2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  直线的一个方向向量是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是(    )

A.  B. ，，
C. ，， D.

3.  “巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于而早在世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献若第一个单音的频率为，则第四个单音的频率为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  “点在圆外”是“直线与圆相交”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.  第届亚运会将于年月日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者甲、乙等人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需名志愿者，每人至多参加一个项目若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

6.  ，两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息小组根据表中数据，直接对作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数小组先将数据按照变换，进行整理，再对，作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  设，，，是半径为的球的球面上的四个点设，则不可能等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  设椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的一点，记为的内心直线交轴于点，，且，则椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  若函数导函数的部分图象如图所示，则(    )

A. 是的一个极大值点
B. 是的一个极小值点
C. 是的一个极大值点
D. 是的一个极小值点

10.  抛掷一枚质地均匀的骰子六个面上的数字是、、、、、，抛掷两次设事件：“两次向上的点数之和大于”，事件：“两次向上的点数之积大于”，事件：“两次向上的点数之和小于”，则(    )

A. 事件与事件互斥 B.
C.  D. 事件与事件相互独立

11.  设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是(    )

A. 双曲线离心率的最小值为
B. 离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C. 若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D. 若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值

12.  已知曲线，，及直线，下列说法中正确的是(    )

A. 曲线在处的切线与曲线在处的切线平行
B. 若直线与曲线仅有一个公共点，则
C. 曲线与有且仅有一个公共点
D. 若直线与曲线交于点，，与曲线交于点，，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  展开式中，项的系数为______．

14.  曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率已知，则曲线在点处的曲率为______ ．

15.  已知数列满足，，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为______ ．

16.  设函数，则使得成立的的取值范围是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，在四面体中，，，，，．
求证：、、、四点共面．
若，设是和的交点，是空间任意一点，用、、、表示．

18.  本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式．
若中的部分项组成的数列是以为首项，为公比的等比数列，求数列的前项和．

19.  本小题分
如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，．

证明：平面平面；
求二面角的正弦值．

20.  本小题分
第届亚运会将于年月日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设至年地铁运行的里程数达到公里，排位全国第六同时，一张总长公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．
一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究请完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？精确到
单位：人

国际友人来杭游玩，每日的行程分成段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第段行程上坐地铁的概率为，易知，
试证明为等比数列；
设第次选择共享单车的概率为，比较与的大小．
附：，．

21.  本小题分
设抛物线：，过焦点的直线与抛物线交于点，当直线垂直于轴时，．
求抛物线的标准方程．
已知点，直线，分别与抛物线交于点，．
求证：直线过定点；
求与面积之和的最小值．

22.  本小题分
设函数，若曲线在处的切线方程为．
求实数，的值．
证明：函数有两个零点．
记是函数的导数，，为的两个零点，证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了直线的方向向量，属于基础题．
先根据直线方程得直线的斜率，再根据斜率可得直线的方向向量．

【解答】

解：依题意，直线的斜率为，
则直线的一个方向向量为，
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：，
则共面，故不能构成基底，故A错误；
，因此向量，，共面，故不能构成基底，故B错误；
假设，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；
，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误．
故选：．
根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项．
本题主要考查空间向量基底的概念，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为，公比为的等比数列，
第四个单音的频率为．
故选：．
先将所要解决的问题转化为：求首项为，公比为的等比数列的第项，再利用等比数列的通项公式求得结果即可．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查点与圆、直线与圆位置关系的判定及应用，考查充分必要条件的判定，属于基础题．
由点在圆外，得到，求出圆的圆心到直线的距离，比较与半径的大小即可．

【解答】

解：若点在圆外，则，
圆的圆心到直线的距离，
与半径的大小无法确定，
不能得到直线与圆相交，充分性不成立，
若直线与圆相交，
则圆的圆心到直线的距离，
即，点在圆外．
点在圆外是直线与圆相交的必要不充分条件．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：先从除甲外的人中选人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，
若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有种．
故选：．
先从除甲外的人中选人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，利用排列、组合知识计算求解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由统计学知识可知，越大，拟合效果越好，
又小组的决定系数，小组的决定系数，
小组的拟合效果好，则回归方程为，
又，，，即．
故选：．
由统计学知识可知，越大，拟合效果越好，由此可得回归方程，整理得结论．
本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，
且，所以，
而，当且仅当，，同时时，等号成立，
而，，，在球面上，不可能共线，即，，不同向，
所以，
且，，均小于直径长，即，
综上，，
根据选项可知不符合．
故选：．
根据条件，得到，利用判断等号成立条件，确定不可能取的值．
本题主要考查了向量模长的性质，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：不妨设点位于第一象限，如图所示，
因为为的内心，所以为的角平分线，
所以，因为，所以，
设，则，由椭圆的定义可知，，
可得，所以，，
又因为，
所以，在中，由余弦定理可得，
，
所以，则．
故选：．
先利用角平分线性质得到，设，则，根据椭圆定义得到，然后利用平面向量的数量积和余弦定理即可求解．
本题考查椭圆的性质，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象可知，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故，是的极大值点，是的极小值点，不是的极值点．
故选：．
由已知结合函数的图象，分析导数的正负，然后结合导数与单调性及极值关系分析各选项即可判断．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛掷一枚质地均匀的骰子六个面上的数字是、、、、、，抛掷两次，
设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为、，
以为一个基本事件，则基本事件的总数为，
事件包含的基本事件有：、、、、、、、
、、、、、、、，共种，
事件包含的基本事件有：、、、、、，共种，
事件包含的基本事件有：、、、、、、、
、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、
、、，共种，
对于，事件与事件互斥，故A正确；
对于，事件包含的基本事件有：、、、、、，共种，
所以，，故B错误；
对于，，故C正确；
对于，，，
事件包含的基本事件有：、、、、、、、
、，共种，
所以，，故D错误．
故选：．
列举出事件、、所包含的基本事件，利用互斥事件的定义可判断选项；利用古典概型的概率公式可判断选项；利用条件概率公式可判断选项；利用独立事件的定义可判断选项．
本题主要考查条件概率，独立事件，互斥事件与对立事件，考查运算求解能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得，因为，
所以，即，当且仅当，即时，等号成立．
此时双曲线方程是，渐近线方程是故A，B正确；
设直线为代入双曲线，
可得，
又双曲线的渐近线方程为，
直线方程代入可得，
直线与双曲线右支交于两点，，与渐近线交于两点，，在，两点之间，
、的中点重合，，故C正确．
当，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为，
设，故双曲线在的切线方程为，
与联立可得的横坐标为，
与联立可得的横坐标为，

为定值，故D正确．
故选：．
利用双曲线的几何性质，依据每项的条件逐项计算可判断其正确性．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于选项：，，，
所以曲线在处的切线为：；
同理，，，曲线在处的切线为，
即曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，正确；
对于选项：，令，解得，
所以曲线在上单调递增，在上单调递减，，
又当时，当时，
若直线与曲线仅有一个公共点，则或，错误；
对于选项：曲线的定义域为：，，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
所以曲线与曲线的大致图像为：

易知当时，，，即曲线与曲线在区间上无交点；
当时，单调递减，单调递增，且，
，即曲线与曲线在区间上有一个交点；
当时，记，，当时恒成立，
即在上单调递增，即，即，
又曲线在上单调递减，所以，即，
即恒成立，即曲线与曲线在区间上没有交点；
所以曲线与有且仅有一个公共点，正确；
对于选项：当直线经过曲线与的交点时，恰好有个公共点，
且，，
由，所以，
由，所以，
即，正确．
故选：．
对与选项，分别求出在处的切线与在处的切线即可判断；
对于选项，求出，即可判断出曲线的单调性，画出草图则可判断；
对于选项，画出曲线与的草图，即可判断；
对于选项，借助图像可知直线过曲线与的交点，由此即可得出，则可得，，，则可得出．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，二项展开式的通项为，二项展开式的通项为，
令，解得，因此，项的系数为，
故答案为：．
将二项式变形为，然后利用二项式定理分别计算出和的展开式中项的系数，再将两系数相减即可得出答案．
本题考查二项式定理，考查对定理的理解以及计算能力，属于中等题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，，
则，，
所以曲线在点处的曲率为．
故答案为：．
求出原函数的导函数与导函数的导函数，然后代入题中公式即可求出答案．
本题主要考查导数的运算和曲率的定义，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，
所以



所以，
因为，所以，即，解得，
因为，所以正整数的最小值为．
故答案为：．
根据对数运算和递推公式可得数列的通项公式，然后对数运算结合累乘法可得，解不等式可得答案．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由向右平移个单位，得为偶函数，
所以关于轴对称，
所以关于对称，
当时，，
当时，因为，所以，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由得，即，解得，
所以使得成立的的取值范围是．
故答案为：．
利用函数的平移变换及偶函数的性质的应用，再利用导函数的正负与函数单调性的关系及绝对值不等式的解法即可求解．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的应用，解决本题的关键是利用函数的平移变换及偶函数的性质应用，再利用导数法求出函数的单调性及绝对值的解法，属于中档题．
 

17.【答案】证明：因为，
，
所以，则，因此、、、四点共面．
解：由知，，，因此，
、不在同一条直线上，
，
则，则，即，
当时，，即，可得，
因为，即，可得，
所以，
． 

【解析】证明出，即可证得结论成立；
由可得出，可得出，则，由此可得出，再结合空间向量的线性运算可得出关于、、、的表达式．
本题主要考查共线向量与共面向量，考查转化能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设差数列的公差为，则由，
可得，解得，因此．
由，得，
又由是以为首项，为公比的等比数列，得，因此，
所以，所以． 

【解析】利用等差数列的前项和及通项公式基本量计算即可；
利用等比数列概念及通项公式求出的通项公式，再利用等比数列求和公式求解即可．
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的求和，考查运算求解能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：证明：取中点，连接，，则．
，，为等边三角形，
，
，，
，，
，，平面，
平面，
平面，
平面平面．
由题可知二面角的正弦值与二面角正弦值相等．
平面，过作于点，连接，
即为所求二面角的平面角，
，，
．
故二面角的正弦值为．
 

【解析】本题主要考查面面垂直的证明，二面角的相关计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
取中点，连接，，证明平面即可；
由题可知二面角的正弦值与二面角正弦值相等．过作于点，连接，即为所求二面角的平面角，解三角形即可．
 

20.【答案】解：列联表如下：

零假设为：城市规模与出行偏好地铁无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于；
证明：第段行程上坐地铁的概率为，
则当时，第段行程上坐地铁的概率为，不坐地铁的概率为，
则，
从而，
又，所以是首项为，公比为的等比数列；
由可知，
则，又，故． 

【解析】根据题意即可完成列联表，再根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论；
根据全概率公式结合等比数列的定义即可得出结论；
先求出的表达式，进而可求出，，即可得解．
本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意，当直线垂直于轴时，，代入抛物线方程得，
则，
所以，即，
所以抛物线：．
设，，
直线，
与抛物线：联立，得，因此，．
设直线：，与抛物线：联立，得，
因此，，则同理可得．
所以，
因此直线：，由对称性知，定点在轴上，
令得，

，
所以直线过定点．
因为，
，
所以，
当且仅当时取到最小值． 

【解析】利用弦长求解，即可求解抛物线方程；
设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点；
利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可．
本题主要考查直线与抛物线的综合，考查转化能力，属于难题．
 

22.【答案】解：由题意可得，
由切线方程可知其斜率为，
所以，解得．
证明：由可得，所以；
函数有两个零点即函数有两个零点．
，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
又，，，
所以，，
由零点存在定理可得使得，
使得，
所以函数有两个零点．
证明：由知，
可得且．
要证明，即证明，
即证明．
令，
则，
因此单调递减，则因此，
即，又，所以；
即，又，，且在上单调递增，
因此，即命题得证． 

【解析】利用导数的几何意义代入即可得，的值；
根据导函数判断出函数单调性，由零点存在性定理即可证明结论；
利用中的结论，结合单调性并构造函数并求其单调性，即可实现不等式证明．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数零点个数的判断，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．