2022-2023学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  从装有个黑球、个白球的袋中任取个球，若事件为“所取的个球中至多有个白球”，则与事件互斥的事件是(    )

A. 所取的个球中至少有一个白球 B. 所取的个球中恰有个白球个黑球
C. 所取的个球都是黑球 D. 所取的个球中恰有个白球个黑球

2.  设复数，则复数的模为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，，且与的夹角，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间单位：分钟进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在正三棱柱中，，，则四棱锥的体积是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  某校高一年级随机抽取名男生，测得他们的身高数据，如下表所示：

那么这组数据的第百分位数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  从数字，，，中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被整除的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知正四面体的棱长为，则其外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

10.  已知为的一个内角，向量，若，则角等于．(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  某个年级有男生人，女生人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一介容量为的样本，则此样本中女生人数为______ ．
 

12.  已知为虚数单位，复数的共轭复数为______ ．

13.  已知向量，，则在方向上的投影向量为______ ．

14.  已知正三棱柱，为的外心，则异面直线与所成角的大小为______ ．

15.  在矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
复数．
若为纯虚数求实数的值，及在复平面内对应的点的坐标；
若在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围．

17.  本小题分
甲、乙、丙三人进行投球练习，每人投球一次已知甲命中的概率是，甲、丙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是若每人是否命中互不影响．
求乙、丙两人各自命中的概率；
求甲、乙、丙三人中不少于人命中的概率．

18.  本小题分
已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
求实数的值；若，，求的坐标；
已知点，在的条件下，若四点构成平行四边形，求点的坐标．

19.  本小题分
已知的内角，，的对边分别是，，，且，．
求角；
求周长的取值范围．

20.  本小题分
如图，四棱锥的底面为菱形，，，分别为和的中点．
求证：平面；
求证：平面平面．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从装有个黑球、个白球的袋中任取个球，
事件为“所取的个球中至多有个白球”即所取的个球是黑或黑白，
与事件互斥的事件是所取的个球中恰有个白球个黑球．
故选：．
事件为“所取的个球中至多有个白球”即所取的个球是黑或黑白，由此能求出与事件互斥的事件．
本题考查样本中最大的编号的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
故选：．
由平面向量数量积的运算可得：，然后求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由频率分布直方图可知：每组频率依次为，，，，，
则，
解得．
故选：．
根据题意结合频率和为列式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连结，，

面，面，，
，所以平面，所以为四棱锥的高，
矩形的面积为，
所以四棱锥的体积，
故选：．
由已知得为四棱锥的高，再运用棱锥的体积公式可得选项．
本题主要考查锥体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：将身高按升序排列得：，，，，，，，，，，，，，，，
因为，
所以这组数据的第百分位数是．
故选：．
根据百分位数的定义运算求解．
本题主要考查了百分位数的定义，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：从数字，，，中任取三个不同的数字，方法有：，，，共种，
其中所抽取的三个数字之和能被整除的有：共种，
故所求概率为．
故选：．
利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为正四面体的棱长为，所以底面三角形的高为，
棱锥的高为，
设外接球半径为，
则，解得，
所以外接球的表面积为．
故选：．
由正四面体的棱长，求出正四面体的高，设外接球半径为，利用勾股定理求出的值，可求外接球的表面积．
本题考查了正四面体外接球的表面积计算，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．
对于，与相交、平行或异面；对于，与平行或异面；对于，不一定垂直；对于，由面面垂直的判定定理得．

【解答】

解：三条不同的直线，，和两个不同的平面，，
对于，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；
对于，若，，则与平行或异面，故B错误；
对于，若，，则不一定垂直，故C错误；
对于，若，，则由面面垂直的判定定理得，故D正确．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：，，，
则，即，解得或舍去，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得：样本中女生人数为．
故答案为：．
根据分层抽样的性质运算求解．
本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
所以复数的共轭复数为．
故答案为：．
根据复数的运算结合共轭复数的概念求解．
本题主要考查了复数的运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
所以在方向上的投影向量为．
故答案为：．
先根据向量的坐标运算求，进而求投影向量．
本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：延长交于点，
因为为正三角形，则点为的中点，可得，
又因为平面，平面，可得，
且，，平面，可得平面，
由于平面，所以，即，
所以异面直线与所成角的大小为．
故答案为：．
根据异面直线夹角的定义结合线面垂直分析求解．
本题考查异面直线的夹角相关知识，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：以为基底向量，
则，
，
因为，，且，
则，
所以．
故答案为：．
以为基底向量表示，再根据垂直关系结合数量积的运算律运算求解．
本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
 

16.【答案】解：若为纯虚数，
则，即，此时复数在复平面内对应的点的坐标；
由得
因为在复平面内对应的点位于第三象限，
所以，
解得． 

【解析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的概念求出对应点的坐标得答案；
结合的化简及复数的几何意义可求．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

17.【答案】解：记“甲投球命中”为事件，“乙投球命中”为事件，“丙投球命中”为事件，
则，解得，
，解得，
所以乙、丙两人各自命中的概率分别为、．
甲、乙、丙三人中人命中的概率
，
甲、乙、丙三人中都命中的概率，
所以甲、乙、丙三人中不少于人命中的概率． 

【解析】根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算求解；
分甲、乙、丙三人中人命中和甲、乙、丙三人中都命中两种情况，结合独立事件的概率乘法公式运算求解．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
 

18.【答案】解：，
，，三点共线，
存在实数，使得．
即，
得．
，是平面内两个不共线的非零向量，
，
解得，．
．
、、、四点构成平行四边形，
．
设，则，
又，
，
解得，
点的坐标为． 

【解析】本题考查平面向量的坐标运算，有一定的思维量，属于中档题．
通过几何法将向量转化为两向量的和，再将所得向量坐标化，即可得正确结论；
由已知几何条件得到向量间关系，再坐标化得到点的坐标，即本题答案．
 

19.【答案】解：因为，
由正弦定理可得，
整理得，
由余弦定理可得，
又，
所以．
由正弦定理，
可得，
则周长

，
因为，
则，
可得
所以周长
即周长的取值范围为． 

【解析】根据题意结合正、余弦定理运算求解；
利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，再根据三角函数的性质运算求解．
本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】证明：取的中点，
是的中点，
，且，
又底面是菱形，是中点，
，且，
，且，
四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，
平面；
设，则是中点，
底面是菱形，
，
又，是中点，
，
又，平面，平面，
平面，
平面，
平面平面． 

【解析】只需证明四边形是平行四边形，即可得到，由此得证；
只需证明平面，再利用面面垂直的判定可得出结论．
本题考查线面平行及面面垂直的判定，考查逻辑推理能力，属于基础题．