第09讲 基本不等式-新高一数学暑假精品课（苏教版必修第一册）

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第09讲 基本不等式

1．掌握基本不等式≤(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立).　
2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．　
2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．


知识点一 基本不等式与重要不等式
1．算术平均数与几何平均数
对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．
2．基本不等式
如果a，b是正数，那么(当且仅当a＝b时，等号成立).
3．两个重要不等式
当a，b∈R时，则
（1）ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)；
（2）ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立).
不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)；
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．

知识点二 基本不等式与最值
对于正数a，b，在运用基本不等式时，应注意：
(1)和a＋b为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和a＋b有最小值；
(2)取等号的条件.
利用基本不等式求最值要牢记：“一正”“二定”“三相等”
(1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的结果；
(2)“二定”，即含变量的各项的和或积必须是定值(常数).如果要求a＋b的最小值，那么ab必须是定值；要求ab的最大值，a＋b必须是定值；
(3)“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值．
知识点三 基本不等式的应用
1．基本不等式的变形
利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：
(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．
常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．
(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
2．应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)
(1)合理选择自变量，建立函数关系；
(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)；
(3)解题注意点：
①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；
③在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解．


考点一：利用基本不等式证明不等式
例1 已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证： ≥8.
【证明】因为a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
【总结】
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；
(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用．

变式 (1)已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.
【证明】因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，
所以＋＋＝＋＋
＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
(2)已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：≥10.
【证明】因为a，b，c都为正实数，
所以＋＋
＝＋＋
＝4＋≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
所以≥10.


考点二：利用基本不等式求最值
例2 (1)已知x>2，则x＋的最小值为________；
(2)若0 (3)若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则＋的最小值为________．
【答案】　(1)6　(2)　(3)9
【解析】　(1)因为x>2，所以x－2>0，
所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所以x＋的最小值为6.
(2)因为00，
所以x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤＝×＝，
当且仅当2x＝1－2x，即当x＝时，等号成立，所以x(1－2x)的最大值为.
(3)因为x＞0，y＞0，x＋4y＝1，所以＋＝＋＝5＋＋≥5＋2 ＝9，
当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．
【总结】
利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配．
(1)拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件；
(2)并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值；
(3)配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．
变式 求下列函数的最值．
(1)已知x＞1，求y＝4x＋1＋的最小值；
(2)已知0＜x＜1，求x(4－3x)的最大值；
(3)已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋2b＝1, 求＋的最小值．
【解析】(1)∵x＞1，∴x－1＞0，
∴y＝4x＋1＋＝4(x－1)＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当4(x－1)＝即x＝时取等号，∴y＝4x＋1＋的最小值为9.
(2)∵0＜x＜1，∴x(4－3x)＝·(3x)·(4－3x)≤×＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时取等号，故x(4－3x)的最大值为.
(3)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋2b＝1，
∴＋＝(a＋2b)＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝且a＋2b＝1，即b＝，a＝时取等号，故＋的最小值为8.

考点三：利用基本不等式求参数的取值范围
例3 (1)已知函数y＝x＋＋2的值构成的集合为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　　)
A． B．
C．1 D．2
(2)已知函数y＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，y≥3恒成立，则a的取值范围是________．
【答案】(1)C　 (2) 　
【解析】(1)由题意可得a＞0，
①当x＞0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；
②当x＜0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号，
所以解得a＝1． 故选C．
(2) 对任意x∈N*，y≥3，即≥3恒成立，即a≥－＋3．设z＝x＋，x∈N*，
则z＝x＋≥4，当x＝2时等号成立，又x＝2时z＝6，又x＝3时z＝．
∴a≥－，故a的取值范围是．]
【总结】
含参数不等式的求解策略
(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围.
(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.

变式 已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
【答案】2　
【解析】依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2．又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值为2．

考点四：利用基本不等式解应用题
例4 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248 元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

【解析】设隔墙的长度为x m，总造价为y元，则隔墙造价为2x×248＝496x元，
池底造价为200×80＝16 000元，
四周围墙造价为×400＝800×元．
因此，总造价为
y＝496x＋800＋16 000(0＜x＜50)
＝1 296x＋＋16 000≥2 ＋16 000
＝28 800＋16 000＝44 800.当且仅当1 296x＝，
即x＝时，等号成立．这时，污水池的长为18 m．
故当污水池的长为18 m，宽为 m时，总造价最低，最低为44 800元．
【总结】
求实际问题中最值的解题4步骤
(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出等量关系式；
(2)把实际问题抽象成符合基本不等式的最大值或最小值问题；
(3)利用基本不等式求最值；
(4)正确写出答案．


变式 某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：y1＝(0≤x≤10，k为常数).若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y2为15年的总费用(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用).
(1)求y2的表达式；
(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值．
【解析】(1)依题意，当x＝0时，y1＝6，∴6＝，∴k＝30.
故y1＝，y2＝4x＋×15＋10＝4x＋＋10(0≤x≤10).
(2)y2＝4x＋＋10＝(4x＋10)＋＝2(2x＋5)＋≥2 ＝60，
当且仅当2(2x＋5)＝，即x＝5时，y2取得最小值，最小值为60，
∴隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元．





1．下列不等式中，正确的是(　　)
A.a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
【答案】D　
【解析】a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．
2．已知x＞0，y＞0，x＋y＝2，则＋的最小值为(　　)
A.＋ B．＋
C.＋ D．
【答案】C　
【解析】因为x＋y＝2，所以y＝2－x，
又x＞0，y＞0，所以0＜x＜2，
＋＝＋＝＋＝×＋＋，
因为0＜x＜2，所以3－x＞0，
所以×＋＋≥2＋＝＋，
当且仅当×＝，即x＝时取等号，
所以＋的最小值为＋.故选C.
3．(多选)下列各选项中y的最大值为的是(　　)
A.y＝x2＋ B.y＝x， x∈[0, 1]
C.y＝ D.y＝x＋， x>－2
【答案】BC　
【解析】对于A, y＝x2＋≥2＝；
对于B, y＝x＝≤＝；
对于C, y＝＝≤；
对于D, y＝x＋＝x＋2＋－2≥4－2＝2.故选B、C.
4．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为a万元/次，一年的总存储费用为6ax万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是________．
【答案】10
【解析】设一年的总费用为y，则y＝·a＋6ax≥2＝2×60a＝120a，
当且仅当＝6ax，即x＝10时等号成立，所以要使一年的总运费与总存储费之和最小，x的值是10.
5．甲、乙两同学分别解“设x≥1，求函数y＝2x2＋1的最小值”的过程如下：
甲同学：y＝2x2＋1≥2＝2x，又x≥1，所以2x≥2.从而y≥2x≥2，即y的最小值是2.乙同学：因为y＝2x2＋1在x≥1时的图象随着x增大而逐渐上升，即y随x增大而增大，所以y的最小值是2×12＋1＝3.
试判断谁错，错在何处？
【解析】甲错．甲直接利用基本不等式求最值，忽略了不等式成立的条件．当2x2＋1≥2时，有2x2＝1，此时x不在范围内，故此题不能用基本不等式求解．
乙正确．利用函数图象，由图象判断y的最小值．
6．已知x>0，则＋x的最小值为(　　)
A．6　　　　B．5　　　　C．4　　　　D．3
【答案】A　
【解析】∵x>0，∴＋x≥2＝6．当且仅当x＝即x＝3时取得最小值6．
7．设a，b为正数，且a＋b≤4则(　　)
A．＋≤1 B．＋≥2
C．ab≤4 D．ab≥8
【答案】C　
【解析】设a，b为正数，且a＋b≥2，∴ab≤≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号．
8．若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为________．
【答案】3　
【解析】由a＋b＝0，a＞0，得b＝－a，－＝＞0，
所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号．
9．已知ab＝1，a>0，b>0．则a＋b的最小值为________．
【答案】2　
【解析】因为a>0，b>0，所以a＋b≥2＝2．当且仅当a＝b＝1时等号成立，故a＋b的最小值为2．]
10．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________ cm2．
【答案】2
【解析】设两段长分别为x cm，(12－x)cm，
则S＝×＋×＝≥×＝2．
当且仅当x＝12－x，即x＝6时取等号，故两个正三角形面积之和最小值为2 cm2．

1．已知P＝a2＋(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3).则P，Q的大小关系为(　　)
A.P＞Q B．P＜Q
C.P≥Q D．P≤Q
【答案】C　
【解析】P＝a2＋≥2＝4，当且仅当a＝±时等号成立，
Q＝b2－4b＋7＝(b－2)2＋3≤4，当b＝3时等号成立，所以P≥Q.故选C.
2．已知a＞0，b＞0，则“ab≤1”是“≤1”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】A　
【解析】a＞0，b＞0，若ab≤1，则由a＋b≥2得≤＝≤1，充分性成立，
若≤1，例如a＝，b＝2，则＝1，但ab＝＞1，因此必要性不成立．故选A.
3．若a>0，b>0，且＋＝，则a2＋b2的最小值为(　　)
A.2 B．2
C.4 D．4
【答案】C　
【解析】∵a>0，b>0，∴＋＝≥2，ab≥2，当且仅当a＝b＝时等号成立，
∴a2＋b2≥2ab≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立．
综上，a2＋b2的最小值是4.故选C.
4．若对x>0，y>0，有(x＋2y)·≥m恒成立，则m的取值范围是(　　)
A.m≤4 B．m>4
C.m<0 D．m≤8
【答案】D　
【解析】由x>0，y>0，得(x＋2y)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当2y＝x时取等号，则m≤8.故选D.
5．对于使－x2＋2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做－x2＋2x的上确界，若a，b∈R＋，且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　 )
A. B．－
C. D．－4
【答案】B　
【解析】由题意可知，只需求－－的最大值即可，因此可先求 ＋的最小值，＋＝(a＋b)＝＋＋≥，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，所以 －－的最大值是－.故选B.
6．(多选)设a，b是正实数，则下列各式中成立的是(　　)
A.a＋b≥2 B．＋≥2
C.≥2 D．≤
【答案】ABC　
【解析】由≥得a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立，∴A成立；
∵＋≥2＝2，当且仅当a＝b时等号成立，∴B成立；
∵≥＝2，当且仅当a＝b时等号成立，∴C成立；
∵－＝≥0，∴≥，∴D不成立．故选A、B、C.
7．(多选)已知a，b∈R＋且a＋b＝1，那么下列不等式中，恒成立的有(　　)
A.ab＜ B．a2＋b2≥
C.＋≤ D．＋≥2
【答案】BC　
【解析】A，因为a，b∈R＋且a＋b＝1，所以ab≤＝，当且仅当即a＝b＝时，等号成立，故A错误；B，a2＋b2＝a2＋(1－a)2＝2a2－2a＋1＝2＋≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故B正确；C，＝a＋b＋2＝1＋2＝1＋2＝1＋2＝1＋2≤2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，因此＋≤，故C正确；D，＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋，当且仅当即时，等号成立，故D错误．故选B、C.
8．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则1，ab，的大小关系是________．
【答案】ab＜1＜
【解析】因为a，b∈R＋，a＋b＝2，
所以a＋b≥2，即ab≤＝1，又a≠b，所以ab＜1，
因为＞0，所以＞ab，则2(a2＋b2)＞(a＋b)2＝4，＞1，
所以ab＜1＜.
9．下列条件中能使＋≥2成立的是________．
①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.
【答案】①③④
【解析】要使＋≥2成立，只需＞0，＞0即可，此时＋≥2＝2，当且仅当＝等号成立，若＜0，则不等式不成立，即只需a，b同号即可，故①③④满足．
10．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园．设菜园的长为x米，宽为y米．若菜园面积为50平方米，则所用篱笆总长的最小值为________；若使用的篱笆总长度为30米，则＋的最小值为________．

【答案】20　
【解析】若菜园面积为50平方米，则xy＝50，
所以篱笆总长x＋2y≥2＝20，当且仅当x＝2y，即x＝10，y＝5时等号成立，
故所用篱笆总长的最小值为20；
若使用的篱笆总长度为30米，则x＋2y＝30，
所以＋＝×(x＋2y)＝≥＝，
当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立，
所以＋的最小值为.
11．(1)已知a＞0，b＞0，a＋2b＝4，求ab的最大值；
(2)若正数a，b满足a＋b＝1，求＋的最小值．
【解析】(1)ab＝a×2b≤＝2，当且仅当a＝2b＝2即a＝2，b＝1时取等号．
故ab的最大值为2.
(2)a＋b＝1，即(a＋1)＋b＝2，∵a＞0，b＞0，
故＋＝[(a＋1)＋b]＝≥8，当且仅当＝时等号成立，
又a＋b＝1，∴a＝b＝时，＝8.
12．已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋的最小值为(　　)
A.2 B．2＋
C.4 D．2＋2
【答案】D　
【解析】因为△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，
所以(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2，
当且仅当a＋b＝c，即c＝2－2时，等号成立，
所以＋的最小值为2＋2.
13．(多选)下列说法正确的为(　　)
A.若x＞0，则x(2－x)最大值为1
B.函数y＝的最小值为4
C.≥2
D.已知a＞3时，a＋≥2，当且仅当a＝即a＝4时，a＋取得最小值8
【答案】AC　
【解析】选项A，若x＞0，则x(2－x)≤＝1，当且仅当x＝2－x，即x＝1时等号成立，故选项A正确；
选项B，y＝＝＝2(＋)≥2×2＝4，
当且仅当＝，即x2＝－2时等号成立，显然取不到最小值，故选项B错误；
选项C，当x＞0时，＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立；
当x＜0时，－x＞0，所以＝(－x)＋≥2＝2，当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立，所以≥2，故选项C正确；
选项D，当a＞3时，a＋＝a－3＋＋3≥2＋3＝7，当且仅当a－3＝，即a＝5时等号成立，故选项D错误．
故选A、C.
14．若正实数a，b，c满足a2－3ab＋4b2－c＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．
【答案】1
【解析】由条件可得c＝a2－3ab＋4b2，则＝＝，
由－3＋4×＝4×＋－3≥2－3＝1，
当且仅当4×＝，即a＝2b时，有最大值，此时c＝2b2，所以＋－＝－＝－＋1，
当b＝1时，＋－有最大值1.所以＋－的最大值为1.
15．“勾股容方”问题出自我国汉代数学名著《九章算术》，该问题可以被描述为：“设一直角三角形(如图①)的两直角边长分别为a和b，求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长．”公元263年，数学家刘徽为《九章算术》作注，在注中他利用出入相补原理给出了上述问题如图②和图③所示的解答，则图①中与直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为________，当内接正方形的面积为1时，则图③中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为________．

【答案】　2
【解析】设内接正方形的边长为x，则图②的面积为ab，图③的面积为(a＋b)x，
因为图②和图③的面积相等，则有ab＝(a＋b)x，解得x＝，故内接正方形的边长为.
因为内接正方形的面积为1，所以内接正方形的边长x＝1，则有a＋b＝ab，
利用基本不等式可得a＋b＝ab≥2，故ab≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，
所以两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和为ab－2≥2，
故图③中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为2.
16．某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案：
方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；
方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；
方案丙：第一次提价%，第二次提价%.
其中p＞q＞0，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？
【解析】不妨设提价前的价格为1，则
方案甲：两次提价后的价格为(1＋p%)(1＋q%)＝1＋p%＋q%＋0.01pq%，
方案乙：两次提价后的价格为(1＋q%)(1＋p%)＝1＋p%＋q%＋0.01pq%，
方案丙：两次提价后的价格为＝1＋p%＋q%＋0.01×%，
由于p＞q＞0，由基本不等式p＋q≥2，当且仅当p＝q时等号成立，
故≥pq，又p≠q，故等号不成立，即＞pq.
因此方案丙提价最多，方案甲、乙少，且提价一样．
17．已知a，b为正实数，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2＝4(ab)3，求ab的值．
【解析】(1)因为a，b为正实数，且＋＝2，所以＋＝2≥2，即ab≥(当且仅当a＝b时等号成立).
因为a2＋b2≥2ab≥2×＝1(当且仅当a＝b时等号成立)，
所以a2＋b2的最小值为1.
(2)因为＋＝2，所以a＋b＝2ab.因为(a－b)2＝4(ab)3，所以(a＋b)2－4ab＝4(ab)3，即(2ab)2－4ab＝4(ab)3，即(ab)2－2ab＋1＝0，(ab－1)2＝0.因为a，b为正实数，所以ab＝1.
18．某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，
每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).
(1)将2021年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
【解析】(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m
＝4＋8－m
＝－＋29(m≥0).
(2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，
当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．