【暑假提升】北师大版数学八年级（八升九）暑假-专题第04讲《认识一元二次方程》预习讲学案

第04讲 认识一元二次方程

【学习目标】

1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数.

2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.（重、难点）

3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）

【基础知识】

一．一元二次方程的定义

（1）一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

（2）概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2．

（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．

二．一元二次方程的一般形式

（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．

其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．

（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．

三．一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．

ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．

【考点剖析】

一．一元二次方程的定义（共4小题）

1．（2020秋•商河县校级月考）已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问：

（1）m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？

（2）m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？

2．（2022春•镇海区校级期中）若关于x的方程（c﹣1）x|c|+1+9x﹣4＝0是一元二次方程，则c＝　   　．

3．（2022•张家港市一模）已知x＝1是关于x的一元二次方程的解，则m﹣1+a的值为 　   　．

4．（2021秋•朝阳区期中）若关于x的方程（m+1）x|m|+1+x﹣3＝0是一元二次方程，求m的值．

二．一元二次方程的一般形式（共5小题）

5．（2021秋•灵川县期末）一元二次方程3x2+2＝5x的一次项系数是 　   　．

6．（2022春•乐清市校级月考）一元二次方程中，a＝　   　，b＝　   　，c＝　   　．

7．（2021秋•旬邑县期末）方程x（x+2）＝8化成一般形式是 　   　．

8．（2021秋•霸州市月考）将2x（x﹣1）＝x+4化成一元二次方程的一般形式，并写出一次项和常数项．

9．（2020秋•泰州月考）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+m2﹣4＝0的常数项为0，求m的值．

三．一元二次方程的解（共4小题）

10．（2021秋•法库县期中）先化简，再求值：÷（m+3+），其中m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根．

11．（2021秋•芙蓉区校级期末）若关于x的方程x2+3x﹣k＝0有一个解是1，则k的值是 　   　．

12．（2021秋•虎林市校级期末）关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0的一个解是1，则2018﹣a﹣b的值是 　   　．

13．（2021秋•东城区校级月考）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，代数式5m2﹣5m+2016的值．

【过关检测】

一．选择题（共3小题）

1．（2022春•金华月考）一元二次方程x2+4x＝3的二次项系数、一次项系数及常数项之和为（　　）

A．8 B．﹣1 C．0 D．2

2．（2022春•诸暨市期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）

A．2x+y＝3 B．x2+3x＝0 C． D．2x+1＝0

3．（2022春•镇海区校级期中）将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　）

A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7

二．填空题（共5小题）

4．（2021秋•灌阳县期末）在一元二次方程3x2﹣5x＝5中，一次项的系数是 　   　．

5．（2022春•重庆期中）关于x的方程（k﹣1）x|k|+1﹣x+5＝0是一元二次方程，则k＝　   　．

6．（2021秋•祁阳县期末）若（2﹣a）x﹣5＝0是一元二次方程，则a＝　   　．

7．（2021秋•陇县期末）如果关于x的方程x2+kx﹣3＝0的一个根为﹣3，那么k的值为 　   　．

8．（2021秋•岳池县期末）已知m是关于x的一元二次方程x2+2x﹣7＝0的一个实数根，则m2+2m＝　   　．

三．解答题（共5小题）

9．（2021秋•龙岗区校级期末）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．

（1）（2x﹣1）（3x+2）＝x2+2；          （2）．

10．（2021春•阜南县期末）已知关于x的方程x2﹣6x+m2﹣4m﹣4＝0的一个根是﹣1，求m的值．

11．（2021秋•海珠区校级期中）已知x＝1是一元二次方程ax2+bx﹣60＝0的一个解，且a≠b，求的值．

12．（2020秋•韩城市月考）关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值．

13．（2020秋•乌苏市月考）已知方程（m+4）x|m|﹣2+8x+1＝0是一元二次方程，求m的值．