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浙江省名校新高考研究联盟（Z20）2022-2023学年高三下学期三模数学试题及参考答案
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这是一份浙江省名校新高考研究联盟（Z20）2022-2023学年高三下学期三模数学试题及参考答案，共15页。试卷主要包含了请保持答题卡的整洁，下列说法中正确的是，已知函数，则下列判断正确的是等内容，欢迎下载使用。
绝密★考试结束前
Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）
2023届高三第三次联考
数学试题卷
命题：永嘉中学 高三数学备课组 审题：玉环中学 朱旭波 平湖中学 高玉良 校稿：魏侹路､徐柏军
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
选择题部分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数是纯虚数，则的值为（ ）
A.-12 B.12 C.-3 D.3
3.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4.在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与的非负半轴重合，将角的终边按逆时针旋转后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则（ ）
A. B. C. D.
5.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则出现三个点数之和为6的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知点是边长为1的正十二边形边上任意一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.-2
7.已知，且满足，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知半径为4的球，被两个平面截得圆，记两圆的公共弦为，且，若二面角的大小为，则四面体的体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列说法中正确的是（ ）
A.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8
B.若随机变量，且，则
C.若随机变量，且，则
D.对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上
10.已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A.若，则的最小值为
B.若将的图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为
C.若在单调递减，则
D.若在上只有1个零点，则
11.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列，现有高阶等差数列､其前7项分别为5，9，17，27，37，45，49，设通项公式.则下列结论中正确的是（ ）
（参考公式：）
A.数列为二阶等差数列
B.数列的前11项和最大
C.
D.
12.已知椭圆，其右焦点为，以为端点作条射线交椭圆于，且每两条相邻射线的夹角相等，则（ ）
A.当时，
B.当时，的面积的最小值为
C.当时，
D.当时，过作椭圆的切线，且交于点交于点，则的斜率乘积为定值-1
非选择题部分
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知的展开式中各项系数的和为4，则实数的值为__________.
14.已知抛物线，过点作直线交于两点，且，则点的横坐标为__________.
15.某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为为的前项和，则__________.（结果保留成整数）（参考数据：）
16.设表示不超过的最大整数，如.已知函数有且只有4个零点，则实数的取值范围是__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）记为数列的前项和，已知，且满足.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
18.（12分）为贯彻落实习近平总书记关于学生近视问题的指示精神和《教育等八部门关于印发<综合防控儿童青少年近视实施方案>的通知》以及《中国防治慢性病中长期规划（2017-2025年）》等文件要求，切实提升我省儿童青少年视力健康整体水平，实施了，“明眸”工程.各中小学为推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查.其校为研究本校的近视情况与本校学生是否有长时间使用电子产品习惯的关系，在已近视的学生中随机调查了100人，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据：
长时间使用电子产品
非长时间使用电子产品
近视
45
55
未近视
20
80
（1）能否有99%的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关？
（2）据调查，某校患近视学生约为46%，而该校长时间使用电子产品的学生约为30%，这些人的近视率约为60%.现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，求他患近视的概率.
附：，其中.
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
19.（12分）在锐角中，角所对的边分别为，已知，点是线段的中点，且.
（1）求角；
（2）求边的取值范围.
20.（12分）如图，三棱台中，为线段上靠近的三等分点.
（1）线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；
（2）若，点到平面的距离为3，且点在底面的投影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值.
21.（12分）已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线.
（1）若的坐标为，求证：为的角平分线；
（2）过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值.
22.（12分）已知函数.
（1）令，讨论的单调性；
（2）证明：；
（3）若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023届高三第三次联考
数学参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
A
A
B
B
D
C
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
题号
9
10
11
12
答案
BC
ABC
AC
ABD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.1 14. 15.7542 16.（区间开闭都给分）
四､解答题：本题共6小题，共70分.
17.解：
（1）方法1：
时，，
累加得，
时也成立，
.
，
是等差数列
方法2：
，
为常数数列，
.
是等差数列
方法3：当时，①，
②-①可得：
是等差数列，因为.
（2）由（1）知，所以，
方法1：并项求和
当为偶数时，
，
方法2：错位相减求和
①
②
①-②：
18.解：
（1）零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关.
根据小概率的独立性检验，没有充分证据推断出成立，所以不成立，即有的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关.
（2）设“长时间使用电子产品的学生”，“非长时间使用电子产品的学生”，
任意调查一人，此人患近视”，
则，且互斥，，
根据全概率公式有
，
所以
19.解：
（1）
（或者直接用诱导公式）
（2）
（或者直接用结论：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和）
为锐角三角形
令
20.解：
（1）法1：取的靠近点的三等分点，连接，
则
则平面平面，
则平面
法2：取的靠近点的三等分点，连接，
则
则平面平面，
则平面
（2）过作，连接，由
得，则，因为，则，
以为轴，为轴，在平面中过作的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
，
，
设平面平面的法向量
，即，
令，
则与平面所成角的正弦值为
法2.
，
，
则
取的中点，过作的平行线，交于点，延长，使得，连接，则为矩形，平面，且，
在中，，
则，
则，
其它方法酌情给分
21.解：
（1）法1：由可得，（直接写出答案给1分，有证明过程给2分）
交轴于点，则
，
即，所以为的角平分线；
法2：到直线的距离相等，所以得证.
（2）过的切线，
当时，即不为右顶点时，，
即
（或由直线与单支有两个交点，则也可）
联立
设，则
所以
又
所以
当，即点为右顶点时，
所以，的最小值为.
22.解：
（1），而，
①当时，在上递减，上递减；
②当时，在上递减，在上递减，在上递增；
③当时，在在上递增，在上递减，在上递减.
（2）由（1）得：当时，当，
此时，又当，
，令，得到，
（也可以用差分，两边取对数等方法完成.）
（3）
①，当，时，不等式显然，所以此时不成立；
②，不等式显然成立.
③，令，
，则.
所以，，
令，则，
，即，
则，则，
所以.
综上所述，.
绝密★考试结束前
Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）
2023届高三第三次联考
数学试题卷
命题：永嘉中学 高三数学备课组 审题：玉环中学 朱旭波 平湖中学 高玉良 校稿：魏侹路､徐柏军
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
选择题部分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数是纯虚数，则的值为（ ）
A.-12 B.12 C.-3 D.3
3.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4.在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与的非负半轴重合，将角的终边按逆时针旋转后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则（ ）
A. B. C. D.
5.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则出现三个点数之和为6的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知点是边长为1的正十二边形边上任意一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.-2
7.已知，且满足，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知半径为4的球，被两个平面截得圆，记两圆的公共弦为，且，若二面角的大小为，则四面体的体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列说法中正确的是（ ）
A.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8
B.若随机变量，且，则
C.若随机变量，且，则
D.对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上
10.已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A.若，则的最小值为
B.若将的图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为
C.若在单调递减，则
D.若在上只有1个零点，则
11.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列，现有高阶等差数列､其前7项分别为5，9，17，27，37，45，49，设通项公式.则下列结论中正确的是（ ）
（参考公式：）
A.数列为二阶等差数列
B.数列的前11项和最大
C.
D.
12.已知椭圆，其右焦点为，以为端点作条射线交椭圆于，且每两条相邻射线的夹角相等，则（ ）
A.当时，
B.当时，的面积的最小值为
C.当时，
D.当时，过作椭圆的切线，且交于点交于点，则的斜率乘积为定值-1
非选择题部分
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知的展开式中各项系数的和为4，则实数的值为__________.
14.已知抛物线，过点作直线交于两点，且，则点的横坐标为__________.
15.某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为为的前项和，则__________.（结果保留成整数）（参考数据：）
16.设表示不超过的最大整数，如.已知函数有且只有4个零点，则实数的取值范围是__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）记为数列的前项和，已知，且满足.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
18.（12分）为贯彻落实习近平总书记关于学生近视问题的指示精神和《教育等八部门关于印发<综合防控儿童青少年近视实施方案>的通知》以及《中国防治慢性病中长期规划（2017-2025年）》等文件要求，切实提升我省儿童青少年视力健康整体水平，实施了，“明眸”工程.各中小学为推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查.其校为研究本校的近视情况与本校学生是否有长时间使用电子产品习惯的关系，在已近视的学生中随机调查了100人，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据：
长时间使用电子产品
非长时间使用电子产品
近视
45
55
未近视
20
80
（1）能否有99%的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关？
（2）据调查，某校患近视学生约为46%，而该校长时间使用电子产品的学生约为30%，这些人的近视率约为60%.现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，求他患近视的概率.
附：，其中.
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
19.（12分）在锐角中，角所对的边分别为，已知，点是线段的中点，且.
（1）求角；
（2）求边的取值范围.
20.（12分）如图，三棱台中，为线段上靠近的三等分点.
（1）线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；
（2）若，点到平面的距离为3，且点在底面的投影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值.
21.（12分）已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线.
（1）若的坐标为，求证：为的角平分线；
（2）过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值.
22.（12分）已知函数.
（1）令，讨论的单调性；
（2）证明：；
（3）若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023届高三第三次联考
数学参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
A
A
B
B
D
C
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
题号
9
10
11
12
答案
BC
ABC
AC
ABD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.1 14. 15.7542 16.（区间开闭都给分）
四､解答题：本题共6小题，共70分.
17.解：
（1）方法1：
时，，
累加得，
时也成立，
.
，
是等差数列
方法2：
，
为常数数列，
.
是等差数列
方法3：当时，①，
②-①可得：
是等差数列，因为.
（2）由（1）知，所以，
方法1：并项求和
当为偶数时，
，
方法2：错位相减求和
①
②
①-②：
18.解：
（1）零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关.
根据小概率的独立性检验，没有充分证据推断出成立，所以不成立，即有的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关.
（2）设“长时间使用电子产品的学生”，“非长时间使用电子产品的学生”，
任意调查一人，此人患近视”，
则，且互斥，，
根据全概率公式有
，
所以
19.解：
（1）
（或者直接用诱导公式）
（2）
（或者直接用结论：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和）
为锐角三角形
令
20.解：
（1）法1：取的靠近点的三等分点，连接，
则
则平面平面，
则平面
法2：取的靠近点的三等分点，连接，
则
则平面平面，
则平面
（2）过作，连接，由
得，则，因为，则，
以为轴，为轴，在平面中过作的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
，
，
设平面平面的法向量
，即，
令，
则与平面所成角的正弦值为
法2.
，
，
则
取的中点，过作的平行线，交于点，延长，使得，连接，则为矩形，平面，且，
在中，，
则，
则，
其它方法酌情给分
21.解：
（1）法1：由可得，（直接写出答案给1分，有证明过程给2分）
交轴于点，则
，
即，所以为的角平分线；
法2：到直线的距离相等，所以得证.
（2）过的切线，
当时，即不为右顶点时，，
即
（或由直线与单支有两个交点，则也可）
联立
设，则
所以
又
所以
当，即点为右顶点时，
所以，的最小值为.
22.解：
（1），而，
①当时，在上递减，上递减；
②当时，在上递减，在上递减，在上递增；
③当时，在在上递增，在上递减，在上递减.
（2）由（1）得：当时，当，
此时，又当，
，令，得到，
（也可以用差分，两边取对数等方法完成.）
（3）
①，当，时，不等式显然，所以此时不成立；
②，不等式显然成立.
③，令，
，则.
所以，，
令，则，
，即，
则，则，
所以.
综上所述，.
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