备战2024高考一轮复习数学（理） 第六章 数列 第四节 数列求和课件PPT

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[典例]　已知等比数列{an}的公比与等差数列{bn}的公差相等，且b1＝5a1＝5，b5＋b7＝2b3＋12.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)若cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．[解]　(1)设{an}的公比为q，{bn}的公差为d.由题意，(b1＋4d)＋(b1＋6d)＝2(b1＋2d)＋12，得d＝2.又b1＝5，所以bn＝5＋(n－1)×2＝2n＋3.又a1＝1，q＝d＝2，有an＝a1qn－1＝2n－1，所以{an}，{bn}的通项公式分别为an＝2n－1，bn＝2n＋3.
[方法技巧]　利用分组转化法求和的3个关键点
方法(二)　裂项相消法求和　裂项相消法求和的实质和解题关键裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
[解]　(1)∵an＋1＝2an－an－1(n≥2)，∴an＋1＋an－1＝2an(n≥2)，∴{an}是等差数列．∵a1＝1，a2＝2，∴a2－a1＝1，∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．∴{an}的通项公式为an＝n，n∈N*.
[方法技巧]　常见数列的裂项方法
[提醒]　利用裂项相消法求和时，要注意检验裂项前后是否等价，还要注意求和时正负相消后消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．
方法(三)　错位相减法求和　1．适用条件若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和Sn.2．注意事项(1)在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；(2)作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．
[方法技巧]　错位相减法求和的基本步骤
解：(1)由Sn＋1＝2Sn＋1，得Sn＝2Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1，∴an＋1＝2an(n≥2，n∈N*)．又a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1，∴a2＋a1＝2a1＋1，整理得a2＝2a1.∴数列{an}是以首项为1，公比为2的等比数列，∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
4．(创新考查角度)若在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列3,4进行构造，第一次得到数列3,7,4；第二次得到数列3,10,7,11,4；依次构造，第n(n∈N*)次得到数列3，x1，x2，…，xk,4.记an＝3＋x1＋x2＋…＋xk＋4，则a3＝________；设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝________.
“课时验收评价”见“课时验收评价(三十七)” (单击进入电子文档)