小学数学人教版四年级上册8 数学广角——优化教案及反思

烙饼

教学目标：

1、    通过操作学具模拟烙饼过程，并用画图的方法记录和探索烙饼的策略，初步体会运筹思想在解决实际问题中的应用。

2、初步认识解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。

3、在数学活动过程中，积累数学活动经验，体会数学与生活的联系，讲究策略，  节约时间。

教学重点：

  1、探究烙饼的方法、规律。

  2、初步体会优化思想。

教学难点：3张饼的最优烙法。

“烙饼问题”作为数学广角中培养学生优化思维方式的内容，在教学中，不能只把目光停留在计算时间上，而应该把重点放在“烙饼”的“烙”上，如何“烙”才是合理的，才是节省时间的。“烙”是关键，而节省时间则是合理烙法的一种检验手段。所以笔者尝试以每个锅最多烙2张饼为模型，拓展到每个锅烙3张饼、4张饼……使得单一模型的聚集形成烙饼问题的内在模型。

一、生活引入

师：饼吃到过吗，看到过烙饼吗？怎么烙的（先烙一面，再烙第二面）

今天我们一起来研究烙饼中的数学问题。如果不考虑包，只考虑烙，要烙多长时间我们要考虑哪些问题？

要烙几个饼也就是要知道烙几个面，每个面要几分钟？一个锅烙几个饼？

新课

有一个锅每次最多烙两张，

饼呢正反面都要烙，每面3分钟。

第一层次：

1张的烙法

我们先从1个饼开始，最少要几分钟？（手当饼，桌当锅）现场模拟烙饼开始，你是怎么烙的

生：第一次正面烙3分钟，第二次反面烙3分钟，总共烙了2次，共6分钟。

师总结：1个饼， 第一次烙正面，第二次烙反面，2个面就要烙2次   每次3分钟，一共需要2×3=6分钟。

 2张饼的烙法     

一张饼需要6分钟，那么现在有2张饼，最少几分钟呢？

依旧手是饼，桌子是锅。准备好了吗？模拟开始，寻找不同

预设1）：A. 两个一起烙，2次，6分钟。

         B. 一个一个烙，4次，12分钟

问12分钟的，听他的汇报，你觉得……

追问：现在都认为6分钟，刚才烙好一张饼要6分钟，那看来怎么烙饼还可以优化呢？你们是怎么优化的。

生1：因为同时烙了。

你认为呢，你认为呢？

同时烙是什么意思？有什么好处？

生2：因为锅里没有空位。

师总结：（一边说，一边板书同时就会没有空位，在空间上充分利用，就能节省时间，老师把你们的烙饼记录下来

两张饼  4个面，第一次1正2正，第二次1反2反 每次2个面烙2次  每次3分钟  最少需要2×3=6分钟。

  第二层次：3张饼的烙法

那3张饼你也能不能想想办法，最少需要多少时间？你说？你说？你说，到底几分钟呢？我们动手试试看，先看要求。

     展示学生作品（1）。

     教师总结：哦，你是把3个饼分成2部分，一部分是2个，一部分是1个，2个我们刚才烙过了，是6分钟，1个饼我们也烙过了，是6分钟，加起来是12分钟。进行了一次优化，而且分类烙的思路很清晰，还有吗？

作品（2）。

你觉得这个方法可以吗？他这个方法好啊，他少了3分钟，他是怎么省出来的？关键在哪里？把2反替换成3正有什么好处？

(替换下来能保证后面也能两个，不替换的话只剩3号1个，2面烙不起来了）原来关键是在这里，不替换的话空间不能充分利用了。

这真是一个好办法，这个交换来替过去，你能给他起个名字吗（交替烙）这样一交替锅里始终2个饼，每次一点空间都不浪费，这就是优化，你的优化思想真强，我们一起再来烙一遍。

第一次，那两个面

第二次

确实每次都是两个面，一点都不浪费，掌声送给他。

3张饼  6个面， 每次2个面烙3次  每次3分钟  最少需要3×3=9分钟。

    请同学们把9分钟的烙法小组中再烙一次，烙好后用漂亮姿势告诉我。

     第三层次：拓展：3个的这么难的问题我们也能优化了，那4个、5个、6个、7个、8个饼呢，你也能用优化的思想找到更省的时间吗，他们之间有规律吗？

双数不要研究分成几个2进行同时烙；单数呢？

5个

生：3个9分钟，2个6分钟，

师：谁听懂他的意思？哦你们的意思是说把5个分成两部分，一部分3个，要9分钟，一部分2个，也是6分钟，加起来15分钟。

 5张=3张＋2张      7张=3张＋2张×2

     9分＋6分            9分＋6分×2

=15分                =9分＋12分

                     =21分

17个饼呢？51分钟

师、；你发现了什么？哦你的意思单数我们都可以分成2部分，先是将1个3交替烙，再几个2进行同时烙。

   总结：同学们真是厉害，总结出了同时可以烙两个饼的所有问题，我们来看这里，你发现了什么？

生1：只有1个饼不能优化，其他个数都能优化，

生2：面数÷2＝次数  ，次数×每个面的时间＝总时间

生3：有n个饼，就需要烙2n面。每次可以烙两面，就需要烙n次

练习：

引入：刚才我们在空间上进行了优化，这个问题你能优化呢？你是在哪里进行了优化？时间上能进行优化吗？

书本沏茶？

总结：我们在时间上进行了优化，在空间上进行了优化，就是尽量都不让空着，看来只有我们有优化的思想，就能帮助我们更快更好的解决生活中的问题，拿出作业单完成后想一想这两个问题与烙饼问题有联系吗？

1、复印问题。（一台复印机）
复印三张资料，每次最多放两张，两面都要复印,如果每一面需要3秒钟，你认为怎样安排复印最合理，需要多少秒？
生：还是烙饼问题，可以把复印机看做锅，把资料看做饼，还是烙三张饼的问题。9秒钟，交替复印。
师：看来复印问题也是烙饼问题。（板书中烙饼问题的烙饼加上引号。）

2、游戏问题

其实这些问题都是烙饼问题，他们的道理是想通的。早在60年代数学家华罗庚就是研究这方面的专家。我们一起来看看。

课件出示资料学生阅读

用统筹思想解决生活中的问题，体会统筹安排工作，提高工作效率的优越性。

优选法在生产、生活中都有广泛的作用。

通过今天的学习 你有什么收获。

许多教师认为让学生计算出烙不同饼数所需要的时间就是本课的教学目标，再根据所得出的时间让学生来发现计算烙饼时间的公式：烙饼总时间=饼数×2÷每锅一次可烙饼的数量×烙每面饼所需时间，更有一些教师得出了这样的公式：烙饼总时间=饼数×烙每面饼所需时间。那么这样的公式具有普遍的应用价值吗？得出这些公式之后学生就能熟练地解决所有的“烙饼问题”吗？答案显然是否定的，因为只要情境信息一改变，学生的计算就会出现错误。比如更改条件:一个锅最多能烙3张饼，那么利用“饼数×烙每面饼的时间”还能成立吗？再比如更改烙每面所需的时间：烙正面需要2分钟时间，烙反面需要1分钟，那么利用“烙饼总时间=饼数×2÷每锅一次可烙饼的数量×烙每面饼所需时间”还能成立吗？显然是不对的。基于上述思考，笔者认为“烙饼问题”作为数学广角中培养学生优化思维方式的内容，在教学中，不能只把目光停留在计算时间上，而应该把重点放在“烙饼”的“烙”上，如何“烙”才是合理的，才是节省时间的。“烙”是关键，而节省时间则是合理烙法的一种检验手段。所以笔者尝试以每个锅最多烙2张饼为模型，拓展到每个锅烙3张饼、4张饼……使得单一模型的聚集形成烙饼问题的内在模型。

在每个锅最多烙2张饼的前提下，学生不难得出：当饼数为双数时，则分成几个2进行同时烙；当饼数为单数时，则先是将1个3交替烙，再几个2进行同时烙。这时笔者以一个锅最多烙2张饼为模型，拓展到一个锅一次最多烙3张饼或一次最多烙4张饼。当学生学习最多烙3张饼时，3倍数不做研究，只要重点研究4张饼和5张饼的情况，最后得出其它饼数的烙法。在活动过程中，让学生体会到：如果一个锅最多能烙3张饼，只要把饼数拆分成若干个3，或4加若干个3，或5加若干个3。当然，一个锅最多能烙4张饼，也可以采用与此相同的方法得到。这样把对“烙饼问题”的理解转化到对数的分解，从而将学习内容上升到数学思维层面。