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第02讲 集合间的基本关系-新高一数学初升高暑假精品课（人教A版必修第一册）
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这是一份第02讲 集合间的基本关系-新高一数学初升高暑假精品课（人教A版必修第一册），文件包含第02讲集合间的基本关系人教A版必修第一册解析版docx、第02讲集合间的基本关系人教A版必修第一册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
·模块一 子集与真子集
·模块二 集合相等与空集
·模块三 集合间关系的性质
·模块四 课后作业
模块一
子集与真子集
1．子集的概念
2．真子集的概念
【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.
(4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集.
(5)若AB，且A≠B，则AB.
【考点1 子集、真子集的概念】
【例1.1】（2022秋·广东揭阳·高一校考阶段练习）下列选项中正确的有（ ）
A．{质数}⊆{奇数}；
B．集合{1,2,3}与集合{4,5,6}没有相同的子集；
C．空集是任何集合的真子集；
D．若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；
【解题思路】A.举反例判定该选项错误；B. 集合{1,2,3}与集合{4,5,6}有相同的子集∅，所以该选项错误；C. 空集是任何非空集合的真子集，所以该选项错误；D选项正确.
【解答过程】解：A. 2是质数，但是它不是奇数，所以{质数}⊆{奇数}错误，所以该选项错误；
B. 集合{1,2,3}与集合{4,5,6}有相同的子集∅，所以该选项错误；
C. 空集是任何非空集合的真子集，所以该选项错误；
D. 若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，所以该选项正确.
故选：D.
【例1.2】（2023·高一课时练习）已知A是非空集合，则下列关系不正确的是（ ）
A．A⊆AB．A⊂≠AC．∅⊆AD．∅⊂≠A
【解题思路】根据集合间的关系，以及子集，真子集，空集的定义即可求解.
【解答过程】由于A是非空集合，所以A⊆A，∅⊆A，∅⊂≠A，但是A不是A的真子集，故ACD正确，B错误，
故选：B.
【变式1.1】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合A=a,b的所有非空子集的元素之和等于12，则a+b等于（ ）
A．1B．3C．4D．6
【解题思路】首先列出集合A的非空子集，即可得到方程，解得即可.
【解答过程】解：集合A=a,b的非空子集有a、b、a,b，
所以a+b+a+b=12，
解得a+b=6.
故选：D.
【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）设集合P1=x|x2+ax+1>0，P2=x|x2+ax+2>0，Q1=x|x2+x+b>0，Q2=x|x2+2x+b>0，其中a，b∈R，下列说法正确的是（ ）
A．对任意a，P1是P2的子集，对任意的b，Q1不是Q2的子集
B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集
C．存在a，使得P1不是P2的真子集，对任意的b，Q1是Q2的子集
D．存在a，使得P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集
【解题思路】结合参数取值情况，根据集合间元素的关系确定子集关系是否成立，即可判断.
【解答过程】解：对于集合P1=x|x2+ax+1>0，P2=x|x2+ax+2>0
可得当m∈P1，即m2+am+1>0，可得m2+am+2>0，即有m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；
当b=5时，Q1=x|x2+x+5>0=R，Q2=x|x2+2x+5>0=R，可得Q1是Q2的子集；
当b=1时，Q1=x|x2+x+1>0=R，Q2=x|x2+2x+1>0={x|x≠−1且x∈R}，可得Q1不是Q2的子集；
综上有，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集.
故选：B.
【考点2 有限集合子集、真子集的确定】
【例2.1】（2023·全国·高三对口高考）若集合A满足{1,2}⊆A{1,2,3,4,5}，则集合A所有可能的情形有（ ）
A．3种B．5种C．7种D．9种
【解题思路】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可.
【解答过程】由{1,2}⊆A{1,2,3,4,5}，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素，
依次有以下可能：1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5七种可能.
故选：C.
【例2.2】（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知A=1,2，B=1,2,6,7,8，且A⊊C⊆B，满足这样的集合C的个数（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解题思路】由集合间的基本关系A⊊C⊆B，对集合C中元素个数进行分类讨论，列举出所有可能即可得出结果.
【解答过程】根据题意可知，集合C还应包含集合B中除元素1，2之外的其他元素；
若集合C中有三个元素，则C可以是1,2,6,，1,2,7，1,2,8；
若集合C中有四个元素，则C可以是1,2,6,7，1,2,7,8，1,2,6,8；
若集合C中有五个元素，则C可以是1,2,6,7,8；即这样的集合C的个数为7个.
故选：B.
【变式2.1】（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知集合A={−1,0},B={1,2}，则集合C=zz=x2+y2,x∈A,y∈B的真子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
【解题思路】先根据题意求出集合C，再求其真子集的个数.
【解答过程】当x=−1,y=1时，z=(−1)2+12=2，
当x=−1,y=2时，z=(−1)2+22=5，
当x=0,y=1时，z=02+12=1，
当x=0,y=2时，z=02+22=4，
所以C=zz=x2+y2,x∈A,y∈B=1,2,4,5，
所以集合C的真子集的个数为24−1=15个，
故选：C.
【变式2.2】（2023·湖北·模拟预测）集合A=x|2−x4−x8−x>0,x∈N+，B不为空集，B⊂A，若B中的元素之和为奇数，则满足条件的集合B的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解题思路】先根据题干得出集合A,再分个数讨论B集合，即可得出满足条件集合个数.
【解答过程】A=x|2−x4−x8−x>0,x∈N+=1,5,6,7,
B不为空集且B⊂A,
若B中的元素之和为奇数，
当集合B有四个元素则B可以为1,5,6,7，
当集合B有三个元素则B可以为1,5,7，
当集合B有两个元素则B可以为1,6,5,6,7,6，
当集合B有一个元素则 B可以为1,5,7，
则满足条件的集合B的个数为8.
故选:D.
模块二
集合相等与空集
1．集合相等的概念
如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.
2．空集的概念
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
(2)规定：空集是任何集合的子集.
3．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观.
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.
【考点1 集合相等问题】
【例1.1】（2023秋·江西赣州·高一统考期末）下列与集合2023,1表示同一集合的是（ ）
A．2023,1B．x,y|x=2023,y=1
C．x|x2−2024x+2023=0D．2023,1
【解题思路】逐个选项分析特征，选择符合题意的.
【解答过程】方程x2−2024x+2023=0的解为x=2023或x=1，所以x|x2−2024x+2023=0=2023,1，C选项正确；
A选项不是集合，BD选项表示的是点集，只有C选项符合.
故选：C.
【例1.2】（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）设集合M=a,0，N=a2,b，若M=N，则a+b=（ ）
A．0B．1C．2D．−1
【解题思路】根据集合相等的含义分别求出a,b，然后可得答案.
【解答过程】因为M=a,0,N=a2,b，M=N，
所以a=a2b=0a2≠ba≠0，解得a=1b=0，所以a+b=1．
故选：B．
【变式1.1】（2023春·新疆·高一校联考阶段练习）下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）
A．M=3,2，N=2,3B．M=3,2，N=2,3
C．M={(x,y)∣x+y=1}，N={y∣x+y=1}D．M=3,2，N=3,2
【解题思路】根据集合的定义逐项分析即可.
【解答过程】选项A表示点的集合，2,3与3,2不同，故A选项不正确，
集合中元素具有无序性，所以集合3,2与集合2,3相等，故B选项正确，
选项C中集合M研究点集，集合N研究单一的实数集，故不同，故C不正确，
选项D中集合M研究点集，集合N研究单一的实数集，故不同，故D不正确，
故选：B.
【变式1.2】（2022秋·江西抚州·高一校考期末）已知a、b∈R，若a,ba,1=a2,a+b,0，则a2020+b2021的值为（ ）
A．−1B．0C．1D．−1或0
【解题思路】根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解.
【解答过程】由0∈a,ba,1 且a≠0，则ba=0，
∴b=0，于是a2=1，解得a=1或a=−1,
根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去，
因此a=−1，b=0,
故a2020+b2021=−12020+02021=1．
故选：C.
【考点2 空集的判断及应用】
【例2.1】（2022秋·天津和平·高一校考阶段练习）下列四个说法中，正确的有（ ）
①空集没有子集；
②空集是任何集合的真子集；
③若∅⊆A，则A=∅；
④任何集合至少有两个子集．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解题思路】根据空集的性质判断即可.
【解答过程】①空集是任何集合的子集，所以①错；
②空集是任何非空集合的真子集，所以②错；
③空集是任何集合的子集，集合A不一定等于空集，所以③错；
④空集只有自己本身一个子集，所以④错.
故选：A.
【例2.2】（2023·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是( )
A．{x∈R|x2-1=0}B．{x|x>6或x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0}D．{x|x>6且x<1}
【解题思路】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断.
【解答过程】A选项：±1∈{x∈R|x2−1=0}，不是空集；B选项：∃7∈{x|x>6或x<1}，不是空集；
C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数，
即：{x|x>6且x<1}=∅.
故选：D.
【变式2.1】（2022秋·新疆喀什·高一校考阶段练习）以下5个关系：a,b⊆b,a，0∈∅，∅∈0，∅∈0，∅⊆0正确的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据元素与集合,集合与集合之间的关系表示对5个关系一一判断.
【解答过程】对于{a,b}⊆{b,a},任何集合是其本身的子集,正确;
对于0∈∅,∅是不含任何元素的集合,故错误;
对于{∅}∈{0},两者都是集合,用属于符号错误;
对于∅∈{0},两者都是集合,应该为∅⊆{0};
故选:B.
【变式2.2】（2023·全国·高一专题练习）设集合A=x|ax2−ax−1>0，若A为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−4,0)B．(−4,0]C．[−4,0)D．[−4,0]
【解题思路】分a=0,a≠0两种情况分类讨论，a=0时符合题意，a≠0时只需满足a<0Δ≤0
即可求解.
【解答过程】当a=0时，原不等式为−1>0，A为空集；
当a≠0时，因为A为空集
所以ax2−ax−1>0无解，
只需满足a<0a2+4a≤0，
解得−4≤a<0，
综上实数a的取值范围是[−4,0].
故选D.
【考点3 Venn图表示集合的关系】
【例3.1】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一校考期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】化简集合，判断集合M,N没有包含关系，即可得出答案.
【解答过程】∵M={−1,0},N={x∣x(x−1)=0}={0,1}，
∴集合M,N没有包含关系，
故选：A.
【例3.2】（2023·江苏·高一专题练习）已知集合P和Q的关系如图所示，则（ ）
A．P>QB．Q⊆PC．P=QD．P⊆Q
【解题思路】根据集合间的包含关系可得.
【解答过程】根据集合间的包含关系，可得B选项正确.
故选：B.
【变式3.1】（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知集合U=1,2,3,4,5,6，A=1,2,3，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是（ ）
A．2,4,5B．1,2,5C．1,6D．1,3
【解题思路】由图可得B⊆A，由选项即可判断.
【解答过程】解：由图可知：B⊆A，
∵A=1,2,3，
由选项可知：1,3⊆A，
故选：D.
【变式3.2】（2022秋·高一课时练习）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是( )
①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.
A．①③B．②③
C．③④D．③⑥
【解题思路】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，分别进行判断，能够得到正确答案．
【解答过程】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，
①S∈U，故错误；
②F⊆T，故错误，
③S⊆T，故正确；
④S⊆F；故错误，
⑤S∈F，故错误，
⑥F⊆U，故正确；
故选D．
模块三
集合间关系的性质
1．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.
(2)对于集合A，B，C，
①若AB，且BC，则AC；
②若AB，B=C，则AC.
(3)若AB，A≠B，则AB.
【考点1 集合间关系的判断】
【例1.1】（2023·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（ ）
A．{(a,b)}⊆{a,b}B．{0,2}⊆ZC．∅⊆{0}D．{0,1}⊆{1,0}
【解题思路】根据集合与集合的关系判断即可.
【解答过程】对于A：集合{(a,b)}为点集，含有元素a,b，集合{a,b}含有两个元素a，b，
所以{(a,b)}不包含于{a,b}，故A错误；
对于B：{0,2}⊆Z，故B正确；
对于C：∅⊆{0}，故C正确；
对于D：因为{0,1}={1,0}，所以{0,1}⊆{1,0}，故D正确；
故选：A.
【例1.2】（2023春·四川成都·高三联考阶段练习）集合A=1,2，若A⊆B，则集合B可以是（ ）
A．1B．2C．0,1,2D．∅
【解题思路】根据已知集合及包含关系，根据各项集合判断与集合A的包含关系即可得答案.
【解答过程】A、B、D：1⊆A、2⊆A、∅⊆A，与题设不符；
C：A⊆0,1,2，满足要求.
故选：C.
【变式1.1】（2023春·湖北孝感·高一统考开学考试）下面五个式子中：①a⊆a；②∅⊆a；③a∈a,b；④a⊆a；⑤a∈b,c,a，正确的有（ ）
A．②③④B．②③④⑤C．②④⑤D．①⑤
【解题思路】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可.
【解答过程】解：①中，a是集合a中的一个元素，a∈a，所以①错误；
②中，空集是任一集合的子集，所以②正确；
③中，a是a,b的子集，a⊆a,b，所以③错误；
④中，任何集合是其本身的子集，所以④正确；
⑤中，a是b,c,a的元素，所以⑤正确.
故选：C.
【变式1.2】（2023·高三课时练习）已知集合M=xx=m+16,m∈Z，N=xx=n2−13,n∈Z，P=xx=p2+16,p∈Z，则M、N、P的关系满足（ ）
A．M=NPB．MN=PC．MNPD．NPM
【解题思路】先将集合M、N、P化简成统一形式，然后判断即可．
【解答过程】M=xx=m+16，m∈Z=xx=6m+16，m∈Z=xx=3⋅2m+16，m∈Z，
N=xx=n2−13，n∈Z=xx=3n−1+16，n∈Z=xx=3k+16，k∈Z，
P=xx=p2+16，p∈Z=xx=3p+16，p∈Z，
所以MN=P.
故选：B．
【考点2 已知集合关系求参】
【例2.1】（2023·高一课时练习）已知A={1,2},B=x∣x2+ax+b=0，若A⊆B，则（ ）
A．a=1,b=−2B．a=2,b=−2C．a=−3,b=2D．a=−1,b=2
【解题思路】根据一元二次方程根的特性，结合韦达定理即可求解.
【解答过程】由于B=x∣x2+ax+b=0表示一元二次方程x2+ax+b=0的解的集合，
而x2+ax+b=0最多有两个不相等的实数根，
由于A={1,2}, A⊆B，所以B={1,2},
故由韦达定理可得1+2=−a1×2=b⇒a=−3b=2，
故选：C.
【例2.2】（2023·山东聊城·统考三模）已知集合A={x|0≤x≤2}，B={x|aA．(−∞,0]B．(−∞,0)C．[0,2]D．(2,3)
【解题思路】由已知可得A⊆B可得答案.
【解答过程】若对于∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B，
由已知可得a<0.
故选：B.
【变式2.1】（2023·高一课时练习）已知集合A=x∣2x2−x−3=0,B=x∣ax2−x−3=0，若B⊆A，则实数a的取值集合为（ ）
A．{2}B．{2,0}C．2,−112D．{2}∪−∞,−112
【解题思路】根据一元二次方程解的情况，结合子集关系，即可分类讨论求解.
【解答过程】A=x∣2x2−x−3=0=−1,32,由于B⊆A，故B=∅时，则a≠0且Δ=1+12a<0⇒a<−112，
若B中只有一个元素，
①B中的方程为一元二次方程，则Δ=1+12a=0a≠0⇒a=−112，此时B=−6,不合题意，舍去；
②B中的方程为一元一次方程，则a=0，则x=−3，则B=−3，此时不符合B⊆A，舍去，
当B=A时，则a=2符合题意，
综上可知：a=2或a<−112，
故选：D.
【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A=x∈Rx2−3x−18<0，B=x∈Rx2+ax+a2−27<0，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3
C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B⊊A时，则−6【解题思路】求出集合A，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【解答过程】A=x∈R−3a=−3时，A=B，故D不正确，
若A⊆B，则−32+a⋅−3+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确，
当B=∅时，a2−4a2−27≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确，
故选：D．
模块四
课后作业
1．（2022秋·湖北咸宁·高一校考阶段练习）给出下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若∅⊆A，则A≠∅．
其中正确的说法有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解题思路】根据空集的定义和子集和真子集的定义即可得出结论.
【解答过程】由于任何一个集合都是它本身的子集，空集的子集还是空集，故①不正确；
由于空集的子集还是空集，所以空集的子集只有一个，故②不正确；
由于空集的子集还是空集，但不是真子集，故③不正确；
由于∅⊆A，则∅A或A=∅，故④不正确；
综上，正确的说法有0个.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M=(x,y)x+y=1,N=yx+y=1B．M={1,2},N={2,1}
C．M={(3,2)},N={(2,3)}D．M={1,2},N={(1,2)}
【解题思路】根据集合元素的性质及集合相等定义判断即可.
【解答过程】对AD，两集合的元素类型不一致，则M≠N，AD错；
对B，由集合元素的无序性可知，M=N，B对；
对C，两集合的唯一元素不相等，则M≠N，C错；
故选：B.
3．（2022秋·浙江台州·高一校考阶段练习）集合M=x|ax2+3x−1=0有1个真子集，则（ ）
A．a≤−94B．a=−94C．a=0D．a=0或a=−94
【解题思路】根据真子集的个数推出集合中元素的个数，即方程解的个数，分类讨论求解即可.
【解答过程】解：集合M=x|ax2+3x−1=0有1个真子集，则集合有且仅有一个元素，
故方程ax2+3x−1=0有且仅有一个根，
当a=0时，3x−1=0，方程有且仅有一个根，满足题意；
当a≠0时，需满足Δ=9+4a=0，即a=−94；
综上可知，a=0或a=−94.
故选：D.
4．（2023·高一单元测试）已知集合A={x|x2−1=0}，下列式子错误的是（ ）
A．1∈AB．{−1}∈AC．∅⊆AD．−1,1⊆A
【解题思路】求出集合A，即可依次判断.
对A：利用元素与集合关系判断；
对B：“∈”表示元素与集合之间的关系；
对C：∅是任何集合的子集；
对D：判断−1,1与A是否为包含关系.
【解答过程】∵A={x|x2−1=0}=1,−1，
∴1∈A,−1⊆A,∅⊆A,−1,1⊆A.
{−1}与A是两个集合，不能用“∈”表示它们之间的关系，故B错误.
故选：B.
5．（2023·全国·高一专题练习）已知集合M满足2,3⊆M⊆1,2,3,4,5，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解题思路】根据集合的包含关系一一列举出来即可.
【解答过程】因为2,3⊆M⊆1,2,3,4,5，
所以集合M可以为：2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5，
1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5共8个，
故选：C.
6．（2023·高一课时练习）已知集合A=(x,y)∣x+y=52x−y=1,B⊆A且B≠∅，则B=（ ）
A．{2,3}B．{(2,3)}C．{(3,2)}D．(2,3)
【解题思路】根据二元一次方程组求解方程组的根，进而可得集合A,由子集的性质即可求解.
【解答过程】由A=(x,y)∣x+y=52x−y=1=2，3，又B⊆A且B≠∅,所以B= {(2,3)}，
故选：B.
7．（2023·高一课时练习）设集合M={x∣x>1},P=y∣y=x2−2x−1，则下列关系中正确的是（ ）
A．M=PB．MPC．P⊊MD．M∈P
【解题思路】将集合P化简，即可由集合间的关系求解.
【解答过程】由P=y∣y=x2−2x−1=y∣y=x−12−2=yy≥−2，
所以MP，
故选：B.
8．（2023春·宁夏银川·高二校考期中）下列各式中：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}.正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
【解答过程】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{0,1,2}⊆{2,1,0}，正确；
③空集是任意集合的子集，故∅⊆{0,1,2}，正确；
④空集没有任何元素，故∅≠{0}，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故{0,1},{(0,1)}为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∴②③正确.
故选：B.
9．（2023春·北京·高一校考开学考试）集合A=−2,−1,0，若A⊆B，则集合B可以是（ ）
A．−1B．−1,1C．−1,0,1D．−2,−1,0,1
【解题思路】由题可得A是B的子集，据此可得答案.
【解答过程】由题可得A是B的子集，则B=−2,−1,0,1满足题意.
故选：D.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知a∈R，b∈R，若集合a,ba,1=a2,a+b,0，则a2021+b2021的值为（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【解题思路】先利用集合相等列式ba=0a=a+ba2=1，解得a，b，再验证集合元素的互异性，代入计算即得结果.
【解答过程】因为a,ba,1=a2,a+b,0，
所以ba=0a=a+ba2=1，解得b=0a=1或b=0a=−1，
当a=1时，不满足集合元素的互异性，
故a=−1，b=0，即a2021+b2021=−12021+02021=−1.
故选：B.
11．（2022秋·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）判断下列集合A、B是否表示同一集合，若不是，请说明理由.
(1)A=2,4,6，B=4,2,6；
(2)A=2,3，B=3,2；
(3)A=x|x>3，B=t|t>3；
(4)A=y|y=2x,x∈R，B=x,y|y=2x,x∈R.
【解题思路】利用集合相等的概念，逐一判断，即得结果.
【解答过程】（1）
A=2,4,6，B=4,2,6元素一样，是同一集合；
（2）
2,3，3,2表示不同的点，故A=2,3，B=3,2集合不同
（3）
A=x|x>3，B=t|t>3表示的范围相同，是同一集合
（4）
不是同一集合，A是数集，B是点集.
12．（2022秋·黑龙江大庆·高一校考阶段练习）已知集合A={x∈R|mx2−2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)A=∅；
(2)A恰有一个元素.
【解题思路】1若A=∅，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，则m≠0，且Δ=4−4m<0，由此能求出实数m的取值范围．
2若A恰有一个元素，所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．
【解答过程】（1）若A=∅，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，
则m≠0，且Δ=4−4m<0，
所以m>1，实数m的取值范围是1,+∞；
（2）若A恰有一个元素，
所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，
讨论：①当m=0时，x=12，满足题意；
②当m≠0时，Δ=4−4m=0，所以m=1．
综上所述，m的取值范围为0,1．
13．（2021秋·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知集合A={x|ax2−2x+1=0,a∈R}.
（1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围；
（2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值.
【解题思路】(1)根据给定条件可得A=∅，再借助一元二次方程根的判别式列式作答；
(2)根据给定条件确定方程ax2−2x+1=0只有一个根或者有两个等根即可得解.
【解答过程】（1）因为集合A的子集只有一个，则A=∅，即方程ax2−2x+1=0无实数根，
于是得{a≠0Δ<0，即{a≠04−4a<0，解得a>1，
所以实数a的取值范围为a>1；
（2）因为集合A中有且只有一个元素，则方程ax2−2x+1=0只有一个实数根或者两个相等实根，
当a=0时，集合A={x|−2x+1=0}={12}满足题意，则a=0，
当a≠0时，则Δ=4−4a=0，a=1，集合A={x|x2−2x+1=0}={1}满足题意，即a=1，
所以实数a的值为0或1.
14．（2023·高一课时练习）设集合A=xx2−1=0，B={x|x2−ax+b=0}，且B≠∅．
(1)若A⊆B，求实数a,b的值；
(2)若A⊆C，且C=−1,2m+1,m2，求实数m的值．
【解题思路】（1）先化简集合A，再利用集合交集的定义求解即可；
（2）利用集合交集的定义结合集合元素的互异性求解即可.
【解答过程】（1）由x2−1=0解得x=±1，所以A={1,−1}，
因为A⊆B，所以1,−1是集合B中元素，
所以将x=±1代入x2−ax+b=0得1−a+b=01+a+b=0，解得a=0，b=−1.
（2）因为A⊆C，由（1）得1,−1是集合C中元素，
当2m+1=1即m=0时，此时C={−1,1,0}符合题意；
当m2=1时，①m=1，此时C={−1,3,1}符合题意；
②m=−1，此时不满足集合元素的互异性，舍去；
综上m=0或1.
15．（2023·高一单元测试）已知集合A=2,6.
(1)若集合B=a+1，a2−23，且A=B，求a的值；
(2)若集合C=xax2−x+6=0，且A与C有包含关系，求a的取值范围.
【解题思路】（1）利用集合相等的条件求a的值；
（2）由A与C有包含关系得C⊆A，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可.
【解答过程】（1）因为A=2,6，且A=B，
所以a+1=2a2−23=6或a2−23=2a+1=6，
解得a=1a=±29或a=±5a=5，
故a=5.
（2）因为A与C有包含关系，A=2,6，C=xax2−x+6=0至多只有两个元素，
所以C⊆A.
当a=0时，C=6，满足题意；
当a≠0时，
当C=∅时，Δ=1−4a×6<0，解得a>124，满足题意；
当C=2时，Δ=1−4a×6=0且22a−2+6=0，此时无解；
当C=6时，Δ=1−4a×6=0且62a−6+6=0，此时无解；
当C=2,6时，Δ=1−4a×6>0且62a−6+6=022a−2+6=0，此时无解；
综上，a的取值范围为aa=0或a>124.
·模块一 子集与真子集
·模块二 集合相等与空集
·模块三 集合间关系的性质
·模块四 课后作业
模块一
子集与真子集
1．子集的概念
2．真子集的概念
【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.
(4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集.
(5)若AB，且A≠B，则AB.
【考点1 子集、真子集的概念】
【例1.1】（2022秋·广东揭阳·高一校考阶段练习）下列选项中正确的有（ ）
A．{质数}⊆{奇数}；
B．集合{1,2,3}与集合{4,5,6}没有相同的子集；
C．空集是任何集合的真子集；
D．若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；
【解题思路】A.举反例判定该选项错误；B. 集合{1,2,3}与集合{4,5,6}有相同的子集∅，所以该选项错误；C. 空集是任何非空集合的真子集，所以该选项错误；D选项正确.
【解答过程】解：A. 2是质数，但是它不是奇数，所以{质数}⊆{奇数}错误，所以该选项错误；
B. 集合{1,2,3}与集合{4,5,6}有相同的子集∅，所以该选项错误；
C. 空集是任何非空集合的真子集，所以该选项错误；
D. 若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，所以该选项正确.
故选：D.
【例1.2】（2023·高一课时练习）已知A是非空集合，则下列关系不正确的是（ ）
A．A⊆AB．A⊂≠AC．∅⊆AD．∅⊂≠A
【解题思路】根据集合间的关系，以及子集，真子集，空集的定义即可求解.
【解答过程】由于A是非空集合，所以A⊆A，∅⊆A，∅⊂≠A，但是A不是A的真子集，故ACD正确，B错误，
故选：B.
【变式1.1】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合A=a,b的所有非空子集的元素之和等于12，则a+b等于（ ）
A．1B．3C．4D．6
【解题思路】首先列出集合A的非空子集，即可得到方程，解得即可.
【解答过程】解：集合A=a,b的非空子集有a、b、a,b，
所以a+b+a+b=12，
解得a+b=6.
故选：D.
【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）设集合P1=x|x2+ax+1>0，P2=x|x2+ax+2>0，Q1=x|x2+x+b>0，Q2=x|x2+2x+b>0，其中a，b∈R，下列说法正确的是（ ）
A．对任意a，P1是P2的子集，对任意的b，Q1不是Q2的子集
B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集
C．存在a，使得P1不是P2的真子集，对任意的b，Q1是Q2的子集
D．存在a，使得P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集
【解题思路】结合参数取值情况，根据集合间元素的关系确定子集关系是否成立，即可判断.
【解答过程】解：对于集合P1=x|x2+ax+1>0，P2=x|x2+ax+2>0
可得当m∈P1，即m2+am+1>0，可得m2+am+2>0，即有m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；
当b=5时，Q1=x|x2+x+5>0=R，Q2=x|x2+2x+5>0=R，可得Q1是Q2的子集；
当b=1时，Q1=x|x2+x+1>0=R，Q2=x|x2+2x+1>0={x|x≠−1且x∈R}，可得Q1不是Q2的子集；
综上有，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集.
故选：B.
【考点2 有限集合子集、真子集的确定】
【例2.1】（2023·全国·高三对口高考）若集合A满足{1,2}⊆A{1,2,3,4,5}，则集合A所有可能的情形有（ ）
A．3种B．5种C．7种D．9种
【解题思路】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可.
【解答过程】由{1,2}⊆A{1,2,3,4,5}，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素，
依次有以下可能：1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5七种可能.
故选：C.
【例2.2】（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知A=1,2，B=1,2,6,7,8，且A⊊C⊆B，满足这样的集合C的个数（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解题思路】由集合间的基本关系A⊊C⊆B，对集合C中元素个数进行分类讨论，列举出所有可能即可得出结果.
【解答过程】根据题意可知，集合C还应包含集合B中除元素1，2之外的其他元素；
若集合C中有三个元素，则C可以是1,2,6,，1,2,7，1,2,8；
若集合C中有四个元素，则C可以是1,2,6,7，1,2,7,8，1,2,6,8；
若集合C中有五个元素，则C可以是1,2,6,7,8；即这样的集合C的个数为7个.
故选：B.
【变式2.1】（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知集合A={−1,0},B={1,2}，则集合C=zz=x2+y2,x∈A,y∈B的真子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
【解题思路】先根据题意求出集合C，再求其真子集的个数.
【解答过程】当x=−1,y=1时，z=(−1)2+12=2，
当x=−1,y=2时，z=(−1)2+22=5，
当x=0,y=1时，z=02+12=1，
当x=0,y=2时，z=02+22=4，
所以C=zz=x2+y2,x∈A,y∈B=1,2,4,5，
所以集合C的真子集的个数为24−1=15个，
故选：C.
【变式2.2】（2023·湖北·模拟预测）集合A=x|2−x4−x8−x>0,x∈N+，B不为空集，B⊂A，若B中的元素之和为奇数，则满足条件的集合B的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解题思路】先根据题干得出集合A,再分个数讨论B集合，即可得出满足条件集合个数.
【解答过程】A=x|2−x4−x8−x>0,x∈N+=1,5,6,7,
B不为空集且B⊂A,
若B中的元素之和为奇数，
当集合B有四个元素则B可以为1,5,6,7，
当集合B有三个元素则B可以为1,5,7，
当集合B有两个元素则B可以为1,6,5,6,7,6，
当集合B有一个元素则 B可以为1,5,7，
则满足条件的集合B的个数为8.
故选:D.
模块二
集合相等与空集
1．集合相等的概念
如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.
2．空集的概念
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
(2)规定：空集是任何集合的子集.
3．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观.
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.
【考点1 集合相等问题】
【例1.1】（2023秋·江西赣州·高一统考期末）下列与集合2023,1表示同一集合的是（ ）
A．2023,1B．x,y|x=2023,y=1
C．x|x2−2024x+2023=0D．2023,1
【解题思路】逐个选项分析特征，选择符合题意的.
【解答过程】方程x2−2024x+2023=0的解为x=2023或x=1，所以x|x2−2024x+2023=0=2023,1，C选项正确；
A选项不是集合，BD选项表示的是点集，只有C选项符合.
故选：C.
【例1.2】（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）设集合M=a,0，N=a2,b，若M=N，则a+b=（ ）
A．0B．1C．2D．−1
【解题思路】根据集合相等的含义分别求出a,b，然后可得答案.
【解答过程】因为M=a,0,N=a2,b，M=N，
所以a=a2b=0a2≠ba≠0，解得a=1b=0，所以a+b=1．
故选：B．
【变式1.1】（2023春·新疆·高一校联考阶段练习）下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）
A．M=3,2，N=2,3B．M=3,2，N=2,3
C．M={(x,y)∣x+y=1}，N={y∣x+y=1}D．M=3,2，N=3,2
【解题思路】根据集合的定义逐项分析即可.
【解答过程】选项A表示点的集合，2,3与3,2不同，故A选项不正确，
集合中元素具有无序性，所以集合3,2与集合2,3相等，故B选项正确，
选项C中集合M研究点集，集合N研究单一的实数集，故不同，故C不正确，
选项D中集合M研究点集，集合N研究单一的实数集，故不同，故D不正确，
故选：B.
【变式1.2】（2022秋·江西抚州·高一校考期末）已知a、b∈R，若a,ba,1=a2,a+b,0，则a2020+b2021的值为（ ）
A．−1B．0C．1D．−1或0
【解题思路】根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解.
【解答过程】由0∈a,ba,1 且a≠0，则ba=0，
∴b=0，于是a2=1，解得a=1或a=−1,
根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去，
因此a=−1，b=0,
故a2020+b2021=−12020+02021=1．
故选：C.
【考点2 空集的判断及应用】
【例2.1】（2022秋·天津和平·高一校考阶段练习）下列四个说法中，正确的有（ ）
①空集没有子集；
②空集是任何集合的真子集；
③若∅⊆A，则A=∅；
④任何集合至少有两个子集．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解题思路】根据空集的性质判断即可.
【解答过程】①空集是任何集合的子集，所以①错；
②空集是任何非空集合的真子集，所以②错；
③空集是任何集合的子集，集合A不一定等于空集，所以③错；
④空集只有自己本身一个子集，所以④错.
故选：A.
【例2.2】（2023·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是( )
A．{x∈R|x2-1=0}B．{x|x>6或x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0}D．{x|x>6且x<1}
【解题思路】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断.
【解答过程】A选项：±1∈{x∈R|x2−1=0}，不是空集；B选项：∃7∈{x|x>6或x<1}，不是空集；
C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数，
即：{x|x>6且x<1}=∅.
故选：D.
【变式2.1】（2022秋·新疆喀什·高一校考阶段练习）以下5个关系：a,b⊆b,a，0∈∅，∅∈0，∅∈0，∅⊆0正确的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据元素与集合,集合与集合之间的关系表示对5个关系一一判断.
【解答过程】对于{a,b}⊆{b,a},任何集合是其本身的子集,正确;
对于0∈∅,∅是不含任何元素的集合,故错误;
对于{∅}∈{0},两者都是集合,用属于符号错误;
对于∅∈{0},两者都是集合,应该为∅⊆{0};
故选:B.
【变式2.2】（2023·全国·高一专题练习）设集合A=x|ax2−ax−1>0，若A为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−4,0)B．(−4,0]C．[−4,0)D．[−4,0]
【解题思路】分a=0,a≠0两种情况分类讨论，a=0时符合题意，a≠0时只需满足a<0Δ≤0
即可求解.
【解答过程】当a=0时，原不等式为−1>0，A为空集；
当a≠0时，因为A为空集
所以ax2−ax−1>0无解，
只需满足a<0a2+4a≤0，
解得−4≤a<0，
综上实数a的取值范围是[−4,0].
故选D.
【考点3 Venn图表示集合的关系】
【例3.1】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一校考期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】化简集合，判断集合M,N没有包含关系，即可得出答案.
【解答过程】∵M={−1,0},N={x∣x(x−1)=0}={0,1}，
∴集合M,N没有包含关系，
故选：A.
【例3.2】（2023·江苏·高一专题练习）已知集合P和Q的关系如图所示，则（ ）
A．P>QB．Q⊆PC．P=QD．P⊆Q
【解题思路】根据集合间的包含关系可得.
【解答过程】根据集合间的包含关系，可得B选项正确.
故选：B.
【变式3.1】（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知集合U=1,2,3,4,5,6，A=1,2,3，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是（ ）
A．2,4,5B．1,2,5C．1,6D．1,3
【解题思路】由图可得B⊆A，由选项即可判断.
【解答过程】解：由图可知：B⊆A，
∵A=1,2,3，
由选项可知：1,3⊆A，
故选：D.
【变式3.2】（2022秋·高一课时练习）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是( )
①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.
A．①③B．②③
C．③④D．③⑥
【解题思路】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，分别进行判断，能够得到正确答案．
【解答过程】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，
①S∈U，故错误；
②F⊆T，故错误，
③S⊆T，故正确；
④S⊆F；故错误，
⑤S∈F，故错误，
⑥F⊆U，故正确；
故选D．
模块三
集合间关系的性质
1．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.
(2)对于集合A，B，C，
①若AB，且BC，则AC；
②若AB，B=C，则AC.
(3)若AB，A≠B，则AB.
【考点1 集合间关系的判断】
【例1.1】（2023·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（ ）
A．{(a,b)}⊆{a,b}B．{0,2}⊆ZC．∅⊆{0}D．{0,1}⊆{1,0}
【解题思路】根据集合与集合的关系判断即可.
【解答过程】对于A：集合{(a,b)}为点集，含有元素a,b，集合{a,b}含有两个元素a，b，
所以{(a,b)}不包含于{a,b}，故A错误；
对于B：{0,2}⊆Z，故B正确；
对于C：∅⊆{0}，故C正确；
对于D：因为{0,1}={1,0}，所以{0,1}⊆{1,0}，故D正确；
故选：A.
【例1.2】（2023春·四川成都·高三联考阶段练习）集合A=1,2，若A⊆B，则集合B可以是（ ）
A．1B．2C．0,1,2D．∅
【解题思路】根据已知集合及包含关系，根据各项集合判断与集合A的包含关系即可得答案.
【解答过程】A、B、D：1⊆A、2⊆A、∅⊆A，与题设不符；
C：A⊆0,1,2，满足要求.
故选：C.
【变式1.1】（2023春·湖北孝感·高一统考开学考试）下面五个式子中：①a⊆a；②∅⊆a；③a∈a,b；④a⊆a；⑤a∈b,c,a，正确的有（ ）
A．②③④B．②③④⑤C．②④⑤D．①⑤
【解题思路】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可.
【解答过程】解：①中，a是集合a中的一个元素，a∈a，所以①错误；
②中，空集是任一集合的子集，所以②正确；
③中，a是a,b的子集，a⊆a,b，所以③错误；
④中，任何集合是其本身的子集，所以④正确；
⑤中，a是b,c,a的元素，所以⑤正确.
故选：C.
【变式1.2】（2023·高三课时练习）已知集合M=xx=m+16,m∈Z，N=xx=n2−13,n∈Z，P=xx=p2+16,p∈Z，则M、N、P的关系满足（ ）
A．M=NPB．MN=PC．MNPD．NPM
【解题思路】先将集合M、N、P化简成统一形式，然后判断即可．
【解答过程】M=xx=m+16，m∈Z=xx=6m+16，m∈Z=xx=3⋅2m+16，m∈Z，
N=xx=n2−13，n∈Z=xx=3n−1+16，n∈Z=xx=3k+16，k∈Z，
P=xx=p2+16，p∈Z=xx=3p+16，p∈Z，
所以MN=P.
故选：B．
【考点2 已知集合关系求参】
【例2.1】（2023·高一课时练习）已知A={1,2},B=x∣x2+ax+b=0，若A⊆B，则（ ）
A．a=1,b=−2B．a=2,b=−2C．a=−3,b=2D．a=−1,b=2
【解题思路】根据一元二次方程根的特性，结合韦达定理即可求解.
【解答过程】由于B=x∣x2+ax+b=0表示一元二次方程x2+ax+b=0的解的集合，
而x2+ax+b=0最多有两个不相等的实数根，
由于A={1,2}, A⊆B，所以B={1,2},
故由韦达定理可得1+2=−a1×2=b⇒a=−3b=2，
故选：C.
【例2.2】（2023·山东聊城·统考三模）已知集合A={x|0≤x≤2}，B={x|a
【解题思路】由已知可得A⊆B可得答案.
【解答过程】若对于∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B，
由已知可得a<0.
故选：B.
【变式2.1】（2023·高一课时练习）已知集合A=x∣2x2−x−3=0,B=x∣ax2−x−3=0，若B⊆A，则实数a的取值集合为（ ）
A．{2}B．{2,0}C．2,−112D．{2}∪−∞,−112
【解题思路】根据一元二次方程解的情况，结合子集关系，即可分类讨论求解.
【解答过程】A=x∣2x2−x−3=0=−1,32,由于B⊆A，故B=∅时，则a≠0且Δ=1+12a<0⇒a<−112，
若B中只有一个元素，
①B中的方程为一元二次方程，则Δ=1+12a=0a≠0⇒a=−112，此时B=−6,不合题意，舍去；
②B中的方程为一元一次方程，则a=0，则x=−3，则B=−3，此时不符合B⊆A，舍去，
当B=A时，则a=2符合题意，
综上可知：a=2或a<−112，
故选：D.
【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A=x∈Rx2−3x−18<0，B=x∈Rx2+ax+a2−27<0，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3
C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B⊊A时，则−6
【解答过程】A=x∈R−3
若A⊆B，则−32+a⋅−3+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确，
当B=∅时，a2−4a2−27≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确，
故选：D．
模块四
课后作业
1．（2022秋·湖北咸宁·高一校考阶段练习）给出下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若∅⊆A，则A≠∅．
其中正确的说法有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解题思路】根据空集的定义和子集和真子集的定义即可得出结论.
【解答过程】由于任何一个集合都是它本身的子集，空集的子集还是空集，故①不正确；
由于空集的子集还是空集，所以空集的子集只有一个，故②不正确；
由于空集的子集还是空集，但不是真子集，故③不正确；
由于∅⊆A，则∅A或A=∅，故④不正确；
综上，正确的说法有0个.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M=(x,y)x+y=1,N=yx+y=1B．M={1,2},N={2,1}
C．M={(3,2)},N={(2,3)}D．M={1,2},N={(1,2)}
【解题思路】根据集合元素的性质及集合相等定义判断即可.
【解答过程】对AD，两集合的元素类型不一致，则M≠N，AD错；
对B，由集合元素的无序性可知，M=N，B对；
对C，两集合的唯一元素不相等，则M≠N，C错；
故选：B.
3．（2022秋·浙江台州·高一校考阶段练习）集合M=x|ax2+3x−1=0有1个真子集，则（ ）
A．a≤−94B．a=−94C．a=0D．a=0或a=−94
【解题思路】根据真子集的个数推出集合中元素的个数，即方程解的个数，分类讨论求解即可.
【解答过程】解：集合M=x|ax2+3x−1=0有1个真子集，则集合有且仅有一个元素，
故方程ax2+3x−1=0有且仅有一个根，
当a=0时，3x−1=0，方程有且仅有一个根，满足题意；
当a≠0时，需满足Δ=9+4a=0，即a=−94；
综上可知，a=0或a=−94.
故选：D.
4．（2023·高一单元测试）已知集合A={x|x2−1=0}，下列式子错误的是（ ）
A．1∈AB．{−1}∈AC．∅⊆AD．−1,1⊆A
【解题思路】求出集合A，即可依次判断.
对A：利用元素与集合关系判断；
对B：“∈”表示元素与集合之间的关系；
对C：∅是任何集合的子集；
对D：判断−1,1与A是否为包含关系.
【解答过程】∵A={x|x2−1=0}=1,−1，
∴1∈A,−1⊆A,∅⊆A,−1,1⊆A.
{−1}与A是两个集合，不能用“∈”表示它们之间的关系，故B错误.
故选：B.
5．（2023·全国·高一专题练习）已知集合M满足2,3⊆M⊆1,2,3,4,5，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解题思路】根据集合的包含关系一一列举出来即可.
【解答过程】因为2,3⊆M⊆1,2,3,4,5，
所以集合M可以为：2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5，
1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5共8个，
故选：C.
6．（2023·高一课时练习）已知集合A=(x,y)∣x+y=52x−y=1,B⊆A且B≠∅，则B=（ ）
A．{2,3}B．{(2,3)}C．{(3,2)}D．(2,3)
【解题思路】根据二元一次方程组求解方程组的根，进而可得集合A,由子集的性质即可求解.
【解答过程】由A=(x,y)∣x+y=52x−y=1=2，3，又B⊆A且B≠∅,所以B= {(2,3)}，
故选：B.
7．（2023·高一课时练习）设集合M={x∣x>1},P=y∣y=x2−2x−1，则下列关系中正确的是（ ）
A．M=PB．MPC．P⊊MD．M∈P
【解题思路】将集合P化简，即可由集合间的关系求解.
【解答过程】由P=y∣y=x2−2x−1=y∣y=x−12−2=yy≥−2，
所以MP，
故选：B.
8．（2023春·宁夏银川·高二校考期中）下列各式中：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}.正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
【解答过程】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{0,1,2}⊆{2,1,0}，正确；
③空集是任意集合的子集，故∅⊆{0,1,2}，正确；
④空集没有任何元素，故∅≠{0}，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故{0,1},{(0,1)}为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∴②③正确.
故选：B.
9．（2023春·北京·高一校考开学考试）集合A=−2,−1,0，若A⊆B，则集合B可以是（ ）
A．−1B．−1,1C．−1,0,1D．−2,−1,0,1
【解题思路】由题可得A是B的子集，据此可得答案.
【解答过程】由题可得A是B的子集，则B=−2,−1,0,1满足题意.
故选：D.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知a∈R，b∈R，若集合a,ba,1=a2,a+b,0，则a2021+b2021的值为（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【解题思路】先利用集合相等列式ba=0a=a+ba2=1，解得a，b，再验证集合元素的互异性，代入计算即得结果.
【解答过程】因为a,ba,1=a2,a+b,0，
所以ba=0a=a+ba2=1，解得b=0a=1或b=0a=−1，
当a=1时，不满足集合元素的互异性，
故a=−1，b=0，即a2021+b2021=−12021+02021=−1.
故选：B.
11．（2022秋·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）判断下列集合A、B是否表示同一集合，若不是，请说明理由.
(1)A=2,4,6，B=4,2,6；
(2)A=2,3，B=3,2；
(3)A=x|x>3，B=t|t>3；
(4)A=y|y=2x,x∈R，B=x,y|y=2x,x∈R.
【解题思路】利用集合相等的概念，逐一判断，即得结果.
【解答过程】（1）
A=2,4,6，B=4,2,6元素一样，是同一集合；
（2）
2,3，3,2表示不同的点，故A=2,3，B=3,2集合不同
（3）
A=x|x>3，B=t|t>3表示的范围相同，是同一集合
（4）
不是同一集合，A是数集，B是点集.
12．（2022秋·黑龙江大庆·高一校考阶段练习）已知集合A={x∈R|mx2−2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)A=∅；
(2)A恰有一个元素.
【解题思路】1若A=∅，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，则m≠0，且Δ=4−4m<0，由此能求出实数m的取值范围．
2若A恰有一个元素，所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．
【解答过程】（1）若A=∅，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，
则m≠0，且Δ=4−4m<0，
所以m>1，实数m的取值范围是1,+∞；
（2）若A恰有一个元素，
所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，
讨论：①当m=0时，x=12，满足题意；
②当m≠0时，Δ=4−4m=0，所以m=1．
综上所述，m的取值范围为0,1．
13．（2021秋·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知集合A={x|ax2−2x+1=0,a∈R}.
（1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围；
（2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值.
【解题思路】(1)根据给定条件可得A=∅，再借助一元二次方程根的判别式列式作答；
(2)根据给定条件确定方程ax2−2x+1=0只有一个根或者有两个等根即可得解.
【解答过程】（1）因为集合A的子集只有一个，则A=∅，即方程ax2−2x+1=0无实数根，
于是得{a≠0Δ<0，即{a≠04−4a<0，解得a>1，
所以实数a的取值范围为a>1；
（2）因为集合A中有且只有一个元素，则方程ax2−2x+1=0只有一个实数根或者两个相等实根，
当a=0时，集合A={x|−2x+1=0}={12}满足题意，则a=0，
当a≠0时，则Δ=4−4a=0，a=1，集合A={x|x2−2x+1=0}={1}满足题意，即a=1，
所以实数a的值为0或1.
14．（2023·高一课时练习）设集合A=xx2−1=0，B={x|x2−ax+b=0}，且B≠∅．
(1)若A⊆B，求实数a,b的值；
(2)若A⊆C，且C=−1,2m+1,m2，求实数m的值．
【解题思路】（1）先化简集合A，再利用集合交集的定义求解即可；
（2）利用集合交集的定义结合集合元素的互异性求解即可.
【解答过程】（1）由x2−1=0解得x=±1，所以A={1,−1}，
因为A⊆B，所以1,−1是集合B中元素，
所以将x=±1代入x2−ax+b=0得1−a+b=01+a+b=0，解得a=0，b=−1.
（2）因为A⊆C，由（1）得1,−1是集合C中元素，
当2m+1=1即m=0时，此时C={−1,1,0}符合题意；
当m2=1时，①m=1，此时C={−1,3,1}符合题意；
②m=−1，此时不满足集合元素的互异性，舍去；
综上m=0或1.
15．（2023·高一单元测试）已知集合A=2,6.
(1)若集合B=a+1，a2−23，且A=B，求a的值；
(2)若集合C=xax2−x+6=0，且A与C有包含关系，求a的取值范围.
【解题思路】（1）利用集合相等的条件求a的值；
（2）由A与C有包含关系得C⊆A，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可.
【解答过程】（1）因为A=2,6，且A=B，
所以a+1=2a2−23=6或a2−23=2a+1=6，
解得a=1a=±29或a=±5a=5，
故a=5.
（2）因为A与C有包含关系，A=2,6，C=xax2−x+6=0至多只有两个元素，
所以C⊆A.
当a=0时，C=6，满足题意；
当a≠0时，
当C=∅时，Δ=1−4a×6<0，解得a>124，满足题意；
当C=2时，Δ=1−4a×6=0且22a−2+6=0，此时无解；
当C=6时，Δ=1−4a×6=0且62a−6+6=0，此时无解；
当C=2,6时，Δ=1−4a×6>0且62a−6+6=022a−2+6=0，此时无解；
综上，a的取值范围为aa=0或a>124.
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