2023长沙长郡中学高二下学期期末考试数学试题含解析

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长郡中学2023年上学期高二期末考试
数 学
时量：120分钟 满分：150分
得分：_________
第 Ⅰ 卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U={0，1，2，4，6，8}，集合M={0，4，6}，N={0，1，6}，则（ ）
A．{0，6} B．{0，2，4，6，8}
C．{0，1，4，6} D．{4}
2．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
3．函数，的图象大致为（ ）

4．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验（），结论为（ ）
A．变量x与y不独立
B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C．变量x与y独立
D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过
5．若“”是“”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，已知，点G满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．若，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列满足，，，则的前n项积的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知角的终边经过点（，2），则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．若为钝角，则
10．已知数列中，，且对任意的m，，都有，则下列选项正确的是（ ）
A．的值随n的变化而变化
B．
C．若m，n，，，则
D．为递增数列
11．设正实数x，y满足，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是9
C．的最小值为 D．的最大值为
12．如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，动点P满足，且a，．则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线AC⊥平面BPB1
B．当时，PB＋PB1的最小值为
C．若直线BP与BD所成角为，则动点P的轨迹长度为
D．当时，三棱锥P-ABC外接球半径的取值范围是

第 Ⅱ 卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数，则________．
14．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（k=1，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的________倍．（结果精确到0.01，当较小时，）
15．在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2，PC=，则该棱锥的体积为________．
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，B=，，若△ABC有且仅有一个解，则的取值范围是________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
设函数．
（1）若曲线在点（2，）处与直线y=8相切，求a，b的值；
（2）讨论函数的单调性．












18．（本小题满分12分）
在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，QD=QA=，QC=3．
（1）求证：平面QAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角B-QD-A的平面角的余弦值．






19．（本小题满分12分）
设函数，其中．
（1）若是函数的一条对称轴，求函数周期T；
（2）若函数在区间上为增函数，求的最大值．












20．（本小题满分12分）
已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列满足：，（），若不等式（）恒成立，求实数的取值范围．












21．（本小题满分12分）
人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）。
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率；
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有
如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．










22．（本小题满分12分）
已知函数（，）．
（1）若的最小值为2，求的值；
（2）若，，实数为函数大于1的零点，求证：
①；
②．