04、初中数学.整式加减.第04讲

模块一 代数式的概念

用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.

例如：5，，，等等.

【例1】         列代数式（1）若正方形的边长为，则正方形的面积是        ；

（2）若三角形一边长为，并且这边上的高为，则这个三角形的面积为         ；

（3）若表示正方形棱长，则正方形的体积是         ；

（4）若表示一个有理数，则它的相反数是          ；

（5）小明从每月的零花钱中贮存元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款     元。

（数学教学要紧密联系学生的生活实际，这是新课程标准所赋予的任务。让学生列代数式不仅复习前面的知识，更是为下面给出单项式埋下伏笔，同时使学生受到较好的思想品德教育）

【难度】1星

【解析】略

【答案】（1）;（2）;（3）;（4）;(5)

列代数式时应该注意的问题

（1）数与字母、字母与字母相乘时常省略“”号或用“”.

如：

（2）数字通常写在字母前面.

如：

（3）带分数与字母相乘时要化成假分数.

如：切勿错误写成“”.

（4）除法常写成分数的形式.

如：

思想方法小结  在代数式里渗透了转化思想和推理思想.

（1）转化思想表现为把实际问题中的数量关系转化为代数式或者给出代数式实际背景.

（2）推理思想表现为用所学的知识去推导未知量，求代数式的值等.

模块二 单项式与多项式

单项式：像,它们都是数或字母的积，这样的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

知识规律小结：(1)圆周率π是常数，如的系数是，次数是1；的系数是，次数是.

(2)当一个单项式的系数是或时，通常省略不写系数，如 ,等.

(3）代数式的系数是带分数时，通常写成假分数，如写成

【例2】         判断下列各代数式是否是单项式。如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。

（1）；    （2）；    （3）；    （4）

【难度】1星

【解析】略

【答案】（1）不是；单项式没有符号（2）不是；根据定义（3）是；系数是，次数是２（4）是；系数是，次数是３

【例3】         下面各题的判断是否正确？

①的系数是；           ②与没有系数；

③的次数是；     ④的系数是；

⑤的次数是；          ⑥的系数是。

【难度】1星

【解析】略

【答案】①×;②×;③×;④√;⑤×;⑥√

通过其中的反例练习及例题，强调应注意以下几点：

①圆周率是常数；

②当一个单项式的系数是或时，“”通常省略不写，如，等；

③单项式次数只与字母指数有关。

☞巩固练习

1. 写出一个系数是，且只含两个字母的三次单项式是          ；

【难度】1星

【解析】略．

【答案】

2. 指出下列单项式的系数和次数

【难度】1星

【解析】略．

【答案】的系数是，次数是1；

的系数是5，次数是3；

的系数是1，次数是6

的系数是，次数是5

的系数是，次数是3

的系数是-1，次数是0

【拓展】填空:单项式的系数是_________

【难度】1星

【解析】略

【答案】

3. 若是系数为-1的五次单项式，求的值

【难度】2星

【解析】根据题意得

解得：

【答案】

模块三 多项式

多项式及相关概念

（1）几个单项式的和叫做多项式.例如：等.

（2）在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项。如：多项式，它的项分别是，常数项是.

(3)一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.如： 是五次四项式，最高次项是.

【例4】         指出下列多项式的项和次数，并说明它是几次几项式。

（1）；         （2）

【难度】1星

【解析】略

【答案】(1)多项式的项有、、、，次数是3，它为三次四项式。

(2)多项式的项有、、，次数是，它为四次三项式

【例5】         (1)如果是关于的六次单项式，则应满足什么条件？

（2）如果是关于的三次二项式，求的值。

（3）若多项式不含的项，求的值。

【难度】2星

【解析】（1）由，且，即

(2) 由题意得知，,且,所以

所以当时，.

（3）由题意得，得

【答案】（1）;(2); （3）

【例6】         已知多项式是五次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值。

【难度】2星

【解析】由已知多项式是五次四项式，得，又因为单项式的次数与这个多项式的次数相同，则，所以所以

【答案】10

【总结】(1)在确定多项式的项的时候，要连同它前面的符号.

(2)多项式的次数是多项式中次数最高项的次数

☞巩固练习

4. 下列说法中正确的是﹙   ﹚

A．是二次三项式    B．是二次三项式

C．的常数项是        D．两个多项式的和一定还是多项式

【难度】1星

【解析】略

【答案】C

5. 已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值。

【难度】2星

【解析】由题意得解得

【答案】

模块四 整式

整式：单项式与多项式都是整式

整式

【例7】         判断下列各式是否是整式

①；②；③；④；⑤；⑥

【难度】1星

【解析】略

【答案】①②③⑤⑥是整式

☞巩固练习

6. 某地区的手机收费有两种方式，用户可任选其一：A、月租费 20元，0.25元／分；B、月租费 25元，0.20元／分．某用户某月打手机分钟，两种方式的费用分别为元和元，试用含x的代数式分别表示和.

【难度】2星

【解析】根据题意得 ;

【答案】 ,

模块四 同类项

同类项：所含字母相同，并且相同的字母的指数也相同的项

【例8】         指出下列多项式的同类项

（1）        （2）

【难度】1星

【解析】略

【答案】(1)同类项：和；和；和

（2）同类项：和；和

注:所含字母相同，并且相同的字母的指数也相同的项为同类项.

【例9】         （1）若与是同类项，求的值。

（2）若与是同类项，的值

【难度】2星

【解析】（1）依题意得：所以

(2)依题意得：

【答案】（1）,(2)

【拓展】若与同类项，求的值．

【难度】2星

【解析】因为，所以

【答案】

【例10】     单项式与是同类项,求的值．

【难度】2星

【解析】由题意得

【答案】

☞巩固练习

7. 若与是同类项,求的值．

【难度】2星

【解析】由题意得得

【答案】

8. 若与是同类项,求的值

【难度】2星

【解析】由题意得解得

【答案】

9. 若与是同类项,求的值.

【难度】2星

【解析】由题意得

【答案】

模块五 合并同类项

合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项.

类比数的运算，探究得出合并同类项的法则.

法则：所得项的系数是合并前各同类项系数的和，字母部分不变.

【例11】     合并下列各式中的同类项

(1);

(2);

(3);

【难度】1星

【解析】(1)

(2)

(3)

【答案】(1) ; (2);  (3).

合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变.

特别提醒：(1) 合并的前提是同类项.

(2) 合并指的是系数相加，字母和字母的指数保持不变.

(3) 合并同类项的根据是加法交换律、结合律以及分配律.

☞巩固练习

10. 计算的结果是( )

A.        B.

C.         D.

【难度】2星

【解析】略

【答案】A

11. 在与,与,,,,中能合并的又( )

A.5组           B.4组          C.3组             D.2组

【难度】2星

【解析】略

【答案】C

12. 合并下列同类项

(1)

【难度】1星

【解析】略

【答案】

(2)

【难度】2星

【解析】略

【答案】

(3)

【难度】2星

【解析】略

【答案】

(4)

【难度】2星

【解析】略

【答案】

13. 某市出租车收费标准为:起步价为5元,超过3千米后每1千米收费1.2元,某人乘坐出租车行了x千米(x>3且为整数),则他应付费多少元?

【难度】3星

【解析】根据题意列式

【答案】元

模块六 去括号

括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，原括号里各项的符号都要改变.

【例12】     先去括号，在合并同类项

【难度】1星

【解析】略

【答案】

模块七 整式加减

几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.

【例13】     计算：

【难度】1星

【解析】略

【答案】

【例14】     化简求值

，其中

，其中

【难度】1星

【解析】略

【答案】（1）原式=

当时

原式=

（2）原式=

当时

原式=

【例15】     有这样一道题：计算的值，其中.甲同学把“”错抄成“”。但他的计算结果也是正确的，你说这是怎么回事？

【难度】2星

【解析】根据题意

【答案】化简结果不含有字母x，故原多项式的值与x无关。因此，无论甲同学把“”错抄成“”还是错抄成别的什么，只要y没抄错，结果都是正确的。

【例16】     已知多项式，求多项式的值

【难度】1星

【解析】由已知得≥0，≥0，

所以所以

【答案】

☞巩固练习

14. 当时，求代数式的值。

【难度】2星

【解析】略

【答案】

当 , 原式

15. 先化简，再求值（1），其中；

【难度】1星

【解析】

【答案】原式=

（2），其中.　

【难度】1星

【解析】

【答案】原式=

16. 已知，求的值

【难度】3星

【解析】则

【答案】

17. 已知：，，求代数式的值。

【难度】3星

【解析】

【答案】

18. 某公交车上原有人，中途有半数人下车，同时又有若干人上车，这时车上共有乘客人，你知道中途上车的人数吗？

【难度】3星

【解析】把与看成两个整体,可列示

化简后得.

【答案】

【练习1】若当时，多项式的值为，则当时，多项式的值为__________．

【难度】1星

【解析】当时，。当时，

由条件可知，,

【答案】

【练习2】已知多项式，求多项式的值

【难度】2星

【解析】由已知得≥0，≥0，

所以所以

原式

【答案】

【练习3】若+，,求的值

【难度】2星

【解析】∵

又∵+，即∴

【答案】

1. 写出下列单项式的系数.

(1)； (2)； (3)； (4)； (5)4.

【难度】1星

【解析】略

【答案】(1) 的系数是；(2) 的系数是；

(3)的系数是-；（4）的系数是；

(5) 的系数是23，即8.

2. 下列多项式分别是哪几项的和？分别是几次几项式？

(1)；(2)；(3).

【难度】1星

【解析】略

【答案】(1) 是，，，-6四项的和.是五次四项式.

(2)是三项的和，是四次三项式.

(3) 是两项的和，是四次二项式.

3. 将下列各式合并同类项.

（1)；

(2).

【难度】1星

【解析】略

【答案】（1)

(2)

4. 如图所示，请说出第n个图形中笑脸的个数.

【难度】2星

【解析】略

【答案】：第n个图形中笑脸的个数可以表示为.

5. （1）若，则＝       ；

（2）若代数式的值为6，则代数式的值为      .

【难度】3星

【解析】(1)无法求出x的具体值，由可变形为，只需把所求变形即可逐步求出.具体过程如下：

∵,∴.

∴

(2)此题不能直接求出的值，需对所求式子变形.

∵,∴

∴

【答案】