【暑假培优训练】2023年人教版数学八年级（八升九）暑假第13天 《一元二次方程的根与系数的关系》提升训练

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第13天：一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1．一元二次方程(m+1)x2-2mx+m2-1＝0有两个异号根，则m的取值范围是（       ）
A．m＜1 B．m＜1且m≠-1
C．m＞1 D．-1＜m＜1
【答案】B
【解析】设方程两根为x1，x2，根据一元二次方程的定义和根与系数的关系求解即可．
【详解】解：设方程两根为x1，x2，
根据题意得m+1≠0，
，
解得m＜1且m≠-1，
∵x1•x2＜0，
∴Δ＞0，
∴m的取值范围为m＜1且m≠-1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
2．已知方程，下列判断正确的是（       ）
A．方程两实数根的和等于3 B．方程两实数根的积等于
C．方程有两个不相等的实数根 D．方程无实数根
【答案】D
【解析】根据一元二次方程根的判别式可以得到进行求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程为，
∴，，，
∴，
∴此方程无实数根，
故选D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式．
3．若、是一元二次方程的两个根，且，那么这个一元二次方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设这个一元二次方程为，则由题意可得，，由此即可得到答案．
【详解】解：设这个一元二次方程为，
∵、是一元二次方程的两个根，且，，
∴，，
∴，，
∴这个一元二次方程为，
故选D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．
4．若、是关于x的一元二次方程的两个实数根，，则必有（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先根据根与系数的关系计算x1+x2，x1•x2的值，再根据，得出x1+x2＜0，从而得出m和n的范围；
【详解】解：∵
∵
∵x1，x2是一元二次方程的两个实数根，
∴x1+x2=m-1，x1•x2=n-2，
∵，
∴，，
∴x1+x2=m-1＜0，x2＜0，
∴m＜1，x1•x2＞0，
∴n-2＞0，
∴n＞2，
故选：C
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，．
5．设是一元二次方程的两根，则（       ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握该知识是解题的关键．
6．已知一元二次方程的两根为，则（       ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】A
【解析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出，，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：∵方程的两根是、，
∴，即，
∴原式．
故选A.
【点评】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，利用根与系数的关系及一元二次方程的解，得出，是解题的关键．
7．设方程的两根分别是，，则的值为（       ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．
【详解】解：由可知，其二次项系数，一次项系数，
∴，
故选A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过根与系数的关系提升解题效率．
8．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【答案】B
【解析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.
【详解】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：
【点评】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.
9．已知x1，x2是一元二次方程2x2－3x＝5的两个实数根，下列结论错误的是（　　）
A．2－3x1＝5 B．（x1－x2）（2x1＋2x2－3）＝0
C．x1＋x2＝ D．x1x2＝
【答案】D
【解析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可．
【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2-3x=5的两个实数根，
∴，故A正确，不符合题意；
这里a=2，b=-3，c=-5，
∴，，
∵，
∴，
∴，故B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握根与系数的关系，，是解题的关键．
10．若m，n是方程x2－x－2 022＝0的两个根，则代数式（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022）的值为（       ）
A．2 023 B．2 022 C．2 021 D．2 020
【答案】B
【解析】【详解】解：∵m、n是方程x2-x-2022=0的两个根，
∴m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022，
∴m2-m=2022，n2-n=2022，
∴（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022）
=（m2-m-m-2022）(-(n2-n)+n+2022)
=(2022-m-2022)((-2022+n+2022)
=-mn
=2022，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，能根据已知条件得出m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022是解此题的关键．
11．若a，b是方程的两根，则（       ）
A．2016 B．2017 C．2014 D．2019
【答案】C
【解析】利用根与系数的关系，推出a＋b的值，然后求解即可．
【详解】解：a，b是方程的两根，
，
，
故选：C．
【点评】本题考查根与系数的关系，一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
12．一元二次方程和这两个方程的所有实数根之和为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，即可求解．
【详解】解：设一元二次方程的两个根为：x1和x2，
∴x1+x2=1，
∵中，∆=，
∴该方程无解，
∴这两个方程的所有实数根之和为1，
故选D．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系以及判别式，熟练掌握（a≠0）的两根之和x1+x2=，是解题的关键．
13．若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（       ）
A．4 B．5 C．6 D．12
【答案】C
【解析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，
∴m＋n＝−3，mn＝−9，
∵m是x2＋3x−9＝0的一个根，
∴m2＋3m−9＝0，
∴m2＋3m＝9，
∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−，x1•x2=．
14．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．若，则m的值是（       ）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
【答案】A
【解析】先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出m的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴，
解得：m>−1且m≠0，
∵x1、x2是方程mx2−(m+2)x+=0的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴m=2或−1，
∵m>−1，
∴m=2．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于m的不等式组；(2)牢记，．
15．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则（　　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】先根据根与系数的关系得到，，再把转化成含m+n和mn的代数式的形式，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】根据题意得，，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程()的两根时，，．
二、填空题
16．已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1＝2，x2＝3，则一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的两个实数根为x3＝________，x4＝________．
【答案】     ##0.5    
【解析】将和的值代入原方程求出a、b、c之间的关键，再利用三者关系求解即可得解.
【详解】解：将和代入，
可得：，解得：，
将代入，
可得：，
由题意可知a≠0，则可变为：，
即有，解得：，
故答案为：①，②．
【点评】本题考了一元二次方程的系数的知识，通过发方程的根求出各项系数之间的关系，再将其代入新的一元二次方程求解，本题要注重整体代入的思想．
17．设方程x2+x-2＝0的两个根为α，β，那么α+β的值等于_____．
【答案】-1
【解析】直接利用根与系数的关系可得答案．
【详解】解：∵方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，
，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
18．方程的两个根是、，且，则__________．
【答案】1
【解析】将变形为：，运用一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：的两个根是、，
∴，，
，
，
∴，
解得：，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
19．若，是方程是方程的两个实数根，则代数式的值等于___________．
【答案】2028
【解析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入原式=计算可得．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，即，
则原式=   
=   
=
=
=．
故答案为：2028．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
20．已知，m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___．
【答案】2020
【解析】根据一元二次方程根的定义得到m2+m=2021，则m2+2m+n=2021+m+n，再利用根与系数的关系得到m+n=-1，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是一元二次方程x2+x-2021=0的实数根，
∴m2+m-2021=0，
∴m2+m=2021，
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2021+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x-2021=0的两个实数根，
∴m+n=-1，
∴m2+2m+n=2021-1=2020．
故答案为：2020．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．
三、解答题
21．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（1）；          （2）．
【答案】（1），；（2），
【解析】直接根据根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵
∴，；
（2）∵
∴，．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟悉相关性质是解题的关键．
22．如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是20吗？为什么？
【答案】不可能是20，理由见解析
【解析】利用一元二次方程根与系数关系，可得到方程的两根之和，再运用三角形成立的条件判断即可．
【详解】解：利用根与系数的关系可知方程的两根之和为，
这个三角形的两边之和为17，
第三边应小于17，
答：这个三角形的第三边的长不可能是20．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，涉及三角形成立的判断，属于基础题，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题关键．
23．小明、小华、小亮分别求出了方程的根．
小明：；
小华：；
小亮：．
谁的答案正确？说说你的判断方法．
【答案】小明、小华的答案错误，小亮的答案正确，判断方法见解析
【解析】先利用一元二次方程根与系数的关系，求出和，之后与题中三人答案进行运算对比即可．
【详解】解：，
根据韦达定理：，，
小明：，不满足，
∴小明的答案错误；
小华：，，不满足，
∴小华的答案错误；
小亮：，，满足韦达定理，
∴小亮的答案正确；
∴小明、小华的答案错误，小亮的答案正确．
判断方法：先利用一元二次方程根与系数的关系，求出和，然后用三人答案进行运算对比即可得出三人答案的错误与正确．
【点评】题目主要考查求解一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题关键．
24．已知方程的一个根是3，求它的另一个根．
【答案】
【解析】设另一个根是，则由根与系数的关系可的结果．
【详解】解：设另一个根是，
则由根与系数的关系，得，
解得．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知是解题的关键．
25．设是一元二次方程的两根，
（1）试推导；
（2）求代数式的值．
【答案】（1）推导见解析；（2）0．
【解析】（1）利用一元二次方程的求根公式表示出 ，再代入所求式子，即可推导出结论；
（1）根据题意可得：，，然后将原式变形为，从而得到，即可求解．
【详解】解：（1）∵是一元二次方程的两根，
∴ ，，
∴；
；
（2）∵是一元二次方程的两根，
∴，，



．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数之间的关系的推导过程和方程的解的定义求解，熟练掌握一元二次方程的求根公式，并理解一元二次方程解的含义是解题的关键．
26．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根．
(1)若这个方程有一个根为-1，求m的值；
(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m的取值范围；
(3)已知Rt△ABC的一边长为7，x1，x2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m的值．
【答案】(1)m的值为1或-2
(2)-2＜m＜1
(3)m＝或m＝
【解析】（1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值；
（2）首先用m表示出方程的两根，然后列出m的不等式组，求出m的取值范围；
（3）首先用m表示出方程的两根，分直角△ABC的斜边长为7或2m+3,根据勾股定理求出m的值.
(1)
解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根为-1，
∴将x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0．
解得m＝1或m＝-2．
∴m的值为1或-2．
(2)
解：∵x2-4mx+4m2＝9，
∴(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3．
∴x1＝2m+3，x2＝2m-3．
∵2m+3＞2m-3，
∴
解得-2＜m＜1．
∴m的取值范围是-2＜m＜1．
(3)
解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的两根分别为2m+3，2m-3．
若Rt△ABC的斜边长为7，
则有49＝(2m+3)2+(2m-3)2．
解得m＝±．
∵边长必须是正数，
∴m＝．
若斜边为2m+3，则(2m+3)2＝(2m-3)2+72．
解得m＝．
综上所述，m＝或m＝．
【点评】本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般.
27．关于x的一元二次方程x2－（k－3）x－2k＋2＝0
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两根分别为x1，x2，且x1＋x2＋x1x2＝2，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)-3
【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=（k+1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，再将它们代入x1+x2+x1x2=2，即可求出k的值．
(1)
证明：∵Δ=b2-4ac
=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）
=k2+2k+1
=（k+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)
解：由根与系数关系得x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，
∵x1+x2+x1x2=2，
∴k-3+（-2k+2）=2，
解得k=-3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2=-，x1•x2=．
28．已知、是方程的两个实根，是否存在常数k，使成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】不存在．理由见解析
【解析】根据根与系数关系列出关于k的方程，根据方程有实数根列出关于k的不等式，求解即可．
【详解】解：不存在．
∵、是方程的两个实根，
∴，即，
解得，；
由题意可知，，
∵，
∴，解得，经检验，是原方程的解，
∵，
∴不存在常数k，使成立．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数关系和解方程，解题关键是根据根与系数关系列出方程并求解，注意：根的判别式要大于或等于0．