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2022-2023学年山东省青岛市崂山区八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年山东省青岛市崂山区八年级（下）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省青岛市崂山区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若分式1x−3有意义，则x满足的条件是( )
A. x=3 B. x<3 C. x>3 D. x≠3
2. 已知a
3. 以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4. 下列命题中，其逆命题为真命题的是( )
A. 内错角相等 B. 若a=b，则a2=b2
C. 对顶角相等 D. 等腰三角形两底角相等
5. 下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是( )
A. a(x+y)=ax+ay B. x2−2x+1=x(x−2)+1
C. (x+1)(x−1)=x2−1 D. x2−1=(x+1)(x−1)
6. 不等式组x+2>02x−3≤1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB=AC，则∠B<90°”时，首先应该假设( )
A. ∠B≥90° B. ∠B>90°
C. AB≠AC D. AB≠AC且∠B≥90°
8. 如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕A′逆时针旋转一定角度，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为( )
A. 4，30° B. 2，60° C. 1，60° D. 3，30°
9. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为( )
A. 900(x+1)×2=900(x−3) B. 900(x+1)=900(x−3)×2
C. 90(x+1)×2=900(x+3) D. 900(x+1)=900(x+3)×2
10. 已知：▱AOCD的顶点O(0,0)，点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E．
③画射线OE，交AD于点F(2,3)，则点A的坐标为( )
A. (−54,3) B. (3− 13,3) C. (−45,3) D. (2− 13,3)
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 因式分解：ab2−25a= ______ ．
12. 若关于x的分式方程2x−3+x+m3−x=2有增根，则m的值为______．
13. 如图，函数y1=−2x与y2=ax+3的图象相交于点A(m,2)，则关于x的不等式−2x≤ax+3的解集是______．
14. 如图，在△ABC中，∠ABC=135°，点D为AC上一点，AD的垂直平分线交AB于点E，将△CBD沿着BD折叠，点C恰好和点E重合，则∠A的度数为______ ．
15. 将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点.则∠FEG= ______ ．
16. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=12BC，连接OE.下列结论：
①∠CAD=30°
②S▱ABCD=AB⋅AC
③OB=AB
④OE=14BC
成立的有______ (把所有正确结论的序号都填在横线上)
三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
已知点B是∠MAN边AN上一点.求作：点P，使得PB⊥AN，且点P到∠MAN两边的距离相等.(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)
18. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图，网格中小正方形边长为1，点A坐标为(1,2)，请解答下列问题：
(1)作出△ABC绕点O的逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；
(2)计算△A1B1C1的面积．
19. (本小题8.0分)
因式分解：(1)2x3−8x2y+8xy2；
(2)x2(a−b)+9y2(b−a)．
20. (本小题10.0分)
(1)先化简，再求值：(1−2x+1)÷x2−2x+1x+1，其中x=3；
(2)解不等式组：2(x+1)≥5x−1x+23−x<1．
21. (本小题6.0分)
证明命题：如果两个锐角三角形有两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形全等．
(1)画出图形，写出已知，求证．
(2)写出证明过程．
22. (本小题6.0分)
某工厂生产A，B两种型号的扫地机器人.A型机器人清扫100m2所用的时间比B型机器人多用50分钟.B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多20%.求A型号扫地机器人每小时清扫面积是多少？
23. (本小题8.0分)
如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，点P，Q分别是BG，CG的中点.求证：
(1)四边形EFPQ是平行四边形；
(2)BG=2GE．
24. (本小题8.0分)
零售经济成为社会关注的热门话题，小华从市场得知如下信息：
甲商品
乙商品
进价(元/件)
65
5
售价(元/件)
90
10
小华计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小华购进甲商品x件．
(1)小华用不超过3500元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，小华希望甲乙商品全部销售完后获得的利润不少于1450元，有哪些可行的进货方案？为获得最大利润，请你给出进货建议．
25. (本小题6.0分)
图形定义：四边形ABCD若满足∠A+∠C=180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．
(1)若四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D=2：3：4，则∠A的度数为______ ．
(2)如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD．
求证：AC平分∠BCD．
小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM=BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB，CD，CA三者关系为：______ ；
(3)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠ABC=60°，AD=CD，则BA，BC，BD三者关系为：______ ．
26. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A，B分别在x轴与y轴上，已知OA=6，OB=10.点D为y轴上一点，其坐标为(0,2)，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC−CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．
(1)当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
(2)求△OPD的面积S关于t的函数解析式；
(3)点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：当x−3≠0，即x≠3时，
分式1x−3有意义．
故选：D．
分式有意义，需满足分母不等于0，即解关于含x的不等方程即可．
考查了分式有意义的条件，分式有意义，需满足分母不等于0；分式无意义，需满足分母等于0.解决分式有无意义的问题，一般转化为分母不等于0的方程．
2.【答案】D
【解析】解：∵a−3>b−3，∴a>b，故选项A错误；
∵a3>b3，∴a>b，故选项B错误；
∵3a−1>3b−1，∴a>b，故选项C错误；
∵−3a>−3b，∴a
根据不等式的两边都加(或减)同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
本题考查不等式的性质，解题的关键是明确不等式性质的内容，尤其要主要性质3，两边同时乘或除以一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4.【答案】D
【解析】解：内错角相等的逆命题是相等的角是内错角，逆命题是假命题，故A不符合题意；
若a=b，则a2=b2的逆命题是若a2=b2，则a=b，逆命题是假命题，故B不符合题意；
对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，故C不符合题意；
等腰三角形两底角相等的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题，故D符合题意；
故选：D．
写出每各命题的逆命题，再判断其真假即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握能求出原命题的逆命题，并能判断其真假．
5.【答案】D
【解析】解：根据因式分解的定义：只有选项D正确
故选：D．
将多项式分解为几个整式的乘积形式称为多项式的因式分解．
本题考查因式分解的概念，注意等式的左边是多项式，等式的右边是几个整式的乘积，本题属于基础题型．
6.【答案】B
【解析】解：由题意可得，不等式的解集为：−2
故选：B．
先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来，结合选项即可得出答案．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，属于基础题，注意空心点和实心点在数轴上表示的含义．
7.【答案】A
【解析】解：用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB=AC，则∠B<90°”时，首先假设∠B≥90°，
故选：A．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8.【答案】B
【解析】解：由平移得：AB=A′B′=4，∠B=∠A′B′C′=60°，
由旋转得：A′B′=A′C，
∴△A′B′C是等边三角形，
∴∠B′A′C=60°，B′C=A′B′=4，
∵BC=6，
∴BB′=BC−B′C=6−4=2，
∴平移的距离为2，旋转角的度数为60°，
故选：B．
根据平移的性质可得：AB=A′B′=4，∠B=∠A′B′C′=60°，再根据旋转的性质可得：A′B′=A′C，从而可得△A′B′C是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得∠B′A′C=60°，B′C=A′B′=4，从而利用线段的和差关系可得BB′=2，即可解答．
本题考查了旋转的性质，平移的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为(x−3)天，慢马所需的时间为(x+1)天，由题意得：
900x+1×2=900x−3，
即900(x+1)=900(x−3)×2，
故选：B．
首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为(x−3)天，慢马所需的时间为(x+1)天，由题意得等量关系：慢马速度×2=快马速度，根据等量关系，可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
10.【答案】A
【解析】解：由作法得OE平分∠AOC，则∠AOF=∠COF，
∵四边形AOCD为平行四边形，
∴AD//OC，
∴∠AFO=∠COF，
∴∠AOF=∠AFO，
∴OA=AF，
设AF交y轴于M，如图，
∵F(2,3)，
∴MF=2，OM=3，
设A(t,3)，
∴AM=−t，AO=AF=−t+2，
在Rt△OAM中，t2+32=(−t+2)2，解得t=−54，
∴A(−54,3)．
故选：A．
利用基本作图得到∠AOF=∠COF，再根据平行四边形的性质得到AD//OC，接着证明∠AOF=∠AFO得到OA=AF，设AF交y轴于M，如图，设A(t,3)，则AM=−t，AO=AF=−t+2，利用勾股定理得到t2+32=(−t+2)2，然后解方程求出t即可得到A点坐标．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作已知角的角平分线)；也考查了平行四边形的性质．利用方程的思想求出AM是解决问题的关键．
11.【答案】a(b+5)(b−5)
【解析】解：ab2−25a，
=a(b2−25)，
=a(b+5)(b−5)．
先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，注意分解要彻底．
12.【答案】−1
【解析】解：方程两边都乘(x−3)，得
2−x−m=2(x−3)
因为原方程增根为x=3，
所以把x=3代入整式方程，得2−3−m=0，
解得m=−1．
故答案为：−1．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13.【答案】x≥−1
【解析】解：∵函数y1=−2x过点A(m,2)，
∴−2m=2，
解得：m=−1，
∴A(−1,2)，
∴不等式−2x
首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式−2x≤ax+3的解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
14.【答案】15°
【解析】解：∵点E在AD的垂直平分线上，
∴AE=DE，
∴∠A=∠ADE，
∵∠BED是△ADE的一个外角，
∴∠BED=∠A+∠ADE，
∴∠BED=2∠A，
由折叠得：
∠C=∠BED，
∴∠C=2∠A，
∵∠ABC=135°，
∴∠A+∠C=180°−∠ABC=45°，
∴∠A+2∠A=45°，
∴∠A=15°，
故答案为：15°．
先利用线段垂直平分线的性质可得AE=DE，从而可得∠A=∠ADE，进而利用三角形的外角可得∠BED=2∠A，然后利用折叠的性质可得∠C=∠BED，从而可得∠C=2∠A，最后根据三角形内角和定理可得∠A+∠C=60°，从而进行计算即可解答．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及折叠的性质是解题的关键．
15.【答案】30°
【解析】解：由多边形的内角和可得，
∠ABE=∠BEF=(8−2)×180°8=135°，
∴∠EBC=180°−∠ABE=180°−135°=45°，
∵∠DCE=∠CEG=(6−2)×180°6=120°，
∴∠BCE=180°−∠DCE=60°，
由三角形的内角和得：
∠BEC=180°−∠EBC−∠BCE=180°−45°−60°=75°，
∴∠FEG=360°−∠BEF−∠CEG−∠BEC
=360°−135°−120°−75°
=30°．
故答案为：30°．
根据多边形的内角和，分别得出∠ABE=∠BEF=135°，∠DCE=∠CEG=120°，再根据三角形的内角和算出∠BEC，得出∠FEG=360°−∠BEF−∠CEG−∠BEC即可．
本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．
16.【答案】①②④
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=12BC，
∴点E是BC中点，AE=12BC=BE=CE，
∵∠AEB=60°，
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S▱ABCD=AB⋅AC，故②正确，
∵AB=12BC，OB=12BD，
∵BD>BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵OA=OC，BE=CE，
∴OE=12AB，
∵AB=12BC，
∴OE=14BC.故④正确．
故答案为：①②④．
由▱ABCD中，∠ADC=60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB=12BC，证得点E是BC中点，①∠CAD=30°；继而证得AC⊥AB，得②S▱ABCD=AB⋅AC；可得OE是三角形的中位线，证得④OE=14BC，而③，可由AB=12BC，OB=12BD，BD>BC，知不成立．
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．
17.【答案】解：如图：点P即为所求．
【解析】根据过一点作已知直线的垂线和角的平分线是基本做法作图．
本题考查了复杂作图，掌握几种基本尺规作图是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)△A1B1C1的面积=4×2−12×1×4−12×1×3−12×1×2=72．
【解析】(1)根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
(2)根据割补法求解即可．
本题考查了旋转变换的性质，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=2x(x2−4xy+4y2)
=2x(x−2y)2；
(2)原式=(a−b)(x2−9y2)
=(a−b)(x+3y)(x−3y)．
【解析】(1)提公因式后再利用完全平方公式因式分解即可；
(2)提公因式后再利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握并应用因式分解的方法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)(1−2x+1)÷x2−2x+1x+1
=x+1−2x+1⋅x+1(x−1)2
=x−1x+1⋅x+1(x−1)2
=1x−1，
当x=3时，原式=13−1=12；
(2)2(x+1)≥5x−1①x+23−x<1②，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x>−12，
∴原不等式组的解集为：−12
(2)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】如图，锐角△ABC与锐角△A′B′C′，BC=B′C′，AB=A′B′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，且AD=A′D′，
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，
在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，
AB=A′B′AD=A′D′，
∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′(HL)，
∴∠B=∠B′，
在△ABC与△A′B′C′中，
AB=A′B′∠B=∠B′BC=B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)．
【解析】根据题意首先写出已知和求证，进而利用全等三角形的判定与性质得出Rt△ADB≌Rt△A′D′B′以及∠B=∠B′进而得出△ABC≌△A′B′C′．
本题考查了全等三角形判定的应用，熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．
22.【答案】解：设A型号扫地机器人每小时清扫面积是xm2，则B型号扫地机器人每小时清扫面积是(1+20%)xm2，
根据题意得：100x−100(1+20%)x=5060，
解得：x=20，
经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意．
答：A型号扫地机器人每小时清扫面积是20m2，
【解析】设A型号扫地机器人每小时清扫面积是xm2，则B型号扫地机器人每小时清扫面积是(1+20%)xm2，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合A型机器人清扫100m2所用的时间比B型机器人多用50分钟，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵BE，CF是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//BC且EF=12BC．
∵点P，Q分别是BG，CG的中点，
∴PQ是△BCG的中位线，
∴PQ//BC且PQ=12BC，
∴EF//PQ且EF=PQ．
∴四边形EFPQ是平行四边形；
(2)∵四边形EFPQ是平行四边形，
∴GP=GE，
∵P是BG中点，
∴BG=2PG，
∴BG=2GE．
【解析】(1)利用三角形的中位线的性质可得EF//BC且EF=12BC，PQ//BC且PQ=12BC，即有EF//PQ且EF=PQ，问题得证；
(2)根据平行四边形的性质即可证明．
本题考查了三角形的中位线的性质，平行四边形的判定与性质等知识，掌握三角形的中位线的性质是解答本题的关键．
24.【答案】解：(1)由题意可得：65x+5(100−x)≤3500，
∴x≤50，
又∵x≥0，
∴0≤x≤50，且x为整数；
(2)由题意可得：(90−65)x+(10−5)(100−x)≥1450，
∴x≥47.5，
∴47.5≤x≤50，
∴进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品进50件，乙商品进50件；
∵总利润y=20x+500，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=50时，有最大利润．
∴当甲商品进50件，乙商品进50件，利润有最大值．
【解析】(1)由用不超过3500元资金一次性购进甲，乙两种商品，列出不等式，即可求解；
(2)由获得的利润不少于1250元，列出不等式可求x的范围，由一次函数的性质可求解
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
25.【答案】90° CD+CB= 2CA BA+BC= 3BD
【解析】解：(1)∵四边形ABCD为对角互补四边形，
∴∠B+∠D=180°，
∵∠B：∠C：∠D=2：3：4，
∴∠B=180°÷6×2=60°
∴∠C=90°，
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=90°，
故答案为：90°．
(2)∵△ABC≌△ADM，
∴AC=AM，BC=DM，
∵△ACM是等腰直角三角形，
∴CM= 2AC，
∵CM=CD+DM，
∴CM=CD+BC= 2AC．
故答案为：CD+CB= 2CA．
(3)如图，延长BC至M，使CM=AB，连接DM，
∵四边形ABCD为对角互补四边形，
∴∠A+∠BCD=∠BCD+∠DCM=180°，
∴∠A=∠DCM，
∵AD=CD，
∴△ADB≌△CDM(SAS)，
∴BD=MD，∠ADB=∠CDM，
∵∠ABC=60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠BDM=120°，
∴∠M=∠DBM=30°，
过点D作DN⊥BM交于点N，
∴N为BM的中点，
∴BM=2MN，
在Rt△DNM中，MN= 32DM= 32BD，
∴BM= 3BD，
∴BM=BC+CM=BC+AB= 3BD，
故答案为：BC+BA= 3BD．
(1)根据对角互补，求解即可；
(2)由题意可得AC=AM，BC=DM，CM= 2AC，即可得CD+CB= 2CA．
(4)延长BC至M，使CM=AB，连接DM，证明△ADB≌△CDM(SAS)，根据题意可求∠M=∠DBM=30°，过点D作DN⊥BM交于点N，则有BM=2MN，BM= 3BD，再由BM=BC+CM=BC+AB= 3BD即可求解．
本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，恰当的构造辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵OA=6，OB=10，四边形OACB为长方形，
∴C(6,10)．
设此时直线DP解析式为y=kx+b，
把D(0,2)，C(6,10)分别代入得，
b=26k+b=10，
解得k=43b=2，
∴此时直线DP的函数解析式为y=43x+2；
(2)当点P在线段AC上，0≤t<5时，OD=2，高为6，S=12×2×6=6，
当点P在线段BC上，5≤t<8时，OD=2，高为6+10−2t=16−2t，S=12×2×(16−2t)=−2t+16，
∴△OPD的面积S关于t的函数解析式为S=6(0≤t<5)−2t+16(5≤t<8)；
(3)存在，理由为：
因为BD>BC，所以满足条件的点AC上．
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑，
①当BD=BP=OB−OD=10−2=8时，
在Rt△BCP中，BP=8，BC=6
根据勾股定理得：CP= 82−62=2 7，
∴AP=10−2 7，即P(6,10−2 7)；
②当BP=DP时，过点P作PQ⊥OB于Q，
∴BQ=DQ=12×(10−2)=4，
∴OQ=2+4=6，
∴P(6,6)；
③当DB=DP=8时，过点D作DE⊥AC于E，
在Rt△DEP中，DE=6，
根据勾股定理得：PE= 82−62=2 7，
∴AP=AE+EP=2 7+2，
∴P(6,2 7+2)，
综上，满足题意的P坐标为(6,6)或(6,2 7+2)或(6,10−2 7).
【解析】(1)设直线DP解析式为y=kx+b，将D与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
(2)当P在AC段时，三角形ODP底OD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边OD为固定值，表示出高，即可列出S与t的关系式；
(3)存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．
此题属于一次函数综合题，考查了待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
2022-2023学年山东省青岛市崂山区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若分式1x−3有意义，则x满足的条件是( )
A. x=3 B. x<3 C. x>3 D. x≠3
2. 已知a
3. 以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4. 下列命题中，其逆命题为真命题的是( )
A. 内错角相等 B. 若a=b，则a2=b2
C. 对顶角相等 D. 等腰三角形两底角相等
5. 下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是( )
A. a(x+y)=ax+ay B. x2−2x+1=x(x−2)+1
C. (x+1)(x−1)=x2−1 D. x2−1=(x+1)(x−1)
6. 不等式组x+2>02x−3≤1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB=AC，则∠B<90°”时，首先应该假设( )
A. ∠B≥90° B. ∠B>90°
C. AB≠AC D. AB≠AC且∠B≥90°
8. 如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕A′逆时针旋转一定角度，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为( )
A. 4，30° B. 2，60° C. 1，60° D. 3，30°
9. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为( )
A. 900(x+1)×2=900(x−3) B. 900(x+1)=900(x−3)×2
C. 90(x+1)×2=900(x+3) D. 900(x+1)=900(x+3)×2
10. 已知：▱AOCD的顶点O(0,0)，点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E．
③画射线OE，交AD于点F(2,3)，则点A的坐标为( )
A. (−54,3) B. (3− 13,3) C. (−45,3) D. (2− 13,3)
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 因式分解：ab2−25a= ______ ．
12. 若关于x的分式方程2x−3+x+m3−x=2有增根，则m的值为______．
13. 如图，函数y1=−2x与y2=ax+3的图象相交于点A(m,2)，则关于x的不等式−2x≤ax+3的解集是______．
14. 如图，在△ABC中，∠ABC=135°，点D为AC上一点，AD的垂直平分线交AB于点E，将△CBD沿着BD折叠，点C恰好和点E重合，则∠A的度数为______ ．
15. 将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点.则∠FEG= ______ ．
16. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=12BC，连接OE.下列结论：
①∠CAD=30°
②S▱ABCD=AB⋅AC
③OB=AB
④OE=14BC
成立的有______ (把所有正确结论的序号都填在横线上)
三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
已知点B是∠MAN边AN上一点.求作：点P，使得PB⊥AN，且点P到∠MAN两边的距离相等.(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)
18. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图，网格中小正方形边长为1，点A坐标为(1,2)，请解答下列问题：
(1)作出△ABC绕点O的逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；
(2)计算△A1B1C1的面积．
19. (本小题8.0分)
因式分解：(1)2x3−8x2y+8xy2；
(2)x2(a−b)+9y2(b−a)．
20. (本小题10.0分)
(1)先化简，再求值：(1−2x+1)÷x2−2x+1x+1，其中x=3；
(2)解不等式组：2(x+1)≥5x−1x+23−x<1．
21. (本小题6.0分)
证明命题：如果两个锐角三角形有两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形全等．
(1)画出图形，写出已知，求证．
(2)写出证明过程．
22. (本小题6.0分)
某工厂生产A，B两种型号的扫地机器人.A型机器人清扫100m2所用的时间比B型机器人多用50分钟.B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多20%.求A型号扫地机器人每小时清扫面积是多少？
23. (本小题8.0分)
如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，点P，Q分别是BG，CG的中点.求证：
(1)四边形EFPQ是平行四边形；
(2)BG=2GE．
24. (本小题8.0分)
零售经济成为社会关注的热门话题，小华从市场得知如下信息：
甲商品
乙商品
进价(元/件)
65
5
售价(元/件)
90
10
小华计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小华购进甲商品x件．
(1)小华用不超过3500元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，小华希望甲乙商品全部销售完后获得的利润不少于1450元，有哪些可行的进货方案？为获得最大利润，请你给出进货建议．
25. (本小题6.0分)
图形定义：四边形ABCD若满足∠A+∠C=180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．
(1)若四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D=2：3：4，则∠A的度数为______ ．
(2)如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD．
求证：AC平分∠BCD．
小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM=BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB，CD，CA三者关系为：______ ；
(3)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠ABC=60°，AD=CD，则BA，BC，BD三者关系为：______ ．
26. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A，B分别在x轴与y轴上，已知OA=6，OB=10.点D为y轴上一点，其坐标为(0,2)，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC−CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．
(1)当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
(2)求△OPD的面积S关于t的函数解析式；
(3)点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：当x−3≠0，即x≠3时，
分式1x−3有意义．
故选：D．
分式有意义，需满足分母不等于0，即解关于含x的不等方程即可．
考查了分式有意义的条件，分式有意义，需满足分母不等于0；分式无意义，需满足分母等于0.解决分式有无意义的问题，一般转化为分母不等于0的方程．
2.【答案】D
【解析】解：∵a−3>b−3，∴a>b，故选项A错误；
∵a3>b3，∴a>b，故选项B错误；
∵3a−1>3b−1，∴a>b，故选项C错误；
∵−3a>−3b，∴a
根据不等式的两边都加(或减)同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
本题考查不等式的性质，解题的关键是明确不等式性质的内容，尤其要主要性质3，两边同时乘或除以一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4.【答案】D
【解析】解：内错角相等的逆命题是相等的角是内错角，逆命题是假命题，故A不符合题意；
若a=b，则a2=b2的逆命题是若a2=b2，则a=b，逆命题是假命题，故B不符合题意；
对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，故C不符合题意；
等腰三角形两底角相等的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题，故D符合题意；
故选：D．
写出每各命题的逆命题，再判断其真假即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握能求出原命题的逆命题，并能判断其真假．
5.【答案】D
【解析】解：根据因式分解的定义：只有选项D正确
故选：D．
将多项式分解为几个整式的乘积形式称为多项式的因式分解．
本题考查因式分解的概念，注意等式的左边是多项式，等式的右边是几个整式的乘积，本题属于基础题型．
6.【答案】B
【解析】解：由题意可得，不等式的解集为：−2
故选：B．
先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来，结合选项即可得出答案．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，属于基础题，注意空心点和实心点在数轴上表示的含义．
7.【答案】A
【解析】解：用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB=AC，则∠B<90°”时，首先假设∠B≥90°，
故选：A．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8.【答案】B
【解析】解：由平移得：AB=A′B′=4，∠B=∠A′B′C′=60°，
由旋转得：A′B′=A′C，
∴△A′B′C是等边三角形，
∴∠B′A′C=60°，B′C=A′B′=4，
∵BC=6，
∴BB′=BC−B′C=6−4=2，
∴平移的距离为2，旋转角的度数为60°，
故选：B．
根据平移的性质可得：AB=A′B′=4，∠B=∠A′B′C′=60°，再根据旋转的性质可得：A′B′=A′C，从而可得△A′B′C是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得∠B′A′C=60°，B′C=A′B′=4，从而利用线段的和差关系可得BB′=2，即可解答．
本题考查了旋转的性质，平移的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为(x−3)天，慢马所需的时间为(x+1)天，由题意得：
900x+1×2=900x−3，
即900(x+1)=900(x−3)×2，
故选：B．
首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为(x−3)天，慢马所需的时间为(x+1)天，由题意得等量关系：慢马速度×2=快马速度，根据等量关系，可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
10.【答案】A
【解析】解：由作法得OE平分∠AOC，则∠AOF=∠COF，
∵四边形AOCD为平行四边形，
∴AD//OC，
∴∠AFO=∠COF，
∴∠AOF=∠AFO，
∴OA=AF，
设AF交y轴于M，如图，
∵F(2,3)，
∴MF=2，OM=3，
设A(t,3)，
∴AM=−t，AO=AF=−t+2，
在Rt△OAM中，t2+32=(−t+2)2，解得t=−54，
∴A(−54,3)．
故选：A．
利用基本作图得到∠AOF=∠COF，再根据平行四边形的性质得到AD//OC，接着证明∠AOF=∠AFO得到OA=AF，设AF交y轴于M，如图，设A(t,3)，则AM=−t，AO=AF=−t+2，利用勾股定理得到t2+32=(−t+2)2，然后解方程求出t即可得到A点坐标．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作已知角的角平分线)；也考查了平行四边形的性质．利用方程的思想求出AM是解决问题的关键．
11.【答案】a(b+5)(b−5)
【解析】解：ab2−25a，
=a(b2−25)，
=a(b+5)(b−5)．
先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，注意分解要彻底．
12.【答案】−1
【解析】解：方程两边都乘(x−3)，得
2−x−m=2(x−3)
因为原方程增根为x=3，
所以把x=3代入整式方程，得2−3−m=0，
解得m=−1．
故答案为：−1．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13.【答案】x≥−1
【解析】解：∵函数y1=−2x过点A(m,2)，
∴−2m=2，
解得：m=−1，
∴A(−1,2)，
∴不等式−2x
首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式−2x≤ax+3的解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
14.【答案】15°
【解析】解：∵点E在AD的垂直平分线上，
∴AE=DE，
∴∠A=∠ADE，
∵∠BED是△ADE的一个外角，
∴∠BED=∠A+∠ADE，
∴∠BED=2∠A，
由折叠得：
∠C=∠BED，
∴∠C=2∠A，
∵∠ABC=135°，
∴∠A+∠C=180°−∠ABC=45°，
∴∠A+2∠A=45°，
∴∠A=15°，
故答案为：15°．
先利用线段垂直平分线的性质可得AE=DE，从而可得∠A=∠ADE，进而利用三角形的外角可得∠BED=2∠A，然后利用折叠的性质可得∠C=∠BED，从而可得∠C=2∠A，最后根据三角形内角和定理可得∠A+∠C=60°，从而进行计算即可解答．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及折叠的性质是解题的关键．
15.【答案】30°
【解析】解：由多边形的内角和可得，
∠ABE=∠BEF=(8−2)×180°8=135°，
∴∠EBC=180°−∠ABE=180°−135°=45°，
∵∠DCE=∠CEG=(6−2)×180°6=120°，
∴∠BCE=180°−∠DCE=60°，
由三角形的内角和得：
∠BEC=180°−∠EBC−∠BCE=180°−45°−60°=75°，
∴∠FEG=360°−∠BEF−∠CEG−∠BEC
=360°−135°−120°−75°
=30°．
故答案为：30°．
根据多边形的内角和，分别得出∠ABE=∠BEF=135°，∠DCE=∠CEG=120°，再根据三角形的内角和算出∠BEC，得出∠FEG=360°−∠BEF−∠CEG−∠BEC即可．
本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．
16.【答案】①②④
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=12BC，
∴点E是BC中点，AE=12BC=BE=CE，
∵∠AEB=60°，
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S▱ABCD=AB⋅AC，故②正确，
∵AB=12BC，OB=12BD，
∵BD>BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵OA=OC，BE=CE，
∴OE=12AB，
∵AB=12BC，
∴OE=14BC.故④正确．
故答案为：①②④．
由▱ABCD中，∠ADC=60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB=12BC，证得点E是BC中点，①∠CAD=30°；继而证得AC⊥AB，得②S▱ABCD=AB⋅AC；可得OE是三角形的中位线，证得④OE=14BC，而③，可由AB=12BC，OB=12BD，BD>BC，知不成立．
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．
17.【答案】解：如图：点P即为所求．
【解析】根据过一点作已知直线的垂线和角的平分线是基本做法作图．
本题考查了复杂作图，掌握几种基本尺规作图是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)△A1B1C1的面积=4×2−12×1×4−12×1×3−12×1×2=72．
【解析】(1)根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
(2)根据割补法求解即可．
本题考查了旋转变换的性质，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=2x(x2−4xy+4y2)
=2x(x−2y)2；
(2)原式=(a−b)(x2−9y2)
=(a−b)(x+3y)(x−3y)．
【解析】(1)提公因式后再利用完全平方公式因式分解即可；
(2)提公因式后再利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握并应用因式分解的方法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)(1−2x+1)÷x2−2x+1x+1
=x+1−2x+1⋅x+1(x−1)2
=x−1x+1⋅x+1(x−1)2
=1x−1，
当x=3时，原式=13−1=12；
(2)2(x+1)≥5x−1①x+23−x<1②，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x>−12，
∴原不等式组的解集为：−12
(2)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】如图，锐角△ABC与锐角△A′B′C′，BC=B′C′，AB=A′B′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，且AD=A′D′，
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，
在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，
AB=A′B′AD=A′D′，
∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′(HL)，
∴∠B=∠B′，
在△ABC与△A′B′C′中，
AB=A′B′∠B=∠B′BC=B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)．
【解析】根据题意首先写出已知和求证，进而利用全等三角形的判定与性质得出Rt△ADB≌Rt△A′D′B′以及∠B=∠B′进而得出△ABC≌△A′B′C′．
本题考查了全等三角形判定的应用，熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．
22.【答案】解：设A型号扫地机器人每小时清扫面积是xm2，则B型号扫地机器人每小时清扫面积是(1+20%)xm2，
根据题意得：100x−100(1+20%)x=5060，
解得：x=20，
经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意．
答：A型号扫地机器人每小时清扫面积是20m2，
【解析】设A型号扫地机器人每小时清扫面积是xm2，则B型号扫地机器人每小时清扫面积是(1+20%)xm2，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合A型机器人清扫100m2所用的时间比B型机器人多用50分钟，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵BE，CF是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//BC且EF=12BC．
∵点P，Q分别是BG，CG的中点，
∴PQ是△BCG的中位线，
∴PQ//BC且PQ=12BC，
∴EF//PQ且EF=PQ．
∴四边形EFPQ是平行四边形；
(2)∵四边形EFPQ是平行四边形，
∴GP=GE，
∵P是BG中点，
∴BG=2PG，
∴BG=2GE．
【解析】(1)利用三角形的中位线的性质可得EF//BC且EF=12BC，PQ//BC且PQ=12BC，即有EF//PQ且EF=PQ，问题得证；
(2)根据平行四边形的性质即可证明．
本题考查了三角形的中位线的性质，平行四边形的判定与性质等知识，掌握三角形的中位线的性质是解答本题的关键．
24.【答案】解：(1)由题意可得：65x+5(100−x)≤3500，
∴x≤50，
又∵x≥0，
∴0≤x≤50，且x为整数；
(2)由题意可得：(90−65)x+(10−5)(100−x)≥1450，
∴x≥47.5，
∴47.5≤x≤50，
∴进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品进50件，乙商品进50件；
∵总利润y=20x+500，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=50时，有最大利润．
∴当甲商品进50件，乙商品进50件，利润有最大值．
【解析】(1)由用不超过3500元资金一次性购进甲，乙两种商品，列出不等式，即可求解；
(2)由获得的利润不少于1250元，列出不等式可求x的范围，由一次函数的性质可求解
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
25.【答案】90° CD+CB= 2CA BA+BC= 3BD
【解析】解：(1)∵四边形ABCD为对角互补四边形，
∴∠B+∠D=180°，
∵∠B：∠C：∠D=2：3：4，
∴∠B=180°÷6×2=60°
∴∠C=90°，
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=90°，
故答案为：90°．
(2)∵△ABC≌△ADM，
∴AC=AM，BC=DM，
∵△ACM是等腰直角三角形，
∴CM= 2AC，
∵CM=CD+DM，
∴CM=CD+BC= 2AC．
故答案为：CD+CB= 2CA．
(3)如图，延长BC至M，使CM=AB，连接DM，
∵四边形ABCD为对角互补四边形，
∴∠A+∠BCD=∠BCD+∠DCM=180°，
∴∠A=∠DCM，
∵AD=CD，
∴△ADB≌△CDM(SAS)，
∴BD=MD，∠ADB=∠CDM，
∵∠ABC=60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠BDM=120°，
∴∠M=∠DBM=30°，
过点D作DN⊥BM交于点N，
∴N为BM的中点，
∴BM=2MN，
在Rt△DNM中，MN= 32DM= 32BD，
∴BM= 3BD，
∴BM=BC+CM=BC+AB= 3BD，
故答案为：BC+BA= 3BD．
(1)根据对角互补，求解即可；
(2)由题意可得AC=AM，BC=DM，CM= 2AC，即可得CD+CB= 2CA．
(4)延长BC至M，使CM=AB，连接DM，证明△ADB≌△CDM(SAS)，根据题意可求∠M=∠DBM=30°，过点D作DN⊥BM交于点N，则有BM=2MN，BM= 3BD，再由BM=BC+CM=BC+AB= 3BD即可求解．
本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，恰当的构造辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵OA=6，OB=10，四边形OACB为长方形，
∴C(6,10)．
设此时直线DP解析式为y=kx+b，
把D(0,2)，C(6,10)分别代入得，
b=26k+b=10，
解得k=43b=2，
∴此时直线DP的函数解析式为y=43x+2；
(2)当点P在线段AC上，0≤t<5时，OD=2，高为6，S=12×2×6=6，
当点P在线段BC上，5≤t<8时，OD=2，高为6+10−2t=16−2t，S=12×2×(16−2t)=−2t+16，
∴△OPD的面积S关于t的函数解析式为S=6(0≤t<5)−2t+16(5≤t<8)；
(3)存在，理由为：
因为BD>BC，所以满足条件的点AC上．
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑，
①当BD=BP=OB−OD=10−2=8时，
在Rt△BCP中，BP=8，BC=6
根据勾股定理得：CP= 82−62=2 7，
∴AP=10−2 7，即P(6,10−2 7)；
②当BP=DP时，过点P作PQ⊥OB于Q，
∴BQ=DQ=12×(10−2)=4，
∴OQ=2+4=6，
∴P(6,6)；
③当DB=DP=8时，过点D作DE⊥AC于E，
在Rt△DEP中，DE=6，
根据勾股定理得：PE= 82−62=2 7，
∴AP=AE+EP=2 7+2，
∴P(6,2 7+2)，
综上，满足题意的P坐标为(6,6)或(6,2 7+2)或(6,10−2 7).
【解析】(1)设直线DP解析式为y=kx+b，将D与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
(2)当P在AC段时，三角形ODP底OD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边OD为固定值，表示出高，即可列出S与t的关系式；
(3)存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．
此题属于一次函数综合题，考查了待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
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