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【暑假培优训练】2023年人教版数学八年级（八升九）暑假第08天 《平行四边形》提升训练
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第08天：平行四边形
一、单选题
1．如图，在中，，D，E分别是边AC，BC的中点，点F在DE上，且，则DF的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵点D，E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵AB=14，
∴DE==7，
∵∠BFC=90°，BC=8，
∴EF= =4，
∴DF=DE−EF=7−4=3，
故选A.
【点评】题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形中位线定理及直角三角形斜边上中线性质是解题的关键．
2．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形 D．对角线相等的四边形
【答案】B
【解析】根据三角形的中位线性质得到得到EHFGBD，EFACHG，由此推出AC⊥BD．
【详解】解：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EHFGBD，EFACHG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故选B．
【点评】此题考查了三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半，熟记三角形中位线的性质定理是解题的关键．
3．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边BC上的一个动点，OE⊥OF，交边AB于点F，点G，H分别是点E，F关于直线AC的对称点，点E从点C运动到点B时，图中阴影部分面积的大小变化是（ ）
A．先增大后减小 B．先减小后增大
C．一直不变 D．不确定
【答案】C
【解析】连接BD，证明△FOB≌△EOC，同理得到△HOD≌△GOC，即可得到答案．
【详解】解：连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC = 90°，，
∴∠BOЕ+∠EOC=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠BOE+ ∠FOB = 90°，
∴∠FOB = ∠EOC，
在△FOB和△EOC，
，
∴△FOB≌△EOC，
同理，△HOD≌△GOC，
∴图中阴影部分的面积=△ABD的面积=正方形ABCD的面积．
∴阴影部分面积的大小一直不变．
故选：C．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，四边形ABCD是矩形
B．当时，四边形ABCD是菱形
C．当时，四边形ABCD是菱形
D．当时，四边形ABCD是正方形
【答案】D
【解析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当时，利用对角线相等的平行四边形是矩形，可知四边形ABCD是矩形，
故A选项正确；
当时，利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知四边形ABCD是菱形，
故B选项正确；
当时，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知四边形ABCD是菱形，
故C选项正确
当时，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知四边形ABCD是矩形，
故D选项错误；
故选：D．
【点评】此题考查平行四边形的性质，正方形的判定、矩形的判定和菱形的判定，掌握正方形的判定、矩形的判定和菱形的判定定理是解题关键．
5．图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，O为AE，DF的交点，S△ABC＝8 ，则S菱形ADEF＝（ ）
A．4 B．4 C．4 D．4
【答案】C
【解析】根据菱形的性质，结合AB=AC，得出DF为△ABC的中位线，DF∥BC，，从而得出AE为△ABC的高，得出，再根据菱形的面积公式，即可得出菱形的面积．
【详解】解：∵四边形ADEF为菱形，
∴EF∥AB，DE∥AC，AF=EF=DE=AD，AE⊥DF，
∴，，
，
，
，
∴CF=EF，DE=DB，
，，
∴DF∥BC，，
，
，
，
，
，
即，
，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，菱形的面积，三角形面积的计算，根据菱形的性质和等腰三角形的性质得出DF为△ABC的中位线，是解题的关键．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为（ ）
A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm
【答案】D
【解析】根据菱形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：∵菱形的对角线AC与BD相交于点O，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
∵AC=6cm，BD=8cm，
∴在Rt△AOB中，AO=3cm，BO=4cm，∠AOB=90°，
由勾股定理得：AB==5cm，
∴菱形的周长为4×5=20cm，
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解答的关键．
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．四条边都相等的四边形是矩形
C．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【答案】D
【解析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项，
【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A是假命题，不符合题意；
B、四条边都相等的四边形是菱形，故选项B是假命题，不符合题意；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项C是假命题，不符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定和性质，解题的关键是记住特殊四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
8．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M，只需要证明△ANP≌△FPE得到AP=EF，∠PFE=∠BAP即可判断①④；根据三角形的内角和定理即可判断②；根据P的任意性可以判断③；根据AP=EF，当AP最小时，EF有最小值，即可判断⑤；
【详解】解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP=∠CBD，∠ABC=90°，AB=BC，
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴∠PNB=∠NBE=∠PEB=90°，PN=PE，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF=90°，四边形BCFN是矩形，
∴NP=EP=BE，BC=NF，
∴AN=PF，
在△ANP与△FPE中，
，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP（故①④正确）；
在△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM，
∴∠PMF=∠ANP=90°，
∴AP⊥EF，（故②正确）；
∵P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形不一定成立，（故③错误）；
∵AP=EF，
∴当AP⊥BD时，AP有最小值即EF有最小值，
∵AB=AD，AP⊥BD，
∴此时P为BD的中点，
又∵∠BAD=90°，
∴，即EF的最小值为（故⑤正确）
故正确的是：①②④⑤．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，正确证明△ANP≌△FPE，以及理解P的任意性是解决本题的关键．
9．如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝16，∠A＝60°，O为BD的中点，E为边AB上一动点，以2cm/s的速度从A点向B点运动，运动时间为ts，连接EO并延长交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（ ）
A．四边形DEBF为平行四边形
B．若t＝4，则四边形DEBF为菱形
C．若t＝2，则四边形DEBF为矩形
D．若t＝6，则四边形DEBF为正方形
【答案】D
【解析】由▱ABCD，得EBFD，再证△BOE≌△DOF（AAS），得BE=DF，即可得出四边形BEDF是平行四边形，可以判定A；当t=4时，则AE=2t=8，证△ADE是等边三角形，DE=AE=8，再因四边形DEBF是平行四边形，所以四边形DEBF是菱形，可判定B；当t=2时，则AE=2t=4，同理可得四边形DEBF是菱形，可判定C；当t＝6时，则AE=2t=12，在AE上截取AG=AD=8，连接DG，证∠BED>120°≠90°，所以四边形DEBF不可能是正方形，可判定D．
【详解】解：A、∵▱ABCD，
∴ABCD，即EBFD，
∴∠BEO=∠DFO，∠EBO=∠FDO，
∵OB=OD，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
故此选项正确，不符合题意；
B、当t=4时，则AE=2t=8，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠A=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AD=AB=8，
∴AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AE=8，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；
故此选项正确，不符合题意；
C、当t=2时，则AE=2t=4，
∴，，
，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABD，
∴∠AED=∠ADB=90°，
∴∠BED=90°，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形；
故此选项正确，不符合题意；
D、当t＝6时，则AE=2t=12，
在AE上截取AG=AD=8，连接DG，如图，
∵∠A=60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠AGD=60°，
∴∠AED<60°，
∴∠BED>120°≠90°，
∴四边形DEBF不可能是正方形；
故此选错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定是解题的关键．
10．如图，在矩形，对角线与相交于点，于点，交于点，若的周长为8，，则的长为 （ ）
A．2 B．5.5 C．5 D．4
【答案】C
【解析】由矩形的性质可得AO＝CO，由线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BC＝AD，
∵EO⊥AC，
∴AE＝EC，
∵△ABE的周长为8，
∴AB+AE+BE＝8，
∴3+BC＝8，
∴AD ＝BC＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握矩形的性质是本题的关键．
11．如图所示，E是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是F、G，若，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】C
【解析】先用正方形的性质判断出△ABE≌△CBE，得出AE=CE，然后判断出四边形EFCG是矩形，用勾股定理求出CE即可．
【详解】解：如图，连接CE，
∵四边形是正方形，BD是对角线，
∴∠BCD=90°，∠ABE=∠CBE=45°，AB=BC，
在△ABE和△CBE中
，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，
∵EF⊥BC，EG⊥CD，
∴∠EGC=∠CFE=90°，
∴∠EGC=∠CFE=∠BCD=90°，
∴四边形EFCG是矩形，
∴EF=CG=4，
根据勾股定理得，CE=，
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及矩形的判定和性质，解决本题的关键是判断出AE=CE．
12．如图，矩形ABCD中，AB=2，E是AC的中点，∠AED=120°，则AD长为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】A
【解析】过点E作，由矩形的性质结合题意可知点E为矩形ABCD对角线交点，即得出．由∠AED=120°，可求出．又可判断EF为中位线，即得出，点为AD中点．最后根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求出AD长．
【详解】如图，过点E作，
∵矩形ABCD中，E是AC的中点，
∴点E为矩形ABCD对角线交点，
∴．
∵∠AED=120°，
∴．
∵，
∴
∴EF为中位线，
∴，点为AD中点，
∴，
∴．
故选A
【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理．正确的作出辅助线是解题关键．
13．正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形与正方形ABCD的边长相等．在正方形绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是2，则AD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】设AB与OA′交于点E，BC与OC′交于点F，证明△EOB≌△FOC，则△EOB面积=△FOC面积，由此可得四边形EBFO面积=△OBC面积，据此解答即可．
【详解】解：设AB与OA′交于点E，BC与OC′交于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBO=∠FCO=45°，OB=OC．
∵∠EOB+∠FOB=90°，∠FOC+∠FOB=90°，
∴∠EOB=∠FOC．
∴△EOB≌△FOC（ASA）．
∴S△EOB =S△FOC，
∴S四边形EBFO=S△OBC．
∵两个正方形重叠部分的面积是2，
∴S△OBC=S四边形EBFO=2 ，
∴正方形ABCD的面积为8，
∴，
∴（负值舍去），
故选 D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决不规则图形的面积，要通过分割图形，利用全等知识转化三角形，使不规则图形转化为规则图形进行求解．
14．如图，在矩形ABCD中，，，点E为AB上一点，连接DE，将沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【解析】分别连接BD、；根据矩形和勾股定理的性质，得；根据轴对称性质，得；当点不在BD上时，根据三角形边角关系的性质，得，当点在BD上时，得，即可得到最小值，再结合三角形中位线的性质计算，即可得到答案．
【详解】如图，分别连接BD、
∵矩形ABCD中，，
∴
∴
∵将沿DE折叠，点A落在处，
∴
当点不在BD上时，
∴
当点在BD上时，
∴最小值为2
∵F，G分别为，BC的中点
∴为的中位线
∴
∴FG的最小值为1
故选：D．
【点评】本题考查了矩形、三角形、轴对称、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、勾股定理、轴对称、三角形三边关系、三角形中位线的性质，从而完成求解．
15．如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形，，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
故选C．
【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，和勾股定理，正确的作出辅助线是本题的关键．
二、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是___________．
【答案】
【解析】设大正方形的边长为2a，则大等腰直角三角形的腰长为，中等腰直角三角形的腰长为a，小等腰直角三角形的腰长为，小正方形的边长为，平行四边形的长边为a，短边为，用含有a的代数式表示点A的横坐标，表示点F的坐标，确定a值即可.
【详解】设大正方形的边长为2a，则大等腰直角三角形的腰长为，中等腰直角三角形的腰长为a，小等腰直角三角形的腰长为，小正方形的边长为，平行四边形的长边为a，短边为，如图，过点F作FG⊥x轴，垂足为G, 点F作FH⊥y轴，垂足为H, 过点A作AQ⊥x轴，垂足为Q,延长大等腰直角三角形的斜边交x轴于点N，交FH于点M，
根据题意，得OC==，CD=a,DQ=，
∵点A的横坐标为1,
∴+a+=1，
∴a=；
根据题意，得FM=PM=，MH=，
∴FH==；
∴MT=2a-，BT=2a-,
∴TN=-a，
∴MN=MT+TN=2a-+-a==，
∵点F在第二象限，
∴点F的坐标为（-，）
故答案为：（-，）．
【点评】本题考查了七巧板的意义，合理设出未知数，用未知数表示各个图形的边长，点ＡＡ的横坐标，点Ｆ的坐标是解题的关键．
17．图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点（不与B，D重合），PECD交BC于点E，PFBC交CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．其中正确结论的序号为________．
【答案】①②④
【解析】①证明，是等腰直角三角形，即可说明；
②先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，则四边形的周长为8；
③根据的任意性可以判断不一定是等腰三角形；
④四边形为矩形，通过正方形的轴对称性，证明．
【详解】解：①，，
，
又，
四边形是矩形，
．
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
故①正确；
②，，，
四边形为矩形，
四边形的周长，
故②正确；
③点是正方形的对角线上任意一点，，
当或或时，是等腰三角形，
除此之外，不是等腰三角形，
故③错误．
④四边形为矩形，
，，
正方形为轴对称图形，
，
，
故④正确；
故答案为①②④．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
18．在平面直角坐标系中，点，连接，若点D是的中点，连接，则的长为______．
【答案】
【解析】首先根据点的特征及勾股定理得出为直角三角形及其各边长，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直接得出答案．
【详解】如图所示，
，
轴，，
，
轴，，
为直角三角形，则，
是中点，
，
故答案为：．
【点评】本题考查平面直角坐标系上点的特征及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边长一半．
19．如图，四边形是矩形，点A的坐标是，点C的坐标是，把矩形沿折叠．点A落在点D处，则点D的坐标是____________．
【答案】
【解析】过作轴于，根据题意得到，利用折叠性质得到，进而判定，在中，设，则，利用勾股定理得到，再结合等面积法求出，在中，再利用勾股定理即可求出结论．
【详解】解：过作轴于，如图所示：
四边形是矩形，点A的坐标是，点C的坐标是，
，
把矩形沿折叠，
，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，则根据勾股定理得，解得，
，代值解得，
在中，，则根据勾股定理得，
在第二象限，
，
故答案为：．
【点评】本题考查求点的坐标问题，涉及到矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理求线段长和解一元一次方程等知识，理解点的坐标的几何意义是解决问题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE垂直平分AB，把线段AE绕点E顺时针旋转90°，使点A落在直线DE上的点F处，联结CF、BF，线段AC、BF交于点G，如果CF∥AB，那么∠AGB＝____度．
【答案】105
【解析】过点C作CH⊥AB于H，由旋转和线段垂直平分线的性质可得EF=BE=AE，则△BEF是等腰直角三角形，可得∠EBF=45°，证明四边形EFCH是矩形，可得CH=EF=AB=AC，可得出∠CAH=30°，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】过点C作CH⊥AB于H，
∵线段AE绕点E顺时针旋转90°，使点A落在直线DE上的点F处，
∴AE＝EF，
∵直线DE垂直平分AB，AB＝AC，
∴AE＝BE＝AB＝AC，∠BEF＝90°，
∴EF＝BE＝AE，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠EBF＝45°，
∵DE⊥AB，CF∥AB，
∴CF⊥DE，
∵DE⊥AB，CH⊥AB，
∴四边形EFCH是矩形，
∴可得CH＝EF＝AB＝AC，
∴∠CAH＝30°，
∴∠AGB＝180°﹣∠EBF﹣∠CAH＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
故答案为：105．
【点评】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，求出∠EBF=45°，∠CAH=30°是解题的关键．
三、解答题
21．如图，在中，，D为AB边上的点．
(1)求作：平行四边形ADCE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，已知，求四边形ADCE的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)20
【解析】（1）分半以点A、C为圆心，以CD、AD为半径画弧，两弧相交于点E，则四边形ADCE满足条件；
（2）先求出△ABC的面积，再根据求出△ACD的面积，然后根据平行四边形的性质得到四边形ADCE的面积．
(1)
如图，平行四边形ADCE为所作；
(2)
在Rt△ABC中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．
22．已知：如图，在中，E是BC边上一点，F在BC延长线上，．求证：．
【答案】答案见解析
【解析】根据平行四边形的性质得出AB=DC，AB∥DC，进而得出∠B=∠DCF，利用解答即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠B=∠DCF，
在与中，
AB=DC，∠B=∠DCF，BE=CF，
∴
∴．
【点评】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，AD 是BC边上的中线，E是AD的中点，连接BE，AFBC，AF交BE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：AF=CD；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中面积是△AEF面积2倍的三角形．
【答案】(1)见解析
(2)△AFB，△ADB，△AFC，△ACD
【解析】（1）根据FA//BC，得到∠AFE=∠DBE，根据E是AD的中点，得到AE=DE，根据∠FEA=∠BED，得到△AEF≌△DEB，得到AF=DB，再结合AD是BC边上的中线即可证明；
（2）根据△AEF≌△DEB，得到S△AEF=S△DEB，根据E是AD中点，得到S△AEB =S△DEB，得到S△FAB= S△AEF+ S△AEB=2 S△AEF，S△ABD =S△DEB+ S△AEB=2 S△AEF，由D是BC的中点可得S△ABD=S△ADC=2 S△AEF，，再证四边形ADCF是平行四边形可得S△ACF=S△ACD，即可得到结论．
(1)
证明：∵FA//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠FEA=∠BED，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=BD，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD=DB，
∴AF＝DC；
(2)
∵△AEF≌△DEB，
∴S△AEF=S△DEB，
∵E是AD中点，
∴S△AEB =S△DEB，
∴S△FAB= S△AEF+ S△AEB=2 S△AEF，S△ABD =S△DEB+ S△AEB=2 S△AEF，
∵D是BC的中点，
∴S△ABD=S△ADC=2 S△AEF，
∵CD//AF，CD=AF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴S△ACF=S△ACD=2 S△AEF，
∴面积为△AEF面积的2倍的三角形有：△FAC，△ACD，△ABD，△FAB．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行四边形判定、三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．
24．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一点（不与点A，D重合），△ABE沿BE折叠，得△BEF，点A的对称点为点F．
(1)当AB＝AD时，点F会落在CD上吗？请说明理由；
(2)设＝m（0＜m＜1），且点F恰好落在CE上，
①求证：CF＝DE；
②若＝n，用等式表示m，n的关系．
【答案】(1)点F不会落在CD上，理由见解析
(2)①见解析；②m2+n2＝2n
【解析】（1）设F在CD上，则BF＝AB，而AB＝BC，BC＝BF，这与Rt△BCF中∠C＝90°、BC＜BF相矛盾，则点F不会落在CD上；
（2）①证明△DEC≌△FCB（AAS）即可得证．
②设AD＝1，则AE＝n，AB＝m，由勾股定理可得：（1﹣n）2+m2＝1，化简得：m2+n2＝2n．
(1)
点F不会落在CD上，理由如下：
当AB＝AD时，矩形ABCD为正方形，如图1所示，
∴AB＝BC，
设F在CD上，则BF＝AB，而AB＝BC，
∴BC＝BF，这与Rt△BCF中∠C＝90°、BC＜BF相矛盾，
故F不落在CD上．
(2)
①∵（0＜m＜1），则AB＜AD，
∵点F在CE上，如图2，
∴∠BFE＝∠BFC＝90°，
∴BF＝BA＝CD，
∵AD∥BC，
∴∠FCB＝∠DEC，
在△DEC和△FCB中，
，
∴△DEC≌△FCB（AAS）．
∴CF＝DE．
②若，则AE＝nAD．
设AD＝1，则AE＝n，AB＝m，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠EBC，
由折叠知∠BEA＝∠BEF，
∴∠EBC＝∠BEF，
∴BC＝EC＝AD＝1，
在Rt△CDE中，DE＝1﹣n，CE＝1，DC＝m，
则由勾股定理可得：（1﹣n）2+m2＝1，
化简得：m2+n2＝2n．
【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
25．如图，正方形ABCD的边长为4cm，等腰直角三角形EFG在正方形ABCD的左侧，边EF与AB在一条直线上，且点A和点F重合，∠FEG＝90°，EF＝EG＝4cm．
(1)当三角形EFG向右平移1cm时，两图形重叠部分面积为 cm2；
(2)当三角形EFG向右平移7cm时，两图形重叠部分面积为 cm2；
(3)当三角形EFG向右平移x（cm）时，两图形重叠部分面积表示为S（cm2），用含x的代数式表示S，并写出x满足的条件．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）当三角形EFG向右平移1cm时，AF＝1cm，重叠部分是等腰直角三角形AFH，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）当三角形EFG向右平移7cm时，重叠部分是直角梯形BEGH，其中BE=1cm，BH=3cm，然后根据梯形面积公式求解即可；
（3）分，，三种情况讨论．
(1)
解：当三角形EFG向右平移1cm时，AF＝1，重叠部分是等腰直角三角形AFH，
故重叠部分面积为；
(2)
解：当三角形EFG向右平移7cm时，重叠部分是直角梯形BEGH，其中BE=1cm，BH=3cm，
重叠部分的面积为＝；
(3)
解：当时，AF=AH=xcm，重叠部分的面积为 cm2
当时，BE=（8-x）cm，BF=BH=（x-4）cm，重叠部分的面积为 cm2
当时，两图形无重叠，故重叠部分面积为0 cm2，
综上所述，．
【点评】本题考查了平移，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，解题的关键是明确题意，画出各段对应的图形，利用相关知识进行求解．
26．如图，正方形ABCD中，，在边CD的右侧作等腰三角形DCE．使，记为，连接AE，过点D作，垂足为G，交EC的延长线于点F，连接AF．
(1)求的大小（用的代数式表示）；
(2)试判断AF和EF的数量关系和位置关系并证明；
(3)当时，求点E到CD的距离．
【答案】(1)
(2)AF=EF且AF⊥EF，证明见详解
(3)点到的距离为
【解析】（1）根据正方形的性质易证，为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理可求解；
（2）通过证明为等腰三角形可求解，通过证明可求解，进而可证得结论；
（3）过点作于点，连接，根据勾股定理可求解，过点作于点，可求解，再根据勾股定理可求解．
(1)
解：四边形为正方形，
，，
，
，
为等腰三角形，
，
，
，
；
(2)
证明：AF=EF且AF⊥EF，理由如下：
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
∴AF⊥EF；
(3)
解：过点作于点，连接，
四边形为正方形，
，，
在中，，
由（2）知，，，
在中，，
，
，
过点作于点，
，
，
在中，，
，
，
点到的距离为．
【点评】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，属于四边形的综合题，难度中等偏大．
27．在矩形ABCD中，P是线段BC上的一个动点，将△ABP沿直线AP翻折，点B的对应点为E，直线PE与直线AD交于点F．
(1)如图①，当点F在AD的延长线上时，求证；
(2)若，BC足够长，当点E到直线AD的距离等于3时，求BP的长；
(3)若，．当点P、E、D在同一直线上（如图②）时，点P开始向点C运动，到与C重合时停止，则点F运动的路程是______．
【答案】(1)见解析
(2)或
(3)4.8
【解析】（1）由矩形对边平行可得，再由翻折性质可得，则由等量代换及等腰三角形的判定即可得结论；
（2）过点E作于F点，易证，分点矩形内部与外部两种情况即可求解；
（3）取BM=AB=6，AN=AB=6，连接MN，则四边形ABMN是正方形，当点P由P、E、D重合时的状态运动到与M重合时，则F点的路程为线段DN长；当点P继续向点C运动直到与点C重合时，点F的路程为NF的长，为此求出DF的长即可求得点F的路程．
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴．
由翻折得：．
∴．
∴．
(2)
过点E作于F点， 则
∴．
当点E在矩形内部时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
∴∠BAE=90°−∠EAF=60°．
由翻折得，，
∴，
∴由勾股定理得：，
解得．
当点E在矩形外部时，如图，
则∠BAE=∠BAD+∠EAF=120°．
由翻折得：，
∴∠APB=90°−∠BAP=30°，
∴，
则由勾股定理得
综上，线段BP的长为或．
(3)
如图，取BM=AB=6，AN=AB=6，连接MN，则四边形ABMN是正方形，
当点P由P、E、D重合时的状态运动到与M重合时，则F点的路程为线段DN=AD-AN=10-6=4，
当点P继续向点C运动直到与点C重合时，点F的路程为NF的长，即点F的路程为DN+NF，
由矩形性质得：AB=CD=6，∠D=90°，
由翻折的性质得：AB=AE=6，
当点P与点C重合时，由（1）知AF=CF．
则CF=AF=AD−DF=10−DF，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴点F的运动路程为：DN+NF=4+0.8=4.8．
故答案为：4.8．
【点评】本题是矩形折叠的综合问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，注意（2）有两种情况，难点是（3）中确定点F的运动路径是由D到N再到F．
28．如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中），BG的延长线与直线DE交于点H．
(1)如图1，当点G在CD上时，BG和DE的关系为： ；
(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：；
②当时，若，，请直接写出线段DH的长．
【答案】(1)BG＝DE且
(2)①证明见解析；②或
【解析】（1）证明△BCG≌△DCE(SAS)可得结论；
（2）①在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．证明△BCK≌△DCH(SAS)，推出CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，推出△KCH是等腰直角三角形，即可解决问题；
②分两种情形：当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD；和当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD，分别根据正方形的性质结合勾股定理求解即可解决问题．
(1)
解：∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，
∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，
∴△BCG≌△DCE(SAS)，
∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE．
∵∠CDE+∠DEC＝90°，
∴∠HBE+∠BEH＝90°，
∴∠BHD＝90°，即．
综上可知BG和DE的关系为BG＝DE且．
故答案为：BG＝DE且；
(2)
①证明：如图，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．
由（1）可知，∠CBK＝∠CDH，
∵BK＝DH，BC＝DC，
∴△BCK≌△DCH(SAS)，
∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，
∴∠BCK+∠KCD＝∠DCH+∠KCD，即∠KCH＝∠BCD＝90°，
∴△KCH是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②如图，当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．
由（1）可知，BH＝DE，
∵四边形CEFG为正方形
∴CE＝CH＝2，
∴．
∵AB＝5，
∴，
设DH＝x，则，
在Rt△BDH中，，即，
解得：（舍）
故此时；
如图，当H，E重合时，∠DEC＝45°，连接BD．
设DH＝x，
∵BG＝DH，
∴，
在Rt△BDH中，，即
解得：（舍）
故此时；
综上所述，满足条件的DH的值为或．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
第08天：平行四边形
一、单选题
1．如图，在中，，D，E分别是边AC，BC的中点，点F在DE上，且，则DF的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵点D，E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵AB=14，
∴DE==7，
∵∠BFC=90°，BC=8，
∴EF= =4，
∴DF=DE−EF=7−4=3，
故选A.
【点评】题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形中位线定理及直角三角形斜边上中线性质是解题的关键．
2．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形 D．对角线相等的四边形
【答案】B
【解析】根据三角形的中位线性质得到得到EHFGBD，EFACHG，由此推出AC⊥BD．
【详解】解：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EHFGBD，EFACHG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故选B．
【点评】此题考查了三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半，熟记三角形中位线的性质定理是解题的关键．
3．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边BC上的一个动点，OE⊥OF，交边AB于点F，点G，H分别是点E，F关于直线AC的对称点，点E从点C运动到点B时，图中阴影部分面积的大小变化是（ ）
A．先增大后减小 B．先减小后增大
C．一直不变 D．不确定
【答案】C
【解析】连接BD，证明△FOB≌△EOC，同理得到△HOD≌△GOC，即可得到答案．
【详解】解：连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC = 90°，，
∴∠BOЕ+∠EOC=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠BOE+ ∠FOB = 90°，
∴∠FOB = ∠EOC，
在△FOB和△EOC，
，
∴△FOB≌△EOC，
同理，△HOD≌△GOC，
∴图中阴影部分的面积=△ABD的面积=正方形ABCD的面积．
∴阴影部分面积的大小一直不变．
故选：C．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，四边形ABCD是矩形
B．当时，四边形ABCD是菱形
C．当时，四边形ABCD是菱形
D．当时，四边形ABCD是正方形
【答案】D
【解析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当时，利用对角线相等的平行四边形是矩形，可知四边形ABCD是矩形，
故A选项正确；
当时，利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知四边形ABCD是菱形，
故B选项正确；
当时，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知四边形ABCD是菱形，
故C选项正确
当时，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知四边形ABCD是矩形，
故D选项错误；
故选：D．
【点评】此题考查平行四边形的性质，正方形的判定、矩形的判定和菱形的判定，掌握正方形的判定、矩形的判定和菱形的判定定理是解题关键．
5．图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，O为AE，DF的交点，S△ABC＝8 ，则S菱形ADEF＝（ ）
A．4 B．4 C．4 D．4
【答案】C
【解析】根据菱形的性质，结合AB=AC，得出DF为△ABC的中位线，DF∥BC，，从而得出AE为△ABC的高，得出，再根据菱形的面积公式，即可得出菱形的面积．
【详解】解：∵四边形ADEF为菱形，
∴EF∥AB，DE∥AC，AF=EF=DE=AD，AE⊥DF，
∴，，
，
，
，
∴CF=EF，DE=DB，
，，
∴DF∥BC，，
，
，
，
，
，
即，
，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，菱形的面积，三角形面积的计算，根据菱形的性质和等腰三角形的性质得出DF为△ABC的中位线，是解题的关键．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为（ ）
A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm
【答案】D
【解析】根据菱形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：∵菱形的对角线AC与BD相交于点O，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
∵AC=6cm，BD=8cm，
∴在Rt△AOB中，AO=3cm，BO=4cm，∠AOB=90°，
由勾股定理得：AB==5cm，
∴菱形的周长为4×5=20cm，
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解答的关键．
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．四条边都相等的四边形是矩形
C．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【答案】D
【解析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项，
【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A是假命题，不符合题意；
B、四条边都相等的四边形是菱形，故选项B是假命题，不符合题意；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项C是假命题，不符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定和性质，解题的关键是记住特殊四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
8．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M，只需要证明△ANP≌△FPE得到AP=EF，∠PFE=∠BAP即可判断①④；根据三角形的内角和定理即可判断②；根据P的任意性可以判断③；根据AP=EF，当AP最小时，EF有最小值，即可判断⑤；
【详解】解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP=∠CBD，∠ABC=90°，AB=BC，
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴∠PNB=∠NBE=∠PEB=90°，PN=PE，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF=90°，四边形BCFN是矩形，
∴NP=EP=BE，BC=NF，
∴AN=PF，
在△ANP与△FPE中，
，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP（故①④正确）；
在△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM，
∴∠PMF=∠ANP=90°，
∴AP⊥EF，（故②正确）；
∵P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形不一定成立，（故③错误）；
∵AP=EF，
∴当AP⊥BD时，AP有最小值即EF有最小值，
∵AB=AD，AP⊥BD，
∴此时P为BD的中点，
又∵∠BAD=90°，
∴，即EF的最小值为（故⑤正确）
故正确的是：①②④⑤．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，正确证明△ANP≌△FPE，以及理解P的任意性是解决本题的关键．
9．如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝16，∠A＝60°，O为BD的中点，E为边AB上一动点，以2cm/s的速度从A点向B点运动，运动时间为ts，连接EO并延长交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（ ）
A．四边形DEBF为平行四边形
B．若t＝4，则四边形DEBF为菱形
C．若t＝2，则四边形DEBF为矩形
D．若t＝6，则四边形DEBF为正方形
【答案】D
【解析】由▱ABCD，得EBFD，再证△BOE≌△DOF（AAS），得BE=DF，即可得出四边形BEDF是平行四边形，可以判定A；当t=4时，则AE=2t=8，证△ADE是等边三角形，DE=AE=8，再因四边形DEBF是平行四边形，所以四边形DEBF是菱形，可判定B；当t=2时，则AE=2t=4，同理可得四边形DEBF是菱形，可判定C；当t＝6时，则AE=2t=12，在AE上截取AG=AD=8，连接DG，证∠BED>120°≠90°，所以四边形DEBF不可能是正方形，可判定D．
【详解】解：A、∵▱ABCD，
∴ABCD，即EBFD，
∴∠BEO=∠DFO，∠EBO=∠FDO，
∵OB=OD，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
故此选项正确，不符合题意；
B、当t=4时，则AE=2t=8，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠A=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AD=AB=8，
∴AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AE=8，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；
故此选项正确，不符合题意；
C、当t=2时，则AE=2t=4，
∴，，
，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABD，
∴∠AED=∠ADB=90°，
∴∠BED=90°，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形；
故此选项正确，不符合题意；
D、当t＝6时，则AE=2t=12，
在AE上截取AG=AD=8，连接DG，如图，
∵∠A=60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠AGD=60°，
∴∠AED<60°，
∴∠BED>120°≠90°，
∴四边形DEBF不可能是正方形；
故此选错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定是解题的关键．
10．如图，在矩形，对角线与相交于点，于点，交于点，若的周长为8，，则的长为 （ ）
A．2 B．5.5 C．5 D．4
【答案】C
【解析】由矩形的性质可得AO＝CO，由线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BC＝AD，
∵EO⊥AC，
∴AE＝EC，
∵△ABE的周长为8，
∴AB+AE+BE＝8，
∴3+BC＝8，
∴AD ＝BC＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握矩形的性质是本题的关键．
11．如图所示，E是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是F、G，若，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】C
【解析】先用正方形的性质判断出△ABE≌△CBE，得出AE=CE，然后判断出四边形EFCG是矩形，用勾股定理求出CE即可．
【详解】解：如图，连接CE，
∵四边形是正方形，BD是对角线，
∴∠BCD=90°，∠ABE=∠CBE=45°，AB=BC，
在△ABE和△CBE中
，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，
∵EF⊥BC，EG⊥CD，
∴∠EGC=∠CFE=90°，
∴∠EGC=∠CFE=∠BCD=90°，
∴四边形EFCG是矩形，
∴EF=CG=4，
根据勾股定理得，CE=，
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及矩形的判定和性质，解决本题的关键是判断出AE=CE．
12．如图，矩形ABCD中，AB=2，E是AC的中点，∠AED=120°，则AD长为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】A
【解析】过点E作，由矩形的性质结合题意可知点E为矩形ABCD对角线交点，即得出．由∠AED=120°，可求出．又可判断EF为中位线，即得出，点为AD中点．最后根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求出AD长．
【详解】如图，过点E作，
∵矩形ABCD中，E是AC的中点，
∴点E为矩形ABCD对角线交点，
∴．
∵∠AED=120°，
∴．
∵，
∴
∴EF为中位线，
∴，点为AD中点，
∴，
∴．
故选A
【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理．正确的作出辅助线是解题关键．
13．正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形与正方形ABCD的边长相等．在正方形绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是2，则AD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】设AB与OA′交于点E，BC与OC′交于点F，证明△EOB≌△FOC，则△EOB面积=△FOC面积，由此可得四边形EBFO面积=△OBC面积，据此解答即可．
【详解】解：设AB与OA′交于点E，BC与OC′交于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBO=∠FCO=45°，OB=OC．
∵∠EOB+∠FOB=90°，∠FOC+∠FOB=90°，
∴∠EOB=∠FOC．
∴△EOB≌△FOC（ASA）．
∴S△EOB =S△FOC，
∴S四边形EBFO=S△OBC．
∵两个正方形重叠部分的面积是2，
∴S△OBC=S四边形EBFO=2 ，
∴正方形ABCD的面积为8，
∴，
∴（负值舍去），
故选 D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决不规则图形的面积，要通过分割图形，利用全等知识转化三角形，使不规则图形转化为规则图形进行求解．
14．如图，在矩形ABCD中，，，点E为AB上一点，连接DE，将沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【解析】分别连接BD、；根据矩形和勾股定理的性质，得；根据轴对称性质，得；当点不在BD上时，根据三角形边角关系的性质，得，当点在BD上时，得，即可得到最小值，再结合三角形中位线的性质计算，即可得到答案．
【详解】如图，分别连接BD、
∵矩形ABCD中，，
∴
∴
∵将沿DE折叠，点A落在处，
∴
当点不在BD上时，
∴
当点在BD上时，
∴最小值为2
∵F，G分别为，BC的中点
∴为的中位线
∴
∴FG的最小值为1
故选：D．
【点评】本题考查了矩形、三角形、轴对称、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、勾股定理、轴对称、三角形三边关系、三角形中位线的性质，从而完成求解．
15．如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形，，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
故选C．
【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，和勾股定理，正确的作出辅助线是本题的关键．
二、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是___________．
【答案】
【解析】设大正方形的边长为2a，则大等腰直角三角形的腰长为，中等腰直角三角形的腰长为a，小等腰直角三角形的腰长为，小正方形的边长为，平行四边形的长边为a，短边为，用含有a的代数式表示点A的横坐标，表示点F的坐标，确定a值即可.
【详解】设大正方形的边长为2a，则大等腰直角三角形的腰长为，中等腰直角三角形的腰长为a，小等腰直角三角形的腰长为，小正方形的边长为，平行四边形的长边为a，短边为，如图，过点F作FG⊥x轴，垂足为G, 点F作FH⊥y轴，垂足为H, 过点A作AQ⊥x轴，垂足为Q,延长大等腰直角三角形的斜边交x轴于点N，交FH于点M，
根据题意，得OC==，CD=a,DQ=，
∵点A的横坐标为1,
∴+a+=1，
∴a=；
根据题意，得FM=PM=，MH=，
∴FH==；
∴MT=2a-，BT=2a-,
∴TN=-a，
∴MN=MT+TN=2a-+-a==，
∵点F在第二象限，
∴点F的坐标为（-，）
故答案为：（-，）．
【点评】本题考查了七巧板的意义，合理设出未知数，用未知数表示各个图形的边长，点ＡＡ的横坐标，点Ｆ的坐标是解题的关键．
17．图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点（不与B，D重合），PECD交BC于点E，PFBC交CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．其中正确结论的序号为________．
【答案】①②④
【解析】①证明，是等腰直角三角形，即可说明；
②先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，则四边形的周长为8；
③根据的任意性可以判断不一定是等腰三角形；
④四边形为矩形，通过正方形的轴对称性，证明．
【详解】解：①，，
，
又，
四边形是矩形，
．
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
故①正确；
②，，，
四边形为矩形，
四边形的周长，
故②正确；
③点是正方形的对角线上任意一点，，
当或或时，是等腰三角形，
除此之外，不是等腰三角形，
故③错误．
④四边形为矩形，
，，
正方形为轴对称图形，
，
，
故④正确；
故答案为①②④．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
18．在平面直角坐标系中，点，连接，若点D是的中点，连接，则的长为______．
【答案】
【解析】首先根据点的特征及勾股定理得出为直角三角形及其各边长，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直接得出答案．
【详解】如图所示，
，
轴，，
，
轴，，
为直角三角形，则，
是中点，
，
故答案为：．
【点评】本题考查平面直角坐标系上点的特征及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边长一半．
19．如图，四边形是矩形，点A的坐标是，点C的坐标是，把矩形沿折叠．点A落在点D处，则点D的坐标是____________．
【答案】
【解析】过作轴于，根据题意得到，利用折叠性质得到，进而判定，在中，设，则，利用勾股定理得到，再结合等面积法求出，在中，再利用勾股定理即可求出结论．
【详解】解：过作轴于，如图所示：
四边形是矩形，点A的坐标是，点C的坐标是，
，
把矩形沿折叠，
，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，则根据勾股定理得，解得，
，代值解得，
在中，，则根据勾股定理得，
在第二象限，
，
故答案为：．
【点评】本题考查求点的坐标问题，涉及到矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理求线段长和解一元一次方程等知识，理解点的坐标的几何意义是解决问题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE垂直平分AB，把线段AE绕点E顺时针旋转90°，使点A落在直线DE上的点F处，联结CF、BF，线段AC、BF交于点G，如果CF∥AB，那么∠AGB＝____度．
【答案】105
【解析】过点C作CH⊥AB于H，由旋转和线段垂直平分线的性质可得EF=BE=AE，则△BEF是等腰直角三角形，可得∠EBF=45°，证明四边形EFCH是矩形，可得CH=EF=AB=AC，可得出∠CAH=30°，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】过点C作CH⊥AB于H，
∵线段AE绕点E顺时针旋转90°，使点A落在直线DE上的点F处，
∴AE＝EF，
∵直线DE垂直平分AB，AB＝AC，
∴AE＝BE＝AB＝AC，∠BEF＝90°，
∴EF＝BE＝AE，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠EBF＝45°，
∵DE⊥AB，CF∥AB，
∴CF⊥DE，
∵DE⊥AB，CH⊥AB，
∴四边形EFCH是矩形，
∴可得CH＝EF＝AB＝AC，
∴∠CAH＝30°，
∴∠AGB＝180°﹣∠EBF﹣∠CAH＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
故答案为：105．
【点评】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，求出∠EBF=45°，∠CAH=30°是解题的关键．
三、解答题
21．如图，在中，，D为AB边上的点．
(1)求作：平行四边形ADCE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，已知，求四边形ADCE的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)20
【解析】（1）分半以点A、C为圆心，以CD、AD为半径画弧，两弧相交于点E，则四边形ADCE满足条件；
（2）先求出△ABC的面积，再根据求出△ACD的面积，然后根据平行四边形的性质得到四边形ADCE的面积．
(1)
如图，平行四边形ADCE为所作；
(2)
在Rt△ABC中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．
22．已知：如图，在中，E是BC边上一点，F在BC延长线上，．求证：．
【答案】答案见解析
【解析】根据平行四边形的性质得出AB=DC，AB∥DC，进而得出∠B=∠DCF，利用解答即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠B=∠DCF，
在与中，
AB=DC，∠B=∠DCF，BE=CF，
∴
∴．
【点评】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，AD 是BC边上的中线，E是AD的中点，连接BE，AFBC，AF交BE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：AF=CD；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中面积是△AEF面积2倍的三角形．
【答案】(1)见解析
(2)△AFB，△ADB，△AFC，△ACD
【解析】（1）根据FA//BC，得到∠AFE=∠DBE，根据E是AD的中点，得到AE=DE，根据∠FEA=∠BED，得到△AEF≌△DEB，得到AF=DB，再结合AD是BC边上的中线即可证明；
（2）根据△AEF≌△DEB，得到S△AEF=S△DEB，根据E是AD中点，得到S△AEB =S△DEB，得到S△FAB= S△AEF+ S△AEB=2 S△AEF，S△ABD =S△DEB+ S△AEB=2 S△AEF，由D是BC的中点可得S△ABD=S△ADC=2 S△AEF，，再证四边形ADCF是平行四边形可得S△ACF=S△ACD，即可得到结论．
(1)
证明：∵FA//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠FEA=∠BED，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=BD，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD=DB，
∴AF＝DC；
(2)
∵△AEF≌△DEB，
∴S△AEF=S△DEB，
∵E是AD中点，
∴S△AEB =S△DEB，
∴S△FAB= S△AEF+ S△AEB=2 S△AEF，S△ABD =S△DEB+ S△AEB=2 S△AEF，
∵D是BC的中点，
∴S△ABD=S△ADC=2 S△AEF，
∵CD//AF，CD=AF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴S△ACF=S△ACD=2 S△AEF，
∴面积为△AEF面积的2倍的三角形有：△FAC，△ACD，△ABD，△FAB．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行四边形判定、三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．
24．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一点（不与点A，D重合），△ABE沿BE折叠，得△BEF，点A的对称点为点F．
(1)当AB＝AD时，点F会落在CD上吗？请说明理由；
(2)设＝m（0＜m＜1），且点F恰好落在CE上，
①求证：CF＝DE；
②若＝n，用等式表示m，n的关系．
【答案】(1)点F不会落在CD上，理由见解析
(2)①见解析；②m2+n2＝2n
【解析】（1）设F在CD上，则BF＝AB，而AB＝BC，BC＝BF，这与Rt△BCF中∠C＝90°、BC＜BF相矛盾，则点F不会落在CD上；
（2）①证明△DEC≌△FCB（AAS）即可得证．
②设AD＝1，则AE＝n，AB＝m，由勾股定理可得：（1﹣n）2+m2＝1，化简得：m2+n2＝2n．
(1)
点F不会落在CD上，理由如下：
当AB＝AD时，矩形ABCD为正方形，如图1所示，
∴AB＝BC，
设F在CD上，则BF＝AB，而AB＝BC，
∴BC＝BF，这与Rt△BCF中∠C＝90°、BC＜BF相矛盾，
故F不落在CD上．
(2)
①∵（0＜m＜1），则AB＜AD，
∵点F在CE上，如图2，
∴∠BFE＝∠BFC＝90°，
∴BF＝BA＝CD，
∵AD∥BC，
∴∠FCB＝∠DEC，
在△DEC和△FCB中，
，
∴△DEC≌△FCB（AAS）．
∴CF＝DE．
②若，则AE＝nAD．
设AD＝1，则AE＝n，AB＝m，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠EBC，
由折叠知∠BEA＝∠BEF，
∴∠EBC＝∠BEF，
∴BC＝EC＝AD＝1，
在Rt△CDE中，DE＝1﹣n，CE＝1，DC＝m，
则由勾股定理可得：（1﹣n）2+m2＝1，
化简得：m2+n2＝2n．
【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
25．如图，正方形ABCD的边长为4cm，等腰直角三角形EFG在正方形ABCD的左侧，边EF与AB在一条直线上，且点A和点F重合，∠FEG＝90°，EF＝EG＝4cm．
(1)当三角形EFG向右平移1cm时，两图形重叠部分面积为 cm2；
(2)当三角形EFG向右平移7cm时，两图形重叠部分面积为 cm2；
(3)当三角形EFG向右平移x（cm）时，两图形重叠部分面积表示为S（cm2），用含x的代数式表示S，并写出x满足的条件．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）当三角形EFG向右平移1cm时，AF＝1cm，重叠部分是等腰直角三角形AFH，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）当三角形EFG向右平移7cm时，重叠部分是直角梯形BEGH，其中BE=1cm，BH=3cm，然后根据梯形面积公式求解即可；
（3）分，，三种情况讨论．
(1)
解：当三角形EFG向右平移1cm时，AF＝1，重叠部分是等腰直角三角形AFH，
故重叠部分面积为；
(2)
解：当三角形EFG向右平移7cm时，重叠部分是直角梯形BEGH，其中BE=1cm，BH=3cm，
重叠部分的面积为＝；
(3)
解：当时，AF=AH=xcm，重叠部分的面积为 cm2
当时，BE=（8-x）cm，BF=BH=（x-4）cm，重叠部分的面积为 cm2
当时，两图形无重叠，故重叠部分面积为0 cm2，
综上所述，．
【点评】本题考查了平移，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，解题的关键是明确题意，画出各段对应的图形，利用相关知识进行求解．
26．如图，正方形ABCD中，，在边CD的右侧作等腰三角形DCE．使，记为，连接AE，过点D作，垂足为G，交EC的延长线于点F，连接AF．
(1)求的大小（用的代数式表示）；
(2)试判断AF和EF的数量关系和位置关系并证明；
(3)当时，求点E到CD的距离．
【答案】(1)
(2)AF=EF且AF⊥EF，证明见详解
(3)点到的距离为
【解析】（1）根据正方形的性质易证，为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理可求解；
（2）通过证明为等腰三角形可求解，通过证明可求解，进而可证得结论；
（3）过点作于点，连接，根据勾股定理可求解，过点作于点，可求解，再根据勾股定理可求解．
(1)
解：四边形为正方形，
，，
，
，
为等腰三角形，
，
，
，
；
(2)
证明：AF=EF且AF⊥EF，理由如下：
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
∴AF⊥EF；
(3)
解：过点作于点，连接，
四边形为正方形，
，，
在中，，
由（2）知，，，
在中，，
，
，
过点作于点，
，
，
在中，，
，
，
点到的距离为．
【点评】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，属于四边形的综合题，难度中等偏大．
27．在矩形ABCD中，P是线段BC上的一个动点，将△ABP沿直线AP翻折，点B的对应点为E，直线PE与直线AD交于点F．
(1)如图①，当点F在AD的延长线上时，求证；
(2)若，BC足够长，当点E到直线AD的距离等于3时，求BP的长；
(3)若，．当点P、E、D在同一直线上（如图②）时，点P开始向点C运动，到与C重合时停止，则点F运动的路程是______．
【答案】(1)见解析
(2)或
(3)4.8
【解析】（1）由矩形对边平行可得，再由翻折性质可得，则由等量代换及等腰三角形的判定即可得结论；
（2）过点E作于F点，易证，分点矩形内部与外部两种情况即可求解；
（3）取BM=AB=6，AN=AB=6，连接MN，则四边形ABMN是正方形，当点P由P、E、D重合时的状态运动到与M重合时，则F点的路程为线段DN长；当点P继续向点C运动直到与点C重合时，点F的路程为NF的长，为此求出DF的长即可求得点F的路程．
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴．
由翻折得：．
∴．
∴．
(2)
过点E作于F点， 则
∴．
当点E在矩形内部时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
∴∠BAE=90°−∠EAF=60°．
由翻折得，，
∴，
∴由勾股定理得：，
解得．
当点E在矩形外部时，如图，
则∠BAE=∠BAD+∠EAF=120°．
由翻折得：，
∴∠APB=90°−∠BAP=30°，
∴，
则由勾股定理得
综上，线段BP的长为或．
(3)
如图，取BM=AB=6，AN=AB=6，连接MN，则四边形ABMN是正方形，
当点P由P、E、D重合时的状态运动到与M重合时，则F点的路程为线段DN=AD-AN=10-6=4，
当点P继续向点C运动直到与点C重合时，点F的路程为NF的长，即点F的路程为DN+NF，
由矩形性质得：AB=CD=6，∠D=90°，
由翻折的性质得：AB=AE=6，
当点P与点C重合时，由（1）知AF=CF．
则CF=AF=AD−DF=10−DF，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴点F的运动路程为：DN+NF=4+0.8=4.8．
故答案为：4.8．
【点评】本题是矩形折叠的综合问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，注意（2）有两种情况，难点是（3）中确定点F的运动路径是由D到N再到F．
28．如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中），BG的延长线与直线DE交于点H．
(1)如图1，当点G在CD上时，BG和DE的关系为： ；
(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：；
②当时，若，，请直接写出线段DH的长．
【答案】(1)BG＝DE且
(2)①证明见解析；②或
【解析】（1）证明△BCG≌△DCE(SAS)可得结论；
（2）①在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．证明△BCK≌△DCH(SAS)，推出CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，推出△KCH是等腰直角三角形，即可解决问题；
②分两种情形：当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD；和当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD，分别根据正方形的性质结合勾股定理求解即可解决问题．
(1)
解：∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，
∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，
∴△BCG≌△DCE(SAS)，
∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE．
∵∠CDE+∠DEC＝90°，
∴∠HBE+∠BEH＝90°，
∴∠BHD＝90°，即．
综上可知BG和DE的关系为BG＝DE且．
故答案为：BG＝DE且；
(2)
①证明：如图，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．
由（1）可知，∠CBK＝∠CDH，
∵BK＝DH，BC＝DC，
∴△BCK≌△DCH(SAS)，
∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，
∴∠BCK+∠KCD＝∠DCH+∠KCD，即∠KCH＝∠BCD＝90°，
∴△KCH是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②如图，当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．
由（1）可知，BH＝DE，
∵四边形CEFG为正方形
∴CE＝CH＝2，
∴．
∵AB＝5，
∴，
设DH＝x，则，
在Rt△BDH中，，即，
解得：（舍）
故此时；
如图，当H，E重合时，∠DEC＝45°，连接BD．
设DH＝x，
∵BG＝DH，
∴，
在Rt△BDH中，，即
解得：（舍）
故此时；
综上所述，满足条件的DH的值为或．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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【暑假培优训练】2023年人教版数学八年级（八升九）暑假第09天 《一次函数》提升训练： 这是一份【暑假培优训练】2023年人教版数学八年级（八升九）暑假第09天 《一次函数》提升训练，文件包含暑假培优训练2023年人教版数学八年级八升九暑假第09天《一次函数》提升训练解析版docx、暑假培优训练2023年人教版数学八年级八升九暑假第09天《一次函数》提升训练原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
