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2022-2023学年安徽省合肥市庐江县高二（下）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年安徽省合肥市庐江县高二（下）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省合肥市庐江县高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合A={1,2,6}，B={2,4}，C={x∈R|−1≤x≤5}，则(A∪B)∩C=( )
A. {2} B. {1,2,4}
C. {1,2,4,6} D. {x∈R|−1≤x≤5}
2. 复数i+2+ii(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 算盘是我国一类重要的计算工具.如图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动.设事件A=“表示的四位数为偶数”，事件B=“表示的四位数大于5050”，则P(B|A)=( )
A. 15 B. 512 C. 23 D. 56
4. f(x)是定义在R上的奇函数，且单调递减，若f(2−a)+f(4−a)<0，则a的取值范围是( )
A. a<1 B. a<3 C. a>1 D. a>3
5. 随机变量X～B(100,p)，且E(X)=20，则D(2X−1)=( )
A. 64 B. 128 C. 256 D. 32
6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底面是边长为3的正方形，上棱EF=2，EF//平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为32，该刍甍的体积为( )
A. 212 B. 113 C. 9 D. 6
7. 如图，正方形ABCD的边长为5，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去，则从正方形ABCD开始，连续15个正方形的面积之和等于( )
A. 100[1−(12)15]
B. 50[1−(12)15]
C. 25[1−(12)15]
D. 252[1−(12)15]
8. 下列说法中正确的是( )
①设随机变量X服从二项分布B(6,12)，则P(X=3)=516
②已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)且P(X<4)=0.9，则P(0
④E(2X+3)=2E(X)+3；D(2X+3)=2D(X)+3．
A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①③
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法中正确的是( )
A. 分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本数量较少，这是不公平的
B. 正态分布N(1,9)在区间(−1,0)和(2,3)上取值的概率相等
C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1
D. 若一组数据1、a、2、3的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2
10. 若(x+1x)n的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( )
A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项
11. 已知随机变量X～B(20,13)，若使P(X=k)的值最大，则k等于( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
12. 已知函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是( )
A. 函数y=f(x)在区间(−3,−12)内单调递增
B. 当x=−2时，函数y=f(x)取得极小值
C. 函数y=f(x)在区间(−2,2)内单调递增
D. 当x=3时，函数y=f(x)有极小值
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设向量a=(1,−1)，b=(m+1,2m−4)，若a⊥b，则m= ．
14. 已知Cn0−4Cn1+42Cn2−43Cn3+⋯+(−1)n4nCnn=729，则n的值为______ ．
15. 某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，______ (填“有”或“没有”)99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．
(参考公式与数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.)
P(K2≥k0)
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
16. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)=0.95，P(A−|C−)=0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)=0.005，则P(C|A)=______.(精确到0.001)
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知数列{an}是首项为2的等差数列，数列{bn}是公比为2的等比数列，且数列{an⋅bn}的前n项和为Sn=n⋅2n+1(n∈N*)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设_____，求数列{cn}的前n项和为Tn．
①cn=anbn，②cn=1an⋅log2bn，③cn=an+bn.从这三个条件中任选一个填入上面横线中，并回答问题．
18. (本小题12.0分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A+C)=8sin2B2．
(1)求cosB；
(2)若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．
19. (本小题12.0分)
四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2.以AC的中点O为球心AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N．
(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；
(2)求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；
20. (本小题12.0分)
根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图，如图所示．
(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；
(2)求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y约为多少？
附：相关系数公式r=i=1n(xi−x)(yi−y) i=1n(xi−x)2 i=1n(yi−y)2=i=1nxiyi−nx·y i=1nx i2−nx2 i=1nyi2−ny2，
参考数据： 0.3≈0.55， 0.9≈0.95．
回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2=i=1nxiyi−nx·yi=1nx i2−nx2，a=y−bx
21. (本小题12.0分)
已知椭圆C：9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点(m3,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=lnx−x−m(m∈R)．
(1)若函数f(x)有两个零点，求m的取值范围；
(2)证明：当m≥−3时，关于x的不等式f(x)+(x−2)ex<0在[12,1]上恒成立．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={1,2,6}，B={2,4}，C={x∈R|−1≤x≤5}，
∴A∪B={1,2,4,6}，
则(A∪B)∩C={1,2,4}．
故选：B．
利用并集定义求出A∪B，再由交集定义能求出(A∪B)∩C．
本题考查集合的运算，考查并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应的点的坐标得答案．
【解答】
解：∵i+2+ii=i+(2+i)(−i)−i2=i+1−2i=1−i，
∴复数i+2+ii在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)，位于第四象限．
故选：D．
3.【答案】A
【解析】解：算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．
基本事件为：1000，1001，1005，1010，1050，1100，1500，5000，5001，5005，5010，5050，5100，5500共14种，
事件A=“表示的四位数为偶数”，则P(A)=1014=57，
事件B=“表示的四位数大于5050”，则P(AB)=214=17，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=15．
故选：A．
根据题意，列举出所有基本事件，进而求出P(A)，P(AB)，再利用条件概率公式求解即可．
本题主要考查了条件概率的概率公式，属于基础题..
4.【答案】B
【解析】解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，f(2−a)+f(4−a)<0，
∴f(2−a)
∴2−a>a−4
∴a<3
故选：B．
先利用f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(2−a)
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查二项分布期望与方差的求法，是基础题．利用二项分布期望公式易求得p，继而求得方差D(X)，再利用方差的性质求解．
【解答】
解：由于X～B(100,p)，且E(X)=20，则100p=20，得p=0.2，D(X)=100p(1−p)=20×(1−0.2)=16，D(2X−1)=22D(X)=64．
故选：A．
6.【答案】D
【解析】解：如图，作FN//AE，FM//ED
则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，
则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，
所以该刍瞢的体积为：
VF−MNBC+VADE−MNF=13S矩形MBBC⋅32+S直截面⋅2=13×3×(3−2)×32+12×3×32×2=6．
故选：D．
作FN//AE，FM//ED，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，由此能求出该刍甍的体积．
本题考查空间几何体的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，设第n(n∈N*)个正方形的面积为Sn，其边长为an，则第n个正方形的对角线长为 2an，
分析可得第n+1个正方形的边长为an+1= 22an，变形可得an+1an= 22，
故数列{an}是首项为a1=5，公比为 22的等比数列，则an=5⋅( 22)n−1，
故Sn=(an)2=252n−1，
当n=1时，S1=25，又Sn+1Sn=25⋅(12)n25⋅(12)n−1=12，
故数列{Sn}是首项为S1=25，公比为12的等比数列，
则S1+S2+S3+…+Sn=25[1−(12)n]1−12=50[1−(12)n]
即连续15个正方形的面积之和等于S1+S2+S3+…+S15=50[1−(12)15]．
故选：B．
设第n(n∈N*)个正方形的面积为Sn，其边长为an，分析数列{an}的通项公式，由此可得数列{Sn}的通项公式，进而求出{Sn}的前15项的和，即可得答案．
本题考查数列求和的应用，涉及归纳推理的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：①设随机变量X服从二项分布B(6,12)，则P(X=3)=C63⋅(12)3⋅(1−12)3=516，故①正确；
②∵X服从正态分布N(2,o2)，∴正态曲线的对称轴是x=2，
∵P(X<4)=0.9，∴P(2
∴P(A|B)=29，故③正确；
④E(2X+3)=2E(X)+3，D(2X+3)=4D(X)，故④不正确．
故选：A．
由二项分布的概率公式求得概率判断①；由正态分布的对称性求得概率判断②；利用条件概率计算公式求得概率判断③；由期望与方差的计算公式判断④．
本题考查正态分布、二项分布及条件概率的求法，是中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，根据分层抽样的定义可知，对每个个体被抽取到的概率都是相同的，故A错误；
对于B，正态分布N(1,9)的曲线关于x=1对称，
区间(−1,0)和(2,3)与对称轴距离相等，所以在两个区间上的概率相等，B正确；
对于C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数|r|的值越接近于1，C错误；
对于D，组数据1、a、2、3的平均数是2，
则1+a+2+34=2，解得a=2，
，故该组数据的众数和中位数均为2，D正确．
故选：BD．
对于A，结合分层抽样的定义，即可求解；
对于B，结合正态分布的对称性，即可求解；
对于C，结合相关系数的定义，即可求解；
对于D，结合平均数公式，以及众数、中位数的定义，即可求解．
本题主要考查平均数公式，以及众数、中位数的定义，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】
【分析】
本题考查了二项式定理的运用；注意区分二项式系数与项的系数；本题的二项式系数与项的系数相等．
由已知展开式中第3项与第8项的系数相等求二项式指数，然后求二项式系数最大项．
【解答】
解：∵(x+1x)n的展开式中第3项与第8项的系数相等，
∴∁n2=∁n7；
所以n=9，则展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项；
故选：CD．
11.【答案】BC
【解析】解：令P(X=k+1)P(X=k)=C20k+1(13)k+1(23)20−k−1C20k(13)k(23)20−k=20−k2k+2>1，解得k<6，
当k<6时，P(X=k+1)>P(X=k)，
当k=6时，P(X=7)=P(X=6)，
当k>6时，P(X=k+1)
故选：BC．
根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的概率公式，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：由函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象可知，
对于A，函数y=f(x)在区间(−3,−12)内的导数值有正有负，故y=f(x)在区间(−3,−12)内有增有减，故A不正确；
对于B，当x=−2时，其左侧的导数小于0，其右侧的导数大于0，故函数y=f(x)在x=−2处取得极小值，故B正确；
对于C，当x∈(−2,2)时，恒有f′(x)>0，则函数y=f(x)在区间(−2,2)上单调递增，故C正确；
对于D，当x=3时，f′(x)≠0，故D不正确．
故选：BC．
观察函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象，可对四个选项逐一分析，得到答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查识图能力与逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】5
【解析】
【分析】
本题考查了向量的垂直的条件和向量数量积的运算，属于基础题．
根据向量垂直的条件可得关于m的方程，解之可得结果．
【解答】
解：向量a=(1,−1)，b=(m+1,2m−4)，若a⊥b，
则a·b=m+1−(2m−4)=−m+5=0，
则m=5．
故答案为：5．
14.【答案】6
【解析】解：由Cn0−4Cn1+42Cn2−43Cn3+⋯+(−1)n4nCnn=729，
得Cn0⋅1n⋅(−4)0+Cn1⋅1n−1⋅(−4)1+Cn2⋅1n−2⋅(−4)2+...+Cnn⋅10⋅(−4)n=729，
则(1−4)n=729，即(−3)n=729=(−3)6，
解得：n=6．
故答案为：6．
由已知等式结合二项式定理即可求解n值．
本题考查组合及组合数公式，考查二项式定理的应用，是基础题．
15.【答案】有
【解析】解：由题填写2×2列联表如下，
乐观
不乐观
总计
国内代表
60
40
100
国外代表
40
60
100
总计
100
100
200
K2=200×(60×60−40×40)2100×100×100×100=8>7.879，
所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．
故答案为：有．
先列出2×2列联表，再根据公式计算出K2的观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断．
本题考查独立性检验，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．
16.【答案】0.087
【解析】解：∵P(A|C)=0.95，
∴P(A|C−)=1−P(A−|C−)=0.05，
∵P(C)=0.005，
∴P(C−)=0.995，
由全概率公式可得，P(A)=P(A|C)P(C)+P(A|C−)P(C−)，
∵P(AC)=P(C|A)P(A)=P(A|C)P(C)，
∴P(C|A)=P(A|C)P(C)P(A|C)P(C)+P(A|C−)P(C−)=0.95×0.050.95×0.005+0.05×0.995=19218≈0.087．
故答案为：0.087．
根据已知条件，结合条件概率公式，以及全概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，以及全概率公式，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则an=2+(n−1)d,bn=b1⋅2n−1，
当n=1时，S1=a1×b1=2×b1=1×22=4，解得b1=2，
∴bn=2⋅2n−1=2n，n∈N*，
当n=2时，S2=2×23=16，
即a1b1+a2b2=4+(2+d)×4=16，解得d=1，
∴an=2+1⋅(n−1)=n+1，n∈N*．
(2)方案一：选择条件①
由(1)可得，cn=anbn=n+12n，
则Tn=c1+c2+⋅⋅⋅+cn=221+322+423+⋅⋅⋅+n+12n，
12Tn=222+323+424+⋯+n+12n+1，
两式相减，
可得12Tn=22+122+123+124+⋯+12n−n+12n+1
=1+14×(1−12n−1)1−12−n+12n+1
=32−n+32n+1，
∴Tn=3−n+32n．
方案二：选择条件②
由(1)可得，cn=1an⋅log2bn=1n⋅(n+1)=1n−1n+1，
则Tn=c1+c2+c3+⋅⋅⋅+cn
=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1．
方案三：选择条件③
由(1)可得，cn=an+bn=n+1+2n，
则Tn=c1+c2+⋅⋅⋅+cn
=(2+21)+(3+22)+⋅⋅⋅+[(n+1)+2n]
=[2+3+⋅⋅⋅+(n+1)]+(21+22+⋅⋅⋅+2n)
=(2+n+1)n2+2×(1−2n)1−2
=n22+32n+2n+1−2．
【解析】(1)先设等差数列{an}的公差为d，再根据等差数列与等比数列的通项公式写出数列{an}，{bn}的表达式，然后将n=1代入数列{an⋅bn}的前n项和Sn的表达式可推导出数列{bn}的首项b1的值，即可计算出等比数列{bn}的通项公式，再将n=2代入数列{an⋅bn}的前n项和Sn的表达式可推导出公差d的值，即可计算出等差数列{an}的通项公式；
(2)在选择条件①的情况下，先根据第(1)题的结果计算出数列{cn}的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前n项和Tn；在选择条件②的情况下，先根据第(1)题的结果计算出数列{cn}的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和Tn；在选择条件③的情况下，先根据第(1)题的结果计算出数列{cn}的通项公式，再运用分组求和法，以及等差数列与等比数列的求和公式即可计算出前n项和Tn．
本题主要考查等差数列与等比数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，整体思想，转化与化归思想，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，等差数列与等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：(1)sin(A+C)=8sin2B2，
∴sinB=4(1−cosB)，
∵sin2B+cos2B=1，
∴16(1−cosB)2+cos2B=1，
∴16(1−cosB)2+cos2B−1=0，
∴16(cosB−1)2+(cosB−1)(cosB+1)=0，
∴(17cosB−15)(cosB−1)=0，
∴cosB=1517；
(2)由(1)可知sinB=817，
∵S△ABC=12ac⋅sinB=2，
∴ac=172，
∴b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−2×172×1517
=a2+c2−15=(a+c)2−2ac−15=36−17−15=4，
∴b=2．
【解析】(1)利用三角形的内角和定理可知A+C=π−B，再利用诱导公式化简sin(A+C)，利用降幂公式化简8sin2B2，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，
(2)由(1)可知sinB=817，利用三角形的面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题
19.【答案】解：(1)证明：因为底面ABCD是矩形，则CD⊥AD，
又因为PA⊥平面ABCD，PA⊂面PAD，
所以面PAD⊥面ABCD，
又面PAD∩面ABCD=AD，CD⊂面ABCD，
所以CD⊥面PAD，AM⊂面PAD，
所以CD⊥AM，
因为AC的中点O为球心AC为直径的球面交PD于点M，
可知AM⊥CM，CM∩CD=D，CM⊂面PCD，CD⊂面PCD
所以AM⊥面PCD，
AM⊂面ABM，
可证得平面ABM⊥平面PCD；
(2)由(1)可得AM⊥PD，因为PA=AD=4，所以AM=DM=12PD=12×4 2=2 2，
作DE⊥MC交于E，因为AM⊥平面PCD，AM⊂面ACM，
所以面ACM⊥平面PCD，面ACM∩平面PCD=CM，DE⊂面PCM，
所以DE⊥面ACM，
则∠ECD为CD与平面ACM所成的角，
所以sin∠ECD=DECD，
在△CDM中，MD=2 2，CD=AB=2，DE⋅CM=CD⋅MD，且CM= CD2+DM2= 4+8=2 3，
可得DE=2 63，
所以sin∠ECD=DECD2 632= 63．
所以直线CD与平面ACM所成的角的正弦值为 63．
【解析】(1)由题意可证得AM⊥CM，CD⊥面PAD，进而可证得CD⊥AM，再由线面垂直的条件可证得结AM⊥平面PCD，进而可证得结论；
(2)作DE⊥MC交于E，可证得∠ECD为CD与平面ACM所成的角，由题意可得sin∠ECD的值．
本题考查面面垂直的证法及线面角的求法，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由已知数据可得x=2+4+5+6+85=5，
y=3+4+4+4+55=4．
∴i=15(xi−x)(yi−y)=(−3)×(−1)+(−1)×0+0×0+1×0+3×1=6，
i=15(xi−x)2= (−3)2+(−1)2+02+12+32=2 5，
i=15(yi−y)2= (−1)2+02+02+02+12= 2，
∴相关系数r=i=15(xi−x)(yi−y) i=15(xi−x)2 i=15(yi−y)2=62 5⋅ 2= 910≈0.95．
∵r>0.75，∴可用线性回归模型拟合y与x的关系;
(2)b=i=15(xi−x)(yi−y)i=15(xi−x)2=620=0.3．
a=y−bx=4−5×0.3=2.5，
∴回归方程为y=0.3x+2.5，
当x=12时，y=0.3×12+2.5=6.1，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克．
【解析】本题考查相关关系强弱的判定，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．
(1)由已知表格中的数据求得相关系数，结合r>0.75，可得可用线性回归模型拟合y与x的关系；
(2)求出b与a的值，得到线性回归方程，取x=12求得y值即可．
21.【答案】解：(1)设直线l：y=kx+b，(k≠0,b≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(xM,yM)，
将y=kx+b代入9x2+y2=m2(m>0)，得(k2+9)x2+2kbx+b2−m2=0，
则判别式△=4k2b2−4(k2+9)(b2−m2)>0，
则x1+x2=−2kb9+k2，则xM=x1+x22=−kb9+k2，yM=kxM+b=9b9+k2，
于是直线OM的斜率kOM=yMxM=−9k，
即kOM⋅k=−9，
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(2)四边形OAPB能为平行四边形．
∵直线l过点(m3,m)，
∴由判别式△=4k2b2−4(k2+9)(b2−m2)>0，
即k2m2>9b2−9m2，
∵b=m−k3m，
∴k2m2>9(m−k3m)2−9m2，
即k2>k2−6k，
即6k>0，
则k>0，
∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3，
由(1)知OM的方程为y=−9kx，
设P的横坐标为xP，
由y=−9kx9x2+y2=m2得xP2=k2m29k2+81，即xP=±km3 9+k2，
将点(m3,m)的坐标代入l的方程得b=m(3−k)3，
即l的方程为y=kx+m(3−k)3，
将y=−9kx，代入y=kx+m(3−k)3，
得kx+m(3−k)3=−9kx
解得xM=k(k−3)m3(9+k2)，
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，
于是±km3 9+k2=2×k(k−3)m3(9+k2)，
解得k1=4− 7或k2=4+ 7，
∵ki>0，ki≠3，i=1，2，
∴当l的斜率为4− 7或4+ 7时，四边形OAPB能为平行四边形．
【解析】(1)联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．
(2)四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论．
本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
22.【答案】解：(1)令f(x)=lnx−x−m=0，∴m=lnx−x，
令g(x)=lnx−x，∴g′(x)=1x−1=1−xx，
∴x∈(0,1)时，g′(x)>0，x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
且x→0时，g(x)→−∞，x→+∞时，g(x)→−∞，
∴要使函数f(x)有两个零点，则m
(2)f(x)+(x−2)ex<0，∴m>(x−2)ex+lnx−x，
设h(x)=(x−2)ex+lnx−x，x∈12,1，
h′x=x−1ex−1x，设μx=ex−1x，μ′x=ex+1x2>0，
∴μ(x)在12,1上单调递增，而μ12= e−2<0，μ(1)=e−1>0，
∴∃x0∈(12,1)，使得μ(x0)=0，即ex0=1x0，∴x0=−lnx0，
∴h(x)在(12,x0)单调递增，在(x0,1)单调递减，
∴h(x)max=h(x0)=(x0−2)ex0+lnx0−x0=1−2(1x0+x0)，
∴x0∈12,1，∴1x0+x0∈2,52，∴−4<1−2(1x0+x0)<−3
∴m≥−3时，关于x的不等式f(x)+(x−2)ex<0在12,1上恒成立．
【解析】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
(1)可得m=lnx−x，令g(x)=lnx−x，可得g(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，则m
2022-2023学年安徽省合肥市庐江县高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合A={1,2,6}，B={2,4}，C={x∈R|−1≤x≤5}，则(A∪B)∩C=( )
A. {2} B. {1,2,4}
C. {1,2,4,6} D. {x∈R|−1≤x≤5}
2. 复数i+2+ii(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 算盘是我国一类重要的计算工具.如图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动.设事件A=“表示的四位数为偶数”，事件B=“表示的四位数大于5050”，则P(B|A)=( )
A. 15 B. 512 C. 23 D. 56
4. f(x)是定义在R上的奇函数，且单调递减，若f(2−a)+f(4−a)<0，则a的取值范围是( )
A. a<1 B. a<3 C. a>1 D. a>3
5. 随机变量X～B(100,p)，且E(X)=20，则D(2X−1)=( )
A. 64 B. 128 C. 256 D. 32
6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底面是边长为3的正方形，上棱EF=2，EF//平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为32，该刍甍的体积为( )
A. 212 B. 113 C. 9 D. 6
7. 如图，正方形ABCD的边长为5，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去，则从正方形ABCD开始，连续15个正方形的面积之和等于( )
A. 100[1−(12)15]
B. 50[1−(12)15]
C. 25[1−(12)15]
D. 252[1−(12)15]
8. 下列说法中正确的是( )
①设随机变量X服从二项分布B(6,12)，则P(X=3)=516
②已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)且P(X<4)=0.9，则P(0
④E(2X+3)=2E(X)+3；D(2X+3)=2D(X)+3．
A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①③
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法中正确的是( )
A. 分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本数量较少，这是不公平的
B. 正态分布N(1,9)在区间(−1,0)和(2,3)上取值的概率相等
C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1
D. 若一组数据1、a、2、3的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2
10. 若(x+1x)n的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( )
A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项
11. 已知随机变量X～B(20,13)，若使P(X=k)的值最大，则k等于( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
12. 已知函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是( )
A. 函数y=f(x)在区间(−3,−12)内单调递增
B. 当x=−2时，函数y=f(x)取得极小值
C. 函数y=f(x)在区间(−2,2)内单调递增
D. 当x=3时，函数y=f(x)有极小值
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设向量a=(1,−1)，b=(m+1,2m−4)，若a⊥b，则m= ．
14. 已知Cn0−4Cn1+42Cn2−43Cn3+⋯+(−1)n4nCnn=729，则n的值为______ ．
15. 某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，______ (填“有”或“没有”)99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．
(参考公式与数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.)
P(K2≥k0)
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
16. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)=0.95，P(A−|C−)=0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)=0.005，则P(C|A)=______.(精确到0.001)
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知数列{an}是首项为2的等差数列，数列{bn}是公比为2的等比数列，且数列{an⋅bn}的前n项和为Sn=n⋅2n+1(n∈N*)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设_____，求数列{cn}的前n项和为Tn．
①cn=anbn，②cn=1an⋅log2bn，③cn=an+bn.从这三个条件中任选一个填入上面横线中，并回答问题．
18. (本小题12.0分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A+C)=8sin2B2．
(1)求cosB；
(2)若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．
19. (本小题12.0分)
四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2.以AC的中点O为球心AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N．
(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；
(2)求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；
20. (本小题12.0分)
根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图，如图所示．
(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；
(2)求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y约为多少？
附：相关系数公式r=i=1n(xi−x)(yi−y) i=1n(xi−x)2 i=1n(yi−y)2=i=1nxiyi−nx·y i=1nx i2−nx2 i=1nyi2−ny2，
参考数据： 0.3≈0.55， 0.9≈0.95．
回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2=i=1nxiyi−nx·yi=1nx i2−nx2，a=y−bx
21. (本小题12.0分)
已知椭圆C：9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点(m3,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=lnx−x−m(m∈R)．
(1)若函数f(x)有两个零点，求m的取值范围；
(2)证明：当m≥−3时，关于x的不等式f(x)+(x−2)ex<0在[12,1]上恒成立．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={1,2,6}，B={2,4}，C={x∈R|−1≤x≤5}，
∴A∪B={1,2,4,6}，
则(A∪B)∩C={1,2,4}．
故选：B．
利用并集定义求出A∪B，再由交集定义能求出(A∪B)∩C．
本题考查集合的运算，考查并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应的点的坐标得答案．
【解答】
解：∵i+2+ii=i+(2+i)(−i)−i2=i+1−2i=1−i，
∴复数i+2+ii在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)，位于第四象限．
故选：D．
3.【答案】A
【解析】解：算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．
基本事件为：1000，1001，1005，1010，1050，1100，1500，5000，5001，5005，5010，5050，5100，5500共14种，
事件A=“表示的四位数为偶数”，则P(A)=1014=57，
事件B=“表示的四位数大于5050”，则P(AB)=214=17，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=15．
故选：A．
根据题意，列举出所有基本事件，进而求出P(A)，P(AB)，再利用条件概率公式求解即可．
本题主要考查了条件概率的概率公式，属于基础题..
4.【答案】B
【解析】解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，f(2−a)+f(4−a)<0，
∴f(2−a)
∴2−a>a−4
∴a<3
故选：B．
先利用f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(2−a)
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查二项分布期望与方差的求法，是基础题．利用二项分布期望公式易求得p，继而求得方差D(X)，再利用方差的性质求解．
【解答】
解：由于X～B(100,p)，且E(X)=20，则100p=20，得p=0.2，D(X)=100p(1−p)=20×(1−0.2)=16，D(2X−1)=22D(X)=64．
故选：A．
6.【答案】D
【解析】解：如图，作FN//AE，FM//ED
则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，
则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，
所以该刍瞢的体积为：
VF−MNBC+VADE−MNF=13S矩形MBBC⋅32+S直截面⋅2=13×3×(3−2)×32+12×3×32×2=6．
故选：D．
作FN//AE，FM//ED，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，由此能求出该刍甍的体积．
本题考查空间几何体的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，设第n(n∈N*)个正方形的面积为Sn，其边长为an，则第n个正方形的对角线长为 2an，
分析可得第n+1个正方形的边长为an+1= 22an，变形可得an+1an= 22，
故数列{an}是首项为a1=5，公比为 22的等比数列，则an=5⋅( 22)n−1，
故Sn=(an)2=252n−1，
当n=1时，S1=25，又Sn+1Sn=25⋅(12)n25⋅(12)n−1=12，
故数列{Sn}是首项为S1=25，公比为12的等比数列，
则S1+S2+S3+…+Sn=25[1−(12)n]1−12=50[1−(12)n]
即连续15个正方形的面积之和等于S1+S2+S3+…+S15=50[1−(12)15]．
故选：B．
设第n(n∈N*)个正方形的面积为Sn，其边长为an，分析数列{an}的通项公式，由此可得数列{Sn}的通项公式，进而求出{Sn}的前15项的和，即可得答案．
本题考查数列求和的应用，涉及归纳推理的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：①设随机变量X服从二项分布B(6,12)，则P(X=3)=C63⋅(12)3⋅(1−12)3=516，故①正确；
②∵X服从正态分布N(2,o2)，∴正态曲线的对称轴是x=2，
∵P(X<4)=0.9，∴P(2
∴P(A|B)=29，故③正确；
④E(2X+3)=2E(X)+3，D(2X+3)=4D(X)，故④不正确．
故选：A．
由二项分布的概率公式求得概率判断①；由正态分布的对称性求得概率判断②；利用条件概率计算公式求得概率判断③；由期望与方差的计算公式判断④．
本题考查正态分布、二项分布及条件概率的求法，是中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，根据分层抽样的定义可知，对每个个体被抽取到的概率都是相同的，故A错误；
对于B，正态分布N(1,9)的曲线关于x=1对称，
区间(−1,0)和(2,3)与对称轴距离相等，所以在两个区间上的概率相等，B正确；
对于C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数|r|的值越接近于1，C错误；
对于D，组数据1、a、2、3的平均数是2，
则1+a+2+34=2，解得a=2，
，故该组数据的众数和中位数均为2，D正确．
故选：BD．
对于A，结合分层抽样的定义，即可求解；
对于B，结合正态分布的对称性，即可求解；
对于C，结合相关系数的定义，即可求解；
对于D，结合平均数公式，以及众数、中位数的定义，即可求解．
本题主要考查平均数公式，以及众数、中位数的定义，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】
【分析】
本题考查了二项式定理的运用；注意区分二项式系数与项的系数；本题的二项式系数与项的系数相等．
由已知展开式中第3项与第8项的系数相等求二项式指数，然后求二项式系数最大项．
【解答】
解：∵(x+1x)n的展开式中第3项与第8项的系数相等，
∴∁n2=∁n7；
所以n=9，则展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项；
故选：CD．
11.【答案】BC
【解析】解：令P(X=k+1)P(X=k)=C20k+1(13)k+1(23)20−k−1C20k(13)k(23)20−k=20−k2k+2>1，解得k<6，
当k<6时，P(X=k+1)>P(X=k)，
当k=6时，P(X=7)=P(X=6)，
当k>6时，P(X=k+1)
故选：BC．
根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的概率公式，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：由函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象可知，
对于A，函数y=f(x)在区间(−3,−12)内的导数值有正有负，故y=f(x)在区间(−3,−12)内有增有减，故A不正确；
对于B，当x=−2时，其左侧的导数小于0，其右侧的导数大于0，故函数y=f(x)在x=−2处取得极小值，故B正确；
对于C，当x∈(−2,2)时，恒有f′(x)>0，则函数y=f(x)在区间(−2,2)上单调递增，故C正确；
对于D，当x=3时，f′(x)≠0，故D不正确．
故选：BC．
观察函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象，可对四个选项逐一分析，得到答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查识图能力与逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】5
【解析】
【分析】
本题考查了向量的垂直的条件和向量数量积的运算，属于基础题．
根据向量垂直的条件可得关于m的方程，解之可得结果．
【解答】
解：向量a=(1,−1)，b=(m+1,2m−4)，若a⊥b，
则a·b=m+1−(2m−4)=−m+5=0，
则m=5．
故答案为：5．
14.【答案】6
【解析】解：由Cn0−4Cn1+42Cn2−43Cn3+⋯+(−1)n4nCnn=729，
得Cn0⋅1n⋅(−4)0+Cn1⋅1n−1⋅(−4)1+Cn2⋅1n−2⋅(−4)2+...+Cnn⋅10⋅(−4)n=729，
则(1−4)n=729，即(−3)n=729=(−3)6，
解得：n=6．
故答案为：6．
由已知等式结合二项式定理即可求解n值．
本题考查组合及组合数公式，考查二项式定理的应用，是基础题．
15.【答案】有
【解析】解：由题填写2×2列联表如下，
乐观
不乐观
总计
国内代表
60
40
100
国外代表
40
60
100
总计
100
100
200
K2=200×(60×60−40×40)2100×100×100×100=8>7.879，
所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．
故答案为：有．
先列出2×2列联表，再根据公式计算出K2的观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断．
本题考查独立性检验，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．
16.【答案】0.087
【解析】解：∵P(A|C)=0.95，
∴P(A|C−)=1−P(A−|C−)=0.05，
∵P(C)=0.005，
∴P(C−)=0.995，
由全概率公式可得，P(A)=P(A|C)P(C)+P(A|C−)P(C−)，
∵P(AC)=P(C|A)P(A)=P(A|C)P(C)，
∴P(C|A)=P(A|C)P(C)P(A|C)P(C)+P(A|C−)P(C−)=0.95×0.050.95×0.005+0.05×0.995=19218≈0.087．
故答案为：0.087．
根据已知条件，结合条件概率公式，以及全概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，以及全概率公式，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则an=2+(n−1)d,bn=b1⋅2n−1，
当n=1时，S1=a1×b1=2×b1=1×22=4，解得b1=2，
∴bn=2⋅2n−1=2n，n∈N*，
当n=2时，S2=2×23=16，
即a1b1+a2b2=4+(2+d)×4=16，解得d=1，
∴an=2+1⋅(n−1)=n+1，n∈N*．
(2)方案一：选择条件①
由(1)可得，cn=anbn=n+12n，
则Tn=c1+c2+⋅⋅⋅+cn=221+322+423+⋅⋅⋅+n+12n，
12Tn=222+323+424+⋯+n+12n+1，
两式相减，
可得12Tn=22+122+123+124+⋯+12n−n+12n+1
=1+14×(1−12n−1)1−12−n+12n+1
=32−n+32n+1，
∴Tn=3−n+32n．
方案二：选择条件②
由(1)可得，cn=1an⋅log2bn=1n⋅(n+1)=1n−1n+1，
则Tn=c1+c2+c3+⋅⋅⋅+cn
=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1．
方案三：选择条件③
由(1)可得，cn=an+bn=n+1+2n，
则Tn=c1+c2+⋅⋅⋅+cn
=(2+21)+(3+22)+⋅⋅⋅+[(n+1)+2n]
=[2+3+⋅⋅⋅+(n+1)]+(21+22+⋅⋅⋅+2n)
=(2+n+1)n2+2×(1−2n)1−2
=n22+32n+2n+1−2．
【解析】(1)先设等差数列{an}的公差为d，再根据等差数列与等比数列的通项公式写出数列{an}，{bn}的表达式，然后将n=1代入数列{an⋅bn}的前n项和Sn的表达式可推导出数列{bn}的首项b1的值，即可计算出等比数列{bn}的通项公式，再将n=2代入数列{an⋅bn}的前n项和Sn的表达式可推导出公差d的值，即可计算出等差数列{an}的通项公式；
(2)在选择条件①的情况下，先根据第(1)题的结果计算出数列{cn}的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前n项和Tn；在选择条件②的情况下，先根据第(1)题的结果计算出数列{cn}的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和Tn；在选择条件③的情况下，先根据第(1)题的结果计算出数列{cn}的通项公式，再运用分组求和法，以及等差数列与等比数列的求和公式即可计算出前n项和Tn．
本题主要考查等差数列与等比数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，整体思想，转化与化归思想，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，等差数列与等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：(1)sin(A+C)=8sin2B2，
∴sinB=4(1−cosB)，
∵sin2B+cos2B=1，
∴16(1−cosB)2+cos2B=1，
∴16(1−cosB)2+cos2B−1=0，
∴16(cosB−1)2+(cosB−1)(cosB+1)=0，
∴(17cosB−15)(cosB−1)=0，
∴cosB=1517；
(2)由(1)可知sinB=817，
∵S△ABC=12ac⋅sinB=2，
∴ac=172，
∴b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−2×172×1517
=a2+c2−15=(a+c)2−2ac−15=36−17−15=4，
∴b=2．
【解析】(1)利用三角形的内角和定理可知A+C=π−B，再利用诱导公式化简sin(A+C)，利用降幂公式化简8sin2B2，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，
(2)由(1)可知sinB=817，利用三角形的面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题
19.【答案】解：(1)证明：因为底面ABCD是矩形，则CD⊥AD，
又因为PA⊥平面ABCD，PA⊂面PAD，
所以面PAD⊥面ABCD，
又面PAD∩面ABCD=AD，CD⊂面ABCD，
所以CD⊥面PAD，AM⊂面PAD，
所以CD⊥AM，
因为AC的中点O为球心AC为直径的球面交PD于点M，
可知AM⊥CM，CM∩CD=D，CM⊂面PCD，CD⊂面PCD
所以AM⊥面PCD，
AM⊂面ABM，
可证得平面ABM⊥平面PCD；
(2)由(1)可得AM⊥PD，因为PA=AD=4，所以AM=DM=12PD=12×4 2=2 2，
作DE⊥MC交于E，因为AM⊥平面PCD，AM⊂面ACM，
所以面ACM⊥平面PCD，面ACM∩平面PCD=CM，DE⊂面PCM，
所以DE⊥面ACM，
则∠ECD为CD与平面ACM所成的角，
所以sin∠ECD=DECD，
在△CDM中，MD=2 2，CD=AB=2，DE⋅CM=CD⋅MD，且CM= CD2+DM2= 4+8=2 3，
可得DE=2 63，
所以sin∠ECD=DECD2 632= 63．
所以直线CD与平面ACM所成的角的正弦值为 63．
【解析】(1)由题意可证得AM⊥CM，CD⊥面PAD，进而可证得CD⊥AM，再由线面垂直的条件可证得结AM⊥平面PCD，进而可证得结论；
(2)作DE⊥MC交于E，可证得∠ECD为CD与平面ACM所成的角，由题意可得sin∠ECD的值．
本题考查面面垂直的证法及线面角的求法，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由已知数据可得x=2+4+5+6+85=5，
y=3+4+4+4+55=4．
∴i=15(xi−x)(yi−y)=(−3)×(−1)+(−1)×0+0×0+1×0+3×1=6，
i=15(xi−x)2= (−3)2+(−1)2+02+12+32=2 5，
i=15(yi−y)2= (−1)2+02+02+02+12= 2，
∴相关系数r=i=15(xi−x)(yi−y) i=15(xi−x)2 i=15(yi−y)2=62 5⋅ 2= 910≈0.95．
∵r>0.75，∴可用线性回归模型拟合y与x的关系;
(2)b=i=15(xi−x)(yi−y)i=15(xi−x)2=620=0.3．
a=y−bx=4−5×0.3=2.5，
∴回归方程为y=0.3x+2.5，
当x=12时，y=0.3×12+2.5=6.1，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克．
【解析】本题考查相关关系强弱的判定，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．
(1)由已知表格中的数据求得相关系数，结合r>0.75，可得可用线性回归模型拟合y与x的关系；
(2)求出b与a的值，得到线性回归方程，取x=12求得y值即可．
21.【答案】解：(1)设直线l：y=kx+b，(k≠0,b≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(xM,yM)，
将y=kx+b代入9x2+y2=m2(m>0)，得(k2+9)x2+2kbx+b2−m2=0，
则判别式△=4k2b2−4(k2+9)(b2−m2)>0，
则x1+x2=−2kb9+k2，则xM=x1+x22=−kb9+k2，yM=kxM+b=9b9+k2，
于是直线OM的斜率kOM=yMxM=−9k，
即kOM⋅k=−9，
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(2)四边形OAPB能为平行四边形．
∵直线l过点(m3,m)，
∴由判别式△=4k2b2−4(k2+9)(b2−m2)>0，
即k2m2>9b2−9m2，
∵b=m−k3m，
∴k2m2>9(m−k3m)2−9m2，
即k2>k2−6k，
即6k>0，
则k>0，
∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3，
由(1)知OM的方程为y=−9kx，
设P的横坐标为xP，
由y=−9kx9x2+y2=m2得xP2=k2m29k2+81，即xP=±km3 9+k2，
将点(m3,m)的坐标代入l的方程得b=m(3−k)3，
即l的方程为y=kx+m(3−k)3，
将y=−9kx，代入y=kx+m(3−k)3，
得kx+m(3−k)3=−9kx
解得xM=k(k−3)m3(9+k2)，
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，
于是±km3 9+k2=2×k(k−3)m3(9+k2)，
解得k1=4− 7或k2=4+ 7，
∵ki>0，ki≠3，i=1，2，
∴当l的斜率为4− 7或4+ 7时，四边形OAPB能为平行四边形．
【解析】(1)联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．
(2)四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论．
本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
22.【答案】解：(1)令f(x)=lnx−x−m=0，∴m=lnx−x，
令g(x)=lnx−x，∴g′(x)=1x−1=1−xx，
∴x∈(0,1)时，g′(x)>0，x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
且x→0时，g(x)→−∞，x→+∞时，g(x)→−∞，
∴要使函数f(x)有两个零点，则m
(2)f(x)+(x−2)ex<0，∴m>(x−2)ex+lnx−x，
设h(x)=(x−2)ex+lnx−x，x∈12,1，
h′x=x−1ex−1x，设μx=ex−1x，μ′x=ex+1x2>0，
∴μ(x)在12,1上单调递增，而μ12= e−2<0，μ(1)=e−1>0，
∴∃x0∈(12,1)，使得μ(x0)=0，即ex0=1x0，∴x0=−lnx0，
∴h(x)在(12,x0)单调递增，在(x0,1)单调递减，
∴h(x)max=h(x0)=(x0−2)ex0+lnx0−x0=1−2(1x0+x0)，
∴x0∈12,1，∴1x0+x0∈2,52，∴−4<1−2(1x0+x0)<−3
∴m≥−3时，关于x的不等式f(x)+(x−2)ex<0在12,1上恒成立．
【解析】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
(1)可得m=lnx−x，令g(x)=lnx−x，可得g(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，则m
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