2022-2023学年甘肃省白银市会宁四中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省白银市会宁四中高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则下列说法正确的是(    )
若，则与所成的角为；
若与所成角为，则；
若，则平面与所成的锐二面角为；
若平面与所成的角为，则

A.  B.  C.  D.

3.  在中，是的中点．若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，，直线与曲线相切，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若是空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  曲线在点处的切线方程为(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(    )

A. 若两条不重合的直线，的方向向量分别是，则
B. 若直线的方向向量是，平面的法向量是，则
C. 若直线的方向向量是，平面的法向量是，则
D. 若两个不同的平面，的法向量分别是，则

10.  分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C. 事件与不互斥 D. 事件与相互独立

11.  已知，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图是函数的导函数的图像，下列结论正确的是(    )

A. 是函数的极值点
B. 是函数的极值点
C. 在处取得极大值
D. 函数在区间上单调递增
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  如图所示，在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则______用，，表示．

14.  函数在上是增函数，则的取值范围是______ ．

15.  已知空间向量，若与平行，则        ．

16.  汽车行驶的路程和时间之间的函数如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，三者的大小关系为______由大到小排列

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的单调区间；
Ⅱ若，求的最大值与最小值．

18.  本小题分
已知函数在处取得极值．
求，的值；
求曲线在点处的切线方程．

19.  本小题分
已知函数，满足．
求实数的值；
求的极值．

20.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，为的中点．
证明：．
求二面角的平面角的余弦值．

21.  本小题分
一袋中装有个黑球，个白球如果不放回地依次取出个球求：
第次取到黑球的概率；
在第次取到黑球的条件下，第次又取到黑球的概率．

22.  本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为的中点．
求证：平面；
求点到平面的距离．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，，所以．
故选：．
根据给定条件，利用条件概率公式计算作答．
本题考查条件概率相关知识，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：若，则与所成的角为，错误；
若与所成角为，或，错误；
若，则平面与所成的锐二面角为，正确；
若平面与所成的角为，则或，错误．
故选：．
由直线与平面所成夹角与直线方向向量与平面法向量夹角的关系可判断，由平面法向量之间的夹角和平面与平面所成的夹角之间的关系可判断．
本题主要考查二面角的求法，直线与平面所成的角，考查运算求解能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，由平行四边形法则可知，

故选：．
直接利用平行四边形法则得答案．
本题考查平面向量的运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对求导得，
由得，则，即，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：．
根据导数的几何意义结合已知方程求出，的关系，再根据不等式中“”的整体代换即可得出答案．
本题考查了导数的几何意义和不等式中“”的整体代换，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：对选项，，故三向量共面，A错误；
对选项，若共面，则，解得，故三向量共面，B错误，
对选项，，故三向量共面，C错误，
对选项，若向量共面，则无解，
故向量不共面，故D正确．
故选：．
判断所给三个向量是否共面，即可得解．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，又，
在方向上的投影，
点到直线的距离为．
故选：．
利用向量投影和勾股定理即可计算．
本题主要考查向量投影，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，对任意实数恒成立，
令，则，
，
．
故选：．
分离参数后，另一边利用基本不等式求出最小值即可．
本题考查了二次函数的图象与性质．属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，属于基础题．
求出原函数的导函数，得到导函数在时的函数值，即切线斜率，再由点斜式直线方程得答案．

【解答】

解：由，得，
，
曲线在点处的切线方程为，
即．
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：对于，两条不重合的直线，的方向向量分别是，
，，故A正确；
对于，直线的方向向量是，平面的法向量是，
，，故B正确；
对于，直线的方向向量是，平面的法向量是，
，，故C正确；
对于，两个不同的平面，的法向量分别是，
，，故D正确．
故选：．
对于，，从而；对于，，从而；对于，，从而；对于，，从而．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果有：正，正、正、反、反、正、反，反，共个基本事件；
对于，满足事件的基本事件有正，正、正、反，共个基本事件，则，A正确；
对于，满足事件的基本事件有正，正，共个基本事件，则，B错误；
对于，事件与事件可同时发生，事件与事件不互斥，C正确；
对于，满足事件的基本事件有正，正、反、正，共个基本事件，则，
，事件与事件相互独立，D正确．
故选：．
列举出所有基本事件，并确定满足事件，，的基本事件个数，由此计算得到，，，结合互斥事件定义和独立事件概率乘法公式可判断出结果．
本题主要考查古典概型概率公式，互斥事件与相互独立事件的判断，考查运算求解能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
则，解得或．
故选：．
对复合函数求导，代入，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于选项A，由图像可知，在的左侧，在的右侧，
所以由函数的极值的判断方法可知，选项A正确；
对于选项B，由图像可知，在的左侧，在的右侧，
所以由函数的极值的判断方法可知，选项B错误；
对于选项C，根据图像和极值的定义可知，选项C错误；
对于选项D，由图像可知，在区间上，恒有，且仅在处取到等号，故选项D正确．
故选：．
根据函数的极值的定义和判断方法，通过图像，可判断出选项ABC的正误；再通过函数的单调性与导数的关系可判断出选项D的正误．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，化归转化思想，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：为的中点，
，
又为中点，
，
．
故答案为：．
根据向量加法与减法法则可以直接得到结果．
本题主要考查向量的加法与减法法则，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：若函数在上是增函数，
则只需在上恒成立，
只需即可，
解得：，
故答案为：．
问题转化为在上恒成立，结合二次函数的性质得到不等式，解出即可．
本题考查了函数的单调性、函数恒成立问题，考查导数的应用，是一道基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，空间向量，，则，
若与平行，必有，解可得，
则，
故；
故答案为：．
根据题意，由向量平行求出的值，进而计算可得答案．
本题考查空间向量的平行，涉及向量的坐标的计算，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意，汽车在时间段，，上的平均速度分别为，
即直线、、的斜率，
分析易得：，
则有；
故答案为：．
根据题意，由变化率的定义分析可得即直线、、的斜率，据此分析可得答案．
本题考查平均速度的定义，涉及直线的斜率，属于基础题．
 

17.【答案】解：Ⅰ因为，所以，
当即或，当，即，
所以函数单调递增区间为，，单调递减区间为．
Ⅱ由Ⅰ可知函数在单调递减，单调递增，所以，
又因为，，且，所以，
故函数最大值为，最小值为． 

【解析】Ⅰ求出函数的导数，判断导函数的符号，求解函数的单调区间．
Ⅱ由Ⅰ可知函数在单调递减，单调递增，求出函数的最小值，求出端点值，即可得到函数的最大值．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调区间以及函数的最值的求法，是基本知识的考查，中档题．
 

18.【答案】解：由函数，可得，
因为在处取得极值，可得，即，
整理得，解得，，
经检验，当，时，，
令，解得或；令，解得，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，
所以在处取得极值，且符合题意，
所以，．
解：由得，函数且，
则，即切线的斜率为且，
所以曲线在点处的切线方程为，
即． 

【解析】求得，根据题意得到，求得，，验证符合题意，即可求解；
由求得且，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了导数几何意义在切线方程求解中的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：由已知可得定义域为，，
因为，所以，所以．
由知，，．
令，即，所以．
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值． 

【解析】由已知，代入即可求出实数的值；
由知，根据导函数求出的单调区间，即可得出函数的极值．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，属中档题．
 

20.【答案】解：证明：以，，所在直线分别为，，轴，建系如图，则根据题意可得：
，
，
，；
设平面的法向量为，
则，取，
设平面的法向量为，
则，取，
，
又由图可知：二面角的平面角为锐角，
二面角的平面角的余弦值为． 

【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积，向量垂直的性质，即可证明；
建系，利用向量法，空间向量夹角公式，即可求解．
本题考查利用向量法证明线线垂直，利用向量法求解二面角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．
 

21.【答案】解：由已知共有个球，黑球个．
根据古典概型的概率公式可得，第次取到黑球的概率为．
缩小样本空间法．第次取到黑球后，袋中剩余个黑球，个白球．
根据古典概型的概率公式可得，在第次取到黑球的条件下，第次又取到黑球的概率为． 

【解析】只考虑第次，即可得出第次取到黑球的概率；采用缩小样本空间的方法，即可得出第二问的答案．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 

22.【答案】解：证明：易知，且，故四边形为平行四边形，故BC，
又平面，平面，故BC平面；
以，，所在直线分别为，，轴，建系如图，

则，，，，
．
设平面的法向量为，
则所以取．
所以点到平面的距离． 

【解析】由四边形为平行四边形证得，进而证得平面；
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，用空间向量求点到平面的距离．
本题考查线面平行的证明，向量法求解点面距问题，属中档题．