2023年福建省中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年福建省中考数学试卷（含答案解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年福建省中考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）下列实数中，最大的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．（4分）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．​​
3．（4分）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　）
A．1 B．5 C．7 D．9
4．（4分）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据1040000000用科学记数法表示为（　　）
A．104×107 B．10.4×108 C．1.04×109 D．0.104×1010
5．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．a3•a4＝a12 D．a2﹣a＝a
6．（4分）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A．43903.89（1+x）＝53109.85
B．43903.89（1+x）2＝53109.85
C．43903.89x2＝53109.85
D．43903.89（1+x2）＝53109.85
7．（4分）阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；
②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　）

A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM
8．（4分）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．​根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（　　）

A．平均数为70分钟 B．众数为67分钟
C．中位数为67分钟 D．方差为0
9．（4分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（　　）

A．﹣3 B．﹣ C． D．3
10．（4分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（　　）

A． B．2 C．3 D．2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货5件应记作 　 　．
12．（4分）如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为 　 　．

13．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为 　 　．

14．（4分）某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：
项自
应聘者
综合知识
工作经验
语言表达
甲
75
80
80
乙
85
80
70
丙
70
78
70
如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是 　 　．
15．（4分）已知+＝1，且a≠﹣b，则的值为 　 　．
16．（4分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 　 　．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：﹣20+|﹣1|．
18．（8分）解不等式组：．
19．（8分）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．

20．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
21．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC．
（1）求证：AO∥BE；
（2）求证：AO平分∠BAC．

22．（10分）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由．
23．（10分）阅读下列材料，回答问题．
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB．其测量及求解过程如下：
测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点C，如图4，测得AC＝am，BC＝bm；
（ⅱ）分别在AC，BC上测得CM＝m，CN＝m；测得MN＝cm．
求解过程：
由测量知，AC＝a，BC＝b，CM＝，CN＝，
∴＝＝，又∵①　 　，
∴△CMN∽△CAB，∴．
又∵MN＝c，∴AB＝②　 　（m）．
故小水池的最大宽度为***m．

（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）小明求得AB用到的几何知识是 　 　；
（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．
要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，M为抛物线的顶点，C，D为抛物线上不与A，B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD，BC的交点为P．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若C（4，3），D（m，﹣），且m＜2，求证：C，D，E三点共线；
（3）小明研究发现：无论C，D在抛物线上如何运动，只要C，D，E三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
25．（14分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M．
​
（1）求证：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度数；
（3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO．

2023年福建省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）下列实数中，最大的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小；据此进行判断即可．
【解答】解：2＞1＞0＞﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查有理数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（4分）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．​​
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：这个立体图形的俯视图是一个矩形，矩形内部中间是一个圆形．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．
3．（4分）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　）
A．1 B．5 C．7 D．9
【分析】根据三角形的三边关系定理得出4﹣3＜m＜4+3，求出即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系定理得：4﹣3＜m＜4+3，
解得：1＜m＜7，
即符合的只有5，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的三边关系定理的内容是解此题的关键．
4．（4分）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据1040000000用科学记数法表示为（　　）
A．104×107 B．10.4×108 C．1.04×109 D．0.104×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1040000000＝1.04×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．a3•a4＝a12 D．a2﹣a＝a
【分析】根据幂的乘方，同底数幂乘法及除法法则，合并同类项法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：A．（a2）3
＝a2×3
＝a6，
则A符合题意；
B．a6÷a2
＝a6﹣2
＝a4，
则B不符合题意；
C．a3•a4
＝a3+4
＝a7，
则C不符合题意；
D．a2与a不是同类项，无法合并，
则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．（4分）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A．43903.89（1+x）＝53109.85
B．43903.89（1+x）2＝53109.85
C．43903.89x2＝53109.85
D．43903.89（1+x2）＝53109.85
【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元，据此列方程．
【解答】解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，
根据题意得，43903.89（1+x）2＝53109.85，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
7．（4分）阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；
②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　）

A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM
【分析】由△OCM≌△ODM（SSS）推出∠1＝∠2；OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3；OD和DM不一定相等；CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3．
【解答】解：A、以C，D为圆心画弧的半径相等，因此CM＝DM，又OC＝OD，OM＝OM，因此△OCM≌△ODM（SSS）得到∠1＝∠2，故A符合题意；
B、因为OC、CM的长在变化，所以OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合题意；
C、因为OD、DM的长在变化，所以OD和DM不一定相等，故C不符合题意；
D、CM的位置在变化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，关键是由作图得到△OCM≌△ODM（SSS）．
8．（4分）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．​根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（　　）

A．平均数为70分钟 B．众数为67分钟
C．中位数为67分钟 D．方差为0
【分析】根据折线图分别求出平均数、众数、中位数和方差进行判断即可．
【解答】解：根据折线图小亮该周每天校外锻炼时间为：65、67、70、67、75、79、88，
A．平均数是＝73，故选项错误，不符合题意；
B．这组数的众数是67，故选项正确，符合题意；
C．将这组数由小到大排列为：65、67、67、70、75、79、88，中位数是70，故选项错误，不符合题意；
D．这组方差为：S2＝×[（65﹣73）2+（67﹣73）2+（70﹣73）2+（67﹣73）2+（75﹣73）2+（79﹣73）2+（88﹣73）2]＝30，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了折线图，平均数、众数、中位数和方差的计算，掌握折线图的特点，平均数、众数、中位数和方差的计算方法是关键．
9．（4分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（　　）

A．﹣3 B．﹣ C． D．3
【分析】如图，点B在函数y＝上，证明△AOC≌△OBD，根据k的几何意义即可求解．
【解答】解：连接正方形的对角线，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：

∵边形ABCD是正方形，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴S△AOC＝S△OBD＝＝，
∵点A在第二象限，
∴n＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查正方形的性质，反比例函数的k的几何意义，熟练掌握以上性质的解题关键．
10．（4分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（　　）

A． B．2 C．3 D．2
【分析】过A作AM⊥OB于M，求得∠AOB＝360°÷12＝30°，根据直角三角形的性质得到AM＝OA＝，根据三角形的面积公式得到S△AOB＝，于是得到正十二边形的面积为12×＝3，根据圆的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，
过A作AM⊥OB于M，
在正十二边形中，∠AOB＝360°÷12＝30°，
∴AM＝OA＝，
∴S△AOB＝OB•AM＝＝，
∴正十二边形的面积为12×＝3，
∴3＝12×π，
∴π＝3，
∴π的近似值为3，
故选：C．

【点评】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货5件应记作 　﹣5　．
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可得出答案．
【解答】解：∵进货10件记作+10，
∴出货5件应记作﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查正数和负数的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12．（4分）如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为 　10　．

【分析】由平行线四边形的性质得到CD＝AB，CD∥AB，因此∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，又OD＝OB，即可证明△DOF≌△BOE（AAS），得到FD＝BE，于是得出CF＝AE＝10．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，
∵O为BD的中点，
∴OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴DF＝BE，
∴CD﹣DF＝AB﹣BE，
∴CF＝AE＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由△DOF≌△BOE推出DF＝BE，由平行线的性质得到CD＝AB，推出CF＝AE．
13．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为 　10　．

【分析】由菱形的性质得到AB＝BC，又∠B＝60°，因此△ABC是等边三角形，得到AC＝AB＝10．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由菱形的性质推出△ABC是等边三角形．
14．（4分）某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：
项自
应聘者
综合知识
工作经验
语言表达
甲
75
80
80
乙
85
80
70
丙
70
78
70
如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是 　乙　．
【分析】根据表格中的数据和加权平均数的计算方法，可以分别求出甲、乙、丙的成绩，然后比较大小即可．
【解答】解：由题意可得，
甲的成绩为：＝77.5，
乙的成绩为：＝79.5，
丙的成绩为：＝71.6，
∵79.5＞77.5＞71.6，
∴乙将被录取，
故答案为：乙．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的加权平均数．
15．（4分）已知+＝1，且a≠﹣b，则的值为 　1　．
【分析】根据+＝1，可得ab＝2a+b，再代入即可求出答案．
【解答】解：∵+＝1，
∴+＝＝1，
∴ab＝2a+b，
∴＝＝＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式的加减法和分式的值，熟练掌握分式的运算法则是关键．
16．（4分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 　﹣1＜n＜0　．
【分析】由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，开口向上，再分点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧和点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧两种情况求解即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y1＜y2，
∴若点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧，
由题意可得：，
不等式组无解；
若点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧，
由题意可得：，
解得：﹣1＜n＜0，
∴n的取值范围为：﹣1＜n＜0．
故答案为：﹣1＜n＜0．
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标的特征，能根据题意正确列出不等式组是解决本题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：﹣20+|﹣1|．
【分析】根据算术平方根的定义，零指数幂，绝对值的性质进行计算即可．
【解答】解：原式＝3﹣1+1
＝2+1
＝3．
【点评】本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
18．（8分）解不等式组：．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“大小小大取中间”原则求出不等式组的解集即可．
【解答】解：解不等式①，得x＜1．
解不等式②，得x≥﹣3．
所以原不等式组的解集为﹣3≤x＜1．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
19．（8分）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．

【分析】根据角的和差求得∠AOB＝∠COD，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠AOD＝∠COB，
∴∠AOD﹣∠BOD＝∠COB﹣∠BOD，
即∠AOB＝∠COD．
在△AOB 和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了等式的基本性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
20．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝•
＝﹣•
＝﹣，
当 时，
原式＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC．
（1）求证：AO∥BE；
（2）求证：AO平分∠BAC．

【分析】（1）根据切线的性质得到AF⊥OA，求得∠OAF＝90°，根据圆周角定理得到∠CBE＝90°，求得∠OAF＝∠CBE，根据平行线的性质得到∠BAF＝∠ABC，于是得到∠OAB＝∠ABE，根据平行线的判定定理即可得到AO∥BE；
（2）根据圆周角定理得到∠ABE＝∠ACE，根据等腰三角形的性质得到∠ACE＝∠OAC，等量代换得到∠ABE＝∠OAC，由（1）知，∠OAB＝∠ABE，根据角平分线的定义即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵AF是⊙O的切线，
∴AF⊥OA，
即∠OAF＝90°，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CBE＝90°，
∴∠OAF＝∠CBE，
∵AF∥BC，
∴∠BAF＝∠ABC，
∴∠OAF﹣∠BAF＝∠CBE﹣∠ABC，
即∠OAB＝∠ABE，
∴AO∥BE；
（2）∵∠ABE 与∠ACE 都是所对的圆周角，
∴∠ABE＝∠ACE，
∵OA＝OC，
∴∠ACE＝∠OAC，
∴∠ABE＝∠OAC，
由（1）知，∠OAB＝∠ABE，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴AO平分∠BAC．
【点评】本题考查了切线的性质，角平分线的定义、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、熟练掌握切线的性质是解题的关键．
22．（10分）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由．
【分析】（1）用概率公式直接可得答案；
（2）记往袋中加入的球为“新”，列表求出所有等可能的情况，分别求出新球为红色，黄色时获得精美礼品的概率，比较概率大小即可得到答案．
【解答】解：（1）顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果，
记“首次摸得红球”为事件A，则事件A发生的结果只有1种，
∴，
∴顾客首次摸球中奖的概率为 ；
（2）他应往袋中加入黄球；理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：

红
黄①
黄②
黄③
新
红

红，黄①
红，黄②
红，黄③
红，新
黄①
黄①，红

黄①，黄②
黄①，黄③
黄①，新
黄②
黄②，红
黄②，黄①

黄②，黄③
黄②，新
黄③
黄③，红
黄③，黄①
黄③，黄②

黄③，新
新
新，红
新，黄①
新，黄②
新，黄③

共有20种等可能结果，
（i）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率 ；
（i）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率 ；
∵，
∴P1＜P2，
∴他应往袋中加入黄球．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）阅读下列材料，回答问题．
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB．其测量及求解过程如下：
测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点C，如图4，测得AC＝am，BC＝bm；
（ⅱ）分别在AC，BC上测得CM＝m，CN＝m；测得MN＝cm．
求解过程：
由测量知，AC＝a，BC＝b，CM＝，CN＝，
∴＝＝，又∵①　∠C＝∠C　，
∴△CMN∽△CAB，∴．
又∵MN＝c，∴AB＝②　3c　（m）．
故小水池的最大宽度为***m．

（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）小明求得AB用到的几何知识是 　相似三角形的判定和性质　；
（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．
要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）．
【分析】（1）利用相似三角形的判定和性质解决问题即可；
（2）利用相似三角形的判定和性质；
（3）（i）在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得∠ABC＝α，在点A处测得∠BAC＝β；（ii）用皮尺测得 BC＝am．由此求解即可，
【解答】解：（1）①由测量知，AC＝a，BC＝b，CM＝，CN＝，
∴＝＝，
又∵∠C＝∠C，
∴△CMN∽△CAB，
∴．
又∵MN＝c，
∴AB＝3c（m）．
故答案为：∠C＝∠C； ②3c；

（2）求得AB用到的几何知识是：相似三角形的判定和性质．
故答案为：相似三角形的判定与性质；

（3）测量过程：（i）在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得∠ABC＝α，在点A处测得∠BAC＝β；
（ii）用皮尺测得 BC＝am．

求解过程：由测量知，在△ABC中，∠ABC＝α，∠BAC＝β，BC＝a．
过点C作 CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△CBD中，，
即 ，所以BD＝acosα．
同理，CD＝asinα．
在Rt△ACD中，，
即 ，所以 ，
所以 ．
故小水池的最大宽度为 ．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，M为抛物线的顶点，C，D为抛物线上不与A，B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD，BC的交点为P．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若C（4，3），D（m，﹣），且m＜2，求证：C，D，E三点共线；
（3）小明研究发现：无论C，D在抛物线上如何运动，只要C，D，E三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法吗，构建方程组求解；
（2）求出直线CE都是解析式，再判断出点D的坐标，可得结论；
（3）取特殊位置，判断出△AMP，△MEP的面积不为定值，可得结论．
【解答】（1）解：因为抛物线 y＝ax2+bx+3 经过点A（1，0），B（3，0），
所以 ，
解得，
所以抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；

（2）证明：设直线CE对应的函数表达式为 y＝kx+n（k≠0），
因为E为AB中点，所以E（2，0）．
又因为C（4，3），
所以，解得 ，
所以直线CE对应的函数表达式为 ．
因为点 在抛物线上，所以 ．
解得， 或 ．
又因为m＜2，所以 ，
所以 ．
因为 ，即 满足直线CE对应的函数表达式，
所以点D在直线CE上，即C，D，E三点共线；

（3）△ABP的面积为定值，其面积为2．
理由如下：（考生不必写出下列理由）
如图1，当C，D分别运动到点 C'D'的位置时，C，D'与D，C'分别关于直线EM对称，此时仍有 C'D'，E三点共线．
设 AD'与 BC'的交点为P′，则P，P′关于直线EM对称，即 PP'∥x 轴．
此时，PP'与AM不平行，且AM不平分线段 PP'，
故P，P'到直线AM的距离不相等，即在此情形下△AMP 与△AMP'的面积不相等，
所以△AMP 的面积不为定值．

如图2，当 C，D 分别运动到点 C1D1 的位置，且保持 C1D1，E三点共线．此时AD1 与 BC1 的交点 P1 到直线EM的距离小于P到直线EM的距离，
所以△MEP1的面积小于△MEP的面积，故△MEP 的面积不为定值．
又因为△AMP，△MEP，△ABP 中存在面积为定值的三角形，故△ABP 的面积为定值．
在（2）的条件下，∵B（3，0），C（4，3），D（，﹣），
∴直线BC对应的函数表达式为 y＝3x﹣9；直线AD对应的函数表达式为 ，
由，解得，
∴，此时△ABP 的面积为2．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
25．（14分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M．
​
（1）求证：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度数；
（3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO．
【分析】（1）由DF是由线段DC绕点D顺时针旋转 90° 得到的，得∠FDC＝90°，FD＝CD，∠DFC＝45°，又AB＝AC，AO⊥BC，可得∠BAO＝∠DFC，根据∠EDA+∠ADM＝90°，∠M+∠ADM＝90°有∠EDA＝∠M，故△ADE∽△FMC；
（2）设BC与DF的交点为I，由∠DBI＝∠CFI＝45°，∠BID＝∠FIC，有△BID∽△FIC，，即，可得△BIF∽△DIC，即得∠IBF＝∠IDC＝90°，从而∠ABF＝∠ABC+∠IBF＝135°；
（3）延长ON交BF于点T，连接DT，DO，由∠FBI＝∠BOA＝90°，知BF∥AO，∠FTN＝∠AON，而N是AF的中点，有AN＝NF，可得△TNF≌△ONA（AAS），从而NT＝NO，FT＝AO，可证FT＝CO，△DFT≌△DCO（SAS），得DT＝DO，∠FDT＝∠CDO，即可得∠ODT＝∠CDF＝90°，故．
【解答】（1）证明：如图：

∵DF是由线段DC绕点D顺时针旋转 90° 得到的，
∴∠FDC＝90°，FD＝CD，∠DFC＝45°，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO＝∠ABC＝45°，
∴∠BAO＝∠DFC，
∵∠EDA+∠ADM＝90°，∠M+∠ADM＝90°
∴∠EDA＝∠M，
∴△ADE∽△FMC；
（2）解：设BC与DF的交点为I，如图：

∵∠DBI＝∠CFI＝45°，∠BID＝∠FIC，
∴△BID∽△FIC，
∴，即，
∵∠BIF＝∠DIC，
∴△BIF∽△DIC，
∴∠IBF＝∠IDC，
∵∠IDC＝90°，
∴∠IBF＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝∠ABC+∠IBF＝135°；
（3）证明：延长ON交BF于点T，连接DT，DO，如图：

∵∠FBI＝∠BOA＝90°，
∴BF∥AO，
∴∠FTN＝∠AON．
∵N是AF的中点，
∴AN＝NF，
∵∠TNF＝∠ONA，
∴△TNF≌△ONA（AAS），
∴NT＝NO，FT＝AO，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO＝CO，
∴FT＝CO，
由（2）知，△BIF∽△DIC，
∴∠DFT＝∠DCO．
∵DF＝DC，
∴△DFT≌△DCO（SAS），
∴DT＝DO，∠FDT＝∠CDO，
∴∠FDT+∠FDO＝∠CDO+∠FDO，即∠ODT＝∠CDF，
∵∠CDF＝90°，
∴∠ODT＝∠CDF＝90°，
∴．
【点评】本题考查相似三角形综合应用，涉及三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等基础知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理．
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