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【暑假提升】人教版数学四年级（四升五）暑假预习：第6单元《多边形的面积》讲义（知识点+例题+练习）（含解析）
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这是一份【暑假提升】人教版数学四年级（四升五）暑假预习：第6单元《多边形的面积》讲义（知识点+例题+练习）（含解析），共18页。试卷主要包含了公式，平行四边形面积公式推导，三角形面积公式推导，组合图形面积计算等内容，欢迎下载使用。
人教版五年级数学上册暑假预习与检测衔接讲义
第6单元 多边形的面积
1、公式：
多边形
面积公式
面积公式的变式
正方形
正方形的面积=边长×边长
S =a×a=a²
已知：正方形的面积，求边长
长方形
长方形的面积=长×宽
S=a×b
已知：长方形的面积和长，求宽
平行四边形
平行四边形的面积=底×高
S=a×h
已知：平行四边形的面积和底，求高h=S÷a
三角形
三角形的面积=底×高÷2
S=a×h÷2
已知：三角形的面积和底，求高h =S×2÷a
梯形
梯形形的面积=（上底+下底）×高÷2
S=（a+b）×h÷2
已知：梯形的面积与上下底之和，求高，高=S×2÷（上底+下底），上底=面积×2÷高－下底
组合图形
当组合图形是凸出的，用两种或三种简单图形面积相加进行计算。
当组合图形是凹陷的，用一种最大的简单图形面积减较小的简单图形面积进行计算。
2、平行四边形面积公式推导：剪拼、平移
平行四边形可以转化成一个长方形；长方形的长相当于平行四边形的底； 长方形的宽相当于平行四边形的高；长方形的面积等于平行四边形的面积，因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。
3、三角形面积公式推导：旋转
两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于三角形的底；平行四边形的高相当于三角形的高；
平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷2
4、两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形
平行四边形的底相当于梯形的上下底之和；平行四边形的高相当于梯形的高；平行四边形面积等于梯形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2
5、等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等；等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
6、长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
7、组合图形面积计算：必须转化成已学的简单图形。
当组合图形是凸出的，用虚线分割成几种简单图形，把简单图形面积相加计算。
当组合图形是凹陷的，用虚线补齐成一种最大的简单图形，用最大简单图形面积减几个较小的简单图形面积进行计算。
【例1】如图是一块三角形菜地，这个三角形有两个角是60°
（1）如果在菜地的外面围上一圈篱笆，需要多少米长的篱笆？
（2）如果从顶点A处，穿过菜地修一条水渠到底边BC，怎样修最省力？请你在图上画出来。
【分析】（1）根据等腰三角形的特征，等腰三角形的两个底角相等，已知这个有两个角是60°，那么另外一个角也是60°，所以这个三角形是等边三角形。根据三角形的周长公式解答即可。
（2）根据三角形高的意义，从点A 向对边作垂线（高），这样最省力，据此解答。
【解答】解：（1）15×3＝45（米）
答：需要45米长的篱笆。
（2）如图：
沿BC边上高修最省力。
【点评】此题考查的目的是理解掌握等腰三角形（等边三角形）的特征，三角形的高的意义，三角形的周长公式及应用。
【例2】如图，紧靠小溪有一块梯形苗圃，它的面积是8000平方米。现在要在另外三边围上护栏，为了减少人工测量的工作量，要求只测量一条边就能计算出护栏的长度。
（1）要测量哪条线段的长？
（2）如果测出这条线段长50米，那么护栏的长共是多少米？
【分析】（1）通过观察图形可知，一边靠河有一块直角梯形的苗圃，面积是8000平方米，现在要在另外三边围上护栏，为了减少人工测量的工作量，要求只测量一条边就能计算出护栏的长度。要测量CD这条线段的长。
（2）根据梯形的面积公式：S＝（a+b）h÷2，那么b＝2S÷h，据此求出梯形上下底之和，然后用梯形上下底之和加上高就是护栏的长度。
【解答】解：（1）要测量CD这条线段的长。
（2）8000×2÷50
＝16000÷50
＝320（米）
320+50＝370（米）
答：护栏的长共是370米。
【点评】此题主要考查梯形的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
【例3】直线l1、l2是平行的一组线。
（1）在这两条线中，画一个与三角形ABC面积相等的三角形。
（2）所画三角形和三角形ABC面积相等的理由是 等底等高 。
【分析】（1）等底等高的三角形的面积相等，据此解答即可。
（2）所画三角形和三角形ABC面积相等的理由是两个三角形等底等高。据此解答。
【解答】解：（1）作图如下：
（2）所画三角形和三角形ABC面积相等的理由是两个三角形等底等高。
故答案为：等底等高。
【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的三角形的面积相等。
【例4】如图，正方形ABCD的边长为8厘米，点E是AD边的中点，点F是CE边的中点，点G是BF边的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？
【分析】本题考查三角形的面积计算．根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”。
【解答】解：如图，连接AF、EG，
因为S△BCF＝S△CDE＝×82＝16（平方厘米）
根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”。
S△AEF＝8，S△EFG＝8（平方厘米）
则△ABF的面积为64﹣16﹣16﹣8＝24（平方厘米）
因为G是BF的中点，所以△ABG的面积是24÷2＝12（平方厘米）
答：三角形ABG的面积是12平方厘米。
【点评】本题关键在于知道△EGF和△AEF的面积相等。
【例5】如图，在三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少？
【分析】如图，连接CD，因为△ADE和△CDE是等高关系，已知AC是AE的3倍，则△ADC的面积是△ADE的面积的3倍，因为△ADE的面积是1平方厘米，则△ADC的面积是1×3＝3（平方厘米），又因为△ADC和△ABC是等高关系，AB是AD的5倍，则△ABC的面积是△ADC的面积的5倍，即可求出。
【解答】解：1×3＝3（平方厘米）
3×5＝15（平方厘米）
答：三角形ABC的面积是15平方厘米。
【点评】此题充分利用了三角形的面积与底成正比的关系进行解答。
一．选择题（共8小题）
1．如图梯形ABCD中，甲乙两块阴影的面积（ ）
A．甲大 B．乙大
C．一样大 D．无法比较大小
2．一个平行四边形的面积是6.4平方厘米，高是2厘米，底是（ ）厘米．
A．3.2 B．1.6 C．2
3．如图：把这个梯形的上底增加3cm，下底减少3cm，得到的梯形和原梯形面积相比，有什么关系？（ ）
A．大于 B．小于 C．相等
4．如图是一个房间的侧面，它的面积是（ ）平方米。
A．10.5 B．20 C．18
5．如图中，每个小方格的边长均为1cm。那么，三角形ABC的面积（ ）6cm2。
A．大于 B．小于 C．等于
6．一个平行四边形，底扩大到原来的6倍，高缩小到原来的一半，那么这个平行四边形的面积（ ）
A．乘6 B．除以2 C．乘3
7．一等腰三角形有两条边长分别为5cm和8cm，这个三角形的周长是（ ）
A．18cm B．18cm或21cm C．21cm D．无法判断
8．下面计算梯形面积方法错误的是（ ）
A．（2+4）×4÷2 B．2×4×3
C．4×4﹣（2×4÷2）
二．填空题（共10小题）
9．一个等边三角形，它的周长是180厘米，它的边长是 厘米。一个直角三角形，一个锐角是35°，另一个锐角是 °
10．一块平行四边形草坪的面积是32平方米，高是 米。
11．估一估图中象头所占的面积大约是 （每个小方格面积是1cm2）。
12．一张边长8cm的正方形纸（如图），从相邻两边的中点连一条线段，沿这条线段剪去一个角，剩下的面积是 cm2。
13．如图，王大爷在自家墙外围成一个养鸡场，围成鸡场的篱笆的总长是22米，其中一条边是8米，则养鸡场的面积是 平方米。
14．如图，大正方形ABCD的边长是12cm，小正方形CGFE的边长是8cm，那么图中阴影部分的面积是 cm2。
15．一个梯形上底是8cm，下底是14cm，高是5cm，它的面积是 cm2。
16．小丽剪出一个底为1.5dm，面积为3dm2的三角形，这个三角形的高是 dm。
17．等腰三角形的周长是24厘米，已知底边是10厘米，腰长是 厘米。
18．一个三角形的底是2.5cm，高是4cm，与它等底等高的平行四边形的面积是 cm2。
三．判断题（共5小题）
19．一个平行四边形的面积是8cm2，底acm，那么对应的高表示为（8÷a）cm。 （判断对错）
20．一个三角形的面积是30m2，高是5m，则底是6m。 （判断对错）
21．梯形的面积一定比三角形的面积大。 （判断对错）
22．梯形的上、下底各扩大2倍，面积扩大4倍． ．（判断对错）
23．周长相等的图形，他们的面积也相等． ．（判断对错）
四．计算题（共4小题）
24．求图中阴影部分的面积。
25．求下列图形的面积。（单位：cm）
26．计算如图的面积。（单位：cm）
27．计算下面图形的面积。（单位：cm）
五．应用题（共4小题）
28．三根同样长的木棒首尾相连拼成一个三角形，这个三角形的周长是126厘米。
（1）每根木棒长多少厘米？
（2）围成的三角形各角的度数分别是多少？
29．有一个长25米、宽20米的花坛，如果在这个花坛的四周修3米宽的小路（如图），小路的面积是多少平方米？
30．爷爷在一块上底是120m，下底是180m，高是60m的梯形果园种果树，如果每平方米种4棵果树苗，这个果园一共可以种多少棵果树苗？
31．一块平行四边形菜地，底20米，高12米，如果每平方米收青菜7.5千克，这块菜地共收青菜多少千克？
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【分析】根据等底等高的两个三角形，面积相等，三角形ABC和三角形BCD等底等高，这两个三角形面积相等，这两个三角形面积分别减去空白部分的面积就是甲、乙，据此解答即可。
【解答】解：三角形ABC和三角形BCD等底等高，这两个三角形面积相等，这两个三角形面积分别减去空白部分的面积就是甲、乙，所以甲、乙两部分的面积是相等的。
故选：C。
【点评】根据等底等高的两个三角形，面积相等。
2．【分析】根据平行四边形的面积公式：平行四边形的面积＝底×高，得出平行四边形的底＝平行四边形的面积÷高，据此计算即可．
【解答】解：6.4÷2＝3.2（厘米）
答：底是3.2厘米
故选：A．
【点评】此题主要考查平行四边形的面积公式的灵活应用．
3．【分析】根据梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2，梯形的上底增加3厘米，下底减少3厘米，则梯形上底、下底的和不变，所以梯形的面积不变。
【解答】解：梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，
上底增加3厘米，下底减少3厘米，梯形上下底的和不变，所以梯形的面积不变。
故选：C。
【点评】此题主要考查的是梯形的面积公式的灵活应用。
4．【分析】该图形的面积等于三角形面积加上长方形面积。利用三角形面积公式：S＝ah÷2，长方形面积公式：S＝ab，计算即可。
【解答】解：5×2÷2+5×3
＝5+15
＝20（平方米）
答：组合图形的面积是20平方米。
故选：B。
【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。
5．【分析】从图中可知，三角形的底有4小格，所以底边的长度是4×1＝4（厘米），三角形的高有4小格，所以高的长度是4×1＝4（厘米），再根据三角形的面积＝底×高÷2。代入数据计算即可。
【解答】解：1×4＝4（厘米）
4×4÷2＝8（平方厘米）
8平方厘米＞6平方厘米
故选：A。
【点评】本题考查三角形的面积的运用。
6．【分析】根据平行四边形的面积搜狗：S＝ah，再根据因数与积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘或除以一个数（0除外），积也乘或除以一个数（0除外），由此可知，平行四边形的底扩大到原来的6倍，高缩小到原来的一半，也就是高除以2，那么它的面积就乘（6÷2），据此解答。
【解答】解：6÷2＝3
那么这个平行四边形的面积就乘3.
故选：C。
【点评】此题主要考查平行四边形的面积公式、因数与积的变化规律的应用。
7．【分析】在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。由此可知，这个等腰三角形的底可能是5厘米，也可能是8厘米，根据三角形的周长公式解答即可。
【解答】解：5×2+8
＝10+8
＝18（厘米）
或8×2+5
＝16+5
＝21（厘米）
答：这个三角形的周长是18厘米或21厘米。
故选：B。
【点评】此题考查的目的是理解掌握等腰三角形的特征，以及三角形周长公式的灵活运用。
8．【分析】通过观察图形可知，这是一个直角梯形，上底是2，高是4，这个梯形是由一个直角三角形和一个等腰三角形拼成的，梯形的下底是上底的2倍，所以梯形的下底等于梯形的高，根据梯形的面积公式：S＝（a+b）h÷2，也可以利用“填补”法，用正方形的面积减去补上的三角形的面积。
【解答】解：方法一如图；
（2+4）×4÷2
＝6×4÷2
＝12
方法二如图：
4×4﹣2×4×2
＝16﹣4
＝12
所以，方法错误的是2×4×3。
故选：B。
【点评】此题考查的目的是理解掌握梯形、正方形、三角形的面积公式及应用。
二．填空题（共10小题）
9．【分析】根据等边三角形的三条边相等和三角形的内角和等于180°，解答此题即可。
【解答】解：180÷3＝60（厘米）
180°﹣90°﹣35°＝55°
所以一个等边三角形，它的周长是180厘米，它的边长是60厘米。一个直角三角形，一个锐角是35°，另一个锐角是55°。
故答案为：60；55。
【点评】熟练掌握等边三角形的特征和三角形的内角和定理。
10．【分析】平行四边形的面积＝底×高，所以平行四边形的高＝面积÷底，代入数据计算即可。
【解答】解：32÷8＝4（米）
答：高是4米。
故答案为：4。
【点评】本题考查了平行四边形面积公式的灵活运用。
11．【分析】用数小方格的方法估算不规则图形的面积，通常是先数整格数，再数不足格数，整格数按一个面积单位计算，不足格的按半个面积单位计算。
【解答】解：21个满格，18个不足格，
21+0.5×18
＝21+9
＝30（cm2）
答：图中象头所占的面积大约是30cm2。
故答案为：30cm2。
【点评】用数小方格的方法估算不规则图形的面积，通常是先数整格数，再数不足格数，整格数按一个面积单位计算，不足格的按半个面积单位计算．注意：数格时按一定的顺序数，既不要重复，也不要遗漏。
12．【分析】用正方形的面积减去底和高都是8÷2＝4（厘米）的三角形的面积。利用正方形面积公式：S＝a2，三角形面积公式：S＝ah÷2，计算即可。
【解答】解：8×8﹣（8÷2）×（8÷2）÷2
＝64﹣8
＝56（平方厘米）
答：剩下的面积是56cm2。
故答案为：56。
【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键是把组合图形转化为规则图形计算。
13．【分析】鸡场是一个梯形，篱笆的总长就是梯形的上底+下底+高，高已知，可求上底+下底的长，根据梯形的面积公式：S＝（a+b）h÷2，整体代入计算即可。
【解答】解：（22﹣8）×8÷2
＝14×8÷2
＝112÷2
＝56（平方米）
答：养鸡场的面积是56平方米。
故答案为：56。
【点评】本题主要考查了梯形的面积，找出梯形上底和下底的和并整体代入公式是本题解题的关键。
14．【分析】
如图，连接CF，三角形DFC＝DC×EF÷2＝10×6÷2，三角形BCF＝BC×FG÷2＝10×6÷2，可得三角形DFC和三角形BCF面积相等，三角形DFC和三角形BCF减去三角形CFH后剩余部分三角形DFH和三角形BCH面积也相等。所以阴影部分面积＝DC×BC÷2。
【解答】解：12×12÷2＝72（cm2）
答：阴影部分面积是72cm²。
故答案为：72。
【点评】本题有多种解答方法，本方法的特点是运用等积变化，将涂色部分转化为新的图形。
15．【分析】根据梯形的面积公式：S＝（a+b）h÷2，把数据代入公式解答。
【解答】解：（8+14）×5÷2
＝22×5÷2
＝55（cm2）
答：它的面积是55cm2。
故答案为：55。
【点评】此题主要考查梯形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
16．【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那么h＝2S÷a，把数据代入公式解答。
【解答】解：3×2÷1.5
＝6÷1.5
＝4（分米）
答：这个三角形的高是4分米。
故答案为：4。
【点评】此题主要考查三角形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
17．【分析】等腰三角形的两条腰的长度相等，所以用等腰三角形的周长减少底边的长度，再除以2就是一条腰的长度。
【解答】解：（24﹣10）÷2
＝14÷2
＝7（厘米）
答：腰长是7厘米。
故答案为：7。
【点评】此题考查的目的是理解掌握等腰三角形的特征，以及三角形周长公式的灵活运用。
18．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答。
【解答】解：2.5×4＝10（平方厘米）
答：平行四边形的面积是10平方厘米。
故答案为：10。
【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
三．判断题（共5小题）
19．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，那么h＝S÷a，据此判断。
【解答】解：因为S＝ah，所以h＝S÷a。
即底对应的高是（8÷a）厘米。
题干中的说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
20．【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那a＝2S÷h，据此求出这个三角形的底，然后与6米进行比较即可。
【解答】解：30×2÷5
＝60÷5
＝12（米）
所以这个三角形的底是12米。
12≠6
因此，一个三角形的面积是30m2，高是5m，则底是6m。这种说法是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查三角形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
21．【分析】在没有确定三角形和梯形是否等底等高时，梯形的面积也可能小于三角形的面积。据此判断。
【解答】解：在没有确定三角形的底与梯形的上底（或下底）是否相等，高是否相等时，无法确定梯形的面积是否大于三角形的面积。
因此，梯形的面积一定比三角形的面积大。这种说法是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题考查的目的是理解掌握梯形的面积公式、三角形的面积公式及应用。
22．【分析】设原梯形的上、下底、高分别为a、b、h，根据梯形的面积计算公式“S＝（a+b）h÷2”，梯形的上、下底各扩大2倍就是“S＝（2a+2b）h÷2”，根据乘法分配律“S＝2（a+b）h÷2＝（a+b）h”，
“（a+b）h”与“（a+b）h÷2”相比扩大2倍．
【解答】解：设原梯形的上、下底、高分别为a、b、h
原梯形的面积计算公式“S＝（a+b）h÷2”
梯形的上、下底各扩大2倍就是“S＝（2a+2b）h÷2＝2（a+b）h÷2＝（a+b）h”，
“（a+b）h”与“（a+b）h÷2”相比扩大2倍．
即梯形的上、下底各扩大2倍，面积扩大2倍，原题的说法是错误的．
故答案为：×
【点评】梯形的上、下底各扩大n（为大于1的数）倍，面积扩大倍也扩大n倍．记住这个结论，能快速解答此类题．
23．【分析】可以用举反例的方法，假设正方形的边长是4厘米，那么周长是：4×4＝16（厘米）；长方形的长是2厘米，宽是6厘米，则长方形的周长为（2+6）×2＝16（厘米）；
虽然是周长相等，但是正方形的面积是：4×4＝16（平方厘米），长方形的面积是：2×6＝12（平方厘米），面积不相等．据此解答即可．
【解答】解：正方形的边长是4厘米，那么周长是：4×4＝16（厘米），面积是：4×4＝16（平方厘米）；
长方形的长是2厘米，宽是6厘米，则长方形的周长为（2+6）×2＝16（厘米），面积是：2×6＝12（平方厘米）；
两个图形的周长相等，但是面积不相等．
所以题干说法错误．
故答案为：×．
【点评】解决本题对于小学生来说，举反例的方法较易理解．
四．计算题（共4小题）
24．【分析】根据图示可知，阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去空白三角形的面积，利用正方形面积公式：S＝a2，三角形面积公式：S＝ah÷2，计算即可。
【解答】解：9×9+5×5﹣（9+5）×5÷2
＝81+25﹣35
＝71（平方厘米）
答：阴影部分的面积是71平方厘米。
【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。
25．【分析】该组合图形的面积＝一个梯形面积+一个三角形面积，代入公式：S梯＝（a+b）×h÷2； S△＝a×h÷2，即可计算。
【解答】解：15×8÷2＝60（平方厘米）
（4+9）×14÷2
＝182÷2
＝91（平方厘米）
60+91＝151（平方厘米）
答：该组合图形的面积为151平方厘米。
【点评】本题主要考查了学生对三角形和梯形面积公式的掌握。
26．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答。
【解答】解：15×12＝180（平方厘米）
答：这个平行四边形的面积是180平方厘米。
【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：底和高的对应。
27．【分析】根据梯形的面积公式：S＝（a+b）h÷2，把数据代入公式解答。
【解答】解：（1.5+4）×2.8÷2
＝5.5×2.8÷2
＝15.4÷2
＝7.7（平方厘米）
答：它的面积是7.7平方厘米。
【点评】此题主要考查梯形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
五．应用题（共4小题）
28．【分析】（1）根据三角形周长的定义，用三角形的周长除以3，就是每根木棒长多少厘米。
（2）根据等边三角形的三个角相等，解答此题即可。
【解答】解：（1）126÷3＝42（厘米）
答：每根木棒长42厘米。
（2）180°÷3＝60°
答：围成的三角形各角的度数都是60°。
【点评】根据等边三角形的特征解答此题即可。
29．【分析】小路的面积等于大长方形的面积减去小长方形的面积，利用长方形面积公式：S＝ab，计算即可。
【解答】解：（25+3×2）×（20+3×2）﹣25×20
＝31×26﹣500
＝806﹣500
＝306（平方米）
答：小路的面积是306平方米。
【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。
30．【分析】根据梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，求出果园的面积，再乘4即可。
【解答】解：（120+180）×60÷2×4
＝300×60÷2×4
＝9000×4
＝36000（棵）
答：这个果园一共可以种36000棵果树苗。
【点评】算出梯形的面积，是解答此题的关键。
31．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，求出这块菜地的面积，然后用这块菜地的面积乘每平方米收青菜的质量即可。
【解答】解：20×12×7.5
＝240×7.5
＝1800（千克）
答：这块菜地共收青菜1800千克。
【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
人教版五年级数学上册暑假预习与检测衔接讲义
第6单元 多边形的面积
1、公式：
多边形
面积公式
面积公式的变式
正方形
正方形的面积=边长×边长
S =a×a=a²
已知：正方形的面积，求边长
长方形
长方形的面积=长×宽
S=a×b
已知：长方形的面积和长，求宽
平行四边形
平行四边形的面积=底×高
S=a×h
已知：平行四边形的面积和底，求高h=S÷a
三角形
三角形的面积=底×高÷2
S=a×h÷2
已知：三角形的面积和底，求高h =S×2÷a
梯形
梯形形的面积=（上底+下底）×高÷2
S=（a+b）×h÷2
已知：梯形的面积与上下底之和，求高，高=S×2÷（上底+下底），上底=面积×2÷高－下底
组合图形
当组合图形是凸出的，用两种或三种简单图形面积相加进行计算。
当组合图形是凹陷的，用一种最大的简单图形面积减较小的简单图形面积进行计算。
2、平行四边形面积公式推导：剪拼、平移
平行四边形可以转化成一个长方形；长方形的长相当于平行四边形的底； 长方形的宽相当于平行四边形的高；长方形的面积等于平行四边形的面积，因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。
3、三角形面积公式推导：旋转
两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于三角形的底；平行四边形的高相当于三角形的高；
平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷2
4、两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形
平行四边形的底相当于梯形的上下底之和；平行四边形的高相当于梯形的高；平行四边形面积等于梯形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2
5、等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等；等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
6、长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
7、组合图形面积计算：必须转化成已学的简单图形。
当组合图形是凸出的，用虚线分割成几种简单图形，把简单图形面积相加计算。
当组合图形是凹陷的，用虚线补齐成一种最大的简单图形，用最大简单图形面积减几个较小的简单图形面积进行计算。
【例1】如图是一块三角形菜地，这个三角形有两个角是60°
（1）如果在菜地的外面围上一圈篱笆，需要多少米长的篱笆？
（2）如果从顶点A处，穿过菜地修一条水渠到底边BC，怎样修最省力？请你在图上画出来。
【分析】（1）根据等腰三角形的特征，等腰三角形的两个底角相等，已知这个有两个角是60°，那么另外一个角也是60°，所以这个三角形是等边三角形。根据三角形的周长公式解答即可。
（2）根据三角形高的意义，从点A 向对边作垂线（高），这样最省力，据此解答。
【解答】解：（1）15×3＝45（米）
答：需要45米长的篱笆。
（2）如图：
沿BC边上高修最省力。
【点评】此题考查的目的是理解掌握等腰三角形（等边三角形）的特征，三角形的高的意义，三角形的周长公式及应用。
【例2】如图，紧靠小溪有一块梯形苗圃，它的面积是8000平方米。现在要在另外三边围上护栏，为了减少人工测量的工作量，要求只测量一条边就能计算出护栏的长度。
（1）要测量哪条线段的长？
（2）如果测出这条线段长50米，那么护栏的长共是多少米？
【分析】（1）通过观察图形可知，一边靠河有一块直角梯形的苗圃，面积是8000平方米，现在要在另外三边围上护栏，为了减少人工测量的工作量，要求只测量一条边就能计算出护栏的长度。要测量CD这条线段的长。
（2）根据梯形的面积公式：S＝（a+b）h÷2，那么b＝2S÷h，据此求出梯形上下底之和，然后用梯形上下底之和加上高就是护栏的长度。
【解答】解：（1）要测量CD这条线段的长。
（2）8000×2÷50
＝16000÷50
＝320（米）
320+50＝370（米）
答：护栏的长共是370米。
【点评】此题主要考查梯形的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
【例3】直线l1、l2是平行的一组线。
（1）在这两条线中，画一个与三角形ABC面积相等的三角形。
（2）所画三角形和三角形ABC面积相等的理由是 等底等高 。
【分析】（1）等底等高的三角形的面积相等，据此解答即可。
（2）所画三角形和三角形ABC面积相等的理由是两个三角形等底等高。据此解答。
【解答】解：（1）作图如下：
（2）所画三角形和三角形ABC面积相等的理由是两个三角形等底等高。
故答案为：等底等高。
【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的三角形的面积相等。
【例4】如图，正方形ABCD的边长为8厘米，点E是AD边的中点，点F是CE边的中点，点G是BF边的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？
【分析】本题考查三角形的面积计算．根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”。
【解答】解：如图，连接AF、EG，
因为S△BCF＝S△CDE＝×82＝16（平方厘米）
根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”。
S△AEF＝8，S△EFG＝8（平方厘米）
则△ABF的面积为64﹣16﹣16﹣8＝24（平方厘米）
因为G是BF的中点，所以△ABG的面积是24÷2＝12（平方厘米）
答：三角形ABG的面积是12平方厘米。
【点评】本题关键在于知道△EGF和△AEF的面积相等。
【例5】如图，在三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少？
【分析】如图，连接CD，因为△ADE和△CDE是等高关系，已知AC是AE的3倍，则△ADC的面积是△ADE的面积的3倍，因为△ADE的面积是1平方厘米，则△ADC的面积是1×3＝3（平方厘米），又因为△ADC和△ABC是等高关系，AB是AD的5倍，则△ABC的面积是△ADC的面积的5倍，即可求出。
【解答】解：1×3＝3（平方厘米）
3×5＝15（平方厘米）
答：三角形ABC的面积是15平方厘米。
【点评】此题充分利用了三角形的面积与底成正比的关系进行解答。
一．选择题（共8小题）
1．如图梯形ABCD中，甲乙两块阴影的面积（ ）
A．甲大 B．乙大
C．一样大 D．无法比较大小
2．一个平行四边形的面积是6.4平方厘米，高是2厘米，底是（ ）厘米．
A．3.2 B．1.6 C．2
3．如图：把这个梯形的上底增加3cm，下底减少3cm，得到的梯形和原梯形面积相比，有什么关系？（ ）
A．大于 B．小于 C．相等
4．如图是一个房间的侧面，它的面积是（ ）平方米。
A．10.5 B．20 C．18
5．如图中，每个小方格的边长均为1cm。那么，三角形ABC的面积（ ）6cm2。
A．大于 B．小于 C．等于
6．一个平行四边形，底扩大到原来的6倍，高缩小到原来的一半，那么这个平行四边形的面积（ ）
A．乘6 B．除以2 C．乘3
7．一等腰三角形有两条边长分别为5cm和8cm，这个三角形的周长是（ ）
A．18cm B．18cm或21cm C．21cm D．无法判断
8．下面计算梯形面积方法错误的是（ ）
A．（2+4）×4÷2 B．2×4×3
C．4×4﹣（2×4÷2）
二．填空题（共10小题）
9．一个等边三角形，它的周长是180厘米，它的边长是 厘米。一个直角三角形，一个锐角是35°，另一个锐角是 °
10．一块平行四边形草坪的面积是32平方米，高是 米。
11．估一估图中象头所占的面积大约是 （每个小方格面积是1cm2）。
12．一张边长8cm的正方形纸（如图），从相邻两边的中点连一条线段，沿这条线段剪去一个角，剩下的面积是 cm2。
13．如图，王大爷在自家墙外围成一个养鸡场，围成鸡场的篱笆的总长是22米，其中一条边是8米，则养鸡场的面积是 平方米。
14．如图，大正方形ABCD的边长是12cm，小正方形CGFE的边长是8cm，那么图中阴影部分的面积是 cm2。
15．一个梯形上底是8cm，下底是14cm，高是5cm，它的面积是 cm2。
16．小丽剪出一个底为1.5dm，面积为3dm2的三角形，这个三角形的高是 dm。
17．等腰三角形的周长是24厘米，已知底边是10厘米，腰长是 厘米。
18．一个三角形的底是2.5cm，高是4cm，与它等底等高的平行四边形的面积是 cm2。
三．判断题（共5小题）
19．一个平行四边形的面积是8cm2，底acm，那么对应的高表示为（8÷a）cm。 （判断对错）
20．一个三角形的面积是30m2，高是5m，则底是6m。 （判断对错）
21．梯形的面积一定比三角形的面积大。 （判断对错）
22．梯形的上、下底各扩大2倍，面积扩大4倍． ．（判断对错）
23．周长相等的图形，他们的面积也相等． ．（判断对错）
四．计算题（共4小题）
24．求图中阴影部分的面积。
25．求下列图形的面积。（单位：cm）
26．计算如图的面积。（单位：cm）
27．计算下面图形的面积。（单位：cm）
五．应用题（共4小题）
28．三根同样长的木棒首尾相连拼成一个三角形，这个三角形的周长是126厘米。
（1）每根木棒长多少厘米？
（2）围成的三角形各角的度数分别是多少？
29．有一个长25米、宽20米的花坛，如果在这个花坛的四周修3米宽的小路（如图），小路的面积是多少平方米？
30．爷爷在一块上底是120m，下底是180m，高是60m的梯形果园种果树，如果每平方米种4棵果树苗，这个果园一共可以种多少棵果树苗？
31．一块平行四边形菜地，底20米，高12米，如果每平方米收青菜7.5千克，这块菜地共收青菜多少千克？
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【分析】根据等底等高的两个三角形，面积相等，三角形ABC和三角形BCD等底等高，这两个三角形面积相等，这两个三角形面积分别减去空白部分的面积就是甲、乙，据此解答即可。
【解答】解：三角形ABC和三角形BCD等底等高，这两个三角形面积相等，这两个三角形面积分别减去空白部分的面积就是甲、乙，所以甲、乙两部分的面积是相等的。
故选：C。
【点评】根据等底等高的两个三角形，面积相等。
2．【分析】根据平行四边形的面积公式：平行四边形的面积＝底×高，得出平行四边形的底＝平行四边形的面积÷高，据此计算即可．
【解答】解：6.4÷2＝3.2（厘米）
答：底是3.2厘米
故选：A．
【点评】此题主要考查平行四边形的面积公式的灵活应用．
3．【分析】根据梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2，梯形的上底增加3厘米，下底减少3厘米，则梯形上底、下底的和不变，所以梯形的面积不变。
【解答】解：梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，
上底增加3厘米，下底减少3厘米，梯形上下底的和不变，所以梯形的面积不变。
故选：C。
【点评】此题主要考查的是梯形的面积公式的灵活应用。
4．【分析】该图形的面积等于三角形面积加上长方形面积。利用三角形面积公式：S＝ah÷2，长方形面积公式：S＝ab，计算即可。
【解答】解：5×2÷2+5×3
＝5+15
＝20（平方米）
答：组合图形的面积是20平方米。
故选：B。
【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。
5．【分析】从图中可知，三角形的底有4小格，所以底边的长度是4×1＝4（厘米），三角形的高有4小格，所以高的长度是4×1＝4（厘米），再根据三角形的面积＝底×高÷2。代入数据计算即可。
【解答】解：1×4＝4（厘米）
4×4÷2＝8（平方厘米）
8平方厘米＞6平方厘米
故选：A。
【点评】本题考查三角形的面积的运用。
6．【分析】根据平行四边形的面积搜狗：S＝ah，再根据因数与积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘或除以一个数（0除外），积也乘或除以一个数（0除外），由此可知，平行四边形的底扩大到原来的6倍，高缩小到原来的一半，也就是高除以2，那么它的面积就乘（6÷2），据此解答。
【解答】解：6÷2＝3
那么这个平行四边形的面积就乘3.
故选：C。
【点评】此题主要考查平行四边形的面积公式、因数与积的变化规律的应用。
7．【分析】在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。由此可知，这个等腰三角形的底可能是5厘米，也可能是8厘米，根据三角形的周长公式解答即可。
【解答】解：5×2+8
＝10+8
＝18（厘米）
或8×2+5
＝16+5
＝21（厘米）
答：这个三角形的周长是18厘米或21厘米。
故选：B。
【点评】此题考查的目的是理解掌握等腰三角形的特征，以及三角形周长公式的灵活运用。
8．【分析】通过观察图形可知，这是一个直角梯形，上底是2，高是4，这个梯形是由一个直角三角形和一个等腰三角形拼成的，梯形的下底是上底的2倍，所以梯形的下底等于梯形的高，根据梯形的面积公式：S＝（a+b）h÷2，也可以利用“填补”法，用正方形的面积减去补上的三角形的面积。
【解答】解：方法一如图；
（2+4）×4÷2
＝6×4÷2
＝12
方法二如图：
4×4﹣2×4×2
＝16﹣4
＝12
所以，方法错误的是2×4×3。
故选：B。
【点评】此题考查的目的是理解掌握梯形、正方形、三角形的面积公式及应用。
二．填空题（共10小题）
9．【分析】根据等边三角形的三条边相等和三角形的内角和等于180°，解答此题即可。
【解答】解：180÷3＝60（厘米）
180°﹣90°﹣35°＝55°
所以一个等边三角形，它的周长是180厘米，它的边长是60厘米。一个直角三角形，一个锐角是35°，另一个锐角是55°。
故答案为：60；55。
【点评】熟练掌握等边三角形的特征和三角形的内角和定理。
10．【分析】平行四边形的面积＝底×高，所以平行四边形的高＝面积÷底，代入数据计算即可。
【解答】解：32÷8＝4（米）
答：高是4米。
故答案为：4。
【点评】本题考查了平行四边形面积公式的灵活运用。
11．【分析】用数小方格的方法估算不规则图形的面积，通常是先数整格数，再数不足格数，整格数按一个面积单位计算，不足格的按半个面积单位计算。
【解答】解：21个满格，18个不足格，
21+0.5×18
＝21+9
＝30（cm2）
答：图中象头所占的面积大约是30cm2。
故答案为：30cm2。
【点评】用数小方格的方法估算不规则图形的面积，通常是先数整格数，再数不足格数，整格数按一个面积单位计算，不足格的按半个面积单位计算．注意：数格时按一定的顺序数，既不要重复，也不要遗漏。
12．【分析】用正方形的面积减去底和高都是8÷2＝4（厘米）的三角形的面积。利用正方形面积公式：S＝a2，三角形面积公式：S＝ah÷2，计算即可。
【解答】解：8×8﹣（8÷2）×（8÷2）÷2
＝64﹣8
＝56（平方厘米）
答：剩下的面积是56cm2。
故答案为：56。
【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键是把组合图形转化为规则图形计算。
13．【分析】鸡场是一个梯形，篱笆的总长就是梯形的上底+下底+高，高已知，可求上底+下底的长，根据梯形的面积公式：S＝（a+b）h÷2，整体代入计算即可。
【解答】解：（22﹣8）×8÷2
＝14×8÷2
＝112÷2
＝56（平方米）
答：养鸡场的面积是56平方米。
故答案为：56。
【点评】本题主要考查了梯形的面积，找出梯形上底和下底的和并整体代入公式是本题解题的关键。
14．【分析】
如图，连接CF，三角形DFC＝DC×EF÷2＝10×6÷2，三角形BCF＝BC×FG÷2＝10×6÷2，可得三角形DFC和三角形BCF面积相等，三角形DFC和三角形BCF减去三角形CFH后剩余部分三角形DFH和三角形BCH面积也相等。所以阴影部分面积＝DC×BC÷2。
【解答】解：12×12÷2＝72（cm2）
答：阴影部分面积是72cm²。
故答案为：72。
【点评】本题有多种解答方法，本方法的特点是运用等积变化，将涂色部分转化为新的图形。
15．【分析】根据梯形的面积公式：S＝（a+b）h÷2，把数据代入公式解答。
【解答】解：（8+14）×5÷2
＝22×5÷2
＝55（cm2）
答：它的面积是55cm2。
故答案为：55。
【点评】此题主要考查梯形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
16．【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那么h＝2S÷a，把数据代入公式解答。
【解答】解：3×2÷1.5
＝6÷1.5
＝4（分米）
答：这个三角形的高是4分米。
故答案为：4。
【点评】此题主要考查三角形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
17．【分析】等腰三角形的两条腰的长度相等，所以用等腰三角形的周长减少底边的长度，再除以2就是一条腰的长度。
【解答】解：（24﹣10）÷2
＝14÷2
＝7（厘米）
答：腰长是7厘米。
故答案为：7。
【点评】此题考查的目的是理解掌握等腰三角形的特征，以及三角形周长公式的灵活运用。
18．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答。
【解答】解：2.5×4＝10（平方厘米）
答：平行四边形的面积是10平方厘米。
故答案为：10。
【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
三．判断题（共5小题）
19．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，那么h＝S÷a，据此判断。
【解答】解：因为S＝ah，所以h＝S÷a。
即底对应的高是（8÷a）厘米。
题干中的说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
20．【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那a＝2S÷h，据此求出这个三角形的底，然后与6米进行比较即可。
【解答】解：30×2÷5
＝60÷5
＝12（米）
所以这个三角形的底是12米。
12≠6
因此，一个三角形的面积是30m2，高是5m，则底是6m。这种说法是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查三角形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
21．【分析】在没有确定三角形和梯形是否等底等高时，梯形的面积也可能小于三角形的面积。据此判断。
【解答】解：在没有确定三角形的底与梯形的上底（或下底）是否相等，高是否相等时，无法确定梯形的面积是否大于三角形的面积。
因此，梯形的面积一定比三角形的面积大。这种说法是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题考查的目的是理解掌握梯形的面积公式、三角形的面积公式及应用。
22．【分析】设原梯形的上、下底、高分别为a、b、h，根据梯形的面积计算公式“S＝（a+b）h÷2”，梯形的上、下底各扩大2倍就是“S＝（2a+2b）h÷2”，根据乘法分配律“S＝2（a+b）h÷2＝（a+b）h”，
“（a+b）h”与“（a+b）h÷2”相比扩大2倍．
【解答】解：设原梯形的上、下底、高分别为a、b、h
原梯形的面积计算公式“S＝（a+b）h÷2”
梯形的上、下底各扩大2倍就是“S＝（2a+2b）h÷2＝2（a+b）h÷2＝（a+b）h”，
“（a+b）h”与“（a+b）h÷2”相比扩大2倍．
即梯形的上、下底各扩大2倍，面积扩大2倍，原题的说法是错误的．
故答案为：×
【点评】梯形的上、下底各扩大n（为大于1的数）倍，面积扩大倍也扩大n倍．记住这个结论，能快速解答此类题．
23．【分析】可以用举反例的方法，假设正方形的边长是4厘米，那么周长是：4×4＝16（厘米）；长方形的长是2厘米，宽是6厘米，则长方形的周长为（2+6）×2＝16（厘米）；
虽然是周长相等，但是正方形的面积是：4×4＝16（平方厘米），长方形的面积是：2×6＝12（平方厘米），面积不相等．据此解答即可．
【解答】解：正方形的边长是4厘米，那么周长是：4×4＝16（厘米），面积是：4×4＝16（平方厘米）；
长方形的长是2厘米，宽是6厘米，则长方形的周长为（2+6）×2＝16（厘米），面积是：2×6＝12（平方厘米）；
两个图形的周长相等，但是面积不相等．
所以题干说法错误．
故答案为：×．
【点评】解决本题对于小学生来说，举反例的方法较易理解．
四．计算题（共4小题）
24．【分析】根据图示可知，阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去空白三角形的面积，利用正方形面积公式：S＝a2，三角形面积公式：S＝ah÷2，计算即可。
【解答】解：9×9+5×5﹣（9+5）×5÷2
＝81+25﹣35
＝71（平方厘米）
答：阴影部分的面积是71平方厘米。
【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。
25．【分析】该组合图形的面积＝一个梯形面积+一个三角形面积，代入公式：S梯＝（a+b）×h÷2； S△＝a×h÷2，即可计算。
【解答】解：15×8÷2＝60（平方厘米）
（4+9）×14÷2
＝182÷2
＝91（平方厘米）
60+91＝151（平方厘米）
答：该组合图形的面积为151平方厘米。
【点评】本题主要考查了学生对三角形和梯形面积公式的掌握。
26．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答。
【解答】解：15×12＝180（平方厘米）
答：这个平行四边形的面积是180平方厘米。
【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：底和高的对应。
27．【分析】根据梯形的面积公式：S＝（a+b）h÷2，把数据代入公式解答。
【解答】解：（1.5+4）×2.8÷2
＝5.5×2.8÷2
＝15.4÷2
＝7.7（平方厘米）
答：它的面积是7.7平方厘米。
【点评】此题主要考查梯形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
五．应用题（共4小题）
28．【分析】（1）根据三角形周长的定义，用三角形的周长除以3，就是每根木棒长多少厘米。
（2）根据等边三角形的三个角相等，解答此题即可。
【解答】解：（1）126÷3＝42（厘米）
答：每根木棒长42厘米。
（2）180°÷3＝60°
答：围成的三角形各角的度数都是60°。
【点评】根据等边三角形的特征解答此题即可。
29．【分析】小路的面积等于大长方形的面积减去小长方形的面积，利用长方形面积公式：S＝ab，计算即可。
【解答】解：（25+3×2）×（20+3×2）﹣25×20
＝31×26﹣500
＝806﹣500
＝306（平方米）
答：小路的面积是306平方米。
【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。
30．【分析】根据梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，求出果园的面积，再乘4即可。
【解答】解：（120+180）×60÷2×4
＝300×60÷2×4
＝9000×4
＝36000（棵）
答：这个果园一共可以种36000棵果树苗。
【点评】算出梯形的面积，是解答此题的关键。
31．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，求出这块菜地的面积，然后用这块菜地的面积乘每平方米收青菜的质量即可。
【解答】解：20×12×7.5
＝240×7.5
＝1800（千克）
答：这块菜地共收青菜1800千克。
【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
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