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人教版数学小升初暑假衔接 专题13 有理数的乘方（原卷版+解析版）
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专题13 有理数的乘方
1.理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义.
2.会求有理数的正整数指数幂.
3.熟练掌握有理数混合运算（含乘方）顺序和法则.
4.感受发现问题的过程中体会到数学学习的乐趣，从而增进学好数学的自信心.
【思考1】手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折(每次对折称为一扣)，如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细|的面条.你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？
【乘方的趣事】关于国际象棋的起源，有一个传说：在古时候， 在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“第1格放1粒小麦，第2格放2粒小麦，第3格放4粒小麦，然后是8粒、16粒、32粒..，一直到第64格……即每一个次序在后的格子中放的小麦都必须是前一个格子麦粒数目的两倍，直到最后一个格子放满为止”。国王哈哈大笑，慷慨地答应了大臣的要求。然而，国王最终发现，按照与大臣的约定，全印度的麦子竟然连棋盘一小半格子数目都不够。大臣索要的麦粒数目实际上是天文数字，总数将是一个十九位数，折算重量约为2000多亿吨，即使现代，全球小麦的年产量也不过是数亿吨。
1. 有理数的乘方
1） 乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；
②乘方运算，代表的是多个相同因数相乘，要与乘法运算区分开来；
③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁；
④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．
2．有理数指数幂的符号规律：
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0．
注意:除0以外的任何数的“0次幂”结果为1.
考点1、有理数乘方的概念
【解题技巧】有理数乘方的概念
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.
例1．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）在中，底数是______，指数是______.计算：______.
【答案】 3 4
【分析】根据幂的定义：形如中a是底数，n是指数，及乘方计算法则计算解答．
【详解】解：中，底数是3，指数是4，，故答案为：3，4，．
【点睛】此题考查了幂的定义，有理数的乘方计算法则，熟记定义及计算法则是解题的关键．
例2．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）计算的结果，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂的定义即可求解．
【详解】解：原式，故选：A．
【点睛】本题考查了幂的定义，掌握幂的定义是解题的关键．
变式1．（2023·贵州贵阳·统考一模）代数式可以表示为（ ）
A． B． C． D．n2
【答案】C
【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得.
【详解】解：代数式可以表示为；故选：C.
【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是关键.
变式2．（2023春·福建福州·九年级校考期中）若为正整数，则的意义为（ ）
A．3个相加 B．5个相加 C．3个相乘 D．8个相乘
【答案】C
【分析】根据幂的定义：n个a相乘写作，读作a的n次方或a的n次幂，直接判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，表示3个相乘，故选C．
【点睛】本题考查幂的定义：n个a相乘写作，读作a的n次方或a的n次幂．
变式3．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）表示的意义是( )
A．与相乘 B．与相加 C．个相乘 D．个相加
【答案】C
【分析】根据幂的意义分析即可求解．
【详解】解：表示的意义是个相乘，故选：C．
【点睛】本题考查了幂的意义，掌握幂的意义是解题的关键．
考点2、有理数乘方的运算
【解题技巧】有理数乘方的运算
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0的任何正整数次幂都是0；
（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
例1．（2023秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据乘方的意义列出方程求解即可得出答案．
【详解】解：∵，∴，故选C．
【点睛】本题主要考查了乘方的意义，正确得出是解答本题的关键．
例2．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）已知在，，，这4个数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把各数进行计算，再根据有理数大小比较的法则进行比较即可．
【详解】解：，，，，
∵，∴这四个数中，最大的数是．故选：B．
【点睛】本题考查了有理数乘方，熟练掌握有理数乘方运算及比较大小法则是解题关键．
变式1．（2023春·上海静安·七年级校考期中）下列各式中，正确的是 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的乘方法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．
变式2．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）在有理数、、、中负数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】先求出各数的值，再判断正负即可．
【详解】解：，，，；
负数有，，共3个，故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的化简与运算，解题关键是准确算出各数的值．
考点3、乘方运算的符号规律
【解题技巧】乘方的符号规律：
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0．
例1．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）已知为正整数，计算的结果是（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】D
【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：，故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键．
例2．（2022·河北·石家庄模拟预测）若非零数a，b互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（ ）
①与；②与；③与；④与
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据相反数的定义逐一解答．
【详解】解：a，b互为相反数，则，即与不互为相反数；
a，b互为相反数，则，故，即与互为相反数：
a，b互为相反数，则，，即与互为相反数，与不互为相反数，
则互为相反数的有②③故选：C．
【点睛】本题考查相反数的意义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
变式1.（2022·浙江宁波·七年级期中）下列各组数中，结果相等的是（ ）
A．52与25 B．﹣22与（﹣2）2 C．﹣34与（﹣3）4 D．（﹣1）2与（﹣1）20
【答案】D
【分析】A、根据幂的定义化简即可判定；B、根据幂的定义化简即可判定；C、根据幂的定义计算即可判定；D、根据有理数的乘方运算法则计算即可判定．
【详解】解：A. 52=25，25=32，故不符合题意；B. ﹣22=-4，（﹣2）2=4，故不符合题意；
C. ﹣34=-81，（﹣3）4=81，故不符合题意； D. （﹣1）2=1，（﹣1）20=1，故符合题意．故选D．
【点睛】本题主要考查了幂的定义和有理数的乘方运算，熟练掌握相关的定义和法则是解题的关键．
变式2．（2022·河南漯河·七年级校考阶段练习）计算的值，结果正确的是（ ）
A．1 B． C．0 D．或0
【答案】B
【分析】由运算式中的加数一共个数，其中偶次方有个，奇次方有个，从而可得答案．
【详解】解： 故选B．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，掌握“乘方运算的符号规律的确定”是解本题的关键．
考点4、有理数乘方的简算
【解题技巧】性质：
例1．（2022秋·广东东莞·七年级期中），由此你能算出（ ）
A．6 B．8 C． D．十分麻烦
【答案】B
【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解．
【详解】解：＝1×8＝8故选：B．
【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键．
例2．（2022·江苏·七年级专题练习）阅读计算：
阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
回答下列三个问题：(1)验证：（4×0.25）100＝ ；4100×0.25100＝ ．
(2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝ ；（ ）n＝ ．
(3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014．
【答案】(1)1，1；(2)ab，anbn，abc，anbncn；(3)﹣0.125
【分析】（1）先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法．
（2）根据有理数乘方的定义求出即可；
（3）根据根据阅读材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再计算，即可得出答案．
(1)解：（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1， 故答案为：1，1．
(2)解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，
故答案为：ab，anbn，abc，anbncn．
(3)解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）
＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，主要考查学生的计算能力，理解阅读材料是解题的关键．
变式1．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可．
【详解】解：，==，
=，=，故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算．
变式2．（2022秋·福建三明·七年级统考期中）（1）计算下面两组算式：
①与； ②与；
（2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果）
（3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4）
【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值；（2）根据（1）的结果即可得到答案；（3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）①，；
②，；
（2）；
（3），理由如下：
；
（4）．
【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键．
考点5、含乘方的混合运算
【解题技巧】有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
例1．（2023春·上海徐汇·七年级校考阶段练习）
【答案】
【分析】先计算乘方，再进行加减运算．
【详解】解：
【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则并正确计算．
例2．（2022春·广东江门·七年级台山市新宁中学校考期中）计算：．
【答案】
【分析】先有理数乘方、绝对值、乘法分配律运算，再加减运算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
例3．（2022·广东清远·七年级统考期末）计算：．
【答案】
【分析】根据、绝对值运算及平方运算，再结合有理数加减运算即可得到答案．
【详解】解：．
【点睛】本题考查有理数计算，涉及、绝对值运算及平方运算，熟练掌握有理数相关运算法则是解决问题的关键．
变式1．（2023·广西南宁·统考二模）计算：．
【答案】2
【分析】先进行乘方运算，再进行乘除运算，最后进行加法运算．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．
变式2．（2023·广西柳州·统考三模）计算
【答案】
【分析】根据有理数的混合运算法则即可解答．
【详解】解：；
【点睛】本题考查了有理数的混合运算法则，熟记对应法则是解题的关键．
变式3．（2023·广西贵港·统考三模）计算：
【答案】
【分析】先根据平方运算、绝对值运算、计算，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：．
【点睛】本题考查有理数加减混合运算，涉及平方运算、绝对值运算、计算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
考点6、有理数乘方的应用（进制问题与末位数字问题）
【解题技巧】此类题型通常乘方运算种的幂比较大，且无简单计算方法，直接计算几乎无法进行。但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后依旧变化规律，分析出最终结果。
例1．（2023·河南南阳·统考一模）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得尾数，，，的规律是4个数一循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解．
【详解】解：∵，，，，，，…，
∴尾数，，，的规律是4个数一循环，
∵，∴的个位数字是，
又∵，∴的结果的个位数字与的个位数字相同，
∴的结果的个位数字是．故选：A．
【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．
例2．（2022秋·江苏·七年级期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一书生用此方法来记录自己读书的天数，如图1，他在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天（），按同样的方法，图2表示的天数是 _____．
【答案】92
【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为，然后把它们相加即可．
【详解】解：根据题意得：．
故图2表示的天数是92．故答案为：92．
【点睛】本题考查了用数字表示事件，是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
变式1．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【分析】通过观察发现：的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据，得出的个位数字与的个位数字相同；以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的．即可知的个位数字，从而得到221+311的末位数字．
【详解】解：由题意可知，，，，，，，，，，
即末位数字是每4个算式是一个周期，末位分别为2，4，8，6，
，的末位数字与的末位数字相同，为2；
由题意可知，，，，，，，
以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的，，
所以的个位数字是7，所以的个位数字是9，故选：D．
【点睛】本题考查的是尾数特征，规律型：数字的变化类，根据题意找出数字循环的规律是解答此题关键．
变式2．（2023·浙江温州·校考二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．母亲甲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子1出生后的天数，如图1所示，孩子1出生后的天数是（天），母亲乙按照母亲甲的做法记录孩子2出生后的天数，如图2所示，则孩子2出生后的天数比孩子1 出生后的天数（ ）
A．少41天 B．少42天 C．多41天 D．多42天
【答案】A
【分析】根据已知算法求出孩子2出生后的天数，相减即可得到答案．
【详解】解：由已知算法可知，孩子2出生后的天数是（天），
（天），孩子2出生后的天数比孩子1 出生后的天数少41天，故选A．
【点睛】考查含乘方的有理数混合运算，理解题意，掌握“结绳计数”满七进一的计算方法是解题关键．
考点7、有理数乘方的应用（实际问题）
【解题技巧】此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。
例1．（2022秋·江苏常州·七年级校考阶段练习）将一根绳子对折一次后从中间剪一刀，绳子变成3段；对折两次后从中间剪一刀，绳子变成5段：将这根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成_____段．
【答案】2n+1
【分析】根据分析可得：将一根绳子对折1次从中间一刀，绳子变成3段；有21+1＝3．将一根绳子对折2次，从中间一刀，绳子变成5段；有22+1＝5．依此类推，将这根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成（2n+1）段．
【详解】解：∵对折1次从中间剪一刀，有21+1＝3 对折2次，从中间剪一刀，有22+1＝5．
∴对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成（2n+1）段．故答案为：（2n+1）．
【点睛】本题考查通过观察、归纳、抽象得出规律，正确得出对折次数与绳子段数的规律是解题的关键
例2．（2022秋·福建厦门·七年级校考期中）七年级某班的学生共有49人，军训时排列成的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（ ）
A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
B．当n为偶数时，无论m何值，对下的学生人数不可能为偶数个
C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个
D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
【答案】A
【分析】假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时49个“”，其乘积为“”，每次改变其中的个数，当为偶数时，每次的改变其中个数，都不改变上一次的符号，则m次点名后，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；即可获解．
【详解】解：假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时49个“”，其乘积为“”．
每次改变其中的个数，经过m次点名，
①当为偶数时，若有偶数个“”偶数个“”，变为偶数个“”偶数个“”，其积的符号不变；
若有奇数个“”奇数个“”，变为奇数个“”奇数个“”，其积的符号不变；
故当为偶数时，每次改变其中的个数，其积的符号不变，那么m次点名后，乘积仍然是“”，
故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；
②当为奇数时，若有偶数个“”奇数个“”，变为偶数个“”奇数个“”，其积的符号改变；
若有奇数个“”偶数个“”，变为奇数个“”偶数个“”，其积的符号改变；
故当为奇数时，每次改变其中的个数，其积的符号改变，那么m次点名后，
若为偶数，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；
若为奇数，乘积最后是“”，故最后出现的“”的个数为奇数，即蹲下的人数为奇数；
综上所述，选项A正确，选项B、C、D均错误；故选：A．
【点睛】此题考查了正负数的意义、有理数乘法中积的符号的判断，熟练掌握有理数乘法中符号法则与分类讨论的思想方法是解答此题的关键．
变式1．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）某种细胞每过秒便由个分裂成个．经过分钟，这种细胞由个分裂成（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得3分钟有12个15秒，进而根据有理数乘方的意义即可求解．
【详解】解：∵3分钟秒，
∴经过分钟，这种细胞由个分裂成个，故选：C．
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，理解题意是解题的关键．
变式2．（2023秋·安徽亳州·七年级统考期末）一条长的钢丝，第一次剪的去钢丝的，第二次剪去剩下钢丝的，如此剪下去，第次剪完后剩下钢丝的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的乘方运算法则即可求出答案．
【详解】解：第一次剪去钢丝的，剩下是，
第二次剪去剩下钢丝的，剩下是，
第次剪完后剩下钢丝的长度是．故答案为：C．
【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是正确找出题中的规律．
变式3．（2023·广东东莞·九年级东莞市东华初级中学校考期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（ ）
A． B．4039 C．8124 D．16304
【答案】B
【分析】由每个30分钟进去的人数可构成一列数，利用观察法求出这一列数的规律，由于从早晨6时30分到上午Il时30分共有10个30分钟，故求这一列数的前11个数的和，即可得上午11时30分公园内的人数．
【详解】解：根据题意知：早晨6时30分有2人进公园，则，
第一个30min内有4人进去并出来1人，则，
第二个30min内进去8人并出来2人，则，
第三个30min内进去16人并出来3人，则，
第四个30min内进去32人并出来4人，则，……
∴第十个30min（即上午11时30分）内进去的人和出来的人数可表示为，
∴到上午11时30分公园内的人数为：
设，
∴，，
∴，
∴，，
∴
．故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，运用了归纳推理、转化的解题方法．解题时要善于将实际问题转化为数学问题，运用数学知识解决问题．解题的关键是归纳出题干所给式子的规律．
考点7、有理数乘方的新定义问题
【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（2022秋·湖南邵阳·七年级校联考期中）定义一种运算符号“★”：，如：，那么的结果是_______．
【答案】8
【分析】根据运算律，先算括号内，再算括号外即可
【详解】解：故答案为
【点睛】此题考查了有理数的混合运算、新定义，解决本题的关键是会用新定义解答问题
例2．（2023·山东枣庄·统考一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（ ）
A． B．2 C．1 D．4
【答案】A
【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，∴
∴，，．故选：A．
【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键．
变式1．（2020秋·浙江金华·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：
若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是______．
【答案】1
【分析】根据题意计算前几次结果，找到规律即可求解．
【详解】解：第一次：，第二次：
∵其中k是使为奇数的正整数，∴∴第二次运算：，
第三次：∵∴计算结果为
第五次：，第六次：，∵∴，计算结果为，……
依次为与的循环，当计算次数为奇数时，结果为8；当计算次数为偶数时，结果为1，
∴第2020次“F运算”的结果是1．故答案为：1．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，找到规律是解题的关键．
变式2．（2023秋·湖南常德·七年级统考期末）已知，记作，已知，记作，已知，记作，那么：（1）______；
（2）( )．
【答案】
【分析】根据乘方的性质，求解即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，设，则，故答案为：，
【点睛】此题考查了乘方的运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握乘方运算规则．
A级（基础过关）
1．（2022秋·七年级单元测试）下面对的描述正确的是（ ）
A．个相乘所得的积 B．后面有个 C．后面有个 D．后面有个
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方运算可进行求解．
【详解】解：表示有n个10相乘，故1后面有n个0；故选B．
【点睛】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键．
2．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）算式可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用乘方的运算解题即可．
【详解】解：故选C．
【点睛】本题考查乘方的运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键．
3．（2022秋·广东深圳·七年级校考期中）下列各数，，，，中，负数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据有理数乘方符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，以及相反数和绝对值去判断负数的个数．
【详解】，，，，，所以负数有3个．故选：B
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，以及绝对值和相反数，牢记乘方的符号法则是解题的关键．
4．（2022秋·成都市七年级期中）接近于（ ）
A．一张纸的厚度 B．姚明的身高 C．三层楼的高度 D．珠穆朗玛峰的高度
【答案】B
【分析】结合事实作出判断．
【详解】解：，
∴三层楼房的高度远远大于，一张纸的厚度远远小于，珠穆朗玛峰的高度远远大于，最接近于的是姚明的身高．故选：B．
【点睛】本题考查了数学常识，有理数的乘方运算，此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．平时要注意多观察，留意身边的小知识．
5．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）式子与的正确判断是（ ）
A．当为偶数时，这两个式子互为相反数 B．这两个式子是相等的
C．当为奇数时，它们互为相反数 D．为偶数时它们相等
【答案】A
【分析】分类讨论的奇偶性，结合乘方的意义化简即可．
【详解】解：当为偶数时，，即此时这两个式子互为相反数，
当为奇数时，，即此时这两个式子相等．故选A．
【点睛】本题考查有理数的乘方，相反数的定义．熟练掌握乘方的意义并利用分类讨论的思想是解题关键．
6．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）若一个幂的底数为5，指数为3，则这个幂写作______（只写形式，不计算结果）
【答案】
【分析】根据幂的底数和指数即可得出答案．
【详解】解：这个幂写作，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，掌握乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数是解题的关键．
7．（2022·绵阳·七年级期中）当自然数的个位数分别为0，1，2，…，9时，的个位数如表所示：
个位数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
个位数
0
1
4
9
6
5
6
9
4
1
个位数
0
1
8
7
4
5
6
3
2
9
个位数
0
1
6
1
6
5
6
1
6
1
······
在10，11，12，13这四个数中，当____________时，和数能被5整除．
【答案】10、11、13
【分析】根据表格中的规律，分别求出2001、2002、2003、2004这几个数的个位在n=10、11、12、13时的值，通过判断这4个数字的个位数字和是否是0或5来判断是否能被5整除
【详解】根据表格中的规律，可得下表：
n
个位数
10
11
12
13
个位数
1
1
1
1
个位数
4
8
6
2
个位数
9
7
1
3
个位数
6
4
6
4
个位数的和的个位数
0
0
4
0
由表格知道，当n=10、11、13时，的个位数字都是0，能够被5整除
故答案为：10、11、13
【点睛】本题考查了归纳总结的能力，解题关键是利用乘方的规律来确定个位数字，求出结果的个位数字之和判断是否能够被5整除.
8．（2023春·广西南宁·九年级南宁三中校考阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】先计算乘方，去绝对值，再计算乘除，最后计算加减．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．（2022秋·广东揭阳·七年级校考阶段练习）
【答案】1
【分析】根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
10．（2022秋·河北保定·七年级校考期中）计算：
(1) (2)
【答案】(1)6 (2)
【分析】（1）先计算乘方和化简绝对值，然后再进行加减计算即可；
（2）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可
【详解】（1）
=
=6；
（2）
=
=
=
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握运算顺序和运算法则是解答本题的关键
11．（2023秋·贵州铜仁·七年级期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)15 (2)39
【分析】（1）原式先计算乘方和绝对值，再计算除法和乘法，最后计算加法即可；
（2）原式先计算乘方，再计算除法和乘法，最后计算减法即可
【详解】（1）
=
=
=15；
（2）
=
=
=39
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握有理数混合运算的顺序以及运算法则
B级（能力提升）
1．（2023春·福建福州·九年级校考期中）下列运算中，结果可以为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘法、有理数的除法运算法则计算后判断．
【详解】解：，，A选项不符合题意；
，B选项不符合题意；，C选项不符合题意；
，D选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、有理数的乘法、有理数的除法运算，解题的关键是掌握有理数的乘方、有理数的乘法、有理数的除法运算法则．
2．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）下列各式：①﹣a；②﹣|x|；③﹣；④；⑤，其中值一定是负数的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】先分析每个代数式的特点，确定它们的符号，即可得出答案．
【详解】解：①a＜0时，﹣a是正数，故①不符合题意；②x＝0时，﹣|x|＝0，故②不符合题意；
③a＝0时，﹣＝0，故③不符合题意；④一定是负数；
⑤a＝﹣2时，是正数，故⑤不符合题意，所以其中值一定是负数的有1个．故选：A．
【点睛】考查正数和负数，绝对值，由a的取值范围知道代数式的正负性是解题的关键．
3．（2022秋·山东德州·七年级校考期中）定义：如果（，且），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．下列说法：①；②；③若，则；④；正确的序号有（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【分析】由新定义可得：，利用新定义逐一计算判断，从而可得答案．
【详解】解：根据新定义可得： ，故①不符合题意；，故②符合题意；
∵，∴，解得：，故③符合题意；
∵，，
∴，故④符合题意，综上所述，正确的序号有②③④．故选：D．
【点睛】本题考查的新定义运算，有理数的乘方运算的含义，正确理解新定义，运用新定义解决问题是解本题的关键．
4．（2022秋·全国·七年级期末）现有价格相同的6种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或涨价10％，若干天后，这6种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设6种商品最初的价格为，则天后商品的价格为，然后分别表示出6中商品的价格，然后根据题意列式计算．
【详解】解：设6种商品最初的价格为，过了n天后，这n天中假设有m天是降价的，剩余的（n－m）天是涨价的，（其中m为自然数，且0≤m≤n），
则天后商品的价格为，
∴6种商品的价格可以表示为：
①，②，③，④，⑤，⑥，其中m为不超过n的自然数，设最高价格和最低价格的比值为，
的最小值为，故选：．
【点睛】本题考查有理数乘方的应用，理解题意能够列出六种商品的价格是解题关键．
5．（2023春·上海徐汇·七年级校考阶段练习）对1，3，5，5四个数进行“加、减、乘、除、乘方”混合运算（每个数只能使用一次），其计算结果为24，请列出算式：______（填一个算式即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】结合所给数字及结果的特点，利用“加、减、乘、除、乘方”进行尝试，即可得出答案．
【详解】解：，或，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
6．（2023秋·山东淄博·六年级统考期末）把一张厚度为的纸对折8次后，厚度为______________．
【答案】
【分析】根据题意，对折1次厚度为，对折2次为，……所以对折8次后厚度为，计算即可求解．
【详解】解：对折1次厚度为，对折2次为，……所以对折8次后厚度为，
∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了乘方的应用，掌握有理数的乘方运算是解题的关键．
7．（2023秋·山东淄博·六年级校考期末）我国古代《易经》一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是_______．
【答案】510
【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，所以从右到左的数分别为，然后把它们相加即可．
【详解】解：（天），
所以孩子自出生后的天数是510天．故答案为：510．
【点睛】本题考查了用数字表示事件．本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
8．（2022秋·上海·七年级校考期中）为计算，可令，则，因此，根据以上解题过程，猜想： ____________________
【答案】
【分析】读懂题目中的解题过程，模仿进行即可得到结果．
【详解】令，则，
所以，所以，故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数乘方运算的应用，读懂题意并能灵活运用是关键．
9．（2022秋·河南南阳·七年级期中）对于任何数，规定一种新运算，例如：．(1)按照这个规定，请你计算的值；
(2)按照这个规定，请你计算当x、y满足时，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)由新定义列出算式计算即可；
(2)先由平方和绝对值的非负性求出x，y的值，再根据新定义列出算式，将x，y的值代入计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，，，
，，
，，
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，绝对值及平方数的非负性，涉及新定义，解题的关键是由新定义列出算式．
10．（2022秋·辽宁抚顺·七年级统考期中）（1）在下表中，给出了国外四个城市与北京的时差
城市
悉尼
罗马
伦敦
纽约
时差/小时
2
－7
－8
－13
下面的五个时钟显示了同一天同一时刻国外四个城市时间和北京时间，
①若北京时间是11月12日上午9点10分，那么伦敦时间为 ；
②从左到右五个时钟对应的城市分别为：A： ；B： ；C： ；D： ；E： ．
（2）阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．直接写出之间满足的关系式．
【答案】（1）①11月12日凌晨1点10分；②A：悉尼； B：北京；C：纽约；D：伦敦；E：罗马；（2）
【分析】（1）①根据北京与伦敦的时差确定出伦敦时间即可；
②根据纽约、悉尼、伦敦、罗马与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市时间即可；
（2）利用题干中的定义分别计算的值，由计算结果可得出结论．
【详解】解（1）①若北京时间是11月12日上午9点10分，那么伦敦时间为11月12日凌晨1点10分；
②根据纽约、悉尼、伦敦、罗马与北京的时差，可得A：悉尼； B：北京；C：纽约；D：伦敦；E：罗马；
故答案为：①11月12日凌晨1点10分；②A：悉尼； B：北京；C：纽约；D：伦敦；E：罗马；
（2） ．
【点睛】本题考查正负数的实际应用、有理数的乘方，正确理解新定义并熟练掌握其应用是解题关键．
11．（2023秋·浙江金华·七年级校考阶段练习）根据“二十四点”游戏规则，3，4，，10每个数都必须用且只能用一次，用有理数的运算符号（+或-或×或÷或乘方）连接，运算符号不一定全用，使其结果等于24，请写出两个不同的算式．
【答案】，．
【分析】根据题意列式，使其运算结果为24即可．
【详解】解：①；
②．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，通过游戏的形式，增加了计算的趣味性．
12．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）计算题，要求写出具体计算过程：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【分析】（1）先化简符号，再算加减法；（2）先化简符号，再算加减法；
（3）先算乘方，和括号内的，再将除法转化为乘法，再约分计算；（4）利用乘法分配律合并计算；
（5）先算乘方和括号内的，再算乘法，最后算减法；（6）先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各自运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．
13．（2022秋·河北石家庄·七年级统考期末）如图是一个数学游戏活动，分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（提示：①每次游戏都涉及四种运算；②运算过程中自动添加必要的括号）
(1)4经过的顺序运算后，结果是多少?
(2)-2经过、的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是________．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的算式，从而可以求得相应的结果；
（2）依题意，最后的运算为，则前三次运算的结果为，开始的数是，则经过三次运算结果不变，据此即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：依题意，最后的运算为，
则前三次运算的结果为，开始的数是，则经过三次运算结果不变，
∵∴运算顺序为， 故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键．
14．（2022秋·福建厦门·七年级大同中学校考期中）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，（规定）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“”、“”，结合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围．
【答案】(1)(2)不能，理由见解析，改编规则见解析，范围为至
【分析】（1）根据规定了运算法则进行计算即可求解；
（2）根据有理数的混合运算进行计算，得出最大的班级变号为，则不能被全部被识别，改编为：改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，根据有理数的混合运算进行计算可得知新系统规则可表示的班级编号范围．
【详解】（1）解：图3中，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，则序号为，
故答案为：；
（2）不能，∵，
∴不能用该系统全部识别；
∵最多只能表示个数字，要表示大于的数字，则需加一位，
改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，
规则不变，序号改为：，
如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，第二行第1个数字为1，
序号为，
第一行数字从左到右依次为0，0，1，0，第二行第1个数字为1，
序号为，
当第一行数字从左到右依次为1，1，1，1，第二行第1个数字为1，
序号最大，为，
∴改编后的新系统规则可表示的班级编号范围为至．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
C级（培优拓展）
1．（2023·湖北恩施·统考二模）在算式中的“”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的运算法则，逐项代入计算并比较即可．
【详解】解：A、；B、；
C、；D、；
∵，∴结果最小的运算为C选项，故选：C．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算法则是解题关键．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）应等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把变形为化简计算即可．
【详解】．故选D．
【点睛】本题考查了提取公因式，幂的计算，熟练掌握分解因式是解题的关键．
3．（2022·四川成都·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（ ）
（1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据绝对值，偶次方的非负性进行判断即可.
【详解】∵，∴>0，即总是正数，(1)正确；
∵， ，∴当即a=0时，，故是正数；
当时，则，即，故是正数；故（2）正确；
的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）错误．故选：B.
【点睛】此题考查绝对值的性质，偶次方的性质，最大值及最小值的确定是难点.
4．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）如果ab＝c，那么我们规定[a，c]＝b．例如：因为23＝8，所以[2，8]＝3．若[3，5]＝n，[9，m]＝n；则[3，m+2]＝_______．
【答案】3
【分析】根据规定可得3n＝5，9n＝m，从而得到m＝25，然后设[3，m+2]＝x，则3x＝m+2=27，再由33＝27，即可求解．
【详解】解：∵[3，5]＝n，[9，m]＝n，∴3n＝5，9n＝m，
∴9n＝（3n）2＝52＝25，∴m＝25，即m+2=27，
设[3，m+2]＝x，则3x＝m+2=27，∴33＝27，∴[3，m+2]＝3，故答案为：3
【点睛】本题主要考查了乘方的逆运算的应用，理解新规定是解题的关键．
5．（2022秋·福建福州·七年级校考期末）已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是_____．
【答案】81
【分析】根据题意分别确定a，b，c，d的取值范围，得到4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，
再分别确定a，b，c，d的值，即可得到a+2b+3c+4d的最大值．
【详解】解：∵a，b，c，d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，
∴d4＜90，则d＝2或3，c3＜90，则c＝1，2，3或4，
b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，a＜90，则a＝1，2，3，…，89，
∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，
∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值，
∴b，c，d要取最小值，则d取2，c取1，b取3，∴a的最大值为90﹣（32+13+24）＝64，
∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81，故答案为：81．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据题意确定a，b，c，d的取值范围是解题关键．
6．（2022秋·浙江·七年级期末）把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止，那么2018、2019、2020、2021这四个数中______可能是剪出的纸片数．
【答案】2020
【分析】根据剪纸的规律，每一次都是在4的基础上多了3张，则剪了n次时，共有4+3（n-1）=3n+1．根据这一规律，则该数减去1必须是3的倍数，才有可能．所以其中只有2020符合条件．
【详解】解：第一次取k1块，则分为了4k1块，加上留下的（4-k1）块，共有4k1+4-k1=4+3k1=3（k1+1）+1块，第二次取k2块，则分为了4k2块，加上留下的（4+3k1-k2）块，共有4+3k1+3k2=3（k1+k2+1）+1块，…第n次取kn块，则分为了4kn块，共有4+3k1+3k2+3kn=3（k1+k2+k3+…+kn+1）+1块，从中看出，只要能够写成3k+1的形式，就能够得到．
∵2020=3×673+1，∴这四个数中2020可能是剪出的纸片数．故答案为：2020．
【点睛】考查有理数的乘方，此题必须探索出剪n次有的纸片数，后根据规律求得n是否为整数进行判断．
7．（2022秋·广东·七年级期中）数学真奇妙，小慧同学研究有两个有理数a和b，若计算a+b，a-b，ab，的值，发现有三个结果恰好相同，小慧突发灵感，想考考大家，请你们求_____________
【答案】
【分析】先根据分数的分母不能为0可得，从而可得，由此根据题意可得和两种情况，再根据可求出b的值，然后代入求出相应的a的值，最后将a、b的值代入即可得．
【详解】由题意得：，，
有三个结果恰好相同，
或，
因此，分以下两种情况：（1）当时，
由可得，解得，
①当时，则，无解，即不存在这样的有理数，
②当时，则，解得，此时；
（2）当时，由可得，解得，
①当时，则，无解，即不存在这样的有理数，
②当时，则，解得，此时；
综上，，故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算的应用，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
8．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）在一次数学课上，张老师对大家说：“你任意想一个非零有理数，然后按下列步骤操作，去运算出最后结果．”
操作步骤如下：第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；
第二步：把第一步得到的数乘以25；第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数．
(1)若嘟嘟同学心里想的是数，请你计算出最后结果；
(2)老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等．”雯雯想验证这个结论，于是，设心里想的数是，请你帮雯雯完成这个验证过程．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可；
（2）根据题意列出算式，利用平方差公式和整式的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：由题意得
，
∴最后的结果为100，结论得证．
【点睛】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，整式的混合运算，正确理解题意列出式子是解题的关键．
9．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）阅读材料，解决问题：我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：；；观察上述算式，；可以得到：；类比上述式子，你能够得到：
(1) ， ；
(2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于am和an这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”；
(3)知识运用： ， ；
(4)已知，则的值是 ．
【答案】(1)，(2)(3)，(4)18
【分析】（1）根据题目中给出的信息进行运算即可；
（2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则；
（3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可；
（4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可．
【详解】（1），，故答案为，；
（2）（m、n都是正整数），故答案为；
（3），，故答案为，；
（4）∵，∴，故答案为18．
【点睛】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键．
10．（2022秋·浙江·七年级专题练习）先阅读下列材料，再解答后面的问题
材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为an． 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为(即)．
一般地，若(且)，则叫做以为底的对数，记为(即)． 如，则4叫做以3为底的对数，记为(即)．
问题：(1)计算以下各对数的值：=_________，=_________，=_________．
(2)通过观察（1），思考：、、之间满足怎样的关系式？
(3)由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？＝______（且）．
(4)利用（3）的结论计算＝______．
【答案】(1)2，4，6(2)(3)(4)3
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，即可找到规律：，；
（3）由特殊到一般，得出结论：
（4）根据（3）的结论进行计算即可求解．
【详解】（1）解：(1)∵
∴，
故答案为：2，4，6；
（2）∵，，，，
∴，
故答案为：；
（3）观察（2）的结果，我们发现，底数不变，后面两个数相乘．
则，
故答案为：．
（4）
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，对数，类比、归纳，推测出对数应有的性质是解题的关键．
11．（2022秋·广东惠州·七年级统考期中）有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24，例如1，2，3，4可做如下运算：
(1)现有4个有理数：，3，4，10，运用上述规则，写出一个算式，使其结果为24：_________
(2)现有4个有理数：1，2，4，，在上述规则的基础上，再多给你一种乘方运算，请你写出一个含乘方的算式，使其结果为24：________________
【答案】(1)答案不唯一，见解析
(2)答案不唯一，见解析
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，写出相应的算式即可，注意本题答案不唯一；
（2）根据题意和题目中的数据，写出相应的算式即可，注意本题答案不唯一．
【详解】（1）解：
故答案为：或（答案不唯一）
（2）解：
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．
12．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方．例如，记作，读作“2的引4次商”；一般地，把（，，且为整数）记作，读作“a的引n次商”．
(1)直接写出计算结果：______，______；
(2)归纳：负数的引正奇数次商是______数，负数的引正偶数次商是______数（填“正或负”）；
(3)计算：．
【答案】(1)4，；(2)负，正；(3)76．
【分析】（1）利用除方的定义解答即可；
（2）先根据定义求得，再根据负数的乘方即可解答；
（3）利用题干中给的除方定义以及有理数的混合运算法则解答即可．
【详解】（1）解：，
，故答案为∶4，；
（2）解：∵当，且
∴当n为奇数时，有为奇数，即，
当n为偶数时，有为偶数，即，
∴负数的引正奇数次商是负数，负数的引正偶数次商是正数，故答案为：负，正；
（3）解：．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、乘方以及新定义．本题是阅读型题目，理解题干中的定义与法则并熟练应用是解题的关键．
13．（2022秋·山东青岛·七年级统考期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算(其中是正整数，且，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分割图可得等式：．
探究二：计算．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分制图可得等式：，
两边同除2，得，
探究三：计算．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，___________．
(3)拓广应用：计算___________．
【答案】探究三：图见见解析；
解决问题：图见解析；（1）；（2）；（3）
【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；
解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式
(2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以即可得解；
(3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．
【详解】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，…，
第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为：，
最后的空白部分的面积是，
根据第次分割图可得等式：，
两边同除以3，得；
解决问题：
（1）故答案为：
（2），故答案为：；
（3）拓广应用：
．故答案为：．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．
14．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考阶段练习）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和，它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：
；；
两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如：；，用竖式运算如右侧所示．．
(1)按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ．(2)计算： （结果仍用二进制数表示）； （结果用十进制数表示）．
【答案】(1)9 (2)；35
【分析】（1）根据例子可知：若二进制的数有位，那么换成十进制，等于每一个数位上的数乘以2的方，再相加即可；（2）关于二进制之间的运算，利用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：；故答案为：9；
（2）解：
，
．故答案为：；35．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算．关键是能根据范例，达到举一反三的目的．
专题13 有理数的乘方
1.理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义.
2.会求有理数的正整数指数幂.
3.熟练掌握有理数混合运算（含乘方）顺序和法则.
4.感受发现问题的过程中体会到数学学习的乐趣，从而增进学好数学的自信心.
【思考1】手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折(每次对折称为一扣)，如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细|的面条.你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？
【乘方的趣事】关于国际象棋的起源，有一个传说：在古时候， 在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“第1格放1粒小麦，第2格放2粒小麦，第3格放4粒小麦，然后是8粒、16粒、32粒..，一直到第64格……即每一个次序在后的格子中放的小麦都必须是前一个格子麦粒数目的两倍，直到最后一个格子放满为止”。国王哈哈大笑，慷慨地答应了大臣的要求。然而，国王最终发现，按照与大臣的约定，全印度的麦子竟然连棋盘一小半格子数目都不够。大臣索要的麦粒数目实际上是天文数字，总数将是一个十九位数，折算重量约为2000多亿吨，即使现代，全球小麦的年产量也不过是数亿吨。
1. 有理数的乘方
1） 乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；
②乘方运算，代表的是多个相同因数相乘，要与乘法运算区分开来；
③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁；
④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．
2．有理数指数幂的符号规律：
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0．
注意:除0以外的任何数的“0次幂”结果为1.
考点1、有理数乘方的概念
【解题技巧】有理数乘方的概念
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.
例1．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）在中，底数是______，指数是______.计算：______.
【答案】 3 4
【分析】根据幂的定义：形如中a是底数，n是指数，及乘方计算法则计算解答．
【详解】解：中，底数是3，指数是4，，故答案为：3，4，．
【点睛】此题考查了幂的定义，有理数的乘方计算法则，熟记定义及计算法则是解题的关键．
例2．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）计算的结果，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂的定义即可求解．
【详解】解：原式，故选：A．
【点睛】本题考查了幂的定义，掌握幂的定义是解题的关键．
变式1．（2023·贵州贵阳·统考一模）代数式可以表示为（ ）
A． B． C． D．n2
【答案】C
【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得.
【详解】解：代数式可以表示为；故选：C.
【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是关键.
变式2．（2023春·福建福州·九年级校考期中）若为正整数，则的意义为（ ）
A．3个相加 B．5个相加 C．3个相乘 D．8个相乘
【答案】C
【分析】根据幂的定义：n个a相乘写作，读作a的n次方或a的n次幂，直接判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，表示3个相乘，故选C．
【点睛】本题考查幂的定义：n个a相乘写作，读作a的n次方或a的n次幂．
变式3．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）表示的意义是( )
A．与相乘 B．与相加 C．个相乘 D．个相加
【答案】C
【分析】根据幂的意义分析即可求解．
【详解】解：表示的意义是个相乘，故选：C．
【点睛】本题考查了幂的意义，掌握幂的意义是解题的关键．
考点2、有理数乘方的运算
【解题技巧】有理数乘方的运算
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0的任何正整数次幂都是0；
（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
例1．（2023秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据乘方的意义列出方程求解即可得出答案．
【详解】解：∵，∴，故选C．
【点睛】本题主要考查了乘方的意义，正确得出是解答本题的关键．
例2．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）已知在，，，这4个数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把各数进行计算，再根据有理数大小比较的法则进行比较即可．
【详解】解：，，，，
∵，∴这四个数中，最大的数是．故选：B．
【点睛】本题考查了有理数乘方，熟练掌握有理数乘方运算及比较大小法则是解题关键．
变式1．（2023春·上海静安·七年级校考期中）下列各式中，正确的是 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的乘方法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．
变式2．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）在有理数、、、中负数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】先求出各数的值，再判断正负即可．
【详解】解：，，，；
负数有，，共3个，故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的化简与运算，解题关键是准确算出各数的值．
考点3、乘方运算的符号规律
【解题技巧】乘方的符号规律：
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0．
例1．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）已知为正整数，计算的结果是（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】D
【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：，故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键．
例2．（2022·河北·石家庄模拟预测）若非零数a，b互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（ ）
①与；②与；③与；④与
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据相反数的定义逐一解答．
【详解】解：a，b互为相反数，则，即与不互为相反数；
a，b互为相反数，则，故，即与互为相反数：
a，b互为相反数，则，，即与互为相反数，与不互为相反数，
则互为相反数的有②③故选：C．
【点睛】本题考查相反数的意义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
变式1.（2022·浙江宁波·七年级期中）下列各组数中，结果相等的是（ ）
A．52与25 B．﹣22与（﹣2）2 C．﹣34与（﹣3）4 D．（﹣1）2与（﹣1）20
【答案】D
【分析】A、根据幂的定义化简即可判定；B、根据幂的定义化简即可判定；C、根据幂的定义计算即可判定；D、根据有理数的乘方运算法则计算即可判定．
【详解】解：A. 52=25，25=32，故不符合题意；B. ﹣22=-4，（﹣2）2=4，故不符合题意；
C. ﹣34=-81，（﹣3）4=81，故不符合题意； D. （﹣1）2=1，（﹣1）20=1，故符合题意．故选D．
【点睛】本题主要考查了幂的定义和有理数的乘方运算，熟练掌握相关的定义和法则是解题的关键．
变式2．（2022·河南漯河·七年级校考阶段练习）计算的值，结果正确的是（ ）
A．1 B． C．0 D．或0
【答案】B
【分析】由运算式中的加数一共个数，其中偶次方有个，奇次方有个，从而可得答案．
【详解】解： 故选B．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，掌握“乘方运算的符号规律的确定”是解本题的关键．
考点4、有理数乘方的简算
【解题技巧】性质：
例1．（2022秋·广东东莞·七年级期中），由此你能算出（ ）
A．6 B．8 C． D．十分麻烦
【答案】B
【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解．
【详解】解：＝1×8＝8故选：B．
【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键．
例2．（2022·江苏·七年级专题练习）阅读计算：
阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
回答下列三个问题：(1)验证：（4×0.25）100＝ ；4100×0.25100＝ ．
(2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝ ；（ ）n＝ ．
(3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014．
【答案】(1)1，1；(2)ab，anbn，abc，anbncn；(3)﹣0.125
【分析】（1）先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法．
（2）根据有理数乘方的定义求出即可；
（3）根据根据阅读材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再计算，即可得出答案．
(1)解：（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1， 故答案为：1，1．
(2)解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，
故答案为：ab，anbn，abc，anbncn．
(3)解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）
＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，主要考查学生的计算能力，理解阅读材料是解题的关键．
变式1．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可．
【详解】解：，==，
=，=，故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算．
变式2．（2022秋·福建三明·七年级统考期中）（1）计算下面两组算式：
①与； ②与；
（2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果）
（3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4）
【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值；（2）根据（1）的结果即可得到答案；（3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）①，；
②，；
（2）；
（3），理由如下：
；
（4）．
【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键．
考点5、含乘方的混合运算
【解题技巧】有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
例1．（2023春·上海徐汇·七年级校考阶段练习）
【答案】
【分析】先计算乘方，再进行加减运算．
【详解】解：
【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则并正确计算．
例2．（2022春·广东江门·七年级台山市新宁中学校考期中）计算：．
【答案】
【分析】先有理数乘方、绝对值、乘法分配律运算，再加减运算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
例3．（2022·广东清远·七年级统考期末）计算：．
【答案】
【分析】根据、绝对值运算及平方运算，再结合有理数加减运算即可得到答案．
【详解】解：．
【点睛】本题考查有理数计算，涉及、绝对值运算及平方运算，熟练掌握有理数相关运算法则是解决问题的关键．
变式1．（2023·广西南宁·统考二模）计算：．
【答案】2
【分析】先进行乘方运算，再进行乘除运算，最后进行加法运算．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．
变式2．（2023·广西柳州·统考三模）计算
【答案】
【分析】根据有理数的混合运算法则即可解答．
【详解】解：；
【点睛】本题考查了有理数的混合运算法则，熟记对应法则是解题的关键．
变式3．（2023·广西贵港·统考三模）计算：
【答案】
【分析】先根据平方运算、绝对值运算、计算，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：．
【点睛】本题考查有理数加减混合运算，涉及平方运算、绝对值运算、计算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
考点6、有理数乘方的应用（进制问题与末位数字问题）
【解题技巧】此类题型通常乘方运算种的幂比较大，且无简单计算方法，直接计算几乎无法进行。但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后依旧变化规律，分析出最终结果。
例1．（2023·河南南阳·统考一模）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得尾数，，，的规律是4个数一循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解．
【详解】解：∵，，，，，，…，
∴尾数，，，的规律是4个数一循环，
∵，∴的个位数字是，
又∵，∴的结果的个位数字与的个位数字相同，
∴的结果的个位数字是．故选：A．
【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．
例2．（2022秋·江苏·七年级期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一书生用此方法来记录自己读书的天数，如图1，他在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天（），按同样的方法，图2表示的天数是 _____．
【答案】92
【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为，然后把它们相加即可．
【详解】解：根据题意得：．
故图2表示的天数是92．故答案为：92．
【点睛】本题考查了用数字表示事件，是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
变式1．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【分析】通过观察发现：的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据，得出的个位数字与的个位数字相同；以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的．即可知的个位数字，从而得到221+311的末位数字．
【详解】解：由题意可知，，，，，，，，，，
即末位数字是每4个算式是一个周期，末位分别为2，4，8，6，
，的末位数字与的末位数字相同，为2；
由题意可知，，，，，，，
以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的，，
所以的个位数字是7，所以的个位数字是9，故选：D．
【点睛】本题考查的是尾数特征，规律型：数字的变化类，根据题意找出数字循环的规律是解答此题关键．
变式2．（2023·浙江温州·校考二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．母亲甲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子1出生后的天数，如图1所示，孩子1出生后的天数是（天），母亲乙按照母亲甲的做法记录孩子2出生后的天数，如图2所示，则孩子2出生后的天数比孩子1 出生后的天数（ ）
A．少41天 B．少42天 C．多41天 D．多42天
【答案】A
【分析】根据已知算法求出孩子2出生后的天数，相减即可得到答案．
【详解】解：由已知算法可知，孩子2出生后的天数是（天），
（天），孩子2出生后的天数比孩子1 出生后的天数少41天，故选A．
【点睛】考查含乘方的有理数混合运算，理解题意，掌握“结绳计数”满七进一的计算方法是解题关键．
考点7、有理数乘方的应用（实际问题）
【解题技巧】此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。
例1．（2022秋·江苏常州·七年级校考阶段练习）将一根绳子对折一次后从中间剪一刀，绳子变成3段；对折两次后从中间剪一刀，绳子变成5段：将这根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成_____段．
【答案】2n+1
【分析】根据分析可得：将一根绳子对折1次从中间一刀，绳子变成3段；有21+1＝3．将一根绳子对折2次，从中间一刀，绳子变成5段；有22+1＝5．依此类推，将这根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成（2n+1）段．
【详解】解：∵对折1次从中间剪一刀，有21+1＝3 对折2次，从中间剪一刀，有22+1＝5．
∴对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成（2n+1）段．故答案为：（2n+1）．
【点睛】本题考查通过观察、归纳、抽象得出规律，正确得出对折次数与绳子段数的规律是解题的关键
例2．（2022秋·福建厦门·七年级校考期中）七年级某班的学生共有49人，军训时排列成的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（ ）
A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
B．当n为偶数时，无论m何值，对下的学生人数不可能为偶数个
C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个
D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
【答案】A
【分析】假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时49个“”，其乘积为“”，每次改变其中的个数，当为偶数时，每次的改变其中个数，都不改变上一次的符号，则m次点名后，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；即可获解．
【详解】解：假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时49个“”，其乘积为“”．
每次改变其中的个数，经过m次点名，
①当为偶数时，若有偶数个“”偶数个“”，变为偶数个“”偶数个“”，其积的符号不变；
若有奇数个“”奇数个“”，变为奇数个“”奇数个“”，其积的符号不变；
故当为偶数时，每次改变其中的个数，其积的符号不变，那么m次点名后，乘积仍然是“”，
故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；
②当为奇数时，若有偶数个“”奇数个“”，变为偶数个“”奇数个“”，其积的符号改变；
若有奇数个“”偶数个“”，变为奇数个“”偶数个“”，其积的符号改变；
故当为奇数时，每次改变其中的个数，其积的符号改变，那么m次点名后，
若为偶数，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；
若为奇数，乘积最后是“”，故最后出现的“”的个数为奇数，即蹲下的人数为奇数；
综上所述，选项A正确，选项B、C、D均错误；故选：A．
【点睛】此题考查了正负数的意义、有理数乘法中积的符号的判断，熟练掌握有理数乘法中符号法则与分类讨论的思想方法是解答此题的关键．
变式1．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）某种细胞每过秒便由个分裂成个．经过分钟，这种细胞由个分裂成（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得3分钟有12个15秒，进而根据有理数乘方的意义即可求解．
【详解】解：∵3分钟秒，
∴经过分钟，这种细胞由个分裂成个，故选：C．
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，理解题意是解题的关键．
变式2．（2023秋·安徽亳州·七年级统考期末）一条长的钢丝，第一次剪的去钢丝的，第二次剪去剩下钢丝的，如此剪下去，第次剪完后剩下钢丝的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的乘方运算法则即可求出答案．
【详解】解：第一次剪去钢丝的，剩下是，
第二次剪去剩下钢丝的，剩下是，
第次剪完后剩下钢丝的长度是．故答案为：C．
【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是正确找出题中的规律．
变式3．（2023·广东东莞·九年级东莞市东华初级中学校考期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（ ）
A． B．4039 C．8124 D．16304
【答案】B
【分析】由每个30分钟进去的人数可构成一列数，利用观察法求出这一列数的规律，由于从早晨6时30分到上午Il时30分共有10个30分钟，故求这一列数的前11个数的和，即可得上午11时30分公园内的人数．
【详解】解：根据题意知：早晨6时30分有2人进公园，则，
第一个30min内有4人进去并出来1人，则，
第二个30min内进去8人并出来2人，则，
第三个30min内进去16人并出来3人，则，
第四个30min内进去32人并出来4人，则，……
∴第十个30min（即上午11时30分）内进去的人和出来的人数可表示为，
∴到上午11时30分公园内的人数为：
设，
∴，，
∴，
∴，，
∴
．故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，运用了归纳推理、转化的解题方法．解题时要善于将实际问题转化为数学问题，运用数学知识解决问题．解题的关键是归纳出题干所给式子的规律．
考点7、有理数乘方的新定义问题
【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（2022秋·湖南邵阳·七年级校联考期中）定义一种运算符号“★”：，如：，那么的结果是_______．
【答案】8
【分析】根据运算律，先算括号内，再算括号外即可
【详解】解：故答案为
【点睛】此题考查了有理数的混合运算、新定义，解决本题的关键是会用新定义解答问题
例2．（2023·山东枣庄·统考一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（ ）
A． B．2 C．1 D．4
【答案】A
【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，∴
∴，，．故选：A．
【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键．
变式1．（2020秋·浙江金华·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：
若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是______．
【答案】1
【分析】根据题意计算前几次结果，找到规律即可求解．
【详解】解：第一次：，第二次：
∵其中k是使为奇数的正整数，∴∴第二次运算：，
第三次：∵∴计算结果为
第五次：，第六次：，∵∴，计算结果为，……
依次为与的循环，当计算次数为奇数时，结果为8；当计算次数为偶数时，结果为1，
∴第2020次“F运算”的结果是1．故答案为：1．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，找到规律是解题的关键．
变式2．（2023秋·湖南常德·七年级统考期末）已知，记作，已知，记作，已知，记作，那么：（1）______；
（2）( )．
【答案】
【分析】根据乘方的性质，求解即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，设，则，故答案为：，
【点睛】此题考查了乘方的运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握乘方运算规则．
A级（基础过关）
1．（2022秋·七年级单元测试）下面对的描述正确的是（ ）
A．个相乘所得的积 B．后面有个 C．后面有个 D．后面有个
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方运算可进行求解．
【详解】解：表示有n个10相乘，故1后面有n个0；故选B．
【点睛】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键．
2．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）算式可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用乘方的运算解题即可．
【详解】解：故选C．
【点睛】本题考查乘方的运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键．
3．（2022秋·广东深圳·七年级校考期中）下列各数，，，，中，负数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据有理数乘方符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，以及相反数和绝对值去判断负数的个数．
【详解】，，，，，所以负数有3个．故选：B
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，以及绝对值和相反数，牢记乘方的符号法则是解题的关键．
4．（2022秋·成都市七年级期中）接近于（ ）
A．一张纸的厚度 B．姚明的身高 C．三层楼的高度 D．珠穆朗玛峰的高度
【答案】B
【分析】结合事实作出判断．
【详解】解：，
∴三层楼房的高度远远大于，一张纸的厚度远远小于，珠穆朗玛峰的高度远远大于，最接近于的是姚明的身高．故选：B．
【点睛】本题考查了数学常识，有理数的乘方运算，此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．平时要注意多观察，留意身边的小知识．
5．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）式子与的正确判断是（ ）
A．当为偶数时，这两个式子互为相反数 B．这两个式子是相等的
C．当为奇数时，它们互为相反数 D．为偶数时它们相等
【答案】A
【分析】分类讨论的奇偶性，结合乘方的意义化简即可．
【详解】解：当为偶数时，，即此时这两个式子互为相反数，
当为奇数时，，即此时这两个式子相等．故选A．
【点睛】本题考查有理数的乘方，相反数的定义．熟练掌握乘方的意义并利用分类讨论的思想是解题关键．
6．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）若一个幂的底数为5，指数为3，则这个幂写作______（只写形式，不计算结果）
【答案】
【分析】根据幂的底数和指数即可得出答案．
【详解】解：这个幂写作，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，掌握乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数是解题的关键．
7．（2022·绵阳·七年级期中）当自然数的个位数分别为0，1，2，…，9时，的个位数如表所示：
个位数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
个位数
0
1
4
9
6
5
6
9
4
1
个位数
0
1
8
7
4
5
6
3
2
9
个位数
0
1
6
1
6
5
6
1
6
1
······
在10，11，12，13这四个数中，当____________时，和数能被5整除．
【答案】10、11、13
【分析】根据表格中的规律，分别求出2001、2002、2003、2004这几个数的个位在n=10、11、12、13时的值，通过判断这4个数字的个位数字和是否是0或5来判断是否能被5整除
【详解】根据表格中的规律，可得下表：
n
个位数
10
11
12
13
个位数
1
1
1
1
个位数
4
8
6
2
个位数
9
7
1
3
个位数
6
4
6
4
个位数的和的个位数
0
0
4
0
由表格知道，当n=10、11、13时，的个位数字都是0，能够被5整除
故答案为：10、11、13
【点睛】本题考查了归纳总结的能力，解题关键是利用乘方的规律来确定个位数字，求出结果的个位数字之和判断是否能够被5整除.
8．（2023春·广西南宁·九年级南宁三中校考阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】先计算乘方，去绝对值，再计算乘除，最后计算加减．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．（2022秋·广东揭阳·七年级校考阶段练习）
【答案】1
【分析】根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
10．（2022秋·河北保定·七年级校考期中）计算：
(1) (2)
【答案】(1)6 (2)
【分析】（1）先计算乘方和化简绝对值，然后再进行加减计算即可；
（2）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可
【详解】（1）
=
=6；
（2）
=
=
=
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握运算顺序和运算法则是解答本题的关键
11．（2023秋·贵州铜仁·七年级期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)15 (2)39
【分析】（1）原式先计算乘方和绝对值，再计算除法和乘法，最后计算加法即可；
（2）原式先计算乘方，再计算除法和乘法，最后计算减法即可
【详解】（1）
=
=
=15；
（2）
=
=
=39
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握有理数混合运算的顺序以及运算法则
B级（能力提升）
1．（2023春·福建福州·九年级校考期中）下列运算中，结果可以为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘法、有理数的除法运算法则计算后判断．
【详解】解：，，A选项不符合题意；
，B选项不符合题意；，C选项不符合题意；
，D选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、有理数的乘法、有理数的除法运算，解题的关键是掌握有理数的乘方、有理数的乘法、有理数的除法运算法则．
2．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）下列各式：①﹣a；②﹣|x|；③﹣；④；⑤，其中值一定是负数的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】先分析每个代数式的特点，确定它们的符号，即可得出答案．
【详解】解：①a＜0时，﹣a是正数，故①不符合题意；②x＝0时，﹣|x|＝0，故②不符合题意；
③a＝0时，﹣＝0，故③不符合题意；④一定是负数；
⑤a＝﹣2时，是正数，故⑤不符合题意，所以其中值一定是负数的有1个．故选：A．
【点睛】考查正数和负数，绝对值，由a的取值范围知道代数式的正负性是解题的关键．
3．（2022秋·山东德州·七年级校考期中）定义：如果（，且），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．下列说法：①；②；③若，则；④；正确的序号有（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【分析】由新定义可得：，利用新定义逐一计算判断，从而可得答案．
【详解】解：根据新定义可得： ，故①不符合题意；，故②符合题意；
∵，∴，解得：，故③符合题意；
∵，，
∴，故④符合题意，综上所述，正确的序号有②③④．故选：D．
【点睛】本题考查的新定义运算，有理数的乘方运算的含义，正确理解新定义，运用新定义解决问题是解本题的关键．
4．（2022秋·全国·七年级期末）现有价格相同的6种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或涨价10％，若干天后，这6种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设6种商品最初的价格为，则天后商品的价格为，然后分别表示出6中商品的价格，然后根据题意列式计算．
【详解】解：设6种商品最初的价格为，过了n天后，这n天中假设有m天是降价的，剩余的（n－m）天是涨价的，（其中m为自然数，且0≤m≤n），
则天后商品的价格为，
∴6种商品的价格可以表示为：
①，②，③，④，⑤，⑥，其中m为不超过n的自然数，设最高价格和最低价格的比值为，
的最小值为，故选：．
【点睛】本题考查有理数乘方的应用，理解题意能够列出六种商品的价格是解题关键．
5．（2023春·上海徐汇·七年级校考阶段练习）对1，3，5，5四个数进行“加、减、乘、除、乘方”混合运算（每个数只能使用一次），其计算结果为24，请列出算式：______（填一个算式即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】结合所给数字及结果的特点，利用“加、减、乘、除、乘方”进行尝试，即可得出答案．
【详解】解：，或，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
6．（2023秋·山东淄博·六年级统考期末）把一张厚度为的纸对折8次后，厚度为______________．
【答案】
【分析】根据题意，对折1次厚度为，对折2次为，……所以对折8次后厚度为，计算即可求解．
【详解】解：对折1次厚度为，对折2次为，……所以对折8次后厚度为，
∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了乘方的应用，掌握有理数的乘方运算是解题的关键．
7．（2023秋·山东淄博·六年级校考期末）我国古代《易经》一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是_______．
【答案】510
【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，所以从右到左的数分别为，然后把它们相加即可．
【详解】解：（天），
所以孩子自出生后的天数是510天．故答案为：510．
【点睛】本题考查了用数字表示事件．本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
8．（2022秋·上海·七年级校考期中）为计算，可令，则，因此，根据以上解题过程，猜想： ____________________
【答案】
【分析】读懂题目中的解题过程，模仿进行即可得到结果．
【详解】令，则，
所以，所以，故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数乘方运算的应用，读懂题意并能灵活运用是关键．
9．（2022秋·河南南阳·七年级期中）对于任何数，规定一种新运算，例如：．(1)按照这个规定，请你计算的值；
(2)按照这个规定，请你计算当x、y满足时，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)由新定义列出算式计算即可；
(2)先由平方和绝对值的非负性求出x，y的值，再根据新定义列出算式，将x，y的值代入计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，，，
，，
，，
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，绝对值及平方数的非负性，涉及新定义，解题的关键是由新定义列出算式．
10．（2022秋·辽宁抚顺·七年级统考期中）（1）在下表中，给出了国外四个城市与北京的时差
城市
悉尼
罗马
伦敦
纽约
时差/小时
2
－7
－8
－13
下面的五个时钟显示了同一天同一时刻国外四个城市时间和北京时间，
①若北京时间是11月12日上午9点10分，那么伦敦时间为 ；
②从左到右五个时钟对应的城市分别为：A： ；B： ；C： ；D： ；E： ．
（2）阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．直接写出之间满足的关系式．
【答案】（1）①11月12日凌晨1点10分；②A：悉尼； B：北京；C：纽约；D：伦敦；E：罗马；（2）
【分析】（1）①根据北京与伦敦的时差确定出伦敦时间即可；
②根据纽约、悉尼、伦敦、罗马与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市时间即可；
（2）利用题干中的定义分别计算的值，由计算结果可得出结论．
【详解】解（1）①若北京时间是11月12日上午9点10分，那么伦敦时间为11月12日凌晨1点10分；
②根据纽约、悉尼、伦敦、罗马与北京的时差，可得A：悉尼； B：北京；C：纽约；D：伦敦；E：罗马；
故答案为：①11月12日凌晨1点10分；②A：悉尼； B：北京；C：纽约；D：伦敦；E：罗马；
（2） ．
【点睛】本题考查正负数的实际应用、有理数的乘方，正确理解新定义并熟练掌握其应用是解题关键．
11．（2023秋·浙江金华·七年级校考阶段练习）根据“二十四点”游戏规则，3，4，，10每个数都必须用且只能用一次，用有理数的运算符号（+或-或×或÷或乘方）连接，运算符号不一定全用，使其结果等于24，请写出两个不同的算式．
【答案】，．
【分析】根据题意列式，使其运算结果为24即可．
【详解】解：①；
②．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，通过游戏的形式，增加了计算的趣味性．
12．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）计算题，要求写出具体计算过程：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【分析】（1）先化简符号，再算加减法；（2）先化简符号，再算加减法；
（3）先算乘方，和括号内的，再将除法转化为乘法，再约分计算；（4）利用乘法分配律合并计算；
（5）先算乘方和括号内的，再算乘法，最后算减法；（6）先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各自运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．
13．（2022秋·河北石家庄·七年级统考期末）如图是一个数学游戏活动，分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（提示：①每次游戏都涉及四种运算；②运算过程中自动添加必要的括号）
(1)4经过的顺序运算后，结果是多少?
(2)-2经过、的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是________．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的算式，从而可以求得相应的结果；
（2）依题意，最后的运算为，则前三次运算的结果为，开始的数是，则经过三次运算结果不变，据此即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：依题意，最后的运算为，
则前三次运算的结果为，开始的数是，则经过三次运算结果不变，
∵∴运算顺序为， 故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键．
14．（2022秋·福建厦门·七年级大同中学校考期中）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，（规定）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“”、“”，结合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围．
【答案】(1)(2)不能，理由见解析，改编规则见解析，范围为至
【分析】（1）根据规定了运算法则进行计算即可求解；
（2）根据有理数的混合运算进行计算，得出最大的班级变号为，则不能被全部被识别，改编为：改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，根据有理数的混合运算进行计算可得知新系统规则可表示的班级编号范围．
【详解】（1）解：图3中，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，则序号为，
故答案为：；
（2）不能，∵，
∴不能用该系统全部识别；
∵最多只能表示个数字，要表示大于的数字，则需加一位，
改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，
规则不变，序号改为：，
如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，第二行第1个数字为1，
序号为，
第一行数字从左到右依次为0，0，1，0，第二行第1个数字为1，
序号为，
当第一行数字从左到右依次为1，1，1，1，第二行第1个数字为1，
序号最大，为，
∴改编后的新系统规则可表示的班级编号范围为至．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
C级（培优拓展）
1．（2023·湖北恩施·统考二模）在算式中的“”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的运算法则，逐项代入计算并比较即可．
【详解】解：A、；B、；
C、；D、；
∵，∴结果最小的运算为C选项，故选：C．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算法则是解题关键．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）应等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把变形为化简计算即可．
【详解】．故选D．
【点睛】本题考查了提取公因式，幂的计算，熟练掌握分解因式是解题的关键．
3．（2022·四川成都·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（ ）
（1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据绝对值，偶次方的非负性进行判断即可.
【详解】∵，∴>0，即总是正数，(1)正确；
∵， ，∴当即a=0时，，故是正数；
当时，则，即，故是正数；故（2）正确；
的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）错误．故选：B.
【点睛】此题考查绝对值的性质，偶次方的性质，最大值及最小值的确定是难点.
4．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）如果ab＝c，那么我们规定[a，c]＝b．例如：因为23＝8，所以[2，8]＝3．若[3，5]＝n，[9，m]＝n；则[3，m+2]＝_______．
【答案】3
【分析】根据规定可得3n＝5，9n＝m，从而得到m＝25，然后设[3，m+2]＝x，则3x＝m+2=27，再由33＝27，即可求解．
【详解】解：∵[3，5]＝n，[9，m]＝n，∴3n＝5，9n＝m，
∴9n＝（3n）2＝52＝25，∴m＝25，即m+2=27，
设[3，m+2]＝x，则3x＝m+2=27，∴33＝27，∴[3，m+2]＝3，故答案为：3
【点睛】本题主要考查了乘方的逆运算的应用，理解新规定是解题的关键．
5．（2022秋·福建福州·七年级校考期末）已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是_____．
【答案】81
【分析】根据题意分别确定a，b，c，d的取值范围，得到4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，
再分别确定a，b，c，d的值，即可得到a+2b+3c+4d的最大值．
【详解】解：∵a，b，c，d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，
∴d4＜90，则d＝2或3，c3＜90，则c＝1，2，3或4，
b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，a＜90，则a＝1，2，3，…，89，
∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，
∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值，
∴b，c，d要取最小值，则d取2，c取1，b取3，∴a的最大值为90﹣（32+13+24）＝64，
∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81，故答案为：81．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据题意确定a，b，c，d的取值范围是解题关键．
6．（2022秋·浙江·七年级期末）把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止，那么2018、2019、2020、2021这四个数中______可能是剪出的纸片数．
【答案】2020
【分析】根据剪纸的规律，每一次都是在4的基础上多了3张，则剪了n次时，共有4+3（n-1）=3n+1．根据这一规律，则该数减去1必须是3的倍数，才有可能．所以其中只有2020符合条件．
【详解】解：第一次取k1块，则分为了4k1块，加上留下的（4-k1）块，共有4k1+4-k1=4+3k1=3（k1+1）+1块，第二次取k2块，则分为了4k2块，加上留下的（4+3k1-k2）块，共有4+3k1+3k2=3（k1+k2+1）+1块，…第n次取kn块，则分为了4kn块，共有4+3k1+3k2+3kn=3（k1+k2+k3+…+kn+1）+1块，从中看出，只要能够写成3k+1的形式，就能够得到．
∵2020=3×673+1，∴这四个数中2020可能是剪出的纸片数．故答案为：2020．
【点睛】考查有理数的乘方，此题必须探索出剪n次有的纸片数，后根据规律求得n是否为整数进行判断．
7．（2022秋·广东·七年级期中）数学真奇妙，小慧同学研究有两个有理数a和b，若计算a+b，a-b，ab，的值，发现有三个结果恰好相同，小慧突发灵感，想考考大家，请你们求_____________
【答案】
【分析】先根据分数的分母不能为0可得，从而可得，由此根据题意可得和两种情况，再根据可求出b的值，然后代入求出相应的a的值，最后将a、b的值代入即可得．
【详解】由题意得：，，
有三个结果恰好相同，
或，
因此，分以下两种情况：（1）当时，
由可得，解得，
①当时，则，无解，即不存在这样的有理数，
②当时，则，解得，此时；
（2）当时，由可得，解得，
①当时，则，无解，即不存在这样的有理数，
②当时，则，解得，此时；
综上，，故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算的应用，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
8．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）在一次数学课上，张老师对大家说：“你任意想一个非零有理数，然后按下列步骤操作，去运算出最后结果．”
操作步骤如下：第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；
第二步：把第一步得到的数乘以25；第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数．
(1)若嘟嘟同学心里想的是数，请你计算出最后结果；
(2)老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等．”雯雯想验证这个结论，于是，设心里想的数是，请你帮雯雯完成这个验证过程．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可；
（2）根据题意列出算式，利用平方差公式和整式的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：由题意得
，
∴最后的结果为100，结论得证．
【点睛】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，整式的混合运算，正确理解题意列出式子是解题的关键．
9．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）阅读材料，解决问题：我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：；；观察上述算式，；可以得到：；类比上述式子，你能够得到：
(1) ， ；
(2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于am和an这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”；
(3)知识运用： ， ；
(4)已知，则的值是 ．
【答案】(1)，(2)(3)，(4)18
【分析】（1）根据题目中给出的信息进行运算即可；
（2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则；
（3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可；
（4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可．
【详解】（1），，故答案为，；
（2）（m、n都是正整数），故答案为；
（3），，故答案为，；
（4）∵，∴，故答案为18．
【点睛】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键．
10．（2022秋·浙江·七年级专题练习）先阅读下列材料，再解答后面的问题
材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为an． 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为(即)．
一般地，若(且)，则叫做以为底的对数，记为(即)． 如，则4叫做以3为底的对数，记为(即)．
问题：(1)计算以下各对数的值：=_________，=_________，=_________．
(2)通过观察（1），思考：、、之间满足怎样的关系式？
(3)由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？＝______（且）．
(4)利用（3）的结论计算＝______．
【答案】(1)2，4，6(2)(3)(4)3
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，即可找到规律：，；
（3）由特殊到一般，得出结论：
（4）根据（3）的结论进行计算即可求解．
【详解】（1）解：(1)∵
∴，
故答案为：2，4，6；
（2）∵，，，，
∴，
故答案为：；
（3）观察（2）的结果，我们发现，底数不变，后面两个数相乘．
则，
故答案为：．
（4）
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，对数，类比、归纳，推测出对数应有的性质是解题的关键．
11．（2022秋·广东惠州·七年级统考期中）有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24，例如1，2，3，4可做如下运算：
(1)现有4个有理数：，3，4，10，运用上述规则，写出一个算式，使其结果为24：_________
(2)现有4个有理数：1，2，4，，在上述规则的基础上，再多给你一种乘方运算，请你写出一个含乘方的算式，使其结果为24：________________
【答案】(1)答案不唯一，见解析
(2)答案不唯一，见解析
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，写出相应的算式即可，注意本题答案不唯一；
（2）根据题意和题目中的数据，写出相应的算式即可，注意本题答案不唯一．
【详解】（1）解：
故答案为：或（答案不唯一）
（2）解：
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．
12．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方．例如，记作，读作“2的引4次商”；一般地，把（，，且为整数）记作，读作“a的引n次商”．
(1)直接写出计算结果：______，______；
(2)归纳：负数的引正奇数次商是______数，负数的引正偶数次商是______数（填“正或负”）；
(3)计算：．
【答案】(1)4，；(2)负，正；(3)76．
【分析】（1）利用除方的定义解答即可；
（2）先根据定义求得，再根据负数的乘方即可解答；
（3）利用题干中给的除方定义以及有理数的混合运算法则解答即可．
【详解】（1）解：，
，故答案为∶4，；
（2）解：∵当，且
∴当n为奇数时，有为奇数，即，
当n为偶数时，有为偶数，即，
∴负数的引正奇数次商是负数，负数的引正偶数次商是正数，故答案为：负，正；
（3）解：．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、乘方以及新定义．本题是阅读型题目，理解题干中的定义与法则并熟练应用是解题的关键．
13．（2022秋·山东青岛·七年级统考期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算(其中是正整数，且，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分割图可得等式：．
探究二：计算．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分制图可得等式：，
两边同除2，得，
探究三：计算．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，___________．
(3)拓广应用：计算___________．
【答案】探究三：图见见解析；
解决问题：图见解析；（1）；（2）；（3）
【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；
解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式
(2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以即可得解；
(3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．
【详解】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，…，
第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为：，
最后的空白部分的面积是，
根据第次分割图可得等式：，
两边同除以3，得；
解决问题：
（1）故答案为：
（2），故答案为：；
（3）拓广应用：
．故答案为：．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．
14．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考阶段练习）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和，它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：
；；
两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如：；，用竖式运算如右侧所示．．
(1)按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ．(2)计算： （结果仍用二进制数表示）； （结果用十进制数表示）．
【答案】(1)9 (2)；35
【分析】（1）根据例子可知：若二进制的数有位，那么换成十进制，等于每一个数位上的数乘以2的方，再相加即可；（2）关于二进制之间的运算，利用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：；故答案为：9；
（2）解：
，
．故答案为：；35．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算．关键是能根据范例，达到举一反三的目的．
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