2023年福建省厦门市湖里区五缘实验学校中考数学适应性试卷（6月份）（含解析）

2023年福建省厦门市湖里区五缘实验学校中考数学适应性试卷（6月份）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，的长为米，与的夹角为，则高是(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

4.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如表：

如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们和的权根据四人各自的平均成绩，公司将录取(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6.  受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元升，五月底是元升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，在正六边形中，的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  一次函数的图象上随的增大而减小，则下列点可能在函数图象上的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，内接于，过点作直线，当时，直线与相切．(    )

A.
B.
C.
D.

10.  若二次函数的图象经过、、、则下列命题正确的是(    )

A. 若且，则
B. 若且，则
C. 若且，则
D. 若，则

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  四边形的外角和度数是          ．

12.  因式分解：          ．

13.  已知点，点分别是边上、的中点，若，则的长度是______ ．

14.  已知关于，的二元一次方程组，则代数式的值为______ ．

15.  党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化的首要任务在数学中，我们不妨设：在平面直角坐标系内，如果点的坐标满足，那么称点为“高质量发展点”若点是反比例函数的图象上的“高质量发展点”，则该反比例函数的解析式为______ ．

16.  如图，在边长为的正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，的中点为，连结、，现给出以下结论：；；；点在的外接圆上其中正确的结论有______ 写出所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，已知平分，求证：．

19.  本小题分
解分式方程：．

20.  本小题分
为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共名老人提供居家养老服务，收集得到这名老人的年龄单位：岁如下：

根据以上信息解答下列问题：
求甲社区老人年龄的中位数和众数；
现从两个社区年龄在岁以下的名老人甲乙社区各两名中随机抽取名了解居家养老服务情况，求这名老人恰好来自同一个社区的概率．

21.  本小题分
如图，在中，，．
尺规作图：在和上分别确定点，的位置，使得是以为底边的等腰直角三角形；保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，若，，求的长．

22.  本小题分
如图，四边形为菱形，对角线和交于点，是的外接圆，与交于点，连接．
若，的半径为，求的长；
当时，探究与的位置关系，并说明理由．

23.  本小题分
在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．

小聪测量黑球减速后的运动速度单位：，运动距离单位：随运动时间单位：变化的数据，整理得下表．

小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．
直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；
若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．

24.  本小题分
在中，，将线段绕点旋转，得到线段，连接、．
如图，将线段绕点逆时针旋转，则的度数为______；
将线段绕点顺时针旋转时，
在图中依题意补全图形，并求的度数；
若的平分线交于点，交的延长线于点，连接用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明．

 

25.  本小题分
已知抛物线：与轴于，两点，与轴交于点，为等腰直角三角形，且．
求抛物线的解析式；
将向上平移一个单位得到，点、为抛物线上的两个动点，为坐标原点，且，连接点、，过点作于点求点到轴距离的最大值；
如图，若点的坐标为，直线分别交线段，不含端点于，两点．若直线与抛物线有且只有一个公共点，设点的横坐标为，点的横坐标为，则是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，，
选项符合题意，
故选：．
根据实数的大小做出判断即可．
本题主要考查实数大小的比较，根据实数的大小做出正确的判断是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：俯视图是带圆心的圆，左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；
B.俯视图是圆，左视图是矩形，故本选项不合题意；
C.俯视图与左视图都是正方形，故本选项符合题意；
D.俯视图是三角形，左视图是矩形，故本选项不合题意．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

3.【答案】 

【解析】解：中，，
米，
米．
故选：．
直接根据的正弦可得结论．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握正弦的定义是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误，不符合题意；
B、故本选项错误，不符合题意；
C、不是同类项不能合并，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项进行判断即可得出答案．
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方以及同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：甲的平均成绩为：分，
乙的平均成绩为：分，
丙的平均成绩为：分，
丁的平均成绩为：分，
因为乙的平均分数最高，所以乙将被录取．
故选：．
首先根据权重，可知每个人的成绩可以用面试成绩笔试成绩进行计算得到；再比较四个人成绩的高低，则成绩最高的人即为公司录取的人，从而解决问题．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法，求出甲乙丙丁的成绩．
 

6.【答案】 

【解析】解：依题意得，
故选：．
利用该地号汽油五月底的价格该地号汽油三月底的价格该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：正六边形，
，
，
，
，
由对称轴可知，，
，
故选：．
根据正六边形的性质，求出正六边形每个内角的度数，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，由对称性可求出，再由三角形内角和是即可求出答案．
本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质、三角形内角和定理是正确解答的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象上随的增大而减小，
，
当，时，，得，故选项A符合题意；
当，时，不成立，故选项B不符合题意；
当，时，，得，故选项C不符合题意；
当，时，，得，故选项D不符合题意；
故选：．
根据一次函数的图象上随的增大而减小，可知，然后将各个选项中的点的横纵坐标代入解析式求出的值，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出的正负情况．
 

9.【答案】 

【解析】解：当时，直线与相切．
理由如下：
作直径交圆于点，连接．

，是同弧所对的角，
，
，
，
为直径，
，
在三角形中，，
，
，
，
是半径，
直线与相切．
故选：．
首先过点作直径，连接，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而可得到，再根据直径所对的圆周角是，可证出，再利用等量代换可得，进而得到直线与相切．
此题主要考查了切线的判定，关键是正确作出辅助线，证明．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线过点，两点，
抛物线的对称轴为，
若且，则，故选项A错误，
若且，则，故选项B错误，
若且，则，故选项C错误，
若，则，故选项D正确．
故选：．
根据、两点可确定抛物线的对称轴，再利用二次函数的性质一一判断即可．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和都是是解题的关键．根据多边形的外角和都是即可得出答案．
【解答】
解：四边形的外角和度数是，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】
解：．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：点，点分别是边上、的中点，
是的中位线，
，
．
故答案为：．
直接根据三角形中位线定理得．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
得：，
解得：，


．
故答案为：．
把方程组的两个式子相加，从而可求得的值，再代入所求的式子进行运算即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握．
 

15.【答案】或 

【解析】解：将代入中得，，
，
点是“高质量发展点“，
，
解方程组得，
或，
则该反比例函数的解析式为或．
将代入中得到关于，的方程，依据“高质量发展点”的定义得到关于，的另一个方程，解方程组即可得结果．
本题结合新定义考查了反比例函数的应用，读懂题意，正确建立方程组是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，
，，
和分别为和中点，
，
≌，
，故正确；
，，
，
，
，即，故正确；
，，
，
的中点为，
；故正确；
的中点为，
，
，
，
，
，
∽，
，而，
则和不相等，
故，
故HD与不平行，故错误；
，
，，，四点共圆，故正确，
综上所述：正确．
故答案为：．
根据正方形的性质得到，，根据和分别为和中点，得到，根据全等三角形的性质得到，故正确；根据垂直的定义得到，故正确；根据勾股定理得到，根据直角三角形的性质得到；故正确；根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，而，则和不相等，故，故HD与不平行，故错误；根据，推出，，，四点共圆，于是得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的高，直角三角形斜边中线定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】根据负整数指数幂，零指数幂，绝对值性质进行计算即可．
本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

18.【答案】证明：平分，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由是角平分线，再结合已知条件利用“”即可证明两个三角形全等．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：方程两边同乘以，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
故方程的解为． 

【解析】先两边同乘以将方程化成整式方程，再解一元一次方程，然后将所求的方程的解代入分式方程进行检验即可得．
本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．
 

20.【答案】解：甲社区：这位老人年龄出现次数最多的是岁，因此众数是岁，
从小到大排列处在中间位置的一个数是岁，因此中位数是岁；
年龄小于岁甲社区人，乙社区的有人，从人中任取人，所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中“同一个社区”的有种，
． 

【解析】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是求出概率的关键．
根据中位数、众数的意义和计算方法分别求出结果即可；
用列表法表示所有可能出现的结果情况，从而求出两人来自同一社区的概率．
 

21.【答案】解：如图，以点为圆心，以适当长为半径画弧，交，于点，，分别以点，为圆心，以适当长为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，过点作，交于点，是以为底边的等腰直角三角形；


由作图可知：，
，
，
，
，
，
，
，
是以为底边的等腰直角三角形；
是以为底边的等腰直角三角形，
，，
，，
∽，
，
设，则，，
，
解得：，
的长等于． 

【解析】以点为圆心，以适当长为半径画弧，交，于点，，分别以点，为圆心，以适当长为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，过点作，交于点，即为所求；先证，再证，即可得答案；
先证∽，得，设，则，，得，解方程即可得答案．
本题考查了尺规作图，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
 

22.【答案】解：连接，，
四边形为菱形，，
，
，
，
的长；
与相切，
理由：连接，
四边形为菱形，
，，
，
设，，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切． 

【解析】连接，，根据菱形的性质得到，求得，根据弧长公式即可得到结论；
连接，根据菱形的性质得到，，设，，得到，求得，推出，根据切线的判定定理即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，弧长的计算，菱形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：，；
令，即，
整理，得，
解得或，
当时，，
当时，舍去．
当黑球减速后运动距离为时，它此时的运动速度为；
设黑白两球的距离为，
根据题意可知，


，
，
当时，的最小值为，
黑白两球的最小距离为，大于，黑球在运动过程中不会碰到白球． 

【解析】

【分析】
设，代入，，利用待定系数法可求出和；设，代入，，，利用待定系数法可求出，，，问题得解；
令，代入所求得的关于的函数解析式，即可求出，再将代入所求得的关于的函数解析式即可求出；
设黑白两球的距离为，根据题意可知，化简，再利用二次函数的性质即可得出结论．
【解答】
设，将，代入，
得
解得
关于的函数解析式为；
设，将，，代入，
得
解得
关于的函数解析式为．
故答案为：，；
见答案；
见答案．
【点评】
本题属于函数的综合应用题，根据待定系数法求出关于的函数解析式和关于的函数解析式是解题关键．  

24.【答案】解：
依题意补全图形如图，

由旋转得：，，
，
，，
，，
；
．
证明：过点作，交的延长线于点，

，平分，
垂直平分，
，，
由知，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
在和中，

≌，
，
，
． 

【解析】解：在中，，将线段绕点逆时针旋转，
，，
，
，，
，，
，
故答案为：；
见答案．

根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质得出，，即可得的度数；
依题意可补全图形，根据旋转的性质以及等腰三角形的性质即可求解；
过点作，交的延长线于点，根据等腰三角形的性质可得出垂直平分，求出可得，，证明≌，可得，根据线段的和差即可得出结论．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 

25.【答案】解：，
点，
抛物线：，对称轴为，
，
为等腰直角三角形，为顶点，
，
，，
将代入得，
，
，
抛物线：；
将向上平移一个单位得到，
抛物线：，
设的直线解析式为，
直线与轴的交点为，
设点坐标为，，
联立方程组，
整理得，
，
过点作轴交于，过点作轴交于点，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
直线经过定点，
，
点在以为圆心，直径为的圆上运动，
点到轴距离的最大值为；
是定值，理由如下：
的坐标为，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的表达式为，
同理可得，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
联立方程组，
整理得：，
直线与抛物线只有一个公共点，
故，
解得，
直线的表达式为，
联立并解得，
联立可得，，
为常数． 

【解析】根据已知条件得到点，，，根据待定系数法即可求解；
将向上平移一个单位得到：，设的直线解析式为，设点坐标为，，联立方程组，整理得，由根与系数的关系可得，过点作轴交于，过点作轴交于点，证明∽，可得，能够确定直线经过定点，则点在以为圆心，直径为的圆上运动，所以点到轴距离的最大值为；
分别求出直线的表达式为，直线的表达式为，设直线的表达式为，联立方程组，由，可得，则直线的表达式为，联立并解得，联立可得，，可求．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．