北京市丰台区2022-2023学年高二数学下学期期中练习试题（B卷）（Word版附解析）

这是一份北京市丰台区2022-2023学年高二数学下学期期中练习试题（B卷）（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

丰台区2022-2023学年度第二学期期中练习
高二数学（B卷）练习时间：120分钟
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本初等函数的导数公式可得结果.
【详解】.
故选：A.
2. 已知数列的首项，且满足，则（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得数列为等差数列，即可得答案.
【详解】由可知是以为首项，公差为2的等差数列，则.
故选：C
3. 设某质点的位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则质点在第时的瞬时速度等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的定义可求得质点在第时的瞬时速度.
【详解】质点在第时的瞬时速度为.
故选：D.
4. 已知函数在处有极值，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】函数在处有极值，则导函数在处的函数值等于0.
【详解】,因为函数在处有极值,所以,解得.代入检验满足题意，
故选：A
5. 已知是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则该等比数列的公比为（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由等比中项列出方程即可得到与的关系，从而得到结果.
【详解】由题意可得，所以，且
则，所以等比数列的公比为
故选：B.
6. 用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由数学归纳法相关步骤可得答案.
【详解】因，则第一步应验证当时，是否成立.
故选：B
7. 已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（ ）

A. 在上单调递减
B. 在上单调递增
C. 为极值点
D. 为极值点
【答案】D
【解析】
【分析】由导数图象正负性，零点情况可判断选项正误.
【详解】A，因时，，则在上单调递减，故A正确；
B，因时，，则在上单调递增，故B正确；
C，由图可得在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点，故C正确；
D，由图可得在上单调递增，则不为极值点，故D错误.
故选：D
8. 若等差数列满足，，则当的前项和最小时，（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列的性质可得，，所以等差数列为递增数列，前项都为负数，从第项开始为正数，即可求出的前项和最小时的值.
【详解】设等差数列的公差为，
因，，
所以，，
所以，，所以，因为等差数列为递增数列，
前项都为负数，从第项开始为正数，
所以当时，的前项和最小.
故选：B.
9. 我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将、、、、填入的方格内，使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于．一般地，将连续的正整数、、、、填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用等差数列的求和公式可求出的值.
【详解】根据任意，九阶幻方上所有的数字之和为，
由于每行、每列和对角线上的数字之和相等，
所以，九阶幻方对角线上的数字之和为.
故选：C
10. 若函数的图象与轴有且仅有一个交点，则实数的范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，分离参数，构造新函数，利用导数确定新函数的单调性和值域，画出新函数大致图象，即可得答案.
【详解】令，解得．
设．
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减．
所以的最大值为．又，则新函数的大致图象如下，问题转化为新函数图象与直线有一个交点.
所以当或时，与轴有且仅有一个交点．
故选：D

第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 已知函数，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由余弦函数导数公式结合复合函数求导法则可得答案.
【详解】由题可得.
故答案为：
12. 设数列的前n项和为，则__.
【答案】9
【解析】
【分析】由数列的前n项和公式求出的值，则，求出答案.
【详解】在数列中，由得：，，
∴.
故答案为：9.
13. 如图，直线是曲线在点处的切线，则________．

【答案】1
【解析】
【分析】根据极限的运算法则和导数的定义，即可求解.
【详解】根据函数切线过,则曲线在处的切线斜率为，
根据导数的定义，可得.
故答案为：1．
14. 等比数列满足如下条件：对于任意，有，．试写出满足上述条件的一个通项公式________．
【答案】（首项和公比分别满足即可.）
【解析】
【分析】设数列首项为，公比为q，由题可得满足条件，即可得答案.
【详解】设数列首项为，公比为q，由可得，由可得
.又.
故首项和公比分别满足即可.
故答案为：（首项和公比分别满足即可.）
15. 人的心率会因运动而变化，并且用的大小评价心率变化的快慢．已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示（为定义域的四等分点），给出如下结论：

①在这段时间内，甲的心率变化比乙快；
②在时刻，甲的心率变化比乙快；
③在时刻，甲、乙的心率变化相同；
④乙在这段时间内的心率变化，比甲在这段时间内的心率变化快．
其中，所有正确结论的序号是________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】观察图象，割线斜率的绝对值大小表示区间的心率变化快慢，切线斜率的绝对值大小表示某点处的心率变化快慢,对选项一一判断即可.
【详解】对于①，在这段时间内，图象割线斜率的绝对值比图象割线斜率的绝对值大，所以甲的心率变化比乙快，故①正确：
对于②，图象切线斜率的绝对值比图象切线斜率的绝对值大，甲的心率变化比乙快，故②正确；
对于③，在时刻，图象切线斜率和图象切线斜率相同，
所以甲、乙的心率变化相同，故③正确；
对于④，乙（虚线）在这段时间的割线斜率小于甲（实线）在这段时间的割线斜率的绝对值，故④错误．
故选：①②③
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极值．
【答案】（1）单调增区间为和，单调减区间为
（2）极大值16，极小值
【解析】
【分析】（1）对求导，利用导数与单调性的关系即可求解；
（2）根据函数的单调性，求出函数的极值即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，导函数，
令，解得，
则，随的变化情况如下表：




2



0

0



取极大值

取极小值

故函数的单调增区间为和，单调减区间为;
【小问2详解】
由小问1知，当时，函数取得极大值16;
当时，函数取得极小值．
17. 已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，且．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。
【答案】（1）条件选择见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）设数列公差为d，若选①，则；若选②，则；若选③，则；（2）由分组求和法可得答案.
【小问1详解】
设数列公差为d.
选条件①：由已知得，所以．
选条件②：由已知得，
化简得，所以（由于各项为正数，负根舍去）．
选条件③：由已知得，所以．
所以数列的通项公式为．
【小问2详解】
由（1）得．
．
18. 已知函数，其中为常数，且．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数在上单调递减，请直接写出一个满足条件的值．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求解切线方程；
（2）对函数求导，分和两种情况讨论函数的单调性即可；
（3）结合（2）的结论，要使函数在上单调递减，则，任取一个值即可.
【小问1详解】
当时，函数．
令，得，即切点坐标．
导函数．
令，得，即切线斜率．
故切线方程为，即．
【小问2详解】
函数的定义域为．
导函数．
讨论：①当时，恒成立，故函数的单调增区间为．
②当时，令，解得．






0





所以函数的单调增区间为，单调减区间为．
综上所述，当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为．
【小问3详解】
结合（2）的结论可知，，
要使函数在上单调递减，则有，解得，
任取一个值，比如.
19. 已知数列满足，且．
（1）设数列满足，证明：是等比数列；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，表示出与的关系式，计算得，根据等比数列的定义可证明数列是等比数列；（2）根据等比数列的通项公式写出数列的通项，从而可得数列的通项公式.
【小问1详解】
，
，，
，
因为，故，．
是首项，公比的等比数列．
【小问2详解】
由（1）知，，又，
所以，所以．
故数列的通项公式为．
20. 已知两地的距离是100 km．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在 km/h，油价为8元/L．假设汽车以x km/h的速度行驶时，耗油率为 L/h，司机的人工费为40元/h．
（1）请将总费用表示为车速x的函数；
（2）试确定x的值，使总费用最小．
【答案】（1）（）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题中给出的车速和油耗之间的关系式，结合已知条件，即可表示出汽车的总费用；
（2）对求导，讨论与的大小，即可得出的单调性，进而得出答案.
【小问1详解】
汽车的运行时间为 h．
汽车的油耗费用为元．
汽车的总费用为元（）．
小问2详解】
函数的导函数为，
令，解得．
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
故当时，总费用最小．
21. 定义“三角形数”：对于给定的正整数，若存在正整数，使得，则称是“三角形数”；否则，不是“三角形数”．
已知数列满足，且．
（1）写出的值；
（2）证明：当且仅当是“三角形数”时，是正整数；
（3）证明：数列的通项公式为，其中表示不超过的最大整数，如，，．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
分析】（1）分别代入计算即可；
（2）根据三角形数界定范围求解计算可得；
（3）分类讨论是否是三角形数分别证明即可.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
若是“三角形数”，则存在，使得，
故是正整数．
若不是“三角形数”，则介于两个相邻“三角形数”之间，
即存在，使得，
由之前的计算可知，，即不是正整数．
综上，命题得证．
【小问3详解】
只要做验证性证明即可，即若通项公式可推导出递推公式，则通项公式正确．
当时，，满足初值条件．
又
．
而
．
设，，其中．
当是“三角形数”时，，．
当不是“三角形数”时，由（2）知存在，使得
，且，
故．
又，，
故．
因此，当是“三角形数”时，；
当不是“三角形数”时，．
综上所述，数列的通项公式为．