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2023新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式章末综合提升教师用书新人教A版必修第一册
展开第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末综合提升
类型1 不等式的性质及应用
本章主要学习了不等式的基本性质和基本事实.该知识点常与数式的大小比较、命题真假的判断及不等式的证明结合命题,求解时注意直接法和特值法的应用.
【例1】 (1)若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是( )
A.A≤B B.A≥B
C.A<B或A>B D.A>B
(2)如果a,b,c满足c<b<a且ac<0,则下列选项中不一定成立的是( )
A.ab>ac B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2 D.ac(a-c)<0
(3)已知2<a<3,-2<b<-1,则ab的取值范围为________.
(1)B (2)C (3)(-6,-2) [(1)∵A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2-ab+b2=+b2≥0,故A≥B.
(2)c<b<a,ac<0⇒a>0,c<0.
对于A:⇒ab>ac,A正确.
对于B:⇒c·(b-a)>0,B正确.
对于C:⇒cb2≤ab2cb2<ab2,C错误,即C不一定成立.
对于D:ac<0,a-c>0⇒ac(a-c)<0,D正确.故选C.
(3)因为-2<b<-1,
所以1<-b<2,
又因为2<a<3,所以2<-ab<6,
所以-6<ab<-2.]
类型2 基本不等式及其应用
基本不等式≤(a>0,b>0)常有两种变形:ab≤和a+b≥2.其充分体现了利用两个正数和与积互化求最值的技巧,在应用该知识点解决最值时,务必把握“一正、二定、三相等”这一前提条件.
【例2】 (1)已知x>0,y>0,2x+3y=6,则xy的最大值为________.
(2)若a>0,b>0,且a+2b-4=0,则ab的最大值是________,+的最小值是________.
(3)设x<-1,求y=的最大值.
(1) (2)2 [因为x>0,y>0,2x+3y=6,
所以xy=(2x·3y)≤·=×=.
当且仅当2x=3y,即x=,y=1时,xy取到最大值.
(2)∵a+2b-4=0,且a>0,b>0,
∴4=a+2b≥2,
∴ab≤2.
当且仅当a=2b即a=2,b=1时等号成立.
+=×(a+2b)
=≥=.
当且仅当=,即a=b时等号成立.]
(3)[解] ∵x<-1,∴x+1<0.
∴-(x+1)>0,
∴y==
==(x+1)++5
=-+5≤-2+5=1,
当即x=-3时,取“=”.
类型3 一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法充分体现了三个“二次”之间的内在联系,解此相关问题应把握三个关键点:一图象的开口方向,二是否有根,三根的大小关系.把握好以上三点,数形结合给出相应解集即可,对于由此知识点派生出的恒成立问题,数形结合求解便可.
【例3】 (1)关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则a的取值范围为( )
A.-<a<1 B.-≤a≤1
C.-<a≤1或a=-1 D.-<a≤1
(2)若不等式ax2+3x+2>0的解集为{x|b<x<1},则a=________,b=________.
(3)求关于x的不等式ax2+3x+2>-ax-1(其中a>0)的解集.
(1)D (2)-5 - [(1)当a2-1=0时,a=±1,若a=1,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立;若a=-1,则原不等式可化为2x-1<0,不是恒成立,所以a=-1舍去;
当a2-1≠0时,因为(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,
所以只需
解得-<a<1.
综上,a的取值范围为-<a≤1.故选D.
(2)将x=1代入ax2+3x+2=0,可得a=-5,
所以不等式ax2+3x+2>0即为不等式-5x2+3x+2>0,可转化为(x-1)(5x+2)<0,
所以原不等式的解集为,所以b=-.]
(3)[解] 不等式ax2+3x+2>-ax-1可化为ax2+(a+3)x+3>0,即(ax+3)(x+1)>0.
当-<-1,即0<a<3时,原不等式的解集为;
当-=-1,即a=3时,原不等式的解集为{x|x≠-1};
当->-1,即a>3时,原不等式的解集为.
综上所述,当0<a<3时,原不等式的解集为;
当a=3时,原不等式的解集为{x|x≠-1};
当a>3时,原不等式的解集为.
类型4 不等式在实际问题中的应用
不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,根据题设条件构建数学模型是解题的关键.
【例4】 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).
(1)若设休闲区的长和宽的比=x(x>1),写出公园ABCD所占面积S与x的关系式;
(2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?
[解] (1)设休闲区的宽B1C1为a米,则长A1B1为ax米,
由a2x=4 000,得a=.
则S=(a+8)(ax+20)
=a2x+(8x+20)a+160
=4 000+(8x+20)·+160
=80+4 160(x>1).
(2)80+4 160
≥80×2+4 160
=1 600+4 160=5 760.
当且仅当2=,
即x=2.5时,等号成立,
此时a=40,ax=100.
所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米.