根为整数可求.
（2）根据（1）中的结果可判断三角形为直角三角形，从而可求面积.
【小问1详解】
因为关于的方程有两个正整数根（是整数），
所以，
又，故两根分别为.
由两根为整数，故为整数，
所以即，
当时，，此数不是整数，故舍去.
当时，，
所以（舍）或（舍）.
当时，，舍.
当时，，
所以或.
故.
【小问2详解】
由（1）可得或.
若，则，
故为直角三角形，为直角，
故.
17. 如图为等腰三角形，是底边上的高，点是线段上的一点，和分别是和的外接圆的直径，连接，求证：.

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】证明，由相似三角形的性质结合锐角三角函数求解即可.
【详解】证明：如图，连接，.
∵和都是直径，∴，，
∴，，三点共线，
连接，，则，
∴.
作，垂足为.
又∵，，∴四边形是矩形，∴，
∵，∴，
∴，∴.

附加题（同分优先）：
18. 如图，已知为半圆O的直径，点P为直径上的任意一点.以点A为圆心，为半径作，与半圆O相交于点C；以点B为圆心，为半径作，与半圆O相交于点D，且线段的中点为M.求证：分别与和相切.

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】连接，，，，作，，垂足分别为，，根据圆的性质得，利用三角形相似得、，联立处理得，即，进而确定是直角梯形的中位线，结合线段的垂直关系即可证结论.
【详解】如图，连接，，，，作，，垂足分别，，
∴，，.
∵是的直径，
∴，又是和的公共角.
∴，则，即，
同理，两式相减得①，
∴②，
由①②得：，即，
∴，则点是线段的中点，
∵是的中点，
∴是直角梯形中位线，
∴，
∴分别与和相切.