2023年四川省成都市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年四川省成都市中考数学试卷（含答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省成都市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．在3，﹣7，0，四个数中，最大的数是（　　）
A．3 B．﹣7 C．0 D．
2．2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（　　）
A．3×108 B．3×109 C．3×1010 D．3×1011
3．下列计算正确的是（　　）
A．（﹣3x）2＝﹣9x2 B．7x+5x＝12x2
C．（x﹣3）2＝x2﹣6x+9 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2+4y2
4．近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景．下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数（AQI）：33，27，34，40，26，则这组数据的中位数是（　　）
A．26 B．27 C．33 D．34
5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD

6．为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（　　）
A．（x+4.5）＝x﹣1 B．（x+4.5）＝x+1
C．（x+1）＝x﹣4.5 D．（x﹣1）＝x+4.5
8．如图，二次函数y＝ax2+x﹣6的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的对称轴为直线x＝1 B．抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣6）
C．A，B两点之间的距离为5 D．当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而增大
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．因式分解：m2﹣3m＝　 　．
10．若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝的图象上，则y1　 　y2（填“＞”或“＜”）．
11．如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 　 　．
12．在平面直角坐标系xOy中，点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是 　 　．
13．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；
④过点N′作射线DN′交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：+2sin45°﹣（π﹣3）0+|﹣2|．
（2）解不等式组：．
15．（8分）文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

​根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有 　 　人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；
（3）该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
16．（8分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）

17．（10分）如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE．
（1）求证：AC＝BC；
（2）若tanB＝2，CD＝3，求AB和DE的长．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图
象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．

B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．若3ab﹣3b2﹣2＝0，则代数式（1﹣）÷的值为 　 　．
20．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 　 　个．

21．为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 　 　名观众同时观看演出．（π取3.14，取1.73）
22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若，则tanA＝　 ．
23．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 　 　；第23个智慧优数是 　 　．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+c经过点P（4，﹣3），与y轴交于点A（0，1），直线y＝kx（k≠0）与抛物线交于B，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
（3）过点M（0，m）作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

26．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且＝（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．
【初步感知】
（1）如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF＝AB，请写出证明过程．
【深入探究】
（2）①如图2，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．
【拓展运用】
（3）如图3，连接EF，设EF的中点为M，若AB＝2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．


2023年四川省成都市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．在3，﹣7，0，四个数中，最大的数是（　　）
A．3 B．﹣7 C．0 D．
【分析】运用有理数大小比较的知识进行求解．
【解答】解：∵﹣7＜0＜＜3，
∴最大的数是3，
故选：A．
【点评】此题考查了有理数大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2．2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（　　）
A．3×108 B．3×109 C．3×1010 D．3×1011
【分析】运用科学记数法进行变形、求解．
【解答】解：3000亿＝3000×108＝3×1011，
故选：D．
【点评】此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
3．下列计算正确的是（　　）
A．（﹣3x）2＝﹣9x2 B．7x+5x＝12x2
C．（x﹣3）2＝x2﹣6x+9 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2+4y2
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的性质，合并同类项的法则，完全平方公式和平方差公式对每个选项进行主要判断即可得出结论．
【解答】解：∵（﹣3x）2＝9x2，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵7x+5x＝12x，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∵（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，
∴C选项的运算正确，符合题意；
∵（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，
∴D选项的运算不正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方的性质，合并同类项的法则，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握上述性质与公式是解题的关键．
4．近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景．下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数（AQI）：33，27，34，40，26，则这组数据的中位数是（　　）
A．26 B．27 C．33 D．34
【分析】根据中位数的定义即可得出答案．
【解答】解：把这些数从小到大排列为：26，27，33，34，40，
则这组数据的中位数是33．
故选：C．
【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
【分析】利用平行四边形的性质一一判断即可解决问题．
【解答】解：A、错误．平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，不合题意；
B、正确．因为平行四边形的对角线互相平分，符合题意；
C、错误．平行四边形的对角线不一定垂直，不合题意；
D、错误．平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6．为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据概率公式直接计算即可．
【解答】解：∵卡片共6张，其中水果类卡片有2张，
∴恰好抽中水果类卡片的概率是．
故选：B．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（　　）
A．（x+4.5）＝x﹣1 B．（x+4.5）＝x+1
C．（x+1）＝x﹣4.5 D．（x﹣1）＝x+4.5
【分析】设木长x尺，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设木长x尺，根据题意可得：
，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键．
8．如图，二次函数y＝ax2+x﹣6的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法正确的是（　　）

A．抛物线的对称轴为直线x＝1
B．抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣6）
C．A，B两点之间的距离为5
D．当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而增大
【分析】A将点A的坐标代入即可解答即可判定A；B先运用二次函数图象的性质确定B；C利用两点间的距离公式解答即可；D根据函数图象即可解答．
【解答】解：A、把A（﹣3，0）代入y＝ax2+x﹣6得，
0＝9a﹣3﹣6，
解得a＝1，
∴y＝x2+x﹣6，
对称轴直线为：x＝﹣，故A错误；
令y＝0，
0＝x2+x﹣6，
解得x1＝﹣3，x2＝2，
∴AB＝2﹣（﹣3）＝5，
∴A，B两点之间的距离为5，故C正确；
当x＝﹣时，y＝，故B错误；
由图象可知当x时，y的值随x值的增大而增大，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算方法，函数最值的计算方法是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．因式分解：m2﹣3m＝　m（m﹣3）　．
【分析】直接找出公因式m，进而分解因式得出答案．
【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．
故答案为：m（m﹣3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
10．若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝的图象上，则y1　＞　y2（填“＞”或“＜”）．
【分析】根据反比例函数的性质得出答案即可．
【解答】解：∵y＝中k＝6＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键，反比例函数y＝，①当k＞0时，y随x的增大而减小，②当k＜0时，y随x的增大而增大．
11．如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 　3　．

【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝7，计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝8，
∴EF＝8，
∵EC＝5，
∵CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
12．在平面直角坐标系xOy中，点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是 　（﹣5，﹣1）　．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案．
【解答】解：∵关于y轴对称，
∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣5，﹣1）．
故答案为：（﹣5，﹣1）．
【点评】本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；
④过点N′作射线DN′交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 　　．

【分析】由作图知∠A＝∠BDE，由平行线的性质得到DE∥AC，证得△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：由作图知，∠A＝∠BDE，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
△BAC的面积：△BDE的面积＝（△BDE的面积+四边形ACED的面积）：△BDE的面积＝1+四边形ACED的面积：△BDE的面积＝1+＝，
∴△BDC的面积：△BAC的面积＝（）2＝，
∴＝，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，相似三角形的性质和判定，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：+2sin45°﹣（π﹣3）0+|﹣2|．
（2）解不等式组：．
【分析】（1）分别根据算术平方根的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂的定义以及绝对值的性质计算即可；
（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【解答】解：（1）原式＝2+2×﹣1+2﹣
＝2+﹣1+2﹣
＝3；
（2），
解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x＞﹣4，
所以原不等式组的解集为﹣4＜x≤1．
【点评】本题考查了实数的运算以及解一元一次不等式组，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．
15．（8分）文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

​根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有 　300　人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；
（3）该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
【分析】（1）根据“清洁卫生”的人数和所占的百分比求出样本容量，再用样本容量减去其他三个项目的人数，可得“文明宣传”的人数，进而补全条形统计图；
（2）用360°乘“敬老服务”所占的百分比即可得出“敬老服务”对应的圆心角度数；
（3）用参加志愿者服务的人数乘样本中参加“文明宣传”的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次调查的师生共有：60÷20%＝300（人），
“文明宣传”的人数为：300﹣60﹣120﹣30＝90（人），
补全条形统计图如下：

故答案为：300；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为：360°×＝144°；
（3）1500×80%×＝360（名），
答：估计参加“文明宣传”项目的师生人数大约为360名．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
16．（8分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）

【分析】过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，在Rt△ABT中，BT＝AB•sin∠BAT＝1.4（米），AT＝AB•cos∠BAT≈4.8（米），可得CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC﹣BT＝4﹣1.4＝2.6（米），而∠ADK＝45°，知DK＝AK＝2.6米，故CD＝CK﹣DK＝4.8﹣2.6＝2.2米．
【解答】解：过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，如图：

在Rt△ABT中，
BT＝AB•sin∠BAT＝5×sin16°≈1.4（米），AT＝AB•cos∠BAT＝5×cos16°≈4.8（米），
∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，
∴四边形ATCK是矩形，
∴CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC﹣BT＝4﹣1.4＝2.6（米），
在Rt△AKD中，
∵∠ADK＝45°，
∴DK＝AK＝2.6米，
∴CD＝CK﹣DK＝4.8﹣2.6＝2.2（米），
∴阴影CD的长约为2.2米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
17．（10分）如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE．
（1）求证：AC＝BC；
（2）若tanB＝2，CD＝3，求AB和DE的长．

【分析】（1）结合已知条件，根据同弧所对的圆周角相等易证得∠ADE＝∠ACE＝∠BAC＝∠B，再由等边对等角即可证得结论；
（2）连接AE，易证得△ABC∽△ADE，根据已知条件，利用直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝∠ADC＝90°，根据三角函数值可得AD＝2BD，再结合，CD＝3，AC＝3+BD，利用勾股定理列得方程，求得CD的长度，从而得出AD，BC，AB的长度，再利用相似三角形的对应边成比例即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACE，∠ADE＝∠B，
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠B＝∠BAC，
∴AC＝BC；

（2）解：如图，连接AE，

∵∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴tanB＝＝2，
∴AD＝2BD，
∵CD＝3，
∴AC＝BC＝BD+CD＝BD+3，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴（2BD）2+32＝（BD+3）2，
解得：BD＝2或BD＝0（舍去），
∴AD＝2BD＝4，AB＝＝＝2，BC＝2+3＝5，
∵＝，
∴＝，
∴DE＝2．
【点评】本题主要考查圆与相似三角形的综合应用，（2）中利用三角函数值可得AD＝2BD，再根据勾股定理列得方程是解题的关键．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图
象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．

【分析】（1）解方程得到点A的坐标为（0，5），将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，求得B（1，4），将B（1，4）代入y＝得，求得反比例函数的表达式为y＝；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，解方程得到N（S，0），求得OA＝ON＝5，根据两点间的距离的结论公式得到＝，求得M（0，3），待定系数法求得直线l的解析式为y＝4x+3，设点C的坐标为（t，t+3），根据三角形的面积公式列方程得到t＝﹣4或t＝6，求得点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）解方程组求得E（﹣4，﹣1），根据相似三角形的性质得到∠PAB＝∠PDE，根据平行线的判定定理得到AB∥DE，求得直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，解方程组得到D（﹣1，﹣4），则直线AD的解析式为y＝9x+5，于是得到P（﹣，），根据两点间的距离距离公式即可得到结论．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣x+5＝5，
∴点A的坐标为（0，5），
将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，
∴a＝1，
∴B（1，4），
将B（1，4）代入y＝得，4＝，
解得k＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，

令y＝﹣x+5＝0得，x＝5，
∴N（5，0），
∴OA＝ON＝5，
∵∠AON＝90°，
∴∠OAN＝45°，
∵A（0，5），B（1，4），
∴＝，
∵直线l是AB的垂线，即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，
∴，
∴M（0，3），
设直线l的解析式为y＝k1x+b1，
将M（0，3），B（1，4）代入y＝k1x+b1得，，
解得，
∴直线l的解析式为y＝4x+3，
设点C的坐标为（t，t+3），
∵•|xB﹣xC|＝，
解得t＝﹣4或t＝6，
当t＝﹣4时，t+3＝﹣1，
当t＝6时，t+3＝9，
∴点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，
将直线l与双曲线的解析式联立方程组，
解得，或，
∴E（﹣4，﹣1），
画出图形如图所示，

∵△PAB∽△PDE，
∴∠PAB＝∠PDE，
∴AB∥DE，
∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y＝﹣x+b2，
∴﹣1＝﹣（﹣4）+b2，
∴b2＝﹣5，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴解方程组得，或，
∴D（﹣1，﹣4），
则直线AD的解析式为y＝9x+5，
解方程组得，，
∴P（﹣，），
∴，
，
∴m＝．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．若3ab﹣3b2﹣2＝0，则代数式（1﹣）÷的值为 　　．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1﹣）÷
＝•
＝•
＝b（a﹣b）
＝ab﹣b2，
∵3ab﹣3b2﹣2＝0，
∴3ab﹣3b2＝2，
∴ab﹣b2＝，
当ab﹣b2＝时，原式＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
20．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 　6　个．

【分析】根据正面看与上面看的图形，得到搭成这个几何体底层4个，上面1层最多2个小正方体．
【解答】解：根据俯视图发现最底层有4个小立方块，从主视图发现第二层最多有2个小立方块，
故最多有4+2＝6（个）小立方块．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是三视图知识，以及由三视图判断几何体，利用三视图判断得出几何体形状是解题关键．
21．为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 　183　名观众同时观看演出．（π取3.14，取1.73）

【分析】过O作OD⊥AB，D为垂足，可得到∠AOD＝60°，所以∠AOB＝120°，再求出S阴影部分＝S扇形OAB﹣S△OAB＝﹣×10×5＝π﹣25≈61（m2），然后乘以3即可得到观看马戏的观众人数约为183人．
【解答】解：过O作OD⊥AB，D为垂足，

∴AD＝BD，OD＝5m，
∵cos∠AOD＝＝＝，
∴∠AOD＝60°，AD＝OD＝5m，
∴∠AOB＝120°，AB＝10m，
∴S阴影部分＝S扇形OAB﹣S△OAB＝﹣×10×5＝π﹣25≈61（m2），
∴61×3＝183（人）．
∴观看马戏的观众人数约为183人．
故答案为：183人．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键，也考查了三角函数的概念和特殊角的三角函数值．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若，则tanA＝　　．

【分析】过点G作GM⊥DE于M，证明△DGE∽△CGD，得出DG2＝GE×GC，根据AD∥GM，得＝＝，设GE＝3k，AG＝7k，EM＝3n，DM＝7n，则EC＝DE＝10n，在Rt△DGM 中，GM2＝DG2﹣DM2，在Rt△GME中 GM2＝GE2﹣EM2，则 DG2﹣DM2＝GE2﹣EM2，解方程求得 k，则 k，GE＝3k，用勾股定理求得GM，根据正切的定义，即可求解．
【解答】解：过点G作 GM⊥DE于M，如图，

∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴ED＝EC，
∵将△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠4，
又∵∠DGE＝∠CGD，
∴△DGE∽△CGD，
∴，
∴DG2＝GE×GC，
∵∠ABC＝90°，DE∥BC，
∴AD⊥DE，
∴AD∥GM，
∴＝，∠MGE＝∠A，
∵，
∴，
设GE＝3k，EM＝3n，则AG＝7k，DM＝7n，
∴EC＝DE＝10n，
∴DG2＝GE×GC＝3k×（3k+10n）＝9k2+30kn，
在Rt△DGM中，GM2＝DG2﹣DM2，
在Rt△GME中，GM2＝GE2﹣EM2，
∴DG2﹣DM2＝GE2﹣EM2，
即9k2+30kn﹣（7n）2＝（3k）2﹣（3n）2，
解得：k，
∴EM＝k，
∵GE＝3k，
∴GM＝＝＝k，
∴tanA＝tan∠EGM＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 　15　；第23个智慧优数是 　57　．
【分析】根据新定义m2﹣n2，可以分别列出m2和n2的值，进而即可求解．
【解答】解：根据题意，且m﹣n＞1，当m＝3，n＝1，则第1个智慧优数为：32﹣12＝8，
当m＝4，n＝2，则第2个智慧优数为：42﹣22＝12，
当m＝4，n＝1，则第3个智慧优数为：42﹣12＝15．
正整数的平方分别为：1，4，9，16，25，36，49，64，81．
当m＝5，n＝3，则第3个智慧优数为：52﹣32＝16，
当m＝5，n＝2，则第3个智慧优数为：52﹣22＝21，
当m＝5，n＝1，则第3个智慧优数为：52﹣12＝24，
以此类推，
当m＝6时，有4个智慧优数，
同理m＝7时有5个，m＝8时，有6个，
1+2+3+4+5+6＝21，
又两数之间的差越小，平方越小，所以后面也有智慧优数比较小的
第22个智慧优数，当m＝9时，n＝5，第22个智慧优数为：92﹣52＝81﹣25＝56，
第23个智慧优数，当m＝11时，n＝8，第23个智慧优数为：112﹣82＝121﹣64＝57，
故答案为：15，57．
【点评】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据规律计算求解，解题的关键是能有分类进行求解．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程；
（2）设A种食材的单价为m元/千克，B种食材的单价为（36﹣m）元/千克，总费用为w元，由题意得：w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，根据题意可以列出相应的不等式，求出m的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】（1）设A种食材的单价为x元/千克，B种食材的单价为y元/千克，由题意得：
，
解得：，
∴A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；
（2）设A种食材的单价为m元/千克，B种食材的单价为（36﹣m）元/千克，总费用为w元，由题意得：
w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，
∵m≥2（36﹣m），
∴24≤m≤36，
∵k＝8＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝24时，w有最小值为：8×24+1080＝1272（元），
∴A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组、一次函数的性质、不等式在实际生活当中的运用，考查学生的理解能力与列式能力．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+c经过点P（4，﹣3），与y轴交于点A（0，1），直线y＝kx（k≠0）与抛物线交于B，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
（3）过点M（0，m）作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设B（x，y），则AB＝，AP＝4，BP＝，分两种情况讨论：当AB＝AP时，B（﹣4，﹣3）；当AB＝BP时，B（﹣2+2，﹣5+2）或（﹣2﹣2，﹣5﹣2）；
（3）设B（t，kt），C（s，ks），联立方程整理得x2+4kx﹣4＝0，根据根与系数的关系可知t+s＝﹣4k，ts＝﹣4，直线AB的解析式为y＝x+1，直线AC的解析式为y＝x+1，求出D（，m），E（，m），过D点作DG⊥x轴交于G点，过点E作EK⊥x轴交于K点，则△DOG∽△OEK，再由＝，结合根与系数的关系整理得方程m2＝4（m﹣1）2，解得m＝2或m＝．
【解答】解：（1）将P（4，﹣3）、A（0，1）代入y＝ax2+c，
∴16a+1＝﹣3，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+1；
（2）设B（x，y），
∵P（4，﹣3），A（0，1），
∴AB＝，AP＝4，BP＝，
当AB＝AP时，4＝，
∵y＝﹣x2+1，
∴x＝4或x＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣3）；
当AB＝BP时，＝，
解得x＝﹣2+2或x＝﹣2﹣2，
∴B（﹣2+2，﹣5+2）或（﹣2﹣2，﹣5﹣2）；
综上所述：B点坐标为（﹣4，﹣3）或（﹣2+2，﹣5+2）或（﹣2﹣2，﹣5﹣2）；
（3）存在常数m，使得OD⊥OE始终成立，理由如下：
设B（t，kt），C（s，ks），
联立方程，
整理得x2+4kx﹣4＝0，
∴t+s＝﹣4k，ts＝﹣4，
直线AB的解析式为y＝x+1，直线AC的解析式为y＝x+1，
∴D（，m），E（，m），
过D点作DG⊥x轴交于G点，过点E作EK⊥x轴交于K点，
∵∠DOE＝90°，
∴∠DOG+∠EOK＝90°，
∵∠DOG+∠ODG＝90°，
∴∠EOK＝∠ODG，
∴△DOG∽△OEK，
∴＝，
∴m2＝﹣，
∴m2＝4（m﹣1）2，
解得m＝2或m＝．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
26．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且＝（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．
【初步感知】
（1）如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF＝AB，请写出证明过程．
【深入探究】
（2）①如图2，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．
【拓展运用】
（3）如图3，连接EF，设EF的中点为M，若AB＝2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．

【分析】（1）由“ASA”可证△CDE≌△BDF，可得CE＝BF，即可求解；
（2）①先证△ADN和△BDH是等腰直角三角形，可得AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，可求AD＝x，BD＝2x，通过证明△EDN∽△FDH，可求FH＝2NE，即可求解；
②分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；
（3）由题意可得点M在线段CD的垂直平分线上运动，由相似三角形的性质可求M'R＝1，由勾股定理和相似三角形的性质可求RM″＝n，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：连接CD，

∵∠C＝90°，AC＝BC，AD＝DB，
∴AB＝AC，∠A＝∠B＝∠ACD＝45°，AD＝CD＝BD，CD⊥AB，
∵ED⊥FD，
∴∠EDF＝∠CDB＝90°，
∴∠CDE＝∠BDF，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE＝BF，
∴AE+BF＝AE+CE＝AC＝AB；
（2）①AE+BF＝AB，理由如下：
过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，

∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，
∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，
∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，
∴△ADN∽△BDH，
∴＝，
设AN＝DN＝x，BH＝DH＝2x，
∴AD＝x，BD＝2x，
∴AB＝3x，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DHCN是矩形，
∴∠NDH＝90°＝∠EDF，
∴∠EDN＝∠FDH，
又∵∠END＝∠FHD，
∴△EDN∽△FDH，
∴＝，
∴FH＝2NE，
∴AE+BF＝x+NE+（2x﹣FH）＝2x＝AB；
②如图4，当点F在射线BC上时，过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，

∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，
∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，
∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，
∴△ADN∽△BDH，
∴＝，
设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，
∴AD＝x，BD＝nx，
∴AB＝（n+1）x，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DHCN是矩形，
∴∠NDH＝90°＝∠EDF，
∴∠EDN＝∠FDH，
又∵∠END＝∠FHD，
∴△EDN∽△FDH，
∴＝，
∴FH＝nNE，
∴AE+BF＝x+NE+（nx﹣FH）＝2x＝AB；
当点F在CB的延长线上时，如图5，

∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，
∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，
∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，
∴△ADN∽△BDH，
∴＝，
设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，
∴AD＝x，BD＝nx，
∴AB＝（n+1）x，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DHCN是矩形，
∴∠NDH＝90°＝∠EDF，
∴∠EDN＝∠FDH，
又∵∠END＝∠FHD，
∴△EDN∽△FDH，
∴＝，
∴FH＝nNE，
∴AE﹣BF＝x+NE﹣（FH﹣nx）＝2x＝AB；
综上所述：当点F在射线BC上时，，当点F在CB延长线上时，；


















26．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且＝（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．
【拓展运用】
（3）如图3，连接EF，设EF的中点为M，若AB＝2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．

（3）如图，连接CD，CM，DM，

∵EF的中点为M，∠ACB＝∠EDF＝90°，∴CM＝DM＝EF，
∴点M在线段CD的垂直平分线上运动，如图，当点E'与点A重合时，点F'在BC的延长线上，当点E'与点C重合时，点F″在CB的延长线上，过点M'作M'H⊥F'C于R，

∴M'R∥AC，
∴＝，
∴M'R＝1，F'R＝CR，
设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，
∴AD＝x，BD＝nx，
∴AB＝（n+1）x＝2，∴x＝，
∵F'D＝BD＝nx，∴F'B＝2nx，
∴CF'＝2nx﹣2，∴CR＝nx﹣1＝﹣1＝，
由（2）可得：CD＝＝x•，DF″＝nDE″＝nx•，
∴CF″＝（1+n2）x，
∴CM″＝＝＝，
∴RM″＝n，∴M″M'＝，
∴点M运动的路径长为．
【点评】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
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