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2023年中考数学真题分类汇编——专题13 二次函数解答压轴题（全国通用）
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这是一份2023年中考数学真题分类汇编——专题13 二次函数解答压轴题（全国通用），文件包含专题13二次函数解答压轴题解析版docx、专题13二次函数解答压轴题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共252页， 欢迎下载使用。
专题13 二次函数解答压轴题
一、解答题
1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数．
(1)当时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当时，求的取值范围．
(2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．
2．（2023·浙江·统考中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上．
(1)当时，求和的值；
(2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；
(3)求证：．
3．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）在二次函数中，
(1)若它的图象过点，则t的值为多少？
(2)当时，y的最小值为，求出t的值：
(3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
4．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
…
0
1
2
3
…
…
1
1
…
(1)若，求二次函数的表达式；
(2)写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．
(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
5．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标．
6．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求直线及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．
(1)求点的坐标；
(2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围．
8．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
9．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接．
①如图，若点P在第三象限，且，求点P的坐标；
②直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，请直接写出四边形的周长．
10．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线解析式及，两点坐标；
(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；
(3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，．
①当时，求的长；
②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标．
13．（2023·全国·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．
(3)当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．
(4)设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值．
14．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
15．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
①当取得最大值时，求的值和的最大值；
②当是等腰三角形时，求点的坐标．
16．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
(3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
17．（2023·安徽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．
（ⅰ）当时，求与的面积之和；
（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
18．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．
(1)如图2，若抛物线经过原点．
①求该抛物线的函数表达式；②求的值．
(2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由．
19．（2023·湖南·统考中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
20．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当时，求点的坐标；
(3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值．
21．（2023·四川眉山·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
(3)过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
22．（2023·江西·统考中考真题）综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系
(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，_______．
②S关于t的函数解析式为_______．
(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
(3)延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．
23．（2023·新疆·统考中考真题）【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：；
【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点．
①求点的坐标；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．
24．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
(3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
25．（2023·四川乐山·统考中考真题）已知是抛物（b为常数）上的两点，当时，总有
(1)求b的值；
(2)将抛物线平移后得到抛物线．
探究下列问题：
①若抛物线与抛物线有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E，外接圆的圆心为点F，如果对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求长的取值范围．
26．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，直线交抛物线于两点（点在点的左侧），交轴于点，交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)是线段上一点，连接，且．
①求证：是直角三角形；
②的平分线交线段于点是直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标．
27．（2023·上海·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求b，c的值；
(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
28．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．
(1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上．
①________；
②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
(2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
29．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．
(1)请求出抛物线的表达式．
(2)如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，直线交于点，求的最大值；
(3)如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标．
31．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．
(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
33．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
34．（2023·湖南·统考中考真题）已知二次函数．
(1)若，且该二次函数的图像过点，求的值；
(2)如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图像与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，．
①求证：．
②当点在线段上，且．的半径长为线段的长度的倍，若，求的值．
35．（2023·山西·统考中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．
(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；
(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
36．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．
(1)直接写出三点的坐标；
(2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值；
(3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
37．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，已知．点E位于第二象限且在直线上，，，连接．
(1)直接判断的形状：是_________三角形；
(2)求证：；
(3)直线EA交x轴于点．将经过B，C两点的抛物线向左平移2个单位，得到抛物线．
①若直线与抛物线有唯一交点，求t的值；
②若抛物线的顶点P在直线上，求t的值；
③将抛物线再向下平移，个单位，得到抛物线．若点D在抛物线上，求点D的坐标．
38．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
(3)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
39．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．
(1)直接写出结果；_____，_____，点A的坐标为_____，______；
(2)如图1，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，，点E，F分别为的边上的动点，，记的最小值为m．
①求m的值；
②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．
40．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．
(3)抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标．
41．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
(3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
42．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．
43．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：关于的函数．
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
44．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若，且，求证：三点共线；
(3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
45．（2023·山东·统考中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？
(3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
46．（2023·山东·统考中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
(3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值．
47．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．
①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值；
③抛物线与边分别相交于点，点在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．
48．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
49．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．
(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？
50．（2023·四川南充·统考中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
51．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点、，且经过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线、分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为，求的面积；
(3)点M是y轴上一动点，当最大时，求M的坐标．
52．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
(3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
53．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．
(1)当时，求点的坐标；
(2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由．
54．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象．
(1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
(2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由．
55．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
56．（2023·湖南·统考中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．
(1)求a的值．
(2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
57．（2023·天津·统考中考真题）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．
(1)若．
①求点和点的坐标；
②当时，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标．
58．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知抛物线过点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点在线段上（与点不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标；
(3)如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点不重合），使得，求的取值范围．
59．（2023·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．
(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
(2)当点在轴上时，求点的坐标；
(3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值．
(4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值．
60．（2023·湖北·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．
(1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果）
(2)在图1中，连接并延长交的延长线于点，求的度数；
(3)如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由．
61．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究
如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，．
(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点P的坐标；
(3)点D是线段(包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请直接写出点Q的坐标；
(4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，的最小值为______．
62．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．
【基础训练】
(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
(2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
(3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
(4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．
专题13 二次函数解答压轴题
一、解答题
1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数．
(1)当时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当时，求的取值范围．
(2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．
2．（2023·浙江·统考中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上．
(1)当时，求和的值；
(2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；
(3)求证：．
3．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）在二次函数中，
(1)若它的图象过点，则t的值为多少？
(2)当时，y的最小值为，求出t的值：
(3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
4．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
…
0
1
2
3
…
…
1
1
…
(1)若，求二次函数的表达式；
(2)写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．
(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
5．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标．
6．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求直线及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．
(1)求点的坐标；
(2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围．
8．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
9．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接．
①如图，若点P在第三象限，且，求点P的坐标；
②直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，请直接写出四边形的周长．
10．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线解析式及，两点坐标；
(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；
(3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，．
①当时，求的长；
②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标．
13．（2023·全国·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．
(3)当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．
(4)设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值．
14．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
15．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
①当取得最大值时，求的值和的最大值；
②当是等腰三角形时，求点的坐标．
16．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
(3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
17．（2023·安徽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．
（ⅰ）当时，求与的面积之和；
（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
18．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．
(1)如图2，若抛物线经过原点．
①求该抛物线的函数表达式；②求的值．
(2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由．
19．（2023·湖南·统考中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
20．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当时，求点的坐标；
(3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值．
21．（2023·四川眉山·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
(3)过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
22．（2023·江西·统考中考真题）综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系
(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，_______．
②S关于t的函数解析式为_______．
(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
(3)延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．
23．（2023·新疆·统考中考真题）【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：；
【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点．
①求点的坐标；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．
24．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
(3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
25．（2023·四川乐山·统考中考真题）已知是抛物（b为常数）上的两点，当时，总有
(1)求b的值；
(2)将抛物线平移后得到抛物线．
探究下列问题：
①若抛物线与抛物线有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E，外接圆的圆心为点F，如果对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求长的取值范围．
26．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，直线交抛物线于两点（点在点的左侧），交轴于点，交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)是线段上一点，连接，且．
①求证：是直角三角形；
②的平分线交线段于点是直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标．
27．（2023·上海·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求b，c的值；
(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
28．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．
(1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上．
①________；
②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
(2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
29．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．
(1)请求出抛物线的表达式．
(2)如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，直线交于点，求的最大值；
(3)如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标．
31．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．
(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
33．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
34．（2023·湖南·统考中考真题）已知二次函数．
(1)若，且该二次函数的图像过点，求的值；
(2)如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图像与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，．
①求证：．
②当点在线段上，且．的半径长为线段的长度的倍，若，求的值．
35．（2023·山西·统考中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．
(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；
(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
36．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．
(1)直接写出三点的坐标；
(2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值；
(3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
37．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，已知．点E位于第二象限且在直线上，，，连接．
(1)直接判断的形状：是_________三角形；
(2)求证：；
(3)直线EA交x轴于点．将经过B，C两点的抛物线向左平移2个单位，得到抛物线．
①若直线与抛物线有唯一交点，求t的值；
②若抛物线的顶点P在直线上，求t的值；
③将抛物线再向下平移，个单位，得到抛物线．若点D在抛物线上，求点D的坐标．
38．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
(3)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
39．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．
(1)直接写出结果；_____，_____，点A的坐标为_____，______；
(2)如图1，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，，点E，F分别为的边上的动点，，记的最小值为m．
①求m的值；
②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．
40．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．
(3)抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标．
41．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
(3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
42．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．
43．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：关于的函数．
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
44．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若，且，求证：三点共线；
(3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
45．（2023·山东·统考中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？
(3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
46．（2023·山东·统考中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
(3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值．
47．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．
①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值；
③抛物线与边分别相交于点，点在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．
48．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
49．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．
(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？
50．（2023·四川南充·统考中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
51．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点、，且经过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线、分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为，求的面积；
(3)点M是y轴上一动点，当最大时，求M的坐标．
52．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
(3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
53．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．
(1)当时，求点的坐标；
(2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由．
54．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象．
(1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
(2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由．
55．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
56．（2023·湖南·统考中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．
(1)求a的值．
(2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
57．（2023·天津·统考中考真题）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．
(1)若．
①求点和点的坐标；
②当时，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标．
58．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知抛物线过点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点在线段上（与点不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标；
(3)如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点不重合），使得，求的取值范围．
59．（2023·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．
(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
(2)当点在轴上时，求点的坐标；
(3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值．
(4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值．
60．（2023·湖北·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．
(1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果）
(2)在图1中，连接并延长交的延长线于点，求的度数；
(3)如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由．
61．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究
如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，．
(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点P的坐标；
(3)点D是线段(包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请直接写出点Q的坐标；
(4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，的最小值为______．
62．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．
【基础训练】
(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
(2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
(3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
(4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．
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