2022-2023学年河北省石家庄市元氏县音体美学校高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄市元氏县音体美学校高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若直线是曲线的一条切线，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  二项式的展开式中的常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  只用，，，四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某市政府决定派遣名干部男女分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有种(    )

A.  B.  C.  D.

6.  的展开式中的系数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色、黄色、黄色、金色、金色，其中黄色、黄色、黄色是三种不同的颜色，金色、金色是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色、黄色、黄色有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

8.  函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  如图是函数的导数的图象，则下列判断正确的是(    )

A. 在内是增函数 B. 在时取得极大值
C. 在内是增函数 D. 在时取得极大值

10.  下列求导运算错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  若，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是(    )

A. 若任意选择三门课程，选法总数为
B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为
C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  除以的余数为          ．

14.  一张节目单上原有个节目，现临时再插入，，三个新节目，如果保持原来个节目的相对顺序不变，节目要排在另外两个新节目之间也可以不相邻，则有______ 种不同的插入方法用数字作答

15.  已知函数，则曲线在处的切线方程为______．

16.  函数在区间上的最小值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
求；
求的二项展开式．

18.  本小题分
求下列函数的导数：
；
；
．

19.  本小题分
有名同学站成一排拍照．
若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？
若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？
求出现甲必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻的排法？

20.  本小题分
已知，该展开式二项式系数和为．
求的值；
求的值．

21.  本小题分
已知函数．
求函数的导数；
求函数的单调区间和极值点．

22.  本小题分
已知展开式中各项系数之和等于．
求展开式的第二项；
若的展开式的二项式系数最大的项的系数等于，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，令，
即，
得或舍去，
所以切点是，代入，
得，．
故选：．
利用导数，根据斜率求得切点坐标，进而求得．
本题考查利用导数求解切线问题，属基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，解得：．
故选：．
根据导数值直接构造方程求解即可．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项．
【解答】
解：二项式的展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开式中的常数项为，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：由已知有这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有个，
故选：．
由排列组合中的不相邻问题插空法可得：这样的五位数有个，得解．
本题考查了排列组合中的不相邻问题，属中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为若要求每组至少人，
所以有，和，两种，
若人数为，，则有种；
人数为，，则有 种；
共有，
故选：．
根据题意人数分为，和，两种，然后分别讨论计数．
本题考查组合计数，属于中档题，注意无漏无缺．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据和的展开式的通项可得，的系数为，
故选：．
根据和的展开式的通项可得的系数．
本题主要考查二项展开式的特定项的系数，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，分步进行分析：
，将黄色、黄色、黄色分成组，有种分组方法，
，将分好的组与金色、金色进行全排列，有种情况，排好后除去端，有个空位可选，
，将红色安排在中间的个空位中，有种情况，
则有种不同的涂色方案；
故选：．
根据题意，分步进行分析：，将黄色、黄色、黄色分成组，，将分好的组与金色、金色进行全排列，，将红色安排在中间的个空位中，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由函数的图象可知：
当时，单调递增，
，，，
随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，
．
故选：．
由函数的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，判断的增减性，从而求解．
本题考查导数的几何意义，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：结合导函数的图象，在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
对于，在内是先减后增，故A错误；
对于，不是函数的极值点，故B错误；
对于，在内是增函数，故C正确；
对于，在时取得极大值，故D正确．
故选：．
结合导函数的图象，求出函数的单调区间，从而判断各个选项．
本题考查了函数的单调性与极值，考查数形结合思想，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，A错误，
，B错误，
，C正确，
，D错误，
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，
所以或，解得或．
故选：．
利用组合数的计算即可求解．
本题主要考查组合数公式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：选项A：若任意选择三门课程，选法总数为，故A错误，
选项B：若物理和化学至少选一门，共有种，故B错误，
选项C：若物理和历史不能同时选，用间接排除法可得选法总数为，故C正确，
选项D：若物理和化学至少选一门，有种情况，
只选物理不选化学和历史共有种，
选化学不选物理共有种，
物理化学都选，共有种，
故总数为种，故D错误，
故选：．
选项A：根据组合的概念即可判断A错误；选项B：根据分步计数原理即可判断B错误，选项C：利用间接法可得选法总数，即可判断C正确，选项D：若物理和化学至少选一门，有种情况，分别讨论计算即可判断选项D错误．
本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了学生的分析问题的能力以及运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查二项式定理的应用，把所给的式子化为，是解题的关键，体现了转化的数学思想．
把所给的式子化为，按照二项式定理展开，可得它除以的余数．

【解答】

解：由于
，
由于前项都有因数，故所给的式子除以的余数即为除以的余数，
故所给的式子除以的余数为，
故答案为．

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，原来有个节目，有个空位，
在个空位中任选个，安排节目，有种情况，排好后有个空位，
在个空位中任选个，安排节目，有种情况，排好后有个空位，
在个空位中任选个，安排节目，有种情况，排好后有个空位，
在、、的安排方法有种，
若节目要排在另外两个新节目之间，则有种安排方法，
故答案为：．
根据题意，先由分步计数原理计算三个节目插到个节目之间的排法，进而由倍分法分析可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：函数，
可得，
，，
切点坐标，
所以切线方程：，即．
故答案为：．
求出导函数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．
本题考查函数导数的应用，切线方程的求法，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
令，可得，令，可得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以的最小值为．
故答案为：．
利用导数求出函数的单调性，从而求得最小值．
本题主要考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，属于基础题．
 

17.【答案】解：．
． 

【解析】根据组合数以及排列数，可得答案；
根据二项式定理，可得答案．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

18.【答案】解：，则，
故．
设，则，，
则，
故．
，则，
故． 

【解析】直接利用导数的计算公式和法则运算即可．
本题主要考查导数的运算，考查转化能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：根据题意，将甲乙看成一个元素，再与其他人全排列即可，
有种排法；
根据题意，分种情况讨论：
甲在最左端，有种排法，
乙在最左端，有种排法，
则共有种排法；
根据题意，甲师必须站正中间，有种情况，
若乙、丙两位同学不能相邻，即乙丙在甲的两边，有种排法；
故有种排法． 

【解析】根据题意，将甲乙看成一个整体，与其余人全排列即可，由分步计数原理计算可得答案；
根据题意，分甲在最左端和最右端两种情况讨论，由加法原理计算可得答案；
根据题意，依次分析“甲必须站正中间”和“乙、丙两位同学不能相邻”的排法，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：，该展开式二项式系数和为，．
在中，
令，可得． 

【解析】由题意，利用二项式系数的性质，求得值．
在所给的等式中，令，即可求得的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质．注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
 

21.【答案】解：．
由可得：，
令，
解得，或．
列出表格可得：

由表格可得：函数的单调递增区间为，；单调递减区间为
极大值点为极小值点为． 

【解析】利用导数运算法则可得．
由可得：，令，解得，列出表格可得函数的单调区间及其极值点．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

22.【答案】解：由于展开式中各项系数之和等于，．
故展开式的第二项为．
由于的展开式的二项式系数最大的项为第三项，，
该项的系数等于，求得． 

【解析】由题意，利用二项式系数的性质，求出值，再根据二项展开式的通项公式，求出展开式的第二项．
由题意，利用二项式系数的性质，二项展开式的通项公式，求出值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．