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2023年四川省凉山州中考数学试卷 （含答案解析）
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这是一份2023年四川省凉山州中考数学试卷 （含答案解析），共33页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文宇说明，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.
1．（4分）下列各数中，为有理数的是（ ）
A． B．3.232232223…
C． D．
2．（4分）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为2，则数据x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的方差是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．11
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8 B．a2+2a2＝3a4
C．（2a2b）3＝8a6b3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（4分）2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营．据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客144.6万人次．将数据144.6万用科学记数法表示的是（ ）
A．1.446×105 B．1.446×106 C．0.1446×107 D．1.446×107
6．（4分）点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）
7．（4分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3+∠4＝（ ）
A．165° B．155° C．105° D．90°
8．（4分）分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1
9．（4分）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
10．（4分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
11．（4分）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，则OC＝（ ）
A．1 B．2 C．2 D．4
12．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0 B．4a﹣2b+c＜0
C．3a+c＝0 D．am2+bm+a≤0（m为实数）
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）计算（π﹣3.14）0+＝ ．
14．（4分）已知y2﹣my+1是完全平方式，则m的值是 ．
15．（4分）如图，▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（1，2）．则顶点B的坐标是 ．
16．（4分）不等式组的所有整数解的和是 ．
17．（4分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，则CA′＝ ．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.
18．（5分）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中x＝（）2023，y＝22022．
19．（5分）解方程：＝．
20．（7分）2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海泸山风景区（以下分别用A、B、C、D表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若某游客随机选择A、B、C、D四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择A的概率．
21．（7分）超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的C、E两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A、D、B、F在同一直线上．点C、点E到AB的距离分别为CD、EF，且CD＝EF＝7m，CE＝895m，在C处测得A点的俯角为30°，在E处测得B点的俯角为45°，小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s．
（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）
22．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长．
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x3﹣10x2+5x+2027的值等于 ．
24．（5分）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是 ．
五、解答题（共4小题，共40分）
25．（8分）凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．
（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？
26．（10分）阅读理解题：阅读材料：
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα＝，则tanβ＝．
证明：设BE＝k，
∵tanα＝，
∴AB＝2k，
易证△AEB≌△EFC（AAS）．
∴EC＝2k，CF＝k，
∴FD＝k，AD＝3k，
∴tanβ＝＝＝，
若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．
同理：若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线y＝3x﹣9与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA＝5．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
（3）求直线AE的解析式．
27．（10分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD＝∠FAD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若PA＝4，PD＝2，求⊙O的半径和DE的长．
28．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0）两点，与y轴交于点C．直线y＝﹣3x+3过抛物线的顶点P．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线x＝m（﹣5＜m＜0）与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．
①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；
②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．
2023年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.
1．（4分）下列各数中，为有理数的是（ ）
A． B．3.232232223…
C． D．
【分析】运用有理数和无理数的概念进行逐一辨别、求解．
【解答】解：∵＝2，
∴选项A符合题意；
∵3.232232223…，，是无理数，
∴选项B，C，D不符合题意，
故选：A．
【点评】此题考查了实数的分类能力，关键是能准确理解并运用实数的概念进行辨别、求解．
2．（4分）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由俯视图中相应位置上摆放的小立方体的个数，可得出主视图形状，进而得出答案．
【解答】解：主视图看到的是两层，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
因此选项C中的图形符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
3．（4分）若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为2，则数据x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的方差是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．11
【分析】根据当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即可得出答案．
【解答】解：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则方差为[...+]＝2，
∴数据x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的平均数为（+3），方差为[+...+]＝[...+]＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍（或这个数的平方分之一）．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8 B．a2+2a2＝3a4
C．（2a2b）3＝8a6b3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2•a4＝a6，故A不符合题意；
B、a2+2a2＝3a2，故B不符合题意；
C、（2a2b）3＝8a6b3，故C符合题意；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（4分）2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营．据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客144.6万人次．将数据144.6万用科学记数法表示的是（ ）
A．1.446×105 B．1.446×106 C．0.1446×107 D．1.446×107
【分析】利用科学记数法的法则解答即可．
【解答】解：144.6万＝1.446×106．
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法，表示较大的数，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
6．（4分）点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，3）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
7．（4分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3+∠4＝（ ）
A．165° B．155° C．105° D．90°
【分析】由平行线的性质可得∠3＝∠1＝45°，∠4＝60°，从而可求解．
【解答】解：∵在水中平行的光线，在空气中也是平行的，∠1＝45°，∠2＝120°，
∴∠3＝∠1＝45°，
∵水面与杯底面平行，
∴∠4＝180°﹣∠2＝60°，
∴∠3+∠4＝105°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
8．（4分）分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝0，
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
9．（4分）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
【分析】根据BE＝CF求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；
当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；
当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；
当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
10．（4分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】利用基本作图得MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠A＝40°，则计算出∠ABC＝∠C＝70°，然后计算∠ABC﹣∠ABD即可．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
11．（4分）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，则OC＝（ ）
A．1 B．2 C．2 D．4
【分析】连接OB，设OA交BC于E，由∠ADB＝30°，得∠AOB＝60°，根据OA⊥BC，BC＝2，得BE＝BC＝，故sin60°＝，从而OB＝2＝OC＝2．
【解答】解：连接OB，设OA交BC于E，如图：
∵∠ADB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA⊥BC，BC＝2，
∴BE＝BC＝，
在Rt△BOE中，sin∠AOB＝，
∴sin60°＝，
∴OB＝2，
∴OC＝2；
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是掌握含30°角的直角三角形三边关系．
12．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0 B．4a﹣2b+c＜0
C．3a+c＝0 D．am2+bm+a≤0（m为实数）
【分析】由抛物线开口向上知a＞0，由抛物线的对称轴为直线x＝1，知b＝﹣2a，b＜0，由抛物线与y轴交于负半轴，知c＜0，可判断A错误；由（4，16a+4b+c）在第一象限，知（﹣2，4a﹣2b+c）在第二象限，判断B错误；由9a+3b+c＝0，b＝﹣2a，可得3a+c＝0，判断C正确；由am2+bm+a＝am2﹣2am+a＝a（m﹣1）2，可判断D错误．
【解答】解：由抛物线开口向上知a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故A错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且4﹣1＝1﹣（﹣2），
∴抛物线上的点（4，16a+4b+c）与（﹣2，4a﹣2b+c）关于对称轴对称，
由图可知，（4，16a+4b+c）在第一象限，
∴（﹣2，4a﹣2b+c）在第二象限，
∴4a﹣2b+c＞0，故B错误，不符合题意；
∵x＝3时y＝0，
∴9a+3b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴9a+3×（﹣2a）+c＝0，
∴3a+c＝0，故C正确，符合题意；
∵b＝﹣2a，
∴am2+bm+a＝am2﹣2am+a＝a（m﹣1）2，
∵a＞0，（m﹣1）2≥0，
∴a（m﹣1）2≥0，
∴am2+bm+a≥0，故D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的相关性质．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）计算（π﹣3.14）0+＝ ．
【分析】利用零指数幂的意义和二次根式的性质化简运算即可．
【解答】解：原式＝1+﹣1
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义和二次根式的性质，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
14．（4分）已知y2﹣my+1是完全平方式，则m的值是 ±2 ．
【分析】利用完全平方式的意义解答即可．
【解答】解：∵y2﹣my+1是完全平方式，y2﹣2y+1＝（y﹣1）2，y2﹣（﹣2）y+1＝（y+1）2，
∴﹣m＝﹣2或﹣m＝2，
∴m＝±2．
故答案为：±2．
【点评】本题主要考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
15．（4分）如图，▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（1，2）．则顶点B的坐标是 （4，2） ．
【分析】延长BC交y轴于点D，由平行四边形的性质得BC＝OA，BC∥OA，再证BC⊥y轴，然后求出BC＝OA＝3，CD＝1，OD＝2，则BD＝CD+BC＝4，即可得出结论．
【解答】解：如图，延长BC交y轴于点D，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC＝OA，BC∥OA，
∵OA⊥y轴，
∴BC⊥y轴，
∵A（3，0），C（1，2），
∴BC＝OA＝3，CD＝1，OD＝2，
∴BD＝CD+BC＝1+3＝4，
∴B（4，2），
故答案为：（4，2）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16．（4分）不等式组的所有整数解的和是 7 ．
【分析】求出不等式组的解集，确定出整数解，求出之和即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞，
解不等式②得x≤4，
∴不等式组的解集为﹣＜x≤4，
由x为整数，可取﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
则所有整数解的和为7，
故答案为：7．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
17．（4分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，则CA′＝ 2 ．
【分析】由∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，可得∠A＝∠ACD，由翻折的性质可知∠ACD＝∠A'CD，AC＝CA'，故∠A＝∠ACD＝∠A'CD，而A'C⊥AB，即得∠A＝∠ACD＝∠A'CD＝30°，在Rt△ABC中，tan30°＝，可解得AC，从而可得答案．
【解答】解：设CA'交AB于O，如图：
∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠ACD，
由翻折的性质可知∠ACD＝∠A'CD，AC＝CA'，
∴∠A＝∠ACD＝∠A'CD，
∵A'C⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠A'CD+∠ACD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠ACD＝∠A'CD＝30°，
在Rt△ABC中，tanA＝，
∴tan30°＝，
∴AC＝2，
∴CA'＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形三边的关系．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.
18．（5分）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中x＝（）2023，y＝22022．
【分析】利用整式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y）
＝4x2+4xy+y2﹣4x2+y2﹣2xy﹣2y2
＝2xy，
当x＝（）2023，y＝22022时，
原式＝2×（）2023×22022
＝2××（）2022×22022
＝2××（×2）2022
＝2××12022
＝2×
＝1．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．（5分）解方程：＝．
【分析】利用解分式方程的一般步骤解答即可．
【解答】解：去分母得：x（x﹣1）＝2，
去括号得：x2﹣x＝2，
移项得：x2﹣x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x＝2或x＝﹣1，
将x＝2代入原方程，原方程左右相等，
∴x＝2是原方程的解．
将x＝﹣1代入，使分母为0，
∴x＝﹣1是原方程的增根，
∴原方程的解为：x＝2．
【点评】本题主要考查了分式方程的解法，验根是常常遗漏的步骤，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
20．（7分）2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海泸山风景区（以下分别用A、B、C、D表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若某游客随机选择A、B、C、D四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择A的概率．
【分析】（1）用B景点的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）先计算出C景点的人数，则可补全条形统计图，然后分别计算出A景点和C景点所占的百分比，从而补全扇形统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出他第一个景区恰好选择A的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）60÷10%＝600（人），
所以本次参加抽样调查的游客有600人；
（2）C景点的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120（人），
C景点的人数所占的百分比为×100%＝20%，
A景点的人数所占的百分比为×100%＝30%，
两幅不完整的统计图补充为：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，他第一个景区恰好选择A的结果数为3，
所以他第一个景区恰好选择A的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21．（7分）超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的C、E两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A、D、B、F在同一直线上．点C、点E到AB的距离分别为CD、EF，且CD＝EF＝7m，CE＝895m，在C处测得A点的俯角为30°，在E处测得B点的俯角为45°，小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s．
（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）
【分析】（1）根据题意，DF＝CE＝895m，在Rt△EBF中，刻度BF＝＝7（m），故DB＝DF﹣BF＝888（m），在Rt△ACD中，AD＝＝7≈12.12（m），即可得AB＝AD+BD≈900（m），从而知A，B两点之间的距离约为900m；
（2）由900÷45＝20（m/s），再换算单位可知小型汽车从点A行驶到点B没有超速．
【解答】解：（1）根据题意，四边形CDFE是矩形，∠CAD＝30°，∠EBF＝45°，
∴DF＝CE＝895m，
在Rt△EBF中，
BF＝＝＝7（m），
∴DB＝DF﹣BF＝895﹣7＝888（m），
在Rt△ACD中，
AD＝＝＝7≈12.12（m），
∴AB＝AD+BD＝12.12+888≈900（m），
∴A，B两点之间的距离约为900m；
（2）∵900÷45＝20（m/s），
∴小型汽车每小时行驶20×3600＝72000（m），
∵72000m＝72km，72＜80，
∴小型汽车从点A行驶到点B没有超速．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是掌握含特殊角的直角三角形三边的关系．
22．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长．
【分析】（1）证AB＝CB，得▱ABCD是菱形，再由菱形的性质即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OA＝OC＝AC＝8，AC⊥BD，再由勾股定理得OB＝6，然后证△BOE∽△AOB，得＝，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴▱ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；
（2）解：由（1）可知，▱ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝8，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∴OB＝＝＝6，
∵BE⊥AB，
∴∠EBA＝90°，
∴∠BEO+∠BAO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BEO＝∠ABO，
∴△BOE∽△AOB，
∴＝，
即＝，
解得：OE＝，
即OE的长为．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x3﹣10x2+5x+2027的值等于 2023 ．
【分析】由x2﹣2x﹣1＝0，得x2﹣2x＝1，将所求式子变形为3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027，再整体代入计算即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴3x3﹣10x2+5x+2027
＝3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027
＝3x×1﹣4×1﹣3x+2027
＝3x﹣4﹣3x+2027
＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是整体代入思想的应用．
24．（5分）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是 1+ ．
【分析】取AB的中点D，连接OD及DC，根据三角形的三边关系得到OC小于等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，由等边三角形的边长为2，根据D为AB中点，得到BD为1，根据三线合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD，即为OC的最大值．
【解答】解：取AB中点D，连OD，DC，
∴OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，
∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，
∴BD＝1，BC＝2，
∴CD＝＝，
∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD＝AB＝1，
∴OD+CD＝1+，即OC的最大值为1+．
故答案为：1+．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，其中找出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键．
五、解答题（共4小题，共40分）
25．（8分）凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．
（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？
【分析】（1）设雷波脐橙每千克x元，资中血橙每千克y元，根据“购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买雷波脐橙m千克，则购买资中血橙（100﹣m）千克，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1440元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设雷波脐橙每千克x元，资中血橙每千克y元，
根据题意得：，
解得：．
答：雷波脐橙每千克18元，资中血橙每千克12元；
（2）设购买雷波脐橙m千克，则购买资中血橙（100﹣m）千克，
根据题意得：18m+12（100﹣m）≤1440，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：他最多能购买雷波脐橙40千克．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．（10分）阅读理解题：阅读材料：
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα＝，则tanβ＝．
证明：设BE＝k，
∵tanα＝，
∴AB＝2k，
易证△AEB≌△EFC（AAS）．
∴EC＝2k，CF＝k，
∴FD＝k，AD＝3k，
∴tanβ＝＝＝，
若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．
同理：若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线y＝3x﹣9与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA＝5．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
（3）求直线AE的解析式．
【分析】（1）设A（t，3t﹣9），由OA＝5，得t2+（3t﹣9）2＝52，可解得A（4，3），再用待定系数法得反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；
（2）求出B（3，0），由A（4，3），得AM＝3，BM＝OM﹣OB＝1，即知tan∠BAM＝＝，而∠BAE＝45°，故∠BAM+∠NAE＝45°，由阅读材料得tan∠NAE＝；
（3）由tan∠NAE＝，A（4，3），得NE＝2，从而E（0，1），再用待定系数法得直线AE解析式为y＝x+1．
【解答】解：（1）设A（t，3t﹣9），
∴OM＝t，AM＝3t﹣9，
∵OA＝5，
∴t2+（3t﹣9）2＝52，
解得t＝4或t＝1.4，
∴A（4，3）或（1.4，﹣4.8）（此时A在第四象限，不符合题意，舍去），
把A（4，3）代入y＝（x＞0）得：
3＝，
解得m＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；
（2）在y＝3x﹣9中，令y＝0得0＝3x﹣9，
解得x＝3，
∴B（3，0），
∴OB＝3，
由（1）知A（4，3），
∴OM＝4，AM＝3，
∴BM＝OM﹣OB＝4﹣3＝1，
∴tan∠BAM＝＝，
∵∠ANO＝∠NOM＝∠OMA＝90°，
∴∠MAN＝90°，
∵∠BAE＝45°，
∴∠BAM+∠NAE＝45°，
由若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝可得：
tan∠NAE＝；
（3）由（2）知tan∠NAE＝，
∴＝，
∵A（4，3），
∴AN＝4，ON＝3，
∴＝，
∴NE＝2，
∴OE＝ON﹣NE＝3﹣2＝1，
∴E（0，1），
设直线AE解析式为y＝kx+b，
把A（4，3），E（0，1）代入得：
，
解得，
∴直线AE解析式为y＝x+1．
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是读懂阅读材料，掌握待定系数法．
27．（10分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD＝∠FAD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若PA＝4，PD＝2，求⊙O的半径和DE的长．
【分析】（1）连接OA，由AB⊥CD，得∠FAD+∠ADF＝90°，故∠FAD+∠OAD＝90°，根据∠EAD＝∠FAD，得∠EAD+∠OAD＝90°，即∠OAE＝90°，OA⊥AE，从而可得AE是⊙O的切线；
（2）连接AC，AO，证明△ADP∽△CAP，可得＝，CP＝8，故CD＝CP﹣PD＝6，⊙O的半径为3；再证△OAP∽△DEP，得＝，从而DE＝．
【解答】（1）证明：连接OA，如图：
∵AB⊥CD，
∴∠AFD＝90°，
∴∠FAD+∠ADF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADF，
∴∠FAD+∠OAD＝90°，
∵∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD+∠OAD＝90°，即∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∵OA是⊙O半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，AO，如图：
∵CD为⊙O直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠C+∠ADC＝90°，
∵∠FAD+∠ADC＝90°，
∴∠C＝∠FAD，
∵∠EAD＝∠FAD，
∴∠C＝∠EAD，
∵∠P＝∠P，
∴△ADP∽△CAP，
∴＝，
∵PA＝4，PD＝2，
∴＝，
解得CP＝8，
∴CD＝CP﹣PD＝8﹣2＝6，
∴⊙O的半径为3；
∴OA＝3＝OD，
∴OP＝OD+PD＝5，
∵∠OAP＝90°＝∠DEP，∠P＝∠P，
∴△OAP∽△DEP，
∴＝，即＝，
∴DE＝，
∴⊙O的半径为3，DE的长为．
【点评】本题考查圆的性质及应用，涉及切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是掌握圆的相关性质．
28．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0）两点，与y轴交于点C．直线y＝﹣3x+3过抛物线的顶点P．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线x＝m（﹣5＜m＜0）与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．
①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；
②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．
【分析】（1）由抛物线与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0）两点，得抛物线对称轴为直线x＝＝﹣2，即可得抛物线顶点为（﹣2，9），设抛物线函数解析式为y＝a（x+2）2+9，将A（1，0）代入可得a＝﹣1，故抛物线函数解析式为y＝﹣（x+2）2+9＝﹣x2﹣4x+5；
（2）①求出C（0，5），得直线BC解析式为y＝x+5，故E（m，﹣m2﹣4m+5），F（m，m+5），得EF＝﹣m2﹣4m+5﹣（m+5）＝﹣（m+）2+，根据二次函数性质可得答案；
②由E（m，﹣m2﹣4m+5），F（m，m+5），C（0，5），得EF2＝（m2+5m）2，EC2＝m2+（m2+4m）2，FC2＝2m2；分三种情况列方程可解得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0）两点，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣2，
在y＝﹣3x+3中，令x＝﹣2得y＝9，
∴抛物线顶点为（﹣2，9），
设抛物线函数解析式为y＝a（x+2）2+9，
将A（1，0）代入得：
0＝9a+9，
解得a＝﹣1，
∴抛物线函数解析式为y＝﹣（x+2）2+9＝﹣x2﹣4x+5；
（2）①如图：
在y＝﹣x2﹣4x+5中，令x＝0得y＝5，
∴C（0，5），
由B（﹣5，0），C（0，5）得直线BC解析式为y＝x+5，
∴E（m，﹣m2﹣4m+5），F（m，m+5），
∴EF＝﹣m2﹣4m+5﹣（m+5）＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，EF取最大值，
∴m的值为﹣，EF的最大值为；
②∵E（m，﹣m2﹣4m+5），F（m，m+5），C（0，5），
∴EF2＝（m2+5m）2，EC2＝m2+（m2+4m）2，FC2＝2m2；
若EF＝EC，则（m2+5m）2＝m2+（m2+4m）2，
解得m＝0（E与C重合，舍去）或m＝﹣4，
∴E（﹣4，5）；
若EF＝FC，则（m2+5m）2＝2m2，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣5或m＝﹣﹣5（不符合题意，舍去），
∴E（﹣5，﹣2+6）；
若EC＝FC，则m2+（m2+4m）2＝2m2，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣3或m＝﹣5（不符合题意，舍去），
∴E（﹣3，8）；
综上所述，E的坐标为（﹣4，5）或（﹣5，﹣2+6）或（﹣3，8）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/6/19 8:01:23；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557
2023年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.
1．（4分）下列各数中，为有理数的是（ ）
A． B．3.232232223…
C． D．
2．（4分）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为2，则数据x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的方差是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．11
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8 B．a2+2a2＝3a4
C．（2a2b）3＝8a6b3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（4分）2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营．据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客144.6万人次．将数据144.6万用科学记数法表示的是（ ）
A．1.446×105 B．1.446×106 C．0.1446×107 D．1.446×107
6．（4分）点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）
7．（4分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3+∠4＝（ ）
A．165° B．155° C．105° D．90°
8．（4分）分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1
9．（4分）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
10．（4分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
11．（4分）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，则OC＝（ ）
A．1 B．2 C．2 D．4
12．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0 B．4a﹣2b+c＜0
C．3a+c＝0 D．am2+bm+a≤0（m为实数）
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）计算（π﹣3.14）0+＝ ．
14．（4分）已知y2﹣my+1是完全平方式，则m的值是 ．
15．（4分）如图，▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（1，2）．则顶点B的坐标是 ．
16．（4分）不等式组的所有整数解的和是 ．
17．（4分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，则CA′＝ ．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.
18．（5分）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中x＝（）2023，y＝22022．
19．（5分）解方程：＝．
20．（7分）2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海泸山风景区（以下分别用A、B、C、D表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若某游客随机选择A、B、C、D四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择A的概率．
21．（7分）超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的C、E两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A、D、B、F在同一直线上．点C、点E到AB的距离分别为CD、EF，且CD＝EF＝7m，CE＝895m，在C处测得A点的俯角为30°，在E处测得B点的俯角为45°，小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s．
（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）
22．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长．
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x3﹣10x2+5x+2027的值等于 ．
24．（5分）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是 ．
五、解答题（共4小题，共40分）
25．（8分）凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．
（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？
26．（10分）阅读理解题：阅读材料：
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα＝，则tanβ＝．
证明：设BE＝k，
∵tanα＝，
∴AB＝2k，
易证△AEB≌△EFC（AAS）．
∴EC＝2k，CF＝k，
∴FD＝k，AD＝3k，
∴tanβ＝＝＝，
若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．
同理：若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线y＝3x﹣9与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA＝5．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
（3）求直线AE的解析式．
27．（10分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD＝∠FAD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若PA＝4，PD＝2，求⊙O的半径和DE的长．
28．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0）两点，与y轴交于点C．直线y＝﹣3x+3过抛物线的顶点P．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线x＝m（﹣5＜m＜0）与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．
①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；
②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．
2023年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.
1．（4分）下列各数中，为有理数的是（ ）
A． B．3.232232223…
C． D．
【分析】运用有理数和无理数的概念进行逐一辨别、求解．
【解答】解：∵＝2，
∴选项A符合题意；
∵3.232232223…，，是无理数，
∴选项B，C，D不符合题意，
故选：A．
【点评】此题考查了实数的分类能力，关键是能准确理解并运用实数的概念进行辨别、求解．
2．（4分）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由俯视图中相应位置上摆放的小立方体的个数，可得出主视图形状，进而得出答案．
【解答】解：主视图看到的是两层，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
因此选项C中的图形符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
3．（4分）若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为2，则数据x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的方差是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．11
【分析】根据当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即可得出答案．
【解答】解：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则方差为[...+]＝2，
∴数据x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的平均数为（+3），方差为[+...+]＝[...+]＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍（或这个数的平方分之一）．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8 B．a2+2a2＝3a4
C．（2a2b）3＝8a6b3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2•a4＝a6，故A不符合题意；
B、a2+2a2＝3a2，故B不符合题意；
C、（2a2b）3＝8a6b3，故C符合题意；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（4分）2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营．据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客144.6万人次．将数据144.6万用科学记数法表示的是（ ）
A．1.446×105 B．1.446×106 C．0.1446×107 D．1.446×107
【分析】利用科学记数法的法则解答即可．
【解答】解：144.6万＝1.446×106．
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法，表示较大的数，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
6．（4分）点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，3）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
7．（4分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3+∠4＝（ ）
A．165° B．155° C．105° D．90°
【分析】由平行线的性质可得∠3＝∠1＝45°，∠4＝60°，从而可求解．
【解答】解：∵在水中平行的光线，在空气中也是平行的，∠1＝45°，∠2＝120°，
∴∠3＝∠1＝45°，
∵水面与杯底面平行，
∴∠4＝180°﹣∠2＝60°，
∴∠3+∠4＝105°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
8．（4分）分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝0，
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
9．（4分）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
【分析】根据BE＝CF求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；
当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；
当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；
当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
10．（4分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】利用基本作图得MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠A＝40°，则计算出∠ABC＝∠C＝70°，然后计算∠ABC﹣∠ABD即可．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
11．（4分）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，则OC＝（ ）
A．1 B．2 C．2 D．4
【分析】连接OB，设OA交BC于E，由∠ADB＝30°，得∠AOB＝60°，根据OA⊥BC，BC＝2，得BE＝BC＝，故sin60°＝，从而OB＝2＝OC＝2．
【解答】解：连接OB，设OA交BC于E，如图：
∵∠ADB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA⊥BC，BC＝2，
∴BE＝BC＝，
在Rt△BOE中，sin∠AOB＝，
∴sin60°＝，
∴OB＝2，
∴OC＝2；
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是掌握含30°角的直角三角形三边关系．
12．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0 B．4a﹣2b+c＜0
C．3a+c＝0 D．am2+bm+a≤0（m为实数）
【分析】由抛物线开口向上知a＞0，由抛物线的对称轴为直线x＝1，知b＝﹣2a，b＜0，由抛物线与y轴交于负半轴，知c＜0，可判断A错误；由（4，16a+4b+c）在第一象限，知（﹣2，4a﹣2b+c）在第二象限，判断B错误；由9a+3b+c＝0，b＝﹣2a，可得3a+c＝0，判断C正确；由am2+bm+a＝am2﹣2am+a＝a（m﹣1）2，可判断D错误．
【解答】解：由抛物线开口向上知a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故A错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且4﹣1＝1﹣（﹣2），
∴抛物线上的点（4，16a+4b+c）与（﹣2，4a﹣2b+c）关于对称轴对称，
由图可知，（4，16a+4b+c）在第一象限，
∴（﹣2，4a﹣2b+c）在第二象限，
∴4a﹣2b+c＞0，故B错误，不符合题意；
∵x＝3时y＝0，
∴9a+3b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴9a+3×（﹣2a）+c＝0，
∴3a+c＝0，故C正确，符合题意；
∵b＝﹣2a，
∴am2+bm+a＝am2﹣2am+a＝a（m﹣1）2，
∵a＞0，（m﹣1）2≥0，
∴a（m﹣1）2≥0，
∴am2+bm+a≥0，故D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的相关性质．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）计算（π﹣3.14）0+＝ ．
【分析】利用零指数幂的意义和二次根式的性质化简运算即可．
【解答】解：原式＝1+﹣1
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义和二次根式的性质，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
14．（4分）已知y2﹣my+1是完全平方式，则m的值是 ±2 ．
【分析】利用完全平方式的意义解答即可．
【解答】解：∵y2﹣my+1是完全平方式，y2﹣2y+1＝（y﹣1）2，y2﹣（﹣2）y+1＝（y+1）2，
∴﹣m＝﹣2或﹣m＝2，
∴m＝±2．
故答案为：±2．
【点评】本题主要考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
15．（4分）如图，▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（1，2）．则顶点B的坐标是 （4，2） ．
【分析】延长BC交y轴于点D，由平行四边形的性质得BC＝OA，BC∥OA，再证BC⊥y轴，然后求出BC＝OA＝3，CD＝1，OD＝2，则BD＝CD+BC＝4，即可得出结论．
【解答】解：如图，延长BC交y轴于点D，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC＝OA，BC∥OA，
∵OA⊥y轴，
∴BC⊥y轴，
∵A（3，0），C（1，2），
∴BC＝OA＝3，CD＝1，OD＝2，
∴BD＝CD+BC＝1+3＝4，
∴B（4，2），
故答案为：（4，2）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16．（4分）不等式组的所有整数解的和是 7 ．
【分析】求出不等式组的解集，确定出整数解，求出之和即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞，
解不等式②得x≤4，
∴不等式组的解集为﹣＜x≤4，
由x为整数，可取﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
则所有整数解的和为7，
故答案为：7．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
17．（4分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，则CA′＝ 2 ．
【分析】由∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，可得∠A＝∠ACD，由翻折的性质可知∠ACD＝∠A'CD，AC＝CA'，故∠A＝∠ACD＝∠A'CD，而A'C⊥AB，即得∠A＝∠ACD＝∠A'CD＝30°，在Rt△ABC中，tan30°＝，可解得AC，从而可得答案．
【解答】解：设CA'交AB于O，如图：
∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠ACD，
由翻折的性质可知∠ACD＝∠A'CD，AC＝CA'，
∴∠A＝∠ACD＝∠A'CD，
∵A'C⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠A'CD+∠ACD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠ACD＝∠A'CD＝30°，
在Rt△ABC中，tanA＝，
∴tan30°＝，
∴AC＝2，
∴CA'＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形三边的关系．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.
18．（5分）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中x＝（）2023，y＝22022．
【分析】利用整式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y）
＝4x2+4xy+y2﹣4x2+y2﹣2xy﹣2y2
＝2xy，
当x＝（）2023，y＝22022时，
原式＝2×（）2023×22022
＝2××（）2022×22022
＝2××（×2）2022
＝2××12022
＝2×
＝1．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．（5分）解方程：＝．
【分析】利用解分式方程的一般步骤解答即可．
【解答】解：去分母得：x（x﹣1）＝2，
去括号得：x2﹣x＝2，
移项得：x2﹣x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x＝2或x＝﹣1，
将x＝2代入原方程，原方程左右相等，
∴x＝2是原方程的解．
将x＝﹣1代入，使分母为0，
∴x＝﹣1是原方程的增根，
∴原方程的解为：x＝2．
【点评】本题主要考查了分式方程的解法，验根是常常遗漏的步骤，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
20．（7分）2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海泸山风景区（以下分别用A、B、C、D表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若某游客随机选择A、B、C、D四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择A的概率．
【分析】（1）用B景点的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）先计算出C景点的人数，则可补全条形统计图，然后分别计算出A景点和C景点所占的百分比，从而补全扇形统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出他第一个景区恰好选择A的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）60÷10%＝600（人），
所以本次参加抽样调查的游客有600人；
（2）C景点的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120（人），
C景点的人数所占的百分比为×100%＝20%，
A景点的人数所占的百分比为×100%＝30%，
两幅不完整的统计图补充为：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，他第一个景区恰好选择A的结果数为3，
所以他第一个景区恰好选择A的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21．（7分）超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的C、E两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A、D、B、F在同一直线上．点C、点E到AB的距离分别为CD、EF，且CD＝EF＝7m，CE＝895m，在C处测得A点的俯角为30°，在E处测得B点的俯角为45°，小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s．
（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）
【分析】（1）根据题意，DF＝CE＝895m，在Rt△EBF中，刻度BF＝＝7（m），故DB＝DF﹣BF＝888（m），在Rt△ACD中，AD＝＝7≈12.12（m），即可得AB＝AD+BD≈900（m），从而知A，B两点之间的距离约为900m；
（2）由900÷45＝20（m/s），再换算单位可知小型汽车从点A行驶到点B没有超速．
【解答】解：（1）根据题意，四边形CDFE是矩形，∠CAD＝30°，∠EBF＝45°，
∴DF＝CE＝895m，
在Rt△EBF中，
BF＝＝＝7（m），
∴DB＝DF﹣BF＝895﹣7＝888（m），
在Rt△ACD中，
AD＝＝＝7≈12.12（m），
∴AB＝AD+BD＝12.12+888≈900（m），
∴A，B两点之间的距离约为900m；
（2）∵900÷45＝20（m/s），
∴小型汽车每小时行驶20×3600＝72000（m），
∵72000m＝72km，72＜80，
∴小型汽车从点A行驶到点B没有超速．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是掌握含特殊角的直角三角形三边的关系．
22．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长．
【分析】（1）证AB＝CB，得▱ABCD是菱形，再由菱形的性质即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OA＝OC＝AC＝8，AC⊥BD，再由勾股定理得OB＝6，然后证△BOE∽△AOB，得＝，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴▱ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；
（2）解：由（1）可知，▱ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝8，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∴OB＝＝＝6，
∵BE⊥AB，
∴∠EBA＝90°，
∴∠BEO+∠BAO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BEO＝∠ABO，
∴△BOE∽△AOB，
∴＝，
即＝，
解得：OE＝，
即OE的长为．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x3﹣10x2+5x+2027的值等于 2023 ．
【分析】由x2﹣2x﹣1＝0，得x2﹣2x＝1，将所求式子变形为3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027，再整体代入计算即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴3x3﹣10x2+5x+2027
＝3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027
＝3x×1﹣4×1﹣3x+2027
＝3x﹣4﹣3x+2027
＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是整体代入思想的应用．
24．（5分）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是 1+ ．
【分析】取AB的中点D，连接OD及DC，根据三角形的三边关系得到OC小于等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，由等边三角形的边长为2，根据D为AB中点，得到BD为1，根据三线合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD，即为OC的最大值．
【解答】解：取AB中点D，连OD，DC，
∴OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，
∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，
∴BD＝1，BC＝2，
∴CD＝＝，
∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD＝AB＝1，
∴OD+CD＝1+，即OC的最大值为1+．
故答案为：1+．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，其中找出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键．
五、解答题（共4小题，共40分）
25．（8分）凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．
（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？
【分析】（1）设雷波脐橙每千克x元，资中血橙每千克y元，根据“购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买雷波脐橙m千克，则购买资中血橙（100﹣m）千克，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1440元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设雷波脐橙每千克x元，资中血橙每千克y元，
根据题意得：，
解得：．
答：雷波脐橙每千克18元，资中血橙每千克12元；
（2）设购买雷波脐橙m千克，则购买资中血橙（100﹣m）千克，
根据题意得：18m+12（100﹣m）≤1440，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：他最多能购买雷波脐橙40千克．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．（10分）阅读理解题：阅读材料：
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα＝，则tanβ＝．
证明：设BE＝k，
∵tanα＝，
∴AB＝2k，
易证△AEB≌△EFC（AAS）．
∴EC＝2k，CF＝k，
∴FD＝k，AD＝3k，
∴tanβ＝＝＝，
若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．
同理：若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线y＝3x﹣9与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA＝5．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
（3）求直线AE的解析式．
【分析】（1）设A（t，3t﹣9），由OA＝5，得t2+（3t﹣9）2＝52，可解得A（4，3），再用待定系数法得反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；
（2）求出B（3，0），由A（4，3），得AM＝3，BM＝OM﹣OB＝1，即知tan∠BAM＝＝，而∠BAE＝45°，故∠BAM+∠NAE＝45°，由阅读材料得tan∠NAE＝；
（3）由tan∠NAE＝，A（4，3），得NE＝2，从而E（0，1），再用待定系数法得直线AE解析式为y＝x+1．
【解答】解：（1）设A（t，3t﹣9），
∴OM＝t，AM＝3t﹣9，
∵OA＝5，
∴t2+（3t﹣9）2＝52，
解得t＝4或t＝1.4，
∴A（4，3）或（1.4，﹣4.8）（此时A在第四象限，不符合题意，舍去），
把A（4，3）代入y＝（x＞0）得：
3＝，
解得m＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；
（2）在y＝3x﹣9中，令y＝0得0＝3x﹣9，
解得x＝3，
∴B（3，0），
∴OB＝3，
由（1）知A（4，3），
∴OM＝4，AM＝3，
∴BM＝OM﹣OB＝4﹣3＝1，
∴tan∠BAM＝＝，
∵∠ANO＝∠NOM＝∠OMA＝90°，
∴∠MAN＝90°，
∵∠BAE＝45°，
∴∠BAM+∠NAE＝45°，
由若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝可得：
tan∠NAE＝；
（3）由（2）知tan∠NAE＝，
∴＝，
∵A（4，3），
∴AN＝4，ON＝3，
∴＝，
∴NE＝2，
∴OE＝ON﹣NE＝3﹣2＝1，
∴E（0，1），
设直线AE解析式为y＝kx+b，
把A（4，3），E（0，1）代入得：
，
解得，
∴直线AE解析式为y＝x+1．
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是读懂阅读材料，掌握待定系数法．
27．（10分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD＝∠FAD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若PA＝4，PD＝2，求⊙O的半径和DE的长．
【分析】（1）连接OA，由AB⊥CD，得∠FAD+∠ADF＝90°，故∠FAD+∠OAD＝90°，根据∠EAD＝∠FAD，得∠EAD+∠OAD＝90°，即∠OAE＝90°，OA⊥AE，从而可得AE是⊙O的切线；
（2）连接AC，AO，证明△ADP∽△CAP，可得＝，CP＝8，故CD＝CP﹣PD＝6，⊙O的半径为3；再证△OAP∽△DEP，得＝，从而DE＝．
【解答】（1）证明：连接OA，如图：
∵AB⊥CD，
∴∠AFD＝90°，
∴∠FAD+∠ADF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADF，
∴∠FAD+∠OAD＝90°，
∵∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD+∠OAD＝90°，即∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∵OA是⊙O半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，AO，如图：
∵CD为⊙O直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠C+∠ADC＝90°，
∵∠FAD+∠ADC＝90°，
∴∠C＝∠FAD，
∵∠EAD＝∠FAD，
∴∠C＝∠EAD，
∵∠P＝∠P，
∴△ADP∽△CAP，
∴＝，
∵PA＝4，PD＝2，
∴＝，
解得CP＝8，
∴CD＝CP﹣PD＝8﹣2＝6，
∴⊙O的半径为3；
∴OA＝3＝OD，
∴OP＝OD+PD＝5，
∵∠OAP＝90°＝∠DEP，∠P＝∠P，
∴△OAP∽△DEP，
∴＝，即＝，
∴DE＝，
∴⊙O的半径为3，DE的长为．
【点评】本题考查圆的性质及应用，涉及切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是掌握圆的相关性质．
28．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0）两点，与y轴交于点C．直线y＝﹣3x+3过抛物线的顶点P．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线x＝m（﹣5＜m＜0）与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．
①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；
②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．
【分析】（1）由抛物线与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0）两点，得抛物线对称轴为直线x＝＝﹣2，即可得抛物线顶点为（﹣2，9），设抛物线函数解析式为y＝a（x+2）2+9，将A（1，0）代入可得a＝﹣1，故抛物线函数解析式为y＝﹣（x+2）2+9＝﹣x2﹣4x+5；
（2）①求出C（0，5），得直线BC解析式为y＝x+5，故E（m，﹣m2﹣4m+5），F（m，m+5），得EF＝﹣m2﹣4m+5﹣（m+5）＝﹣（m+）2+，根据二次函数性质可得答案；
②由E（m，﹣m2﹣4m+5），F（m，m+5），C（0，5），得EF2＝（m2+5m）2，EC2＝m2+（m2+4m）2，FC2＝2m2；分三种情况列方程可解得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0）两点，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣2，
在y＝﹣3x+3中，令x＝﹣2得y＝9，
∴抛物线顶点为（﹣2，9），
设抛物线函数解析式为y＝a（x+2）2+9，
将A（1，0）代入得：
0＝9a+9，
解得a＝﹣1，
∴抛物线函数解析式为y＝﹣（x+2）2+9＝﹣x2﹣4x+5；
（2）①如图：
在y＝﹣x2﹣4x+5中，令x＝0得y＝5，
∴C（0，5），
由B（﹣5，0），C（0，5）得直线BC解析式为y＝x+5，
∴E（m，﹣m2﹣4m+5），F（m，m+5），
∴EF＝﹣m2﹣4m+5﹣（m+5）＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，EF取最大值，
∴m的值为﹣，EF的最大值为；
②∵E（m，﹣m2﹣4m+5），F（m，m+5），C（0，5），
∴EF2＝（m2+5m）2，EC2＝m2+（m2+4m）2，FC2＝2m2；
若EF＝EC，则（m2+5m）2＝m2+（m2+4m）2，
解得m＝0（E与C重合，舍去）或m＝﹣4，
∴E（﹣4，5）；
若EF＝FC，则（m2+5m）2＝2m2，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣5或m＝﹣﹣5（不符合题意，舍去），
∴E（﹣5，﹣2+6）；
若EC＝FC，则m2+（m2+4m）2＝2m2，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣3或m＝﹣5（不符合题意，舍去），
∴E（﹣3，8）；
综上所述，E的坐标为（﹣4，5）或（﹣5，﹣2+6）或（﹣3，8）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
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