（10）直线和圆的方程——2022-2023学年高二数学人教A版（2019）暑假作业

（10）直线和圆的方程

——2022-2023学年高二数学人教A版（2019）暑假作业

1.直线的斜率为(   )

A. B. C. D.

2.直线，当k变化时，所有直线恒过定点(   )

A. B. C. D.

3.已知点，，则线段AB的垂直平分线的方程是(   )

A. B. C. D.

4.已知两条直线与平行，则a的值是(   )

A.-7 B.1或7 C. D.-1或-7

5.已知P是圆上动点，直线，则点P到直线l距离的最小值为(   )

A.5 B.3 C.2 D.1

6.若直线与的交点在圆的外部，则实数k的取值范围是(   )

A.  B.

C.  D.

7.已知，，直线恒过点，则的最小值为(   )

A.8 B.9 C.16 D.18

8.已知直线与圆相切，则m的值为(   )

A. B. C. D.

9.已知圆，圆，则这两个圆的公切线条数为(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

10.已知在圆内，且过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为(   )

A.6 B.8 C.10 D.12

11.（多选）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是(   )

A. B. C. D.

12.（多选）下列说法正确的是(   )

A.“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件

B.直线与直线互相平行，则

C.过，两点的所有直线的方程为

D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为

13.（多选）已知圆和圆，则(   ).

A.两圆的圆心的距离为25

B.两圆相交

C.两圆的公共弦所在直线的方程为

D.两圆的公共弦长为

14.（多选）已知直线，圆，则以下命题正确的是(   )

A.直线l恒过定点

B.直线l与圆C恒相交

C.圆C被x轴截得的弦长为

D.圆C被直线l截得的弦最短时，

15.已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为_____________.

16.与外切于原点，且被y轴截得的弦长为4的圆的标准方程为__________.

17.设直线，则直线恒过定点_____________；若过原点作直线，则当直线与间的距离最大时，直线的方程为___________________.

18.已知圆，若存在圆C的弦AB，使得，且其中点M在直线上，则实数k的取值范围是___________.

19.已知过点的圆M的圆心为，且圆M与直线相切.
(1)求圆M的标准方程；
(2)若过点且斜率为k的直线l交圆M于A，B两点，若的面积为，求直线l的方程.

20.已知圆与圆相外切，切点为A，过点的直线与圆C交于点M，N，线段MN的中点为Q.

（1）求点Q的轨迹方程；

（2）若，点P与点Q不重合，求直线MN的方程及的面积.

答案以及解析

1.答案：A

解析：直线方程可化为，即，

直线的斜率为.故选A.

2.答案：B

解析：由直线的点斜式方程可知直线恒过点.

3.答案：B

解析：方法一：由题意，得AB的中点坐标是，直线AB的斜率为，则中垂线的斜率为2，方程为，即.

方法二：因为线段AB的垂直平分线上的点到点A，B的距离相等，所以，即，化简，得.

4.答案：D

解析：由直线与相互平行，得，整理，得，解得或.经验证，当或时，，所以a的值是-1或-7.

5.答案：D

解析：可化为，所以圆心，半径为2，所以圆心C到直线l的距离为，则直线l与圆C相离，所以点P到直线l的最小距离为，故选D.

6.答案：B

解析：解方程组得交点坐标为.由交点在圆的外部，得，解得或，即实数k的取值范围是.

7.答案：B

解析：因直线恒过点，则有，即，

又，，则，当且仅当，即时取“=”，

由得，，

所以当，时，取得最小值9.

故选：B

8.答案：A

解析：第一步：将圆的方程化为标准形式，得到圆心和半径

由，得，所以圆心，半径.

第二步：结合点到直线的距离公式列关于m的方程并求解

因为直线与圆相切，所以，解得，故选A.

9.答案：D

解析：根据题意，圆，即，其圆心为，半径，圆，其圆心为，半径.则，所以两圆外离，有4条公切线.故选D.

10.答案：D

解析：化圆为，可得圆心M的坐标为，半径为3.

由已知得，最长的弦即圆的直径，的长为6.

点，.

当弦最短时，弦和垂直，且经过点O，

此时.

四边形的面积为.故选D.

11.答案：AC

解析：当直线过坐标原点时，直线方程为；当直线不过坐标原点时，设直线方程为，将点代入可得，即.故选AC.

12.答案：AB

解析：对于A，当时，“直线与直线互相垂直”，当直线与直线互相垂直时，即，解得或，故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故A正确；

对于B，直线与直线互相平行，则，且，解得，故B正确；

对于C，过，两点的直线的方程为，故C错误；

对于D，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程有两种情况：

①经过原点的直线为，②当直线不经过原点时，设在坐标轴上的截距为a，则直线方程为，所以，解得，故，故D错误.故选AB.

13.答案：BD

解析：圆的圆心的坐标为，半径；圆的圆心的坐标为，半径，则圆心距，A错误；

因为，，，，所以两圆相交，B正确；

两圆方程相减得，故两圆的公共弦所在直线的方程为，C错误；

圆心到直线的距离为，由垂径定理得两圆的公共弦长为，D正确.故选BD.

14.答案：BC

解析：由题意，直线可化为，令，解得，即直线过定点，所以选项A错误；圆的方程可化为，点在圆C的内部，所以直线l与圆C恒相交，所以选项B正确；在圆中，令，得，所以，所以选项C正确；由于直线l过定点.又圆心为，由斜率公式得过定点和圆心的直线斜率，所以当直线l的斜率为2时，被圆C截得的弦长最短，此时，所以D选项错误，故选BC.

15.答案：

解析：设点关于直线的对称点为，则反射光线所在直线过点，

由，解得.

又反射光线经过点，

所以所求直线的方程为，即.

16.答案：

解析：对圆，其圆心C的坐标为，半径，

设所求圆的圆心为，半径为，

因为所求圆与圆C外切于原点，故可得，且；

又所求圆被y轴截得的弦长为4，故，

联立上式可得：，，，

故所求圆的标准方程为：.

故答案为：.

17.答案：；

解析：直线，可化为，解得直线恒过定点.

过原点作直线，可设的方程为.

经过两点与的直线方程为，

当直线与间的距离最大时，直线与直线垂直，

直线的方程为.

18.答案：

解析：圆C的方程可化为，圆心，半径，

由于弦AB满足，且其中点为M，则，

因此M点在以为圆心，1为半径的圆上，

又点M在直线上，

故直线与圆有公共点，于是，解得.

19.答案：(1)圆M的标准方程为.

(2)直线l的方程为.

解析：(1)设圆M的标准方程为.
圆心M到直线的距离为.
由题意得所以或（舍去），所以，
所以圆M的标准方程为.
(2)易知直线l的斜率存在.设直线l的方程为，
由(1)知圆心M的坐标为，半径为2，则圆心M到直线l的距离为，
所以，设点到直线l的距离为d，则，
所以，解得，
则直线l的方程为.

20.答案：（1）Q的轨迹是以CP为直径的圆，方程为

（2）直线MN的方程为；的面积

解析：（1）圆C的标准方程为，圆心，半径为，

由圆C与圆O相外切知，所以.

圆，点在圆C内，弦MN过点P，Q是MN中点，则，所以点Q的轨迹是以CP为直径的圆，方程为.

（2）连接OC，线段OC与圆O的交点为A，联立与，解得点.

若，则P，Q是以点A为圆心，AP为半径的圆与点Q的轨迹的交点，由与得，所以直线MN的方程为.

点到直线MN的距离，

.

点A到直线MN的距离，

所以的面积.