2023届山东省潍坊市高三三模数学试题含解析

2023届山东省潍坊市高三三模数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交集与补集的定义求解.

【详解】，

，，

故选：C.

2．已知为虚数单位，则“复数是纯虚数”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先根据复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的定义及充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】，

因为复数是纯虚数

所以，即，故不同时为，

所以，

当时，不是纯虚数，

所以“复数是纯虚数”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

3．已知平面向量与的夹角是，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用模的公式可得到，然后利用数量积的运算律即可得到答案

【详解】由可得，

因为平面向量与的夹角是，且

所以

故选：C

4．我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？”按照上述方法，截得的该正四棱台的体积为（    ）（注：1丈尺）

A．11676立方尺 B．3892立方尺

C．立方尺 D．立方尺

【答案】B

【分析】根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积．

【详解】如图所示，

正四棱锥的下底边长为二丈，即尺，

高三丈，即尺；

截去一段后，得正四棱台，且上底边长为尺，

所以，

解得，

所以该正四棱台的体积是

（立方尺）．

故选：．

5．已知函数的定义域为，为偶函数，，则（    ）

A．函数为偶函数 B．

C． D．

【答案】A

【分析】由函数的对称性，周期性求解即可.

【详解】因为为偶函数，所以，

所以的图象关于对称.所以

又因为，所以的图象关于对称，

所以由得，所以是周期为的函数.

由得，所以为偶函数.

故选：A.

6．若为函数图象上的一个动点，以为切点作曲线的切线，则切线倾斜角的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设出切点，利用处的导数几何意义，即可得出，然后利用正切值即可得出答案.

【详解】设点坐标为，

由，，

得，

则以为切点的切线斜率为，

令切线倾斜角为，，则，

则.

故选：D.

7．已知事件,,，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由条件概率的公式以及对立事件之间的关系列出方程组，解方程组即可得.

【详解】由条件概率公式可知,即①,

,即②,

而，所以③，

又已知④,

②③④联立可得.

故选：C

8．已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，求出导函数得出单调性，从而可得，即，得出大小，同理可得大小，得出答案.

【详解】∵，

构造函数，，

令，则，

∴在上单减，

∴，

故，所以在上单减，

∴，

∵，

构造函数，，

令，则，

∴在上单减，

∴，

故，所以在上单减，

∴，

故.

故选：D.

二、多选题

9．如图所示的几何体，是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面所得，且其所有棱长均为1，则（    ）

A．直线与直线所成角为 B．直线与平面所成角为

C．该几何体的体积为 D．该几何体中，二面角的余弦值为

【答案】AC

【分析】将该几何体还原为原正四面体，对A：直线与直线所成角即为MQ与QN所成角；对B：直线与平面所成角为QN与底面MNS所成的角；对C：该几何体的体积为大正四面体的体积减去4个棱长为1的小正四面体的体积；对D：二面角的大小与的大小互补.

【详解】

将该几何体还原为原正四面体，棱长为，设中心为O，连接OQ，ON，则,

对A：因为，所以直线与直线所成角即为MQ与QN所成角为，故A正确；

对B：直线与平面所成角为QN与底面MNS所成的角，即为所求角，，，故B错误；

对C：该几何体的体积为大正四面体的体积减去4个棱长为1的小正四面体的体积，，故C正确；

对D：二面角的大小与的大小互补，显然的大小为锐角，所以二面角的大小一定为钝角，故D错误.

故选：AC

10．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（    ）

A．的最小正周期为 B．在上单调递增

C．函数的最大值为 D．方程在上有5个实数根

【答案】ACD

【分析】根据函数平移规则得出解析式，根据单调区间代入特殊点即可求出，即可得出和解析式，根据三角函数性质即可选出答案.

【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到，

所以的最小正周期为，则是的半个最小正周期，

又是的一个单调递增区间，所以，

即，，解得，，

因为，所以，故，

的最小正周期，故A正确；

令，，解得，，

即的递增区间为，，

所以在上单调递增，故B错误；

，

所以

，

所以函数的最大值为，故C正确；

当时，令，

则、、、、，

即方程在上有5个实数根，故D正确.

故选：ACD.

11．函数的图象是双曲线，且直线和是它的渐近线．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．， B．对称轴方程是

C．实轴长为 D．离心率为

【答案】ABD

【分析】由基本不等式可判断A，由双曲线的性质判断B，C，D.

【详解】时，，当且仅当即时取等号，

时，，

当且仅当即时取等号，故A正确；

依题意，此双曲线两条渐近线为和，，

由双曲线的对称性，双曲线的渐近线关于双曲线的对称轴对称，

故得双曲线的两条对称轴方程为，故B正确；

由双曲线的性质，双曲线实轴的两个顶点为对称轴与双曲线的两个交点，则由得双曲线实轴的两个顶点分别为

，，

故此双曲线的实轴长即为，故C错误；

依题意，此双曲线两条渐近线和的夹角为，

则渐近线与对称轴的夹角为，由双曲线的性质有，

所以，解得，故D正确.

故选：ABD

12．已知函数，实数满足不等式，则的取值可以是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】CD

【分析】根据函数解析式判断出函数对称性，根据函数导数判断函数单调性，根据函数单调性将外函数的大小比较转化为内函数大小比较即可.

【详解】因为，

所以，

所以关于对称，

，

当且仅当，即时等号成立，

又因，所以恒成立，则是增函数，

因为，所以，

则.

故选：CD.

三、填空题

13．已知,则_________.（用数字作答）

【答案】33

【分析】令可得,令可得,令可得,两式相加得,再减去即可得出结果.

【详解】因为.

令,得;

令,得①;

令,得②;

①+②得,

所以.

故答案为:.

14．已知圆，与圆总相切的圆的方程是_________．

【答案】

【分析】根据圆标准方程可知圆心轨迹，由圆心轨迹与圆轨迹可确定圆上总有点与原点距离为4即可求出圆的方程.

【详解】圆标准方程为，

圆的圆心为，半径为2，

由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，

故圆上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆的方程是：.

故答案为：.

15．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是_________．

【答案】

【分析】令，问题转化为与在上有两个交点，且互为反函数，交点在上，则它们有交点的临界情况为与相切，设切点，利用导数几何意义求切点坐标，进而确定临界情况下的值，即可得出范围.

【详解】由题知，

，

令，，

则与在上有两个交点，

又与互为反函数，且交点在上，

设、与相切时，切点为，，

则，解得，

又，所以，

所以当时，和只有一个交点；

当时，此时图像为，无交点；

当时，此时图像为，有两个交点.

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题考查了转化思想、导数的几何意义，难点是确定临界值，属于难题.

16．已知过点的直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，切点是（在轴的上方），直线和的倾斜角分别是，则的取值范围为_________．

【答案】

【分析】首先直线分别与抛物线方程联立，求得点的坐标，以及利用韦达定理表示，再结合两角和的正切公式，和基本不等式求解取值范围.

【详解】设直线，与抛物线方程联立

，得，

，得或，，

设直线，与抛物线方程联立，

，得，

，得（由题意可知，舍去）

当时，解得：，，即，

，，

，

当时，，此时，

当时，等号成立，但，所以

当时，，此时，

当时，等号成立，由对称性可知，，此时，

综上可知，的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．已知数列和满足．

(1)证明：和都是等比数列；

(2)求的前项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由，两式相加、相减，结合等比数列的定义即可证明；

（2）由（1）可得，，即可求出和的通项公式，从而得到，再利用分组求和法及等边数列求和公式计算可得.

【详解】（1）因为，，

所以，，

又由，得，，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

数列是首项为，公比为的等比数列．

（2）由（1）得，，

所以，，

所以，

所以．

18．定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于的四边形．已知在平面凸四边形中，，，，的平分线为，且．

(1)求的面积；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用角平分线定理可得出，利用余弦定理可求得、的长，分析可知为直角三角形，利用三角形的面积公式可求得结果；

（2）利用正弦定理可得出，求出的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得长的取值范围.

【详解】（1）解：由题意可得，在中，的平分线为，且，

所以，，则，

由余弦定理得，，

即，所以，，，

则，为直角三角形，故.

（2）解：在平面凸四边形中，，则，

由（1）可得，，，

在中，由正弦定理可得，

所以，，

又因为，

且，

所以，则，

所以的取值范围是．

19．某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100件产品，统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）

产品的性能指数在的适合儿童使用（简称A类产品），在的适合少年使用（简称B类产品），在的适合青年使用（简称C类产品），三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）．以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率．

(1)该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量的数据做了初步处理，得到散点图（如图2）及一些统计量的值（如下表）．

表中．

根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程，求关于的回归方程；（取）

(2)求每件产品的平均销售利润；并用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用）

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．

【答案】(1)

(2)4元，256万元

【分析】（1）根据表中数据求出相应参数，即可得到回归方程；

（2）求出每件产品的销售利润的分布列，得出均值即每件产品的平均销售利润，求出年收益的表达式，通过求导得出该公司在该产品一年的收益达到最大时应投入的营销费.

【详解】（1）由题意，

由得，，

令，则，

由表中数据可得，，

则，

∴，

即，

∵，

∴，

∴所求的回归方程为．

（2）由题意及（1）得，

设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，

由直方图可得，三类产品的频率分别为0.15，0.45，0.4，

∴，，，

所以随机变量的分布列为：

所以，

故每件产品的平均销售利润为4元；

设年收益为万元，则，

设，

则，

当时，，在单週递增，

当时，，在单调递减，

∴当，即时，有最大值为768，

∴估计当该公司一年投入256万元营销费时，能使得该产品年收益达到最大．

20．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且.

(1)求证：直线平面；

(2)求证：平面平面；

(3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）设交于点，连接，利用三角形相似证得，从而证得，进而证得直线平面；

（2）通过平面，证得平面，所以平面平面；

（3）建立空间直角坐标系，设，通过向量和平面的法向量建立直线与平面所成角的正弦值的关系式，并利用基本不等式，即可求最值.

【详解】（1）如图，设交于点，连接，易知底面，，所以，

又是底面圆的内接正三角形，由，可得，.

又，，所以，即，

又，所以，

所以，即，

又平面，直线平面，平面，

所以直线平面.

.  

（2）因为平面，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（3）易知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

所以，，，，

设平面的法向量为，

则，即，令，则，

设，可得，

设直线与平面所成的角为，

则，

即，

令，

则，

当且仅当时，等号成立，所以当时，有最大值4，

即当时，的最大值为1，此时点，

所以，

所以点到平面的距离，

故当直线与平面所成角的正弦值最大时，点到平面的距离为.

21．已知椭圆的离心率为，且过点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若动直线：与椭圆交于两点，且在坐标平面内存在两个定点，使得（定值），其中分别是直线的斜率，分别是直线的斜率．

①求的值；

②求四边形面积的最大值．

【答案】(1)

(2)①；②

【分析】（1）利用离心率和过点坐标联立即可求解得出答案.

（2）①设，把与椭圆的标准方程联立，利用消元表示出要求的式子，即可得出结论；②不妨设点，点，利用点到直线的距离公式，即可表示出要求的面积，进而求解其最大值即可.

【详解】（1）由題意得，

解得，

则椭圆的标准方程为.

（2）①设，

把与椭圆的标准方程联立，

消去，可得，

注意到为方程的两根，

故有恒等式，

则，

同理，把与椭圆的标准方程联立，

消去，可得，

注意到为方程的两根，

故有恒等式，

则，

则，

所以，

若为定值，则必有，

计算可得，，

故．

②不妨设点，点，点，点到直线的距离分别是，

因为，，，

所以，

四边形面积

（当时取等号），

所以四边形面积的最大值是．

22．已知函数有两个极值点．

(1)求实数的取值范围；

(2)证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意转化为有两个零点，令，求得，得出的单调性，结合，得到，进而得到存在，使得，令，得到在上恒成立，进而求得实数的取值范围；

（2）由（1）转化为，进而转化为证明，令，可得，利用导数求得单调性，结合，即可求解.

【详解】（1）解：由函数有两个极值点，

即函数有两个零点，不妨设，

因为，令，可得，

令，解得，

当时，，当时，，

则在上单调递增，在上单调递减，

所以，可得，

又由，所以存在，使得，

令，可得，

令，可得，

所以在上单调递增，且,即，

所以在上单调递增，

又由，所以在上恒成立，

又由，

所以存在，使得，

所以实数的取值范围是．

（2）解：由（1）得，不妨设，

则，即，

要证，即证，即，

只需证，则，即，

即，令，可得，

因为，可得，

所以在上为增函数，则，

即，所以.

【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；

3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.