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2023年普通高等学校招生全国统一考试 数学 甲卷理科（含解析）
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这是一份2023年普通高等学校招生全国统一考试 数学 甲卷理科（含解析），共18页。
2023年全国高考甲卷数学（理科）试题
注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，为整数集，则（ ）
A. B.
C. D.
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【解析】因为整数集，，
所以．
故选A．
2.若复数，则（ ）
A. B. C. D.
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【解析】因为，
所以，解得．
故选C.
3.执行下面的程序框图，输出的（ ）
A.
B.
C.
D.
【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．
【解析】当时，判断框条件满足，第一次执行循环体，，，；
当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，，，；
当时，判断框条件满足，第三次执行循环体，，，；
当时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出．
故选B.
4.向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【分析】作出图形， 根据几何意义求解.
【解析】因为， 所以，
即， 即， 所以.
如图所示， 设，，，
由题知，，，是等腰直角三角形，
边上的高，，所以，
，，
.
故选D.
5.已知正项等比数列中，，为前项和，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】由题知，
即，即，.
为正项等比数列，，所以解得，
故.故选C.
6.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）
A. B. C. D.
【分析】先算出报名两个俱乐部的人数，从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率，利用条件概率的知识求解.
【解析】报名两个俱乐部的人数为，
记“某人报足球俱乐部” 事件， 记“某人报兵乓球俱乐部”为事件，
则，，
所以.
故选A.
7.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.
【解析】当，时，有，但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，是成立的必要不充分条件.
故选B.
8.已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于两点，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】由，则，解得.
所以双曲线的一条渐近线为，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.故选D.
9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A. B. C. D.
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.
【解析】不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的 4 人抽取 2 人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，
同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法，
所以恰有 1 人连续参加了两天社区服务的选择种数有种.
故选B.
10.已知为函数向左平移个单位所得函数，则与交点个数为（ ）
A. B. C.3 D.4
【解析】因为函数向左平移个单位可得
而过与两点，分别作出与的图像如图所示，
考虑，即处与的大小关系，结合图像可知有3个交点. 故选C.
【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.
11.在四棱锥中，底面为正方形，，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【解析】如图所示，取的中点分别为，因为，所以.
又，过作平面，则.连接，
则.
令，则，
.
在中，因为，所以.
解得，则.
过作，垂足为，连接，则.
所以.故选C.
【评注】本题重点考查了四棱锥中侧面、底面、高、斜高等几何要素之间的关系，涉及到空间想象能力与运算求解能力，2024届的考生应在空间几何体方面强化，属中档难度.
12. 已知椭圆，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】解法一（利用焦点三角形面积公式）:设，.
，解得.
由椭圆焦点三角形面积公式得.
，解得.
则代入椭圆方程得，因此.故选B.
解法二（几何性质+定义）:
因为①，
，
即②，
联立①②，解得，.
由中线定理可知，，
而，解得. 故选B.
解法三（向量法）: 由解法二知，.
而，
所以.
故选B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若为偶函数，则 .
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【解析】因为为偶函数，定义域为 ，所以，即，
则，故 a = 2，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，所以.
故答案为2.
14.设满足约束条件，设，则的最大值为 .
【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.
【解析】作出可行域，如图所示，
由图可知，当目标函数过点时，有最大值，
由可得，即，所以.
故答案为.
15.在正方体中，分别为的中点，则以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 .
【解析】如图所示，，所以球是正方体的棱切球，即球与每条棱都有一个公共点，故填.
16在中，，，，为上一点，平分，则 .
【解析】如图所示，记
由余弦定理可得，解得（负值舍去）.
由可得，
，
解得.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.已知数列中，，设为前项和，.
（1）求的通项公式.
（2）求数列的前项和.
【解析】（1）因为. 当时，，即.
当时，，即.
当时，，
所以，化简得.
当时，，即.
当时都满足上式，所以，.
（2）因为，所以，
.
两式相减得，
，
即，.
18.在三棱柱中，，底面，，到平面的距离为1.
（1）证明：；
（2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）因为底面，所以，又，所以，又，所以平面，故平面平面，交线为，
过作的垂线，垂足为，则平面，又到平面的距离为1.
所以，在中，，，所以为的中点，
又知为垂足，所以为等腰三角形，，进而.
（2）由（1）知，两两垂直，如图建立空间直角坐标系.
过作，则为中点，连接，则.
因为直线与的距离为2，所以.
由（1）知，在中，，，，，，
.
设平面的法向量为，则，
令，故.
设直线与平面所成角大小为，
即直线与平面所成角的正弦值为.
19.为研究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.
17.3
18.4
20.1
20.4
21.5
23.2
24.6
24.8
25.0
25.4
26.1
26.3
26.4
26.5
26.8
27.0
27.4
27.5
27.6
28.3
（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的的分布列和数学期望 ；
（2）测得40只小鼠体重如下（单位：）（已按从小到大排好）
对照组：
5.4
6.6
6.8
6.9
7.8
8.2
9.4
10.0
10.4
11.2
14.4
17.3
19.2
20.2
23.6
23.8
24.5
25.1
25.2
26.0
实验组：
（i）求40只小鼠体重的中位数，并完成下面列联表；
对照组
实验组
（ii）根据列联表，能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
参考数据：
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
【分析】(1) 利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；
(2) (i) 根所中位数的定义即可求得，从而求得列联表；
(ii) 利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.
【解析】(1)依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
0
1
2
故.
(2)(i) 依题意，可知这只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第位与第位数据的平均数，
由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，
可得第位数据为，后续依次为，
故第位为，第位数据为，
所以，
故列联表为：
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
(ii) 由 (i) 可得，，
所以能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
20.设抛物线，直线与交于两点，且.
（1）求；
（2）设的焦点为，为抛物线上的两点，，求面积的最小值.
【解析】（1）设，，联立直线与抛物线的方程，
消得，
即，，
，解得，（舍）.所以.
（2）解法一（向量法）：由（1）知，抛物线的方程为，，
设，，
，，
又得，即，
又
，
又，得，
因此，即或，
得或（这一步至关重要），
或.
设
.
又或，
则（当且仅当时，即时取最小值）.
解法二（极坐标法）：如图所示，设与轴正半轴的夹角为，则有，，
从而有
.
其中，显然当且仅当，即时取等号.
21.已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）若， ，
.
令得，当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
（2） 即.
令，
，，则.
又，
得（必要条件）.
当时，.
令，，
.
令，由于，所以.
令，，
，
则，单调递减，因此，
所以，在上单调递减，.证毕.
综上，的取值范围是.
【评注】本题的充分性的证明也可以利用巧妙的放缩来进行.
放缩一：当时，.
令，
.
显然此时必有，符合题意.
综上，当时.
放缩二：当时，由逼近知
.
从而有时.
【评注】本题考察了导数与三角函数的综合，对于结构的变形处理有一定的要求，同时还考察到了高考重难点中的含参取点问题.当遇到复杂结构时，要主动关注函数本体的结构及性质，学会从宏观的角度去简化问题.
22.【选修4-4】
已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴，轴正半轴交于两点，且.
（1）求的值；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程.
【分析】(1) 根据的几何意义即可解出；
(2) 求出直线的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．
【解析】(1)因为与轴，轴正半轴交于两点，所以，
令，，令，，
所以，所以，
即，解得，
因为，所以．
(2)由 (1) 可知，直线的斜率为，且过点，
所以直线的普通方程为：，即，
由，可得直线的极坐标方程为．
23.【选修4-5】
已知.
（1）解不等式；
（2）若曲线与坐标轴围成的图形的面积为2，求 .
【分析】(1) 分和讨论即可;
(2) 写出分段函数，画出草图，表示面积解方程即可.
【解析】(1)若， 则，即， 解得， 即，
若， 则，解得， 即，
综上， 不等式的解集为.
(2).
画出的草图， 则与坐标轴围成与，的高为，
，，， 所以，
所以， 解得.
2023年全国高考甲卷数学（理科）试题
注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，为整数集，则（ ）
A. B.
C. D.
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【解析】因为整数集，，
所以．
故选A．
2.若复数，则（ ）
A. B. C. D.
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【解析】因为，
所以，解得．
故选C.
3.执行下面的程序框图，输出的（ ）
A.
B.
C.
D.
【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．
【解析】当时，判断框条件满足，第一次执行循环体，，，；
当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，，，；
当时，判断框条件满足，第三次执行循环体，，，；
当时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出．
故选B.
4.向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【分析】作出图形， 根据几何意义求解.
【解析】因为， 所以，
即， 即， 所以.
如图所示， 设，，，
由题知，，，是等腰直角三角形，
边上的高，，所以，
，，
.
故选D.
5.已知正项等比数列中，，为前项和，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】由题知，
即，即，.
为正项等比数列，，所以解得，
故.故选C.
6.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）
A. B. C. D.
【分析】先算出报名两个俱乐部的人数，从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率，利用条件概率的知识求解.
【解析】报名两个俱乐部的人数为，
记“某人报足球俱乐部” 事件， 记“某人报兵乓球俱乐部”为事件，
则，，
所以.
故选A.
7.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.
【解析】当，时，有，但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，是成立的必要不充分条件.
故选B.
8.已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于两点，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】由，则，解得.
所以双曲线的一条渐近线为，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.故选D.
9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A. B. C. D.
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.
【解析】不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的 4 人抽取 2 人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，
同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法，
所以恰有 1 人连续参加了两天社区服务的选择种数有种.
故选B.
10.已知为函数向左平移个单位所得函数，则与交点个数为（ ）
A. B. C.3 D.4
【解析】因为函数向左平移个单位可得
而过与两点，分别作出与的图像如图所示，
考虑，即处与的大小关系，结合图像可知有3个交点. 故选C.
【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.
11.在四棱锥中，底面为正方形，，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【解析】如图所示，取的中点分别为，因为，所以.
又，过作平面，则.连接，
则.
令，则，
.
在中，因为，所以.
解得，则.
过作，垂足为，连接，则.
所以.故选C.
【评注】本题重点考查了四棱锥中侧面、底面、高、斜高等几何要素之间的关系，涉及到空间想象能力与运算求解能力，2024届的考生应在空间几何体方面强化，属中档难度.
12. 已知椭圆，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】解法一（利用焦点三角形面积公式）:设，.
，解得.
由椭圆焦点三角形面积公式得.
，解得.
则代入椭圆方程得，因此.故选B.
解法二（几何性质+定义）:
因为①，
，
即②，
联立①②，解得，.
由中线定理可知，，
而，解得. 故选B.
解法三（向量法）: 由解法二知，.
而，
所以.
故选B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若为偶函数，则 .
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【解析】因为为偶函数，定义域为 ，所以，即，
则，故 a = 2，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，所以.
故答案为2.
14.设满足约束条件，设，则的最大值为 .
【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.
【解析】作出可行域，如图所示，
由图可知，当目标函数过点时，有最大值，
由可得，即，所以.
故答案为.
15.在正方体中，分别为的中点，则以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 .
【解析】如图所示，，所以球是正方体的棱切球，即球与每条棱都有一个公共点，故填.
16在中，，，，为上一点，平分，则 .
【解析】如图所示，记
由余弦定理可得，解得（负值舍去）.
由可得，
，
解得.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.已知数列中，，设为前项和，.
（1）求的通项公式.
（2）求数列的前项和.
【解析】（1）因为. 当时，，即.
当时，，即.
当时，，
所以，化简得.
当时，，即.
当时都满足上式，所以，.
（2）因为，所以，
.
两式相减得，
，
即，.
18.在三棱柱中，，底面，，到平面的距离为1.
（1）证明：；
（2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）因为底面，所以，又，所以，又，所以平面，故平面平面，交线为，
过作的垂线，垂足为，则平面，又到平面的距离为1.
所以，在中，，，所以为的中点，
又知为垂足，所以为等腰三角形，，进而.
（2）由（1）知，两两垂直，如图建立空间直角坐标系.
过作，则为中点，连接，则.
因为直线与的距离为2，所以.
由（1）知，在中，，，，，，
.
设平面的法向量为，则，
令，故.
设直线与平面所成角大小为，
即直线与平面所成角的正弦值为.
19.为研究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.
17.3
18.4
20.1
20.4
21.5
23.2
24.6
24.8
25.0
25.4
26.1
26.3
26.4
26.5
26.8
27.0
27.4
27.5
27.6
28.3
（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的的分布列和数学期望 ；
（2）测得40只小鼠体重如下（单位：）（已按从小到大排好）
对照组：
5.4
6.6
6.8
6.9
7.8
8.2
9.4
10.0
10.4
11.2
14.4
17.3
19.2
20.2
23.6
23.8
24.5
25.1
25.2
26.0
实验组：
（i）求40只小鼠体重的中位数，并完成下面列联表；
对照组
实验组
（ii）根据列联表，能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
参考数据：
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
【分析】(1) 利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；
(2) (i) 根所中位数的定义即可求得，从而求得列联表；
(ii) 利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.
【解析】(1)依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
0
1
2
故.
(2)(i) 依题意，可知这只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第位与第位数据的平均数，
由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，
可得第位数据为，后续依次为，
故第位为，第位数据为，
所以，
故列联表为：
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
(ii) 由 (i) 可得，，
所以能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
20.设抛物线，直线与交于两点，且.
（1）求；
（2）设的焦点为，为抛物线上的两点，，求面积的最小值.
【解析】（1）设，，联立直线与抛物线的方程，
消得，
即，，
，解得，（舍）.所以.
（2）解法一（向量法）：由（1）知，抛物线的方程为，，
设，，
，，
又得，即，
又
，
又，得，
因此，即或，
得或（这一步至关重要），
或.
设
.
又或，
则（当且仅当时，即时取最小值）.
解法二（极坐标法）：如图所示，设与轴正半轴的夹角为，则有，，
从而有
.
其中，显然当且仅当，即时取等号.
21.已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）若， ，
.
令得，当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
（2） 即.
令，
，，则.
又，
得（必要条件）.
当时，.
令，，
.
令，由于，所以.
令，，
，
则，单调递减，因此，
所以，在上单调递减，.证毕.
综上，的取值范围是.
【评注】本题的充分性的证明也可以利用巧妙的放缩来进行.
放缩一：当时，.
令，
.
显然此时必有，符合题意.
综上，当时.
放缩二：当时，由逼近知
.
从而有时.
【评注】本题考察了导数与三角函数的综合，对于结构的变形处理有一定的要求，同时还考察到了高考重难点中的含参取点问题.当遇到复杂结构时，要主动关注函数本体的结构及性质，学会从宏观的角度去简化问题.
22.【选修4-4】
已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴，轴正半轴交于两点，且.
（1）求的值；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程.
【分析】(1) 根据的几何意义即可解出；
(2) 求出直线的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．
【解析】(1)因为与轴，轴正半轴交于两点，所以，
令，，令，，
所以，所以，
即，解得，
因为，所以．
(2)由 (1) 可知，直线的斜率为，且过点，
所以直线的普通方程为：，即，
由，可得直线的极坐标方程为．
23.【选修4-5】
已知.
（1）解不等式；
（2）若曲线与坐标轴围成的图形的面积为2，求 .
【分析】(1) 分和讨论即可;
(2) 写出分段函数，画出草图，表示面积解方程即可.
【解析】(1)若， 则，即， 解得， 即，
若， 则，解得， 即，
综上， 不等式的解集为.
(2).
画出的草图， 则与坐标轴围成与，的高为，
，，， 所以，
所以， 解得.
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