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- 第2章《有理数及其运算》（导图+知识点+考点提优练）-【培优方案】2023-2024学年七年级数学上册章节重点复习考点讲义（北师大版） 试卷 4 次下载
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第3章《整式及其加减》（导图+知识点+考点提优练）-【培优方案】2023-2024学年七年级数学上册章节重点复习考点讲义（北师大版）
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这是一份第3章《整式及其加减》（导图+知识点+考点提优练）-【培优方案】2023-2024学年七年级数学上册章节重点复习考点讲义（北师大版），文件包含第3章《整式及其加减》解析版docx、第3章《整式及其加减》原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
2023-2024学年北师大版数学七年级上册章节考点精讲精练
第3章《整式及其加减》
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知识点01:代数式
诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．
细节剖析：代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．
知识点02:整式的相关概念
1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
细节剖析：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．
（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
细节剖析：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．
（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．
3. 多项式的降幂与升幂排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．
细节剖析：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；
（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．
4．整式：单项式和多项式统称为整式．
知识点03:整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．
细节剖析：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
细节剖析：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．
3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．
知识点04:探索与表达规律
寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.
考点提优练
考点01：代数式求值
1．（2022•朝阳区校级模拟）下列说法正确的是（ ）
A．2m表示m和m相乘
B．2m的值一定比m的值大
C．2m的值一定比2大
D．2m的值随m的增大而增大
解：∵2m表示m的2倍，
∴A选项不符合题意；
∵若m＝0，则2m＝m，
∴B选项不符合题意；
∵若m比1小，2m的值小于2，
∴C选项不符合题意；
∵2m的值随m的增大而增大，
∴D选项符合题意，
故选：D．
2．（2021秋•肥西县月考）已知，当x＝1时，代数式ax2﹣bx+4的值是6；当x＝﹣1时，代数式ax2﹣bx+4的值是3，代数式a﹣2b的值是（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．
解：根据题意得，
解得，
∴，
故选：D．
3．（2022•六盘水）已知（x+y）4＝a1x4+a2x3y+a3x2y2+a4xy3+a5y4，则a1+a2+a3+a4+a5的值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
解：∵（x+y）4＝x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4，
∴a1+a2+a3+a4+a5
＝1+4+6+4+1
＝16，
故选：C．
4．（2022春•市南区期末）如图，有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形A、B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造如图3的新正方形，（图2，图3中正方形A、B纸片均无重叠部分）则图3中阴影部分的面积 42 ．
解：设正方形纸片A的边长为a，正方形纸片B的边长为b．
由题意得，a2﹣b2＝2，（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝20．
∴图3中阴影部分的面积为（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．
故答案为：42．
5．（2022•余姚市一模）已知x2﹣2x＝3，则3x2﹣6x﹣4的值为 5 ．
解：∵x2﹣2x＝3，
∴原式＝3（x2﹣2x）﹣4
＝3×3﹣4
＝9﹣4
＝5．
故答案为：5．
6．（2021秋•镇平县校级期末）下面是一个简单的数值运算程序，当首先输入a＝﹣2时，计算出正数为止，那么输出的结果是 2 ．
解：当a＝﹣2时，则3a+5＝﹣1＜0；
当a＝﹣1时，则3a+5＝2＞0，
故答案为：2．
考点02：整式
7．（2021秋•任城区校级期末）下列式子：x+3，+5，，0，，﹣5x，x+0，c＝ab中，整式的个数是（ ）
A．6 B．5 C．.4 D．.3
解：下列式子：x+3，+5，，0，，﹣5x，x+0，c＝ab中，
是整式的为：x+3，，0，﹣5x，x+0，
共有5个，
故选：B．
8．（2021•锦江区校级开学）下列代数式：﹣，，﹣π，﹣5x2y3，，，﹣x，其中整式有 5 个．
解：下列代数式：﹣，，﹣π，﹣5x2y3，，，﹣x，
属于整式的有：．
，是分式，不是整式．
故答案为：5．
9．（2015秋•昌江县校级月考）整式： 单项式 和 多项式 统称为整式．
解：单项式和多项式统称为整式，
故答案为：单项式，多项式．
10．（2021秋•新晃县期中）下列代数式：①﹣mn，②m，③，④，⑤2m+1，⑥，⑦，⑧x2+2x+中，整式共有 6 个．
解：在①﹣mn，②m，③，④，⑤2m+1，⑥，⑦，⑧x2+2x+中，
①﹣mn，②m，③，⑤2m+1，⑥，⑧x2+2x+都是整式，
④，⑦的分母中含有字母，属于分式．
综上所述，上述代数式中整式的个数是6个．
故答案为：6．
11．（2019秋•三台县期末）把几个数或整式用大括号括起来，中间用逗号分开，如{﹣3，6，12}，{x，xy2，﹣2x+1}，我们称之为集合，其中大括号内的数或整式称为集合的元素．定义如果一个集合满足：只要其中有一个元素x使得﹣2x+1也是这个集合的元素，这样的集合称为关联集合，元素﹣2x+1称为条件元素．例如：集合{﹣1，1，0}中元素1使得﹣2×1+1＝﹣1，﹣1也恰好是这个集合的元素，所以集合{﹣1，1，0}是关联集合，元素﹣1称为条件元素．又如集合满足﹣2×是关联集合，元素称为条件元素．
（1）试说明：集合是关联集合．
（2）若集合{xy﹣y2，A}是关联集合，其中A是条件元素，试求A．
解：（1）∵
且是这个集合的元素
∴集合是关联集合；
（2）∵集合{xy﹣y2，A}是关联集合，A是条件元素
∴A＝﹣2（xy﹣y2）+1，或A＝﹣2A+1
∴A＝﹣2xy+2y2+1或．
12．（2021春•海陵区校级月考）已知分式，请在下列分式中选择一个，并选择一种运算，使它们的运算结果为整式．
①；②．
（1）我选择 ② （填序号）；
（2）列式并计算．
解：（1）②
（2）＝＝＝x．
13．（2021秋•句容市期末）如果单项式xa+by3与5x2yb的和仍是单项式，则a﹣b的值为 ﹣4 ．
解：∵单项式y3与5x2yb的和仍是单项式，
∴y3与5x2yb是同类项，
∴a+b＝2，3＝b，
解得：a＝﹣1，b＝3，
∴原式＝﹣1﹣3＝﹣4，
故答案为：﹣4．
考点03：整式的加减
14．（2021秋•台江区校级期末）已知代数式M＝2x2+7x﹣3，N＝x2+7x﹣4，则无论x取何值，它们的大小关系是（ ）
A．M＝N
B．M＞N
C．M＜N
D．M，N的大小关系与x的取值有关
解：∵M＝2x2+7x﹣3，N＝x2+7x﹣4，
∴M﹣N
＝（2x2+7x﹣3）﹣（x2+7x﹣4）
＝2x2+7x﹣3﹣x2﹣7x+4
＝x2+1≥1，
∴M＞N，
故选：B．
15．（2022春•南岗区校级期中）若A是一个四次多项式，B是一个三次多项式，则A﹣B是（ ）
A．七次多项式 B．七次整式 C．四次多项式 D．四次整式
解：若A是一个四次多项式，B是一个三次多项式，则A﹣B是四次整式，
故选：D．
16．（2022•张店区二模）如图，在矩形ABCD中放入正方形AEFG，正方形MNRH，正方形CPQN，点E在AB上，点M、N在BC上，若AE＝4，MN＝3，CN＝2，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
解：矩形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC．
正方形AEFG中，AE＝EF＝FG＝AG＝4．
正方形MNRH中，MN＝NR＝RH＝HM＝3．
正方形CPQN中，CP＝PQ＝QN＝CN＝2．
设AB＝DC＝a，AD＝BC＝b，
则BE＝AB﹣AE＝a﹣4，BM＝BC﹣MN﹣CN＝b﹣3﹣2＝b﹣5，DG＝AD﹣AG＝b﹣4，PD＝CD﹣CP＝a﹣2．
∴图中右上角阴影部分的周长为2（DG+DP）＝2（b﹣4+a﹣2）＝2a+2b﹣12．
左下角阴影部分的周长为2（BM+BE）＝2（b﹣5+a﹣4）＝2a+2b﹣18，
∴图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（2a+2b﹣12）﹣（2a+2b﹣18）＝6．
故选：B．
17．（2022春•高邮市期末）现有两个边长为b的小正方形ABCD、EFGH和一个边长为a的大正方形，如图1，小明将两个边长为b的小正方形ABCD、EFGH有部分重叠的放在边长为a的大正方形内；如图2，小彤将一个边长为b的小正方形放在边长为a的大正方形外．若图1中长方形AFGD的面积为80，重叠部分的长方形BCHE的面积为48，则图2中阴影部分的面积为 42 ．
解：∵图1中长方形AFGD的面积为80，重叠部分的长方形BCHE的面积为48，
∴ab＝80，b[b﹣（a﹣b）]＝b（2b﹣a）＝48，
解得a＝10，b＝8，
∴图2中阴影部分的面积为10×10+8×8﹣10×10÷2﹣（10+8）×8÷2＝42．
故答案为：42．
18．（2022春•南岸区期末）（1）如图，整个图形是边长为a+b的正方形，其中阴影部分是边长为a﹣b的正方形，请根据图形，猜想（a+b）2与（a﹣b）2存在的等量关系，并证明你的猜想；
（2）根据（1）中得出的结论，解决下列问题：
甲、乙两位司机在同一加油站两次加油，两次油价有变化，两位司机采用不同的加油方式．其中，甲每次都加40l油，乙每次加油费都为300元．设两次加油时，油价分别为m元/l，n元/l（m＞0，n＞0，且m≠n）．
①求甲、乙两次所购的油的平均单价各是多少？
②通过计算说明，甲、乙哪一个两次加油的平均油价比较低？
解：（1）猜想的结论为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．
∵（a+b）2﹣4ab＝a2+2ab+b2﹣4ab＝a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．
（2）①甲两次所加油的平均单价为；
乙两次所加油的平均单价为．
②∵，
∵m＞0，n＞0，且m≠n．
∴2（m+n）＞0，（m﹣n）2＞0．
∴，即．
所以，乙两次加油的平均油价比较低．
19．（2022•路北区二模）在化简3（m2n+mn）﹣4（m2n﹣mn）◆2mn题目中：◆表示+，﹣，×，÷四个运算符号中的某一个．
（1）若◆表示“﹣”，请化简3（m2n+mn）﹣4（m2n﹣mn）﹣2mn；
（2）当m＝﹣2，n＝1时，3（m2n+mn）﹣4（m2n﹣mn）◆2mn的值为12，请推算出◆所表示的符号．
解：（1）原式＝3m2n+3mn﹣4m2n+4mn﹣2mn
＝﹣m2n+5mn；
（2）当m＝﹣2，n＝1时，
3（m2n+mn）＝3×[（﹣2）2×1+（﹣2）×1]＝3×（4﹣2）＝6，
4（m2n﹣mn）＝4×[（﹣2）2×1﹣（﹣2）×1]＝24，
2mn＝2×（﹣2）×1＝﹣4，
∵6﹣24÷（﹣4）＝6+6＝12，
∴3（m2n+mn）﹣4（m2n﹣mn）÷2mn＝12，
∴◆所表示的符号÷．
20．（2022•沙坪坝区校级一模）一个四位数m＝1000a+100b+10c+d（其中1≤a，b，c，d≤9，且均为整数），若a+b＝k（c﹣d），且k为整数，称m为“k型数”．例如，4675：4+6＝5×（7﹣5），则4675为“5型数”；3526：3+5＝﹣2×（2﹣6），则3526为“﹣2型数”．
（1）判断1731与3213是否为“k型数”，若是，求出k；
（2）若四位数m是“3型数”，m﹣3是“﹣3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数m′，m′也是“3型数”，求满足条件的所有四位数m．
解：（1）∵1+7＝4×（3﹣1），3+2＝﹣×（1﹣3），
∴1731是“4型数”，3213不是“k型数”；
（2）设m＝，
∵m是“3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数m′，m′也是“3型数”，
∴a+b＝3（c﹣d）且a+c＝3（b﹣d），
将两式相减整理得：b＝c，
∴m的十位与百位数字相同，设m＝，
由m﹣3是“﹣3型数”，分两种情况：
（Ⅰ）d≥3时，m﹣3＝，
∵四位数m＝是“3型数”，
∴a+x＝3（x﹣d），
∵m﹣3是“﹣3型数”，
∴a+x＝﹣3[x﹣（d﹣3）]，
∴3（x﹣d）＝﹣3[x﹣（d﹣3）]，
整理化简得：2d﹣2x＝3，
∵x、d是整数，2x、2d是偶数，而3是奇数，
∴2d﹣2x＝3无整数解，此种情况不存在；
（Ⅱ）d＜3时，
若x＝0，则m﹣3＝，
∵m﹣3是“﹣3型数”，
∴a﹣1+9＝﹣3[9﹣（d+7）]，
∴3d﹣a＝14，
∵d＜3，且a、d是非负整数，
∴3d﹣a＝14无符合条件的解，
若x≠0，则m﹣3＝，
∵m﹣3是“﹣3型数”，
∴a+x＝﹣3[（x﹣1）﹣（d+7）]，即a+4x﹣3d＝24①，
∵m是“3型数”，
∴a+x＝3（x﹣d），即a﹣2x+3d＝0②，
①+②化简得a+x＝12，
①+②×2化简得a+d＝8，
∴当d＝1时，a＝7，x＝5，此时m＝7551，
当d＝2时，a＝6，x＝6，此时m＝6662．
综上所述，满足条件的四位数m是7551或6662．
21．（2022春•南岗区校级期中）一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算“A+B”．他误将“A+B”看成“A﹣B”，求得的结果为9x2﹣2x+7．已知B＝x2+3x﹣2，求正确答案．
解：∵A﹣B＝9x2﹣2x+7，
∴A＝9x2﹣2x+7+B，
∵B＝x2+3x﹣2，
∴A＝9x2﹣2x+7+x2+3x﹣2＝10x2+x+5
∴A+B＝（10x2+x+5）+（x2+3x﹣2）＝11x2+4x+3．
22．（2022•丰顺县校级开学）有一道数学题：“求代数式（x2+2y2）+3（x2+y2）﹣4x2的值，其中，y＝2．”粗心的小李在做此题时，把“”错抄成了“x＝3”，但他的计算结果却是正确的，原因为 原式化简后为5y2，跟x的取值没有关系，因此不会影响计算结果 ．
解：∵（x2+2y2）+3（x2+y2）﹣4x2
＝x2+2y2+3x2+3y2﹣4x2
＝5y2，
∴原式化简后为5y2，跟x的取值没有关系，因此不会影响计算结果，
故答案为：原式化简后为5y2，跟x的取值没有关系，因此不会影响计算结果．
23．（2022春•龙凤区期末）先化简，再求值：（x2﹣y2﹣2xy）﹣（﹣3x2+4xy）+（x2+5xy），其中x＝﹣1，y＝2．
解：原式＝x2﹣y2﹣2xy+3x2﹣4xy+x2+5xy
＝5x2﹣xy﹣y2，
当x＝﹣1，y＝2时，
原式＝5×（﹣1）2﹣（﹣1）×2﹣22
＝5+2﹣4
＝3．
考点04：规律型：数字的变化类
24．（2022春•两江新区期末）对于任意一个正整数x1可以按规则生成无穷数串：x1，x2，x3，…，xn，xn+1，…（其中n为正整数），规则为：xn+1＝．
下列说法：
①若x1＝4，则生成的这数串中必有xi＝xi+3（i为正整数）；
②若x1＝6，生成的前2022个数之和为55；
③若生成的数中有一个xi+1＝16，则它的前一个数xi应为32；
④若x4＝7，则x1的值只能是9．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①若x1＝4，即xn是偶数，x2＝x1＝×4＝2，
x3＝x2＝×2＝1，
x4＝3x3+1＝3×1+1＝4，
x5＝x4＝2，
•••，
每3个数一循环，有x1＝x4，x2＝x5，•••，
∴若x1＝4，则生成的数串中必有xi＝xi+3（i为正整数）；
故①正确；
②若x1＝6，即xn是偶数，x2＝x1＝×6＝3，
x3＝3x2+1＝3×3+1＝10，
x4＝x3+1＝×10＝5，
x5＝3x4+1＝3×5+1＝16，
x6＝x5＝×16＝8，
x7＝x6＝×8＝4，
x8＝x7＝×4＝2，
•••，
从x7开始，每3个数一循环，4+2+1＝7，
∴生成的前2022个数之和＝6+3+10+5+16+8+7×]（2022﹣6）÷3]＝4752，
故②错误；
③若生成的数中有一个xi+1＝16，
则xi有两种情况：
当xi是偶数时，16＝xi，xi＝32；
当xi是奇数时，16＝3xi+1，xi＝5；
若生成的数中有一个xi+1＝16，则它的前一个数xi应为32或5；
故③错误；
④当x4＝7时，有两种情况：
当x3是偶数时，7＝x3，x3＝14，x2＝28，x1＝56或9；
当x3是奇数时，7＝3x3+1，x3＝2（不符合题意，舍）；
故④错误；
其中正确的结论是①，1个．
故选：A．
25．（2022秋•邗江区校级月考）我们称M为“梅岭数”．记M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）…．M（n）＝（其中n为正整数）．
（1）计算：M（3）+M（4）＝ 8 ．
（2）求M（99）+M（100）的值．
（3）探究2×M（2021）与M（2022）的关系，并说明理由．
解：（1）原式＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）+（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）
＝﹣8+16
＝8；
故答案为：8；
（2）M（99）+M（100）
＝（﹣2）99+（﹣2）100
＝﹣299+2100
＝299（﹣1+2）
＝299；
（3）互为相反数，理由如下：
因为2×M（2021）
＝2×（﹣2）2021
＝﹣2×22021
＝﹣22022，
M（2022）＝（﹣2）2022，
所以2×M（2021）+M（2022）＝0．
26．（2022•来安县二模）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按上述规律，回答以下问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
解：（1）由前面5个式子分子分母的规律，第6个等式应为：；
故答案为：；
（2）第n个等式为：；
证明：右边＝﹣
＝
＝＝左边，
故等式成立．
故答案为：．
27．（2022春•肥东县校级期中）有一系列等式：
1×2×3×4+1＝（12+3×1+1）2；
2×3×4×5+1＝（22+3×2+1）2；
3×4×5×6+1＝（32+3×3+1）2；
4×5×6×7+1＝（42+3×4+1）2；
……
（1）根据你的观察，归纳，发现规律，得到：9×10×11×12+1＝ （92+3×9+1）2 ；
（2）试猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝ （n2+3n+1）2 ；
（3）试说明（2）中猜想的正确性．
解：（1）由题目中的等式可得，
9×10×11×12+1＝（92+3×9+1）2，
故答案为：（92+3×9+1）2；
（2）猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2，
故答案为：（n2+3n+1）2；
（3）证明：∵n（n+1）（n+2）（n+3）+1
＝[n（n+1）][（n+2）（n+3）]+1
＝（n2+n）（n2+5n+6）+1
＝n4+6n3+11n2+6n+1，
（n2+3×n+1）2
＝（n2+3n+1）2
＝n4+6n3+11n2+6n+1，
∴n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2．
考点05：规律型：图形的变化类
28．（2022春•九龙坡区校级期末）如图是同样大小一些瓢虫按照一定规律爬行，第1个图有3只瓢虫，第2个图有8只瓢虫，第3个图形有15只瓢虫，……，第8个图形的瓢虫个数为（ ）
A．80 B．79 C．70 D．63
解：∵第1个图形中瓢虫个数为3＝1×3，
第2个图形中瓢虫个数为3+2+3＝2×4＝8，
第3个图形中瓢虫个数为3+2+3+4+3＝3×5＝15，
第4个图形中瓢虫个数为4×6＝24，
••••••，
∴第8个图形中瓢虫个数为8×10＝80．
故选：A．
29．（2022•重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．9
解：由图形知，第①个图案中有1个菱形，
第②个图案中有3个菱形，即1+2＝3，
第③个图案中有5个菱形即1+2+2＝5，
……
则第n个图案中菱形有1+2（n﹣1）＝（2n﹣1）个，
∴第⑥个图案中有2×6﹣1＝11个菱形，
故选：C．
30．（2022春•邵阳县期末）如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，其图形可看作图2中若干个相邻的直角三角形构成，A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝…＝A2021A2022，∠A1OA2＝45°，OA1＝1，∠OA1A2＝∠OA2A3＝∠OA3A4＝∠OA4A5＝…＝∠OA2021A2022＝90°，则边OA2022的长为 ．
#ZKQ
解：∵OA1＝1，∠A1OA2＝45°，
∴A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝…＝A2021A2022＝1，
∴由勾股定理可得OA2＝，
OA3＝，
…，
∴OAn＝，
∴OA2022＝．
故答案为：．
31．（2022春•辽阳期末）如图（1），△AB1C1是边长为2的等边三角形；如图（2），取AB1的中点C2、画等边三角形AB2C2，连接B1B2；如图（3），取AB2的中点C3，画等边三角形AB3C3，连接B2B3；…，按上述规律做下去，则B2021B2022的长为 ．
解：如图，过点C2作C2D⊥B1B2于点D，
∵△AB1C1是边长为2的等边三角形，C2是AB1的中点，
∴B1C2＝B2C2＝1．
∵△AB2C2是等边三角形，
∴∠B1C2B2＝120°，B1C2＝B2C2，
∴∠DB1C1＝∠DB2C2＝30°，
∴B1D＝1×＝，
∴B1B2＝2B1D＝，
同理可得，B2B3＝，B3B4＝．
∴BnBn+1＝，
∴B2021B2022＝．
故答案为：．
32．（2022春•西宁期末）如图，三个形状，大小都相同的小长方形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个大长方形中，若这个大长方形的周长为2016cm，则一个小长方形的周长为 672 cm．
解：设小长方形的长为acm，宽为bcm，则大长方形的长为（2a+b）cm，宽为（2b+a）cm，
∵大长方形的周长为2016cm，
∴2（2a+b）+2（2b+a）＝2016，
∴4a+2b+4b+2a＝2016，
∴6a+6b＝2016，
∴除以6得：a+b＝336，
∴一个小长方形的周长为2×336＝672（cm），
故答案为：672．
33．（2022春•桂林期末）如图，顺次连接第一个矩形各边的中点得到第1个菱形，顺次连接这个菱形各边的中点得到第二个矩形，再顺次连接第二个矩形各边的中点得到第2个菱形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为6，则第n个菱形的面积为 3×（）n﹣1 ．
解：∵已知第一个矩形的面积为6；
第二个矩形的面积为原来的6×（）2×2﹣2＝6×；
第三个矩形的面积是6×（）2×3﹣2＝6×；
…
∴故第n个矩形的面积为：6×（）2n﹣2＝6×（）n﹣1，
由题意易得：第1个菱形的面积为第1个矩形的面积的一半，
则第n个菱形的面积为第n个矩形的面积的一半，
即6×（）n﹣1×＝3×（）n﹣1．
故答案为：3×（）n﹣1．
34．（2022春•宁德期末）如图，用若干个点摆成一组等边三角形点列，其中第n（n≥2）个三角形的每一边上都有n个点，该图形中点的总数记为Sn，我们把S称为“三角形数”，并规定当n＝1时，“三角形数”S1＝1．
（1）“三角形数”S5＝ 15 ，Sn＝ ．
（2）①某数学兴趣小组发现相邻两个“三角形数”的和有一定的规律：如S1+S2＝4，S2+S3＝9，S3+S4＝16．请猜想：Sn+Sn+1＝ （n+1）2 ；
②请用所学的知识说明①中猜想的正确性．
解：（1）第1个图形中，有1层，点的个数为：S1＝1＝1；
第2个图形中，有2层，点的个数为：S2＝1+2＝3；
第3个图形中，有3层，点的个数为：S3＝1+2+3＝6；
..．
则第5个图形中，有5层，点的个数为：S5＝1+2+3+4+5＝15；
故第n个图形中，有n层，点的个数为：Sn＝1+2+3+...+n＝；
故答案为：15，；
（2）①∵S1+S2＝4＝22，S2+S3＝9＝32，S3+S4＝16＝42，
∴Sn+Sn+1＝（n+1）2，
故答案为：（n+1）2；
②Sn+Sn+1
＝+
＝
＝（n+1）（n+1）
＝（n+1）2．
35．（2022春•锡山区期中）利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？
（1）如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的、、、…、，根据图示我们可以知道：++++…+＝ 1﹣ ．（用含有n的式子表示）
（2）如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示：
计算：+++…+＝ 1﹣ ．（用含有n的式子表示）
（3）如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：
计算：++++…+＝ 1﹣ ．（用含有n的式子表示）
解：（1）++++…+＝1﹣．
（2）+++…+＝1﹣×（1﹣）＝1﹣．
（3）++++…+＝1﹣．
故答案为：1﹣；1﹣；1﹣
2023-2024学年北师大版数学七年级上册章节考点精讲精练
第3章《整式及其加减》
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知识点01:代数式
诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．
细节剖析：代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．
知识点02:整式的相关概念
1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
细节剖析：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．
（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
细节剖析：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．
（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．
3. 多项式的降幂与升幂排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．
细节剖析：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；
（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．
4．整式：单项式和多项式统称为整式．
知识点03:整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．
细节剖析：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
细节剖析：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．
3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．
知识点04:探索与表达规律
寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.
考点提优练
考点01：代数式求值
1．（2022•朝阳区校级模拟）下列说法正确的是（ ）
A．2m表示m和m相乘
B．2m的值一定比m的值大
C．2m的值一定比2大
D．2m的值随m的增大而增大
解：∵2m表示m的2倍，
∴A选项不符合题意；
∵若m＝0，则2m＝m，
∴B选项不符合题意；
∵若m比1小，2m的值小于2，
∴C选项不符合题意；
∵2m的值随m的增大而增大，
∴D选项符合题意，
故选：D．
2．（2021秋•肥西县月考）已知，当x＝1时，代数式ax2﹣bx+4的值是6；当x＝﹣1时，代数式ax2﹣bx+4的值是3，代数式a﹣2b的值是（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．
解：根据题意得，
解得，
∴，
故选：D．
3．（2022•六盘水）已知（x+y）4＝a1x4+a2x3y+a3x2y2+a4xy3+a5y4，则a1+a2+a3+a4+a5的值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
解：∵（x+y）4＝x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4，
∴a1+a2+a3+a4+a5
＝1+4+6+4+1
＝16，
故选：C．
4．（2022春•市南区期末）如图，有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形A、B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造如图3的新正方形，（图2，图3中正方形A、B纸片均无重叠部分）则图3中阴影部分的面积 42 ．
解：设正方形纸片A的边长为a，正方形纸片B的边长为b．
由题意得，a2﹣b2＝2，（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝20．
∴图3中阴影部分的面积为（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．
故答案为：42．
5．（2022•余姚市一模）已知x2﹣2x＝3，则3x2﹣6x﹣4的值为 5 ．
解：∵x2﹣2x＝3，
∴原式＝3（x2﹣2x）﹣4
＝3×3﹣4
＝9﹣4
＝5．
故答案为：5．
6．（2021秋•镇平县校级期末）下面是一个简单的数值运算程序，当首先输入a＝﹣2时，计算出正数为止，那么输出的结果是 2 ．
解：当a＝﹣2时，则3a+5＝﹣1＜0；
当a＝﹣1时，则3a+5＝2＞0，
故答案为：2．
考点02：整式
7．（2021秋•任城区校级期末）下列式子：x+3，+5，，0，，﹣5x，x+0，c＝ab中，整式的个数是（ ）
A．6 B．5 C．.4 D．.3
解：下列式子：x+3，+5，，0，，﹣5x，x+0，c＝ab中，
是整式的为：x+3，，0，﹣5x，x+0，
共有5个，
故选：B．
8．（2021•锦江区校级开学）下列代数式：﹣，，﹣π，﹣5x2y3，，，﹣x，其中整式有 5 个．
解：下列代数式：﹣，，﹣π，﹣5x2y3，，，﹣x，
属于整式的有：．
，是分式，不是整式．
故答案为：5．
9．（2015秋•昌江县校级月考）整式： 单项式 和 多项式 统称为整式．
解：单项式和多项式统称为整式，
故答案为：单项式，多项式．
10．（2021秋•新晃县期中）下列代数式：①﹣mn，②m，③，④，⑤2m+1，⑥，⑦，⑧x2+2x+中，整式共有 6 个．
解：在①﹣mn，②m，③，④，⑤2m+1，⑥，⑦，⑧x2+2x+中，
①﹣mn，②m，③，⑤2m+1，⑥，⑧x2+2x+都是整式，
④，⑦的分母中含有字母，属于分式．
综上所述，上述代数式中整式的个数是6个．
故答案为：6．
11．（2019秋•三台县期末）把几个数或整式用大括号括起来，中间用逗号分开，如{﹣3，6，12}，{x，xy2，﹣2x+1}，我们称之为集合，其中大括号内的数或整式称为集合的元素．定义如果一个集合满足：只要其中有一个元素x使得﹣2x+1也是这个集合的元素，这样的集合称为关联集合，元素﹣2x+1称为条件元素．例如：集合{﹣1，1，0}中元素1使得﹣2×1+1＝﹣1，﹣1也恰好是这个集合的元素，所以集合{﹣1，1，0}是关联集合，元素﹣1称为条件元素．又如集合满足﹣2×是关联集合，元素称为条件元素．
（1）试说明：集合是关联集合．
（2）若集合{xy﹣y2，A}是关联集合，其中A是条件元素，试求A．
解：（1）∵
且是这个集合的元素
∴集合是关联集合；
（2）∵集合{xy﹣y2，A}是关联集合，A是条件元素
∴A＝﹣2（xy﹣y2）+1，或A＝﹣2A+1
∴A＝﹣2xy+2y2+1或．
12．（2021春•海陵区校级月考）已知分式，请在下列分式中选择一个，并选择一种运算，使它们的运算结果为整式．
①；②．
（1）我选择 ② （填序号）；
（2）列式并计算．
解：（1）②
（2）＝＝＝x．
13．（2021秋•句容市期末）如果单项式xa+by3与5x2yb的和仍是单项式，则a﹣b的值为 ﹣4 ．
解：∵单项式y3与5x2yb的和仍是单项式，
∴y3与5x2yb是同类项，
∴a+b＝2，3＝b，
解得：a＝﹣1，b＝3，
∴原式＝﹣1﹣3＝﹣4，
故答案为：﹣4．
考点03：整式的加减
14．（2021秋•台江区校级期末）已知代数式M＝2x2+7x﹣3，N＝x2+7x﹣4，则无论x取何值，它们的大小关系是（ ）
A．M＝N
B．M＞N
C．M＜N
D．M，N的大小关系与x的取值有关
解：∵M＝2x2+7x﹣3，N＝x2+7x﹣4，
∴M﹣N
＝（2x2+7x﹣3）﹣（x2+7x﹣4）
＝2x2+7x﹣3﹣x2﹣7x+4
＝x2+1≥1，
∴M＞N，
故选：B．
15．（2022春•南岗区校级期中）若A是一个四次多项式，B是一个三次多项式，则A﹣B是（ ）
A．七次多项式 B．七次整式 C．四次多项式 D．四次整式
解：若A是一个四次多项式，B是一个三次多项式，则A﹣B是四次整式，
故选：D．
16．（2022•张店区二模）如图，在矩形ABCD中放入正方形AEFG，正方形MNRH，正方形CPQN，点E在AB上，点M、N在BC上，若AE＝4，MN＝3，CN＝2，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
解：矩形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC．
正方形AEFG中，AE＝EF＝FG＝AG＝4．
正方形MNRH中，MN＝NR＝RH＝HM＝3．
正方形CPQN中，CP＝PQ＝QN＝CN＝2．
设AB＝DC＝a，AD＝BC＝b，
则BE＝AB﹣AE＝a﹣4，BM＝BC﹣MN﹣CN＝b﹣3﹣2＝b﹣5，DG＝AD﹣AG＝b﹣4，PD＝CD﹣CP＝a﹣2．
∴图中右上角阴影部分的周长为2（DG+DP）＝2（b﹣4+a﹣2）＝2a+2b﹣12．
左下角阴影部分的周长为2（BM+BE）＝2（b﹣5+a﹣4）＝2a+2b﹣18，
∴图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（2a+2b﹣12）﹣（2a+2b﹣18）＝6．
故选：B．
17．（2022春•高邮市期末）现有两个边长为b的小正方形ABCD、EFGH和一个边长为a的大正方形，如图1，小明将两个边长为b的小正方形ABCD、EFGH有部分重叠的放在边长为a的大正方形内；如图2，小彤将一个边长为b的小正方形放在边长为a的大正方形外．若图1中长方形AFGD的面积为80，重叠部分的长方形BCHE的面积为48，则图2中阴影部分的面积为 42 ．
解：∵图1中长方形AFGD的面积为80，重叠部分的长方形BCHE的面积为48，
∴ab＝80，b[b﹣（a﹣b）]＝b（2b﹣a）＝48，
解得a＝10，b＝8，
∴图2中阴影部分的面积为10×10+8×8﹣10×10÷2﹣（10+8）×8÷2＝42．
故答案为：42．
18．（2022春•南岸区期末）（1）如图，整个图形是边长为a+b的正方形，其中阴影部分是边长为a﹣b的正方形，请根据图形，猜想（a+b）2与（a﹣b）2存在的等量关系，并证明你的猜想；
（2）根据（1）中得出的结论，解决下列问题：
甲、乙两位司机在同一加油站两次加油，两次油价有变化，两位司机采用不同的加油方式．其中，甲每次都加40l油，乙每次加油费都为300元．设两次加油时，油价分别为m元/l，n元/l（m＞0，n＞0，且m≠n）．
①求甲、乙两次所购的油的平均单价各是多少？
②通过计算说明，甲、乙哪一个两次加油的平均油价比较低？
解：（1）猜想的结论为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．
∵（a+b）2﹣4ab＝a2+2ab+b2﹣4ab＝a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．
（2）①甲两次所加油的平均单价为；
乙两次所加油的平均单价为．
②∵，
∵m＞0，n＞0，且m≠n．
∴2（m+n）＞0，（m﹣n）2＞0．
∴，即．
所以，乙两次加油的平均油价比较低．
19．（2022•路北区二模）在化简3（m2n+mn）﹣4（m2n﹣mn）◆2mn题目中：◆表示+，﹣，×，÷四个运算符号中的某一个．
（1）若◆表示“﹣”，请化简3（m2n+mn）﹣4（m2n﹣mn）﹣2mn；
（2）当m＝﹣2，n＝1时，3（m2n+mn）﹣4（m2n﹣mn）◆2mn的值为12，请推算出◆所表示的符号．
解：（1）原式＝3m2n+3mn﹣4m2n+4mn﹣2mn
＝﹣m2n+5mn；
（2）当m＝﹣2，n＝1时，
3（m2n+mn）＝3×[（﹣2）2×1+（﹣2）×1]＝3×（4﹣2）＝6，
4（m2n﹣mn）＝4×[（﹣2）2×1﹣（﹣2）×1]＝24，
2mn＝2×（﹣2）×1＝﹣4，
∵6﹣24÷（﹣4）＝6+6＝12，
∴3（m2n+mn）﹣4（m2n﹣mn）÷2mn＝12，
∴◆所表示的符号÷．
20．（2022•沙坪坝区校级一模）一个四位数m＝1000a+100b+10c+d（其中1≤a，b，c，d≤9，且均为整数），若a+b＝k（c﹣d），且k为整数，称m为“k型数”．例如，4675：4+6＝5×（7﹣5），则4675为“5型数”；3526：3+5＝﹣2×（2﹣6），则3526为“﹣2型数”．
（1）判断1731与3213是否为“k型数”，若是，求出k；
（2）若四位数m是“3型数”，m﹣3是“﹣3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数m′，m′也是“3型数”，求满足条件的所有四位数m．
解：（1）∵1+7＝4×（3﹣1），3+2＝﹣×（1﹣3），
∴1731是“4型数”，3213不是“k型数”；
（2）设m＝，
∵m是“3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数m′，m′也是“3型数”，
∴a+b＝3（c﹣d）且a+c＝3（b﹣d），
将两式相减整理得：b＝c，
∴m的十位与百位数字相同，设m＝，
由m﹣3是“﹣3型数”，分两种情况：
（Ⅰ）d≥3时，m﹣3＝，
∵四位数m＝是“3型数”，
∴a+x＝3（x﹣d），
∵m﹣3是“﹣3型数”，
∴a+x＝﹣3[x﹣（d﹣3）]，
∴3（x﹣d）＝﹣3[x﹣（d﹣3）]，
整理化简得：2d﹣2x＝3，
∵x、d是整数，2x、2d是偶数，而3是奇数，
∴2d﹣2x＝3无整数解，此种情况不存在；
（Ⅱ）d＜3时，
若x＝0，则m﹣3＝，
∵m﹣3是“﹣3型数”，
∴a﹣1+9＝﹣3[9﹣（d+7）]，
∴3d﹣a＝14，
∵d＜3，且a、d是非负整数，
∴3d﹣a＝14无符合条件的解，
若x≠0，则m﹣3＝，
∵m﹣3是“﹣3型数”，
∴a+x＝﹣3[（x﹣1）﹣（d+7）]，即a+4x﹣3d＝24①，
∵m是“3型数”，
∴a+x＝3（x﹣d），即a﹣2x+3d＝0②，
①+②化简得a+x＝12，
①+②×2化简得a+d＝8，
∴当d＝1时，a＝7，x＝5，此时m＝7551，
当d＝2时，a＝6，x＝6，此时m＝6662．
综上所述，满足条件的四位数m是7551或6662．
21．（2022春•南岗区校级期中）一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算“A+B”．他误将“A+B”看成“A﹣B”，求得的结果为9x2﹣2x+7．已知B＝x2+3x﹣2，求正确答案．
解：∵A﹣B＝9x2﹣2x+7，
∴A＝9x2﹣2x+7+B，
∵B＝x2+3x﹣2，
∴A＝9x2﹣2x+7+x2+3x﹣2＝10x2+x+5
∴A+B＝（10x2+x+5）+（x2+3x﹣2）＝11x2+4x+3．
22．（2022•丰顺县校级开学）有一道数学题：“求代数式（x2+2y2）+3（x2+y2）﹣4x2的值，其中，y＝2．”粗心的小李在做此题时，把“”错抄成了“x＝3”，但他的计算结果却是正确的，原因为 原式化简后为5y2，跟x的取值没有关系，因此不会影响计算结果 ．
解：∵（x2+2y2）+3（x2+y2）﹣4x2
＝x2+2y2+3x2+3y2﹣4x2
＝5y2，
∴原式化简后为5y2，跟x的取值没有关系，因此不会影响计算结果，
故答案为：原式化简后为5y2，跟x的取值没有关系，因此不会影响计算结果．
23．（2022春•龙凤区期末）先化简，再求值：（x2﹣y2﹣2xy）﹣（﹣3x2+4xy）+（x2+5xy），其中x＝﹣1，y＝2．
解：原式＝x2﹣y2﹣2xy+3x2﹣4xy+x2+5xy
＝5x2﹣xy﹣y2，
当x＝﹣1，y＝2时，
原式＝5×（﹣1）2﹣（﹣1）×2﹣22
＝5+2﹣4
＝3．
考点04：规律型：数字的变化类
24．（2022春•两江新区期末）对于任意一个正整数x1可以按规则生成无穷数串：x1，x2，x3，…，xn，xn+1，…（其中n为正整数），规则为：xn+1＝．
下列说法：
①若x1＝4，则生成的这数串中必有xi＝xi+3（i为正整数）；
②若x1＝6，生成的前2022个数之和为55；
③若生成的数中有一个xi+1＝16，则它的前一个数xi应为32；
④若x4＝7，则x1的值只能是9．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①若x1＝4，即xn是偶数，x2＝x1＝×4＝2，
x3＝x2＝×2＝1，
x4＝3x3+1＝3×1+1＝4，
x5＝x4＝2，
•••，
每3个数一循环，有x1＝x4，x2＝x5，•••，
∴若x1＝4，则生成的数串中必有xi＝xi+3（i为正整数）；
故①正确；
②若x1＝6，即xn是偶数，x2＝x1＝×6＝3，
x3＝3x2+1＝3×3+1＝10，
x4＝x3+1＝×10＝5，
x5＝3x4+1＝3×5+1＝16，
x6＝x5＝×16＝8，
x7＝x6＝×8＝4，
x8＝x7＝×4＝2，
•••，
从x7开始，每3个数一循环，4+2+1＝7，
∴生成的前2022个数之和＝6+3+10+5+16+8+7×]（2022﹣6）÷3]＝4752，
故②错误；
③若生成的数中有一个xi+1＝16，
则xi有两种情况：
当xi是偶数时，16＝xi，xi＝32；
当xi是奇数时，16＝3xi+1，xi＝5；
若生成的数中有一个xi+1＝16，则它的前一个数xi应为32或5；
故③错误；
④当x4＝7时，有两种情况：
当x3是偶数时，7＝x3，x3＝14，x2＝28，x1＝56或9；
当x3是奇数时，7＝3x3+1，x3＝2（不符合题意，舍）；
故④错误；
其中正确的结论是①，1个．
故选：A．
25．（2022秋•邗江区校级月考）我们称M为“梅岭数”．记M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）…．M（n）＝（其中n为正整数）．
（1）计算：M（3）+M（4）＝ 8 ．
（2）求M（99）+M（100）的值．
（3）探究2×M（2021）与M（2022）的关系，并说明理由．
解：（1）原式＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）+（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）
＝﹣8+16
＝8；
故答案为：8；
（2）M（99）+M（100）
＝（﹣2）99+（﹣2）100
＝﹣299+2100
＝299（﹣1+2）
＝299；
（3）互为相反数，理由如下：
因为2×M（2021）
＝2×（﹣2）2021
＝﹣2×22021
＝﹣22022，
M（2022）＝（﹣2）2022，
所以2×M（2021）+M（2022）＝0．
26．（2022•来安县二模）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按上述规律，回答以下问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
解：（1）由前面5个式子分子分母的规律，第6个等式应为：；
故答案为：；
（2）第n个等式为：；
证明：右边＝﹣
＝
＝＝左边，
故等式成立．
故答案为：．
27．（2022春•肥东县校级期中）有一系列等式：
1×2×3×4+1＝（12+3×1+1）2；
2×3×4×5+1＝（22+3×2+1）2；
3×4×5×6+1＝（32+3×3+1）2；
4×5×6×7+1＝（42+3×4+1）2；
……
（1）根据你的观察，归纳，发现规律，得到：9×10×11×12+1＝ （92+3×9+1）2 ；
（2）试猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝ （n2+3n+1）2 ；
（3）试说明（2）中猜想的正确性．
解：（1）由题目中的等式可得，
9×10×11×12+1＝（92+3×9+1）2，
故答案为：（92+3×9+1）2；
（2）猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2，
故答案为：（n2+3n+1）2；
（3）证明：∵n（n+1）（n+2）（n+3）+1
＝[n（n+1）][（n+2）（n+3）]+1
＝（n2+n）（n2+5n+6）+1
＝n4+6n3+11n2+6n+1，
（n2+3×n+1）2
＝（n2+3n+1）2
＝n4+6n3+11n2+6n+1，
∴n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2．
考点05：规律型：图形的变化类
28．（2022春•九龙坡区校级期末）如图是同样大小一些瓢虫按照一定规律爬行，第1个图有3只瓢虫，第2个图有8只瓢虫，第3个图形有15只瓢虫，……，第8个图形的瓢虫个数为（ ）
A．80 B．79 C．70 D．63
解：∵第1个图形中瓢虫个数为3＝1×3，
第2个图形中瓢虫个数为3+2+3＝2×4＝8，
第3个图形中瓢虫个数为3+2+3+4+3＝3×5＝15，
第4个图形中瓢虫个数为4×6＝24，
••••••，
∴第8个图形中瓢虫个数为8×10＝80．
故选：A．
29．（2022•重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．9
解：由图形知，第①个图案中有1个菱形，
第②个图案中有3个菱形，即1+2＝3，
第③个图案中有5个菱形即1+2+2＝5，
……
则第n个图案中菱形有1+2（n﹣1）＝（2n﹣1）个，
∴第⑥个图案中有2×6﹣1＝11个菱形，
故选：C．
30．（2022春•邵阳县期末）如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，其图形可看作图2中若干个相邻的直角三角形构成，A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝…＝A2021A2022，∠A1OA2＝45°，OA1＝1，∠OA1A2＝∠OA2A3＝∠OA3A4＝∠OA4A5＝…＝∠OA2021A2022＝90°，则边OA2022的长为 ．
#ZKQ
解：∵OA1＝1，∠A1OA2＝45°，
∴A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝…＝A2021A2022＝1，
∴由勾股定理可得OA2＝，
OA3＝，
…，
∴OAn＝，
∴OA2022＝．
故答案为：．
31．（2022春•辽阳期末）如图（1），△AB1C1是边长为2的等边三角形；如图（2），取AB1的中点C2、画等边三角形AB2C2，连接B1B2；如图（3），取AB2的中点C3，画等边三角形AB3C3，连接B2B3；…，按上述规律做下去，则B2021B2022的长为 ．
解：如图，过点C2作C2D⊥B1B2于点D，
∵△AB1C1是边长为2的等边三角形，C2是AB1的中点，
∴B1C2＝B2C2＝1．
∵△AB2C2是等边三角形，
∴∠B1C2B2＝120°，B1C2＝B2C2，
∴∠DB1C1＝∠DB2C2＝30°，
∴B1D＝1×＝，
∴B1B2＝2B1D＝，
同理可得，B2B3＝，B3B4＝．
∴BnBn+1＝，
∴B2021B2022＝．
故答案为：．
32．（2022春•西宁期末）如图，三个形状，大小都相同的小长方形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个大长方形中，若这个大长方形的周长为2016cm，则一个小长方形的周长为 672 cm．
解：设小长方形的长为acm，宽为bcm，则大长方形的长为（2a+b）cm，宽为（2b+a）cm，
∵大长方形的周长为2016cm，
∴2（2a+b）+2（2b+a）＝2016，
∴4a+2b+4b+2a＝2016，
∴6a+6b＝2016，
∴除以6得：a+b＝336，
∴一个小长方形的周长为2×336＝672（cm），
故答案为：672．
33．（2022春•桂林期末）如图，顺次连接第一个矩形各边的中点得到第1个菱形，顺次连接这个菱形各边的中点得到第二个矩形，再顺次连接第二个矩形各边的中点得到第2个菱形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为6，则第n个菱形的面积为 3×（）n﹣1 ．
解：∵已知第一个矩形的面积为6；
第二个矩形的面积为原来的6×（）2×2﹣2＝6×；
第三个矩形的面积是6×（）2×3﹣2＝6×；
…
∴故第n个矩形的面积为：6×（）2n﹣2＝6×（）n﹣1，
由题意易得：第1个菱形的面积为第1个矩形的面积的一半，
则第n个菱形的面积为第n个矩形的面积的一半，
即6×（）n﹣1×＝3×（）n﹣1．
故答案为：3×（）n﹣1．
34．（2022春•宁德期末）如图，用若干个点摆成一组等边三角形点列，其中第n（n≥2）个三角形的每一边上都有n个点，该图形中点的总数记为Sn，我们把S称为“三角形数”，并规定当n＝1时，“三角形数”S1＝1．
（1）“三角形数”S5＝ 15 ，Sn＝ ．
（2）①某数学兴趣小组发现相邻两个“三角形数”的和有一定的规律：如S1+S2＝4，S2+S3＝9，S3+S4＝16．请猜想：Sn+Sn+1＝ （n+1）2 ；
②请用所学的知识说明①中猜想的正确性．
解：（1）第1个图形中，有1层，点的个数为：S1＝1＝1；
第2个图形中，有2层，点的个数为：S2＝1+2＝3；
第3个图形中，有3层，点的个数为：S3＝1+2+3＝6；
..．
则第5个图形中，有5层，点的个数为：S5＝1+2+3+4+5＝15；
故第n个图形中，有n层，点的个数为：Sn＝1+2+3+...+n＝；
故答案为：15，；
（2）①∵S1+S2＝4＝22，S2+S3＝9＝32，S3+S4＝16＝42，
∴Sn+Sn+1＝（n+1）2，
故答案为：（n+1）2；
②Sn+Sn+1
＝+
＝
＝（n+1）（n+1）
＝（n+1）2．
35．（2022春•锡山区期中）利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？
（1）如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的、、、…、，根据图示我们可以知道：++++…+＝ 1﹣ ．（用含有n的式子表示）
（2）如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示：
计算：+++…+＝ 1﹣ ．（用含有n的式子表示）
（3）如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：
计算：++++…+＝ 1﹣ ．（用含有n的式子表示）
解：（1）++++…+＝1﹣．
（2）+++…+＝1﹣×（1﹣）＝1﹣．
（3）++++…+＝1﹣．
故答案为：1﹣；1﹣；1﹣
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