2022-2023学年四川省眉山市仁寿一中北校区高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省眉山市仁寿一中北校区高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省眉山市仁寿一中北校区高二（下）期中数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数z满足z=2−ii+3i(i是虚数单位)，则z的共轭复数z−对应的点在复平面内位于(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知函数f(x)=xsinx+cosx，则f′(x)=(    )
A. xcosx B. −xcosx C. 2sinx+xcosx D. xsinx
3. 如图，这是甲、乙两位同学在4次数学测试中得分的茎叶图，若从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则甲同学抽选的得分高于乙同学抽选的得分的概率为(    )


A. 38 B. 716 C. 58 D. 916
4. 已知函数f(x)可导，且满足Δx→0limf(3−Δx)−f(3)Δx=2，则函数y=f(x)在x=3处的导数为(    )
A. 2 B. 1 C. −1 D. −2
5. 已知复数1+i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则|p+qi|=(    )
A. 4 B. 2 3 C. 8 D. 2 2
6. 如图所示的程序框图，能使输入的x值与输出的y值相等的x值个数为(    )


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 某校举办了迎新年知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如图，则根据频率分布直方图，下列结论不正确的是(    )

A. 中位数70 B. 众数75 C. 平均数68.5 D. 平均数70
8. 如果函数y=f(x)的图象如图，那么导函数y=f′(x)的图象可能是(    )


A. B.
C. D.
9. 已知函数f(x)=x3+x−2ex(x∈(0,+∞)).则下列结论中正确的是(    )
A. 函数y=f(x)既有最小值也有最大值 B. 函数y=f(x)无最大值也无最小值
C. 函数y=f(x)有一个零点 D. 函数y=f(x)有两个零点
10. 已知函数f(x)=−x3+x−1，以下判断正确的是(    )
①f(x)有两个极值点；
②f(x)有三个零点；
③点(0,−1)是f(x)曲线的对称中心．
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
11. 已知函数f(x)=ex−e−x+sinx，若f(t)+f(1−3t)<0，则实数t的取值范围是(    )
A. (12,+∞) B. (−∞,12) C. (14,+∞) D. (−∞,14)
12. 设a=34e25，b=35，c=25e34，则(    )
A. b 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在极坐标系中，点A(4,π6)，B(2,π2)，则线段AB的长为______ ．
14. 某学校为了调查学生生活方面的日支出情况，抽出了一个容量为n的样本，将数据按[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]分成5组，制定成如图所示的频率分布直方图，则a=        .要从日支出在[50,70]的样本中用分层抽样的方法抽取10人，则日支出在[60,70]中被抽取的人数为        ．

15. 一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2(90−x2)(0 16. 若函数f(x)=x2+1与g(x)=2alnx+1的图象存在公共切线，则实数的最大值为______

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
网络购物已经渐渐成为人们购物的新方式.为了调查每周网络购物的次数和性别的关系，随机调查了100名市民的网络购物情况，有关数据的2×2列联表如下：

10次及10次以上
10次以下
总计
男性
32
20
52
女性
43
5
48
总计
75
25
100
(1)从这100位市民中随机抽取一位，试求该市民为每周网络购物不满10次的男性的概率；
(2)请说明能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关系？(已知P(χ2≥3.841)≈0.05)
[参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n=a+b+c+d)]
18. (本小题12.0分)
设f(x)=x3−3x2−9x+a．
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；
(Ⅱ)若函数f(x)的极大值为10，求函数f(x)在[−2,2]上的最小值．
19. (本小题12.0分)
已知袋子中放有大小和形状相同标号分别是0，1，2的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是14．
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的球标号为b．
①记“a+b=2”为事件A，求事件A的概率；
②在区间[0,4]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2>(a−b)2恒成立”的概率．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x−alnx．
(1)若f(x)在[1,+∞)上单调递增，求a的取值范围．
(2)求f(x)的单调区间．
21. (本小题12.0分)
如图是某采矿厂的污水排放量y(单位：吨)与矿产品年产量x(单位：吨)的折线图：
(1)依据折线图计算x，y的相关系数r，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)
(2)若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程，并预测年产量为20吨时的污水排放量．
相关系数：r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2，参考数据：i=15(xi−x−)(yi−y−)=19．
回归方程y =b x+a 中，b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a =y−−b x−．

22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=lnx−2x+1，g(x)=mex+f(x)(m∈R,e为自然对数的底数)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若对∀x∈(0,+∞)，g(x)<0恒成立，求m的取值范围．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：因为z=−2i−11+3i=−1+i，
所以z−=−1−i，
所以z−在复平面上的对应点的坐标为(−1,−1)，点(−1,−1)位于第三象限．
故选：C．
根据复数的运算求复数z的代数形式，根据共轭复数的定义求z−，根据复数的几何意义确定z−在复平面上的对应点的坐标，由此确定其象限．
本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的定义，属于基础题．

2.【答案】A 
【解析】解：f′(x)=x′sinx+x(sinx)′+(cosx)′=sinx+xcosx−sinx=xcosx．
故选：A．
根据导数运算法则直接求解即可．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．

3.【答案】B 
【解析】解：从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，
则共有16种情况，其中甲的得分高于乙的得分的情况有7种，
故所求的概率为716．
故选：B．
根据古典概型的概率公式即可求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．

4.【答案】D 
【解析】解：函数y=f(x)在x=3处的导数为Δx→0limf(3)−f(3−Δx)Δx=−2，
故选：D．
利用导数的定义，即可得出结论．
本题考查导数的运用和导数的意义，比较基础．

5.【答案】D 
【解析】解：因为复数1+i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，
所以复数1−i也是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，
所以有1+i+1−i=2=−p，(1+i)(1−i)=2=q，解得p=−2，q=2，
所以|p+qi|=2 2．
故选：D．
据实系数一元二次方程根与系数关系进行求解即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

6.【答案】C 
【解析】解：由程序框图知：程序的功能是求分段函数y=x2            x≤22x−3        25的值，
若x≤2，由x2=x得x=0或1；
若2 若x>5，由1x=x得x=±1(舍去)．
综上x的值有0，1，3．
故选：C．
程序的功能是求分段函数y=x2            x≤22x−3        25的值，分段求得满足y=x的x值，可得答案．
本题考查了选择结构的程序框图，根据框图流程判断算法的功能是关键．

7.【答案】D 
【解析】解：[40,50)的频率为1−(0.015+0.025+0.035+0.005)×102=0.1，
因为最高小矩形的中点横坐标为75，显然众数是75，故B正确；
[40,50)的频率是0.1，[50,60)的频率是0.15，[60,70)的频率是0.25，其频率和为0.5，所以中位数为70，故A正确；
平均数=45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68.5，所以C正确．
故选：D．
根据题意，由频率分布直方图分别计算，即可得到结果．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数、众数和中位数的估计，属于基础题．

8.【答案】A 
【解析】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，
故选：A．
由y=f(x)的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．

9.【答案】C 
【解析】解：f′(x)=−x3+3x2−x+3ex=−(x−3)(x2+1)ex，x∈(0,+∞)，x2+1>0，ex>0，
当x∈(0,3)时，f′(x)>0，函数单调递增；
当x∈(3,+∞)时，f′(x)<0，函数单调递减．
故函数有最大值，无最小值，AB错误，
设g(x)=x3+x−2，则g′(x)=3x2+1>0恒成立，函数单调递增，
且g(1)=1+1−2=0，故函数有一个零点，C正确，D错误．
故选：C．
求导得到导函数，确定函数的单调区间，得到函数有最大值，无最小值，AB错误，设g(x)=x3+x−2，函数单调递增，g(1)=0，故函数有一个零点，C正确，D错误，得到答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，最值以及函数零点，考查运算求解能力，属于基础题．

10.【答案】C 
【解析】解：由f(x)=−x3+x−1得f′(x)=−3x2+1，
令f′(x)=0得x=± 33，且当x<− 33和x> 33时，f′(x)<0，当− 330，
所以x=± 33均是f(x)的极值点，故f(x)有两个极值点，故①正确，
由①知，x= 33是f(x)的极大值点，且f( 33)=− 39+ 33−1<0，f(−2)=8−2−1>0，所以f(x)只有一个零点，故②错误，
又f(−x)=−(−x)3+(−x)−1=x3−x−1，所以f(x)+f(−x)=−2，故点(0,−1)是f(x)曲线的对称中心，所以③正确．
故选：C．
求导，根据导函数的正负可判断极值点，即可判断①，根据单调性以及极值即可判断②，根据对称性满足的关系式即可判断③．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，函数零点个数的判断，函数的对称性，考查逻辑推理能力，属于中档题．

11.【答案】A 
【解析】解：根据题意，f(x)=ex−e−x+sinx，其定义域为R，
有f(−x)=e−x−ex+sin(−x)=−(ex−e−x+sinx)=−f(x)，则f(x)为奇函数，
又由f′(x)=ex+e−x+cosx>0，则f(x)在R上为增函数，
又由f(t)+f(1−3t)<0⇒f(t)<−f(1−3t)⇒f(t) 解可得t>12，即t的取值范围为(12,+∞)；
故选：A．
根据题意，先分析函数的奇偶性，求出函数的导数，分析可得f(x)在R上为增函数，由此可得f(t)+f(1−3t)<0⇒f(t) 本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数导数与单调性的关系，属于中档题．

12.【答案】A 
【解析】解：ac=34e2525e34=e2525e3434，
令f(x)=exx，0 所以f′(x)=ex(x−1)x2<0，
所以f(x)在(0,1)上单调递减，
所以f(25)>f(34)，
所以ac>1，
所以a>c，
因为c=25e34，b=35，
所以c−b=25e34−35=25(e34−32)=25(e34−2×34)，
令g(x)=ex−2x，
g′(x)=ex−2，
当x>ln2时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(34)>g(ln2)=eln2−2ln2=2−2ln2>0，
所以c>b，
所以a>c>b，
故选：A．
根据题意可得ac=e2525e3434，令f(x)=exx，0 本题考查数的大小关系，解题中需要理清思路，属于中档题．

13.【答案】2 3 
【解析】解：由已知A(4,π6)，B(2,π2)，
∴线段AB的长为|AB|= 42+22−2×4×2×cos(π2−π6)=2 3．
故答案为：2 3．
根据极坐标系中两点间的距离公式，求出线段AB的长即可．
本题主要考查极坐标刻画点的位置，属于基础题．

14.【答案】0.005  2 
【解析】解：(2×a+0.02+0.025+0.045)×10=1，解得a=0.005，
因为[50,60)内和[60,70]内的样本个数比例为0.020：0.005=4：1，
根据分层抽样可知，日支出在[60,70]中被抽取的人数为10×11+4=2．
故答案为：0.005，2；
根据频率之和为1列出方程，求出a=0.005，得到[50,60)内和[60,70]内的样本比例，从而得到在[60,70]中被抽取的人数．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．

15.【答案】60 
【解析】解：V(x)=x2(90−x2)=45x2−12x3(0 ∴V′(x)=90x−32x2=x(90−32x)，
令V′(x)=0得，x=60，
∴当x∈(0,60)时，V′(x)>0，V(x)单调递增；当x∈(60,90)时，V′(x)<0，V(x)单调递减，
∴当x=60时，V(x)取得最大值，
故答案为：60．
求出V′(x)，根据V′(x)的正负，得到V(x)的单调性，进而求出V(x)最大时x的值．
本题主要考查了利用导数研究函数的最值，属于基础题．

16.【答案】e 
【解析】解：f(x)的导数为2x，g(x)的导数为2ax，a≠0，
设公共切线与f(x)=x2+1的图象切于点(m,m2+1)，
与g(x)=2alnx+1切于点(n,2alnn+1)，
∴2m=2an=2alnn+1−m2−1n−m=2alnn−m2n−m，
化简可得，a=mn，2mn−2m2=2alnn−m2，
可得2a(1−lnn)=a2n2，
即有a2=n2(1−lnn)，
设h(x)=x2(1−lnx)，x>0，
则h′(x)=x−2xlnx，
∴h(x)在(0, e)上递增，在( e,+∞)上递减，
∴h(x)max=h( e)=e2，
∴实数a的取值范围为(−∞,e]，
即a的最大值为e．
故答案为：e．
设公切线与f(x)、g(x)的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a的取值范围和最大值．
本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题．

17.【答案】解：(1)由2×2列联表可得，每周网络购物不满10次的男性的概率为20100=0.2：
(2)由题意可得，χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(32×5−20×43)275×25×52×48≈10.47>3.841，
故在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关系． 
【解析】(1)由2×2列联表和古典概率公式可得所求值；
(2)由公式χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，代入数据，计算可得结论．
本题考查古典概率的求法，以及独立性检验，考查运算能力，属于基础题．

18.【答案】(Ⅰ)f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)，
由f′(x)>0得x>3或x<−1，
∴f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)和(3,+∞)；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数f(x)在x=−1处取得极大值，
即f(−1)=10，得a=5，
则f(x)=x3−3x2−9x+5，
∴f(x)在[−2,−1]上单调递增，在[−1,2]上单调递减，
又f(−2)=3，f(2)=−17，
∴f(x)在[−2,2]上的最小值为−17． 
【解析】(Ⅰ)对f(x)求导，由f′(x)>0即可求解单调递增区间；
(Ⅱ)由极值的性质可求得a的值，再判定函数的单调性进而可得最小值．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查运算求解能力，属于基础题．

19.【答案】解：(1)根据从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是14，可得n1+2+n=14，
解得n=1．
(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中满足“a+b=2”的基事件有4个，
则P(A)=412=13．
②记“x2+y2>(a−b)2恒成立”为事件B，
则事件B等价于“x2+y2>4恒成立”，(x,y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|0≤x≤4，0≤y≤4，x，y∈R}，
而事件B构成的区域B={(x,y)|x2+y2>4，(x,y)∈Ω}，如图所示：

所以P(B)=1−14π×2242=1−π16． 
【解析】(1)利用从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是14，确定n的值．
(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中满足“a+b=2”的基事件有4个，再利用古典概型的概率公式可求解．
②记“x2+y2>(a−b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2>4恒成立”，(x,y)可以看成平面中的点，确定全部结果所构成的区域，事件B所构成的区域，利用几何概型的概率公式求解即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式和几何概型的概率公式，属于中档题．

20.【答案】解：(1)由题意得f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−ax=x−ax，
当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)单调递增，满足题意；
当a>0时，由f′(x)=x−ax≥0得x<0(不符合题意，舍去)或x≥a，
要使f(x)在[1,+∞)上单调递增，则a≤1，即0 综上所述，a的取值范围为(−∞,1]；
(2)由(1)得当a≤0时，f(x)在(0,+∞)单调递增，
当a>0时，f(x)在(a,+∞)单调递增，
由f′(x)=x−ax<0得0 综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)；
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(a,+∞)，单调递减区间为(0,a)． 
【解析】(1)由题意得f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−ax=x−ax，分类讨论a≤0和a>0，即可得出答案；
(2)根据(1)中结论可得单调区间．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

21.【答案】解：(1)由图中数据可得，x−=15×(1+2+3+4+5)=3，y−=15×(3+7+9+10+11)=8，
i=15(xi−x−)2=4+1+0+1+4=10，i=15(yi−y−)2=40，
i=15(xi−x−)(yi−y−)=19，
故r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2=19 10×40=0.95>0.75，
故可用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=1910=1.9，a =8−1.9×3=2.3，
故y关于x的线性回归方程为y=1.9x+2.3，
当x=20时，y=1.9×20+2.3=40.3． 
【解析】(1)根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解；
(2)根据已知条件，结合最小二乘法公式，求出线性回归方程，再将x=20代入上式方程，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的求解，考查转化能力，属于中档题．

22.【答案】解：(1)∵f(x)定义域为(0,+∞)，f′(x)=3−lnxx2，
∴当x∈(0,e3)时，f′(x)>0；当x∈(e3,+∞)时，f′(x)<0；
∴f(x)在(0,e3)上单调递增，在(e3,+∞)上单调递减，
∴f(x)的极大值为f(e3)=1e3+1，无极小值．
(2)由g(x)<0得：mex+lnx−2x+1<0，∴m<2−lnx−xxex在(0,+∞)上恒成立；
令h(x)=2−lnx−xxex，则h′(x)=(−1x−1)x−(2−lnx−x)(x+1)x2ex=(x+1)(x−3+lnx)x2ex；
令φ(x)=x−3+lnx，则φ′(x)=1+1x=x+1x>0，∴φ(x)在(0,+∞)上单调递增，
又φ(2)=ln2−1<0，φ(3)=ln3>0，∴∃x0∈(2,3)，使得φ(x0)=0，则lnx0=3−x0，
∴当x∈(0,x0)时，h′(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，h′(x)>0；
∴h(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，∴h(x)min=h(x0)=2−lnx0−x0x0ex0；
由lnx0=3−x0得：lnx0+lnex0=ln(x0ex0)=3，∴x0ex0=e3，
∴h(x)min=h(x0)=2−lnx0−x0x0ex0=−1e3，∴m<−1e3，
则实数m的取值范围为(−∞,−1e3)． 
【解析】(1)求导后，根据f′(x)的正负可求得f(x)的单调性，根据极值的定义可求得结果；
(2)分离变量可将问题转化为m 本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求解函数最值来求得变量的取值范围．