2022-2023学年山西省吕梁市临县七年级（下）月考数学试卷（二）（5月份）（含解析）

2022-2023学年山西省吕梁市临县七年级（下）月考数学试卷（二）（5月份）

一、选择题（共9小题，共27分）

1.  的平方根是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

2.  下列各数中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为，则点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，下列条件：；；；其中能判断直线的有(    )

A.
B.
C.
D.

6.  已知点，点，直线轴，点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  我国古代数学著作孙子算经中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡只，兔只，可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，与交于点，点在直线上，，，下列四个结论：；；；其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  一个大正方形和四个全等的小正方形按图、两种方式摆放，则图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（共6小题，共18.0分）

10.  计算的结果是______ ．

11.  使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．如果一个二元一次方程的解中两个未知数的绝对值相等，那么我们把这个解称做这个二元一次方程的等模解．二元一次方程的等模解是______．

12.  若关于、的方程组的解满足，则的值为______ ．

13.  如图，已知平分，于，，若，则______．

14.  已知点、，且轴，点为直线上一点，且，则点的坐标为______ ．

15.  如图，线段和表示两面镜子，且直线直线，光线经过镜子反射到镜子，最后反射到光线光线反射时，，，下列结论：
直线平行于直线；
的角平分线所在的直线垂直于直线；
的角平分线所在的直线垂直于的角平分线所在的直线；
当绕点顺时针旋转时，直线与直线不一定平行．
其中正确的是______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
解方程：；
解方程组：．

17.  本小题分
已知的立方根是，的算术平方根是．
求，的值；
求的平方根．

18.  本小题分
请在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，使得，两点的坐标分别为，，请画出坐标轴和原点；
在的条件下，过点作轴的垂线，垂足为点，在的延长线上截取．
写出点的坐标；
平移线段使点移动到点，画出平移后的线段，并直接写出点的坐标．
轴上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

19.  本小题分
国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋，已知购买支毛笔和副围棋共花费元，购买支毛笔和副围棋共花费元，求每支毛笔和每副围棋的单价各多少元．

20.  本小题分
如图，，是分别是，上的点，，是上的点，连结，，，如果，．
判断与的位置关系，并说明理由；
若是的平分线，，求的度数．

21.  本小题分
当，都是实数，且满足，就称点为完美点．
判断点是否为完美点．
已知关于，的方程组，当为何值时，以方程组的解为坐标的点是完美点，请说明理由．

22.  本小题分
为了迎接军运会，武汉市公交总公司计划购买型和型两种环保节能公交车辆，已知一辆型公交车与一辆型公交车售价之比为：，每辆型车的售价比每辆型车的倍少万元．
求购买两种型号的公交车每辆各需多少万元？
预计在该线路上型和型公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次，若购买型和型公交车的总费用不超过万，且确保这辆公交车在该线路上的年均载客量综合不少于万人次，则有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？

23.  本小题分
已知直线．
如图，直接写出、、的数量关系______ ；
如图，直接写出、、、的数量关系______ ；
如图，平分，平分若，求和满足的数量关系；
如图，若，且，点在直线上运动不含、已知平分，平分，请直接写出与满足的数量关系用含有的式子表示

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的平方根是或，
故选：．
直接根据平方根的定义求解可得．
本题主要考查平方根，解题的关键是掌握如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、，是有理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

3.【答案】 

【解析】解：点在第四象限，且到轴的距离是个单位长度，到轴的距离是个单位长度，
点的横坐标是，纵坐标是，
点的坐标是．
故选：．
根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，根据点到轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到轴的距离等于其横坐标的绝对值解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
先用含的代数式表示、，即解关于，的方程组，再代入中计算即可得出答案．
【解答】
解：解法一：解方程组得：，，
把，代入二元一次方程，
得：，
解得：；
解法二：方程组，
得：，
，
，
；
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：由不能得到，故本条件不合题意；
，，故本条件符合题意；
由不能得到，故本条件不合题意；
，，故本条件符合题意．
故选A．
根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．
本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：点，点，直线轴，
，
，
，
故选：．
根据已知条件“点，点，直线轴”列方程即可得到结论．
此题主要考查了坐标与图形性质，点的坐标，正确的理解题意是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】
解：由题意可得，
，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：

正确；
过点作，，
，
，
设，，则，
，
，
，

错误；
，
错误；
，
正确．
综上所述，正确答案为．
故选：．
过点作，，设，，利用猪脚模型、锯齿模型表示出、，即可分析出答案．
本题主要考查平行线的拐点模型，能识别出模型并作出辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可知，小正方形的边长为，大正方形的边长为，
所以阴影部分的面积为，
故选：．
用含有、的代数式分别表示大正方形、小正方形的边长及面积，进而得出答案．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
 

11.【答案】或 

【解析】解：根据题意得：或，
解得：或，
故答案为：：或．
根据新定义得：与的绝对值相等，所以或，与联立解方程组即可．
本题考查了解二元一次方程组，分两种情况解方程组是本题的关键，注意不要漏解．
 

12.【答案】 

【解析】解：，得，
，
关于，的方程组的解满足，
，
解得．
故答案为：．

本题考查了二元一次方程组的解，得出是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：平分，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
已知平分，，根据两直线平行同旁内角互补，可求得的度数，再由周角是求得度数．
本题考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：轴，
，解得，
，
点坐标为，
，在的下方，
当在线段上时，

，
此时坐标为
当在延长线时，
，即，
，
此时坐标为
故答案为或．
由轴可知的横坐标相等，故，即可求出，得，根据已知，分在线段上和在线段延长线两种情况求出，即可得到两种情况下的坐标．
本题主要考查了坐标与图形的性质，掌握平行于轴的直线上所有点横坐标相等是解题的关键，并根据、两点的距离及相对位置，分类求解．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
又，，
，
又，
，
，
，
结论正确；
过点作平分交于，如图：

，
，，
，
，
又，
，
结论正确；
作平分，交的平分线所在直线于，如图：

设，
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
顺时针旋转到，如图：

，
，
，故错误，
正确的有：，
故答案为：．
由得，根据平角的定义，角的和差求得，再由内错角相等，两直线平行证明，可知结论正确；作的平分线，由平角的定义垂直的定义得，再根据平行线的判定证明，可知结论正确；作平分，交的平分线所在直线于，可证结论正确；顺时针旋转到，画出图形，可证结论是错误的．
本题综合考查了旋转的性质，平行线的判定与性质，平角的定义，角平分线的定义，垂直的定义等相关知识，重点掌握平行线的判定与性质．
 

16.【答案】解：原式
；
方程整理得：，
开方得：或，
解得：，；
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为． 

【解析】原式利用平方根及立方根定义计算即可求出值；
方程移项后，利用平方差公式开方即可求出解；
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，解方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

17.【答案】解：因为的立方根是，的算术平方根是，
所以，，
所以，；
由知，，
所以，
所以的平方根为． 

【解析】本题考查了平方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义．
运用立方根和算术平方根的定义求解．
根据平方根，即可解答．
 

18.【答案】解：如图所示即为所求；

；
；
存在，或． 

【解析】根据，，即可画出坐标轴和原点；
根据网格即可写出点的坐标；
根据平移的性质即可平移线段使点移动到点，进而可以画出平移后的线段，写出点的坐标；
根据，即可写出点的坐标．
本题考查了作图平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
 

19.【答案】解：设每副围棋的单价是元，每支毛笔的单价是元，
依题意得：，
解得：，
答：每支毛笔的单价是元，每副围棋的单价是元． 

【解析】设每副围棋的单价是元，每支毛笔的单价是元，由题意：购买支毛笔和副围棋共花费元，购买支毛笔和副围棋共花费元，即可列出关于、的二元一次方程组，解二元一次方程组即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

20.【答案】解：．
因为，
所以，
因为，
所以，
所以；
因为，，
所以，
因为是的平分线，
所以，
所以，
所以． 

【解析】由平行线的性质定理可得，等量代换可得，利用平行线的判定定理可得结论；
由已知可得，利用角平分线的性质定理可得，利用平行线的判定定理可得，由平行线的性质定理可得结论．
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．
 

21.【答案】解：，可得，，可得，
，
不是完美点．

，
，
，可得，
，可得，
，
，
，
当时，点是完美点． 

【解析】根据完美点的定义判定即可；
用表示、，构建方程即可解决问题；
本题考查二元方程组，点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目．
 

22.【答案】解：设一辆型公交车售价元，则一辆型公交车售价是元，
根据题意，得，
解得，
万元，
万元，
答：一辆型公交车售价元，则一辆型公交车售价是元；
设购买型公交车辆，
根据题意，得，
解得，
取正整数，，，
所以有三种购车方案，
方案一：型公交车辆，型公交车辆，总费用为万元，
方案二：型公交车辆，型公交车辆，总费用万元，
方案三：型公交车辆，型公交车辆，总费用万元，
，
有三种方案，购进型公交车辆，型公交车辆，总费用最少，最少总费用为万元． 

【解析】设一辆型公交车售价元，则一辆型公交车售价是元，根据每辆型车的售价比每辆型车的倍少万元，列一元一次方程，求解即可；
设购买型公交车辆，根据购买型和型公交车的总费用不超过万，且确保这辆公交车在该线路上的年均载客量综合不少于万人次，列一元一次不等式组，求出的取值范围，进一步可得购车方案，进一步计算即可确定总费用最少的购车方案，并求出最少费用即可．
本题考查了一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：如图，过点作，

，
，
，，
，
，
故答案为：；
如图，过点作，过点作，

，
，
，，，
，
，
，
，
故答案为：；
由中图的结论可得，，
，
平分，平分，
，，
，
得，，
得，，
，
，
即；
当点在线段上时，如图，

，，
，
，
是的一个外角，
，
平分，平分，
，，
，
，
即；
当点在线段的延长线上时，如图，

，，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
即；
同理可得当点在线段的延长线上时；
综上，当点在线段上时，；当点在线段的延长线上或在线段的延长线上时，．
如图，过点作，于是有，从而得出，，于是问题得证；
如图，过点作，过点作，于是有，然后根据平行线的性质即可得出；
由中图的结论可得，，，再根据角平分线的定义得出，，从而得出和之间的数量关系；
当点在线段上时，利用三角形外角的性质得出，再根据角平分线的定义得出，，从而得出与的关系；当点在线段的延长线上时，利用三角形的内角和定理得出，再根据角平分线的定义得出，，从而得出与的关系；当点在线段的延长线上时与点在线段的延长线上时一样．
本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．