2023年湖南省岳阳市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年湖南省岳阳市中考数学试卷（含答案解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）
1．（3分）2023的相反数是（　　）
A． B．﹣2023 C．2023 D．
2．（3分）下列运算结果正确的是（　　）
A．a2•a＝a3 B．a6÷a2＝a3
C．3a﹣a＝3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
3．（3分）下列几何体的主视图是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°
5．（3分）在5月份跳绳训练中，妍妍同学一周成绩记录如下：176，178，178，180，182，185，189（单位：次/分钟），这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．180，182 B．178，182 C．180，180 D．178，180
6．（3分）下列命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等
B．菱形的四条边相等
C．正五边形是中心对称图形
D．单项式5ab2的次数是4
7．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸．则BC的长是（　　）

A．寸 B．25寸 C．24寸 D．7寸
8．（3分）若一个点的坐标满足（k，2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（　　）
A．s＜﹣1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．﹣1＜s＜0
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
10．（4分）近年来，岳阳扛牢“守护好一江碧水”责任，水在变清，岸在变绿，洞庭湖真正成为鸟类的天堂．2022年冬季，洞庭湖区越冬水鸟数量达37.83万只，数据378300用科学记数法表示为 　 　．
11．（4分）有两个女生小合唱队，各由6名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为＝160mm，甲队身高方差s甲2＝1.2，乙队身高方差s乙2＝2.0，两队身高比较整齐的是 　 　队．（填“甲”或“乙”）
12．（4分）如图，①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．若∠AOB＝60°，则∠AOC＝　 　°．

13．（4分）观察下列式子：
12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；…
依此规律，则第n（n为正整数）个等式是 　 　．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝　 　．
15．（4分）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是 　 　米（结果精确到0.1米，sin21.8°≈0.3714，cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000）．

16．（4分）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E．
（1）若∠A＝30°，AB＝6，则的长是 　 　（结果保留π）；
（2）若＝，则＝　 　．

三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：22﹣tan60°+|﹣1|﹣（3﹣π）0．
18．（6分）解不等式组：．
19．（8分）如图，反比例函数y＝（k为常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m为常数，m≠0）的图象交于A（1，2），B两点．
（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；
（2）若y轴上有一点C（0，n），△ABC的面积为4，求点C的坐标．

20．（8分）为落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程意见》，深入开展“我们的节日”主题活动，某校七年级在端午节来临之际，成立了四个社团：A包粽子，B腌咸蛋，C酿甜酒，D摘艾叶，每人只参加一个社团的情况下，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：
（1）本次共调查了 　 　名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和C两个社团的概率．

21．（8分）如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形．
（1）你添加的条件是 　 　（填序号）；
（2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形．

22．（8分）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是4800kg，今年龙虾的总产量是6000kg，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少60kg，求今年龙虾的平均亩产量．
23．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN．
初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是 　 　，MN与AC的位置关系是 　 　．
特例研讨：（2）如图2，若∠BAC＝90°，BC＝4，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A，E，F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．
①求∠BCF的度数；
②求CD的长．
深入探究：（3）若∠BAC＜90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°＜α＜360°，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．

24．（10分）已知抛物线Q1：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点，交y轴于点C（0，3）．
（1）请求出抛物线Q1的表达式．
（2）如图1，在y轴上有一点D（0，﹣1），点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E，F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK＝∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2023年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）
1．（3分）2023的相反数是（　　）
A． B．﹣2023 C．2023 D．
【分析】利用相反数的定义判断即可．
【解答】解：2023的相反数是﹣2023．
故选：B．
【点评】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．
2．（3分）下列运算结果正确的是（　　）
A．a2•a＝a3 B．a6÷a2＝a3
C．3a﹣a＝3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】先根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和完全平方公式进行计算，再根据求出的结果进行判断即可．
【解答】解：A．a2•a＝a3，故本选项符合题意；
B．a6÷a2＝a4，故本选项不符合题意；
C．3a﹣a＝2a，故本选项不符合题意；
D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和完全平方公式等知识点，能熟记同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项法则和完全平方公式是解此题的关键．
3．（3分）下列几何体的主视图是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据球体、正方体、四棱锥、三棱柱的主视图的形状进行判断即可．
【解答】解：球体的主视图是圆，正方体的主视图是正方形，四棱锥的主视图是三角形，三棱柱的主视图是矩形．
故选：A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是能够理解主视图的概念以及对常见的几何体的主视图有一定的空间想象能力．
4．（3分）已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】由平角的定义可求得∠BEG＝50°，再由平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵EG⊥EF，
∴∠FEG＝90°，
∵∠AEF+∠FEG+∠BEG＝180°，∠AEF＝40°，
∴∠BEF＝180°﹣∠AEF﹣∠FEG＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠BEG＝50°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
5．（3分）在5月份跳绳训练中，妍妍同学一周成绩记录如下：176，178，178，180，182，185，189（单位：次/分钟），这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．180，182 B．178，182 C．180，180 D．178，180
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据178出现2次，次数最多，
所以这组数据的众数为178，
这组数据的中位数为180，
故选：D．
【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
6．（3分）下列命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等
B．菱形的四条边相等
C．正五边形是中心对称图形
D．单项式5ab2的次数是4
【分析】利用平行线的性质、菱形的性质、正多边形的对称性及单项式的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、菱形的四条边相等，正确，是真命题，符合题意；
C、正五边形不是中心对称图形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、单项式5ab2的次数是3，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
7．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸．则BC的长是（　　）

A．寸 B．25寸 C．24寸 D．7寸
【分析】首先根据直径所对的圆周角是直角得∠BCD＝90°，然后再Rt△BCD中利用勾股定理即可求出BC的长．
【解答】解：依题意得：BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
在Rt△BCD中，BD＝25寸，CD＝7寸，
由勾股定理得：．
∴CD的长为24寸．
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理的应用，解答此题的关键是理解直径所对的圆周角是直角．
8．（3分）若一个点的坐标满足（k，2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（　　）
A．s＜﹣1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．﹣1＜s＜0
【分析】根据根与系数的关系解答即可．
【解答】解：将（k，2k）代入二次函数，得2k＝（t+1）k2+（t+2）k+s，整理得（t+1）k2+tk+s＝0．
∵（t+1）k2+tk+s＝0是关于k的二次方程，总有两个不同的实根，
∴Δ＝t2﹣4s（t+1）＞0．
令f（t）＝t2﹣4s（t+1）＝t2﹣4st﹣4s
∵f（t）＞0，
∴Δ＝（4s）2+16s＝16s2+16s＜0，
即Δ＝s（s+1）＜0，解得0＞s＞﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征．根与系数的关系是二次函数部分非常重要的关系式，这里进行了反复运用，一定要牢牢掌握并灵活运用．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≠2　．
【分析】根据分母不为0可得：x﹣2≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
10．（4分）近年来，岳阳扛牢“守护好一江碧水”责任，水在变清，岸在变绿，洞庭湖真正成为鸟类的天堂．2022年冬季，洞庭湖区越冬水鸟数量达37.83万只，数据378300用科学记数法表示为 　3.783×105　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将378300用科学记数法表示为3.783×105．
故答案为：3.783×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．（4分）有两个女生小合唱队，各由6名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为＝160mm，甲队身高方差s甲2＝1.2，乙队身高方差s乙2＝2.0，两队身高比较整齐的是 　甲　队．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝1.2，S乙2＝2.0，
∴S甲2＜S乙2，
∴两队身高比较整齐的是甲队．
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
12．（4分）如图，①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．若∠AOB＝60°，则∠AOC＝　30　°．

【分析】直接根据角平分线的作法即可得出结论．
【解答】解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠AOB＝＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
13．（4分）观察下列式子：
12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；…
依此规律，则第n（n为正整数）个等式是 　n2﹣n＝n（n﹣1）　．
【分析】观察等式左边的特点，即第n个式子就是n的平方减去n；右边的特点是n与（n﹣1）的积．
【解答】解：12﹣1＝1×0；
22﹣2＝2×1；
32﹣3＝3×2；
42﹣4＝4×3；
52﹣5＝5×4；
…；
依此规律，则第n（n为正整数）个等式是：n2﹣n＝n（n﹣1）．
故答案为：n2﹣n＝n（n﹣1）．
【点评】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律是解本题的关键．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝　3　．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，由根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2，结合x1+x2+x1•x2＝2，可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣m+2）＞0，
∴m＞2．
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2，
∵x1+x2+x1•x2＝2，
∴﹣2m+m2﹣m+2＝2，
解得：m1＝0（不符合题意，舍去），m2＝3，
∴实数m的值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合x1+x2+x1•x2＝2，找出关于m的一元二次方程是解题的关键．
15．（4分）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是 　9.5　米（结果精确到0.1米，sin21.8°≈0.3714，cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000）．

【分析】由题意得，四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质得到AB＝CD＝1.5m，AD＝BC＝20m，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：由题意得，四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝1.5m，AD＝BC＝20m，
在Rt△ADE中，
∵AD＝BC＝20m，∠EAD＝21.8°，
∴DE＝AD•tan21.8°≈20×0.4000＝8（m），
∴CE＝CD+DE＝1.5+8＝9.5（m），
答：气球顶部离地面的高度EC是9.5m．
故答案为：9.5．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，矩形的性质，正确地仰角的定义是解题的关键．
16．（4分）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E．
（1）若∠A＝30°，AB＝6，则的长是 　π　（结果保留π）；
（2）若＝，则＝　　．

【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得∠BOC＝60°，利用弧长公式即可求出的长；
（2）连接OC，根据垂径定理得到OC⊥BD，再由切线得到EC∥BD，利用平行线分线段成比例得出，再根据勾股求出EC＝2x，代入比例式即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵∠A＝30°，AB＝6，
∴∠BOC＝60°，OB＝3，
∴的长＝＝π；
故答案为：π；
（2）如图，连接OC，
∵点C为的中点，
∴＝，
∴OC⊥BD，
又∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∴EC∥BD，
∵＝，
∴，
设EB＝x，则AB＝3x，BO＝OC＝x，EO＝x，AE＝4x，
∴EC＝＝＝2x，
∴＝＝．
故答案为：．

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、圆周角定理、切线的判定与性质，勾股定理，弧长的计算，掌握圆周角定理、切线的判定与性质是关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：22﹣tan60°+|﹣1|﹣（3﹣π）0．
【分析】先化简特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，再根据实数的运算法则计算即可．
【解答】解：22﹣tan60°+|﹣1|﹣（3﹣π）0．
＝4﹣+﹣1﹣1
＝2．
【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
18．（6分）解不等式组：．
【分析】利用解一元一次不等式组的方法进行求解即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x＜4，
故不等式组的解集为：2＜x＜4．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法．
19．（8分）如图，反比例函数y＝（k为常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m为常数，m≠0）的图象交于A（1，2），B两点．
（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；
（2）若y轴上有一点C（0，n），△ABC的面积为4，求点C的坐标．

【分析】（1）分别将点A（1，2）反比例函数和正比例函数的解析式即可得出答案；
（2）先求出点B的坐标，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F，然后根据点A、B、C的坐标表示出AE，BF，OC，最后再根据S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝4即可求出点C的坐标．
【解答】解：（1）将点A（1，2）代入，得：k＝2，
∴反比例函数的解析式为：，
将点A（1，2）代入y＝mx，得：m＝2，
∴正比例函数的解析式为：y＝2x．
（2）解方程组，得：，，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2），
过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F，

∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），C（0，n），
∴AE＝BF＝1，OC＝|n|，
∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝4，
∴，
即：|n|×1+|n×1＝8，
∴|n|＝4，
∴n＝±4，
∴点C的坐标为（0，4）或（0，﹣4）．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，难点是在解答（2）时，过点A，B向y轴作垂线，把△ABC的面积转化为△AOC和△BOC的面积之和，漏解是解答此题的易错点．
20．（8分）为落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程意见》，深入开展“我们的节日”主题活动，某校七年级在端午节来临之际，成立了四个社团：A包粽子，B腌咸蛋，C酿甜酒，D摘艾叶，每人只参加一个社团的情况下，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：
（1）本次共调查了 　100　名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和C两个社团的概率．

【分析】（1）根据C组人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出B组的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出同时选中A和C两个社团的概率．
【解答】解：（1）25÷25%＝100（名），
即本次共调查了100名学生，
故答案为：100；
（2）选择B的学生有：100﹣40﹣25﹣15＝20（名），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）树状图如下所示，

由上可得，一共有12种等可能性，其中同时选中A和C两个社团的可能性有2种，
∴同时选中A和C两个社团的概率为＝．

【点评】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
21．（8分）如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形．
（1）你添加的条件是 　①　（填序号）；
（2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形．

【分析】（1）根据矩形的判定定理选择条件即可；
（2）根据平行四边形的性质得到AB∥DC，AB＝DC，求得∠A+∠D＝180°，根据全等三角形的性质得到∠A＝∠D，根据矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）解：当∠1＝∠2时，▱ABCD为矩形．故答案为：①；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠A+∠D＝180°，
在△ABM和DCM中，
，
∴△ABM≌DCM（SAS），
∴∠A＝∠D，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴▱ABCD为矩形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，由矩形的性质和全等三角形的判定证得△ABM≌DCM，并熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．
22．（8分）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是4800kg，今年龙虾的总产量是6000kg，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少60kg，求今年龙虾的平均亩产量．
【分析】设今年龙虾的平均亩产量为xkg，则去年龙虾的平均亩产量为（x﹣60）kg，利用养殖面积＝总产量÷平均亩产量，结合去年与今年的养殖面积相同，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设今年龙虾的平均亩产量为xkg，则去年龙虾的平均亩产量为（x﹣60）kg，
根据题意得：＝，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意．
答：今年龙虾的平均亩产量为300kg．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN．
初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是 　MN＝AC　，MN与AC的位置关系是 　MN∥AC　．
特例研讨：（2）如图2，若∠BAC＝90°，BC＝4，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A，E，F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．
①求∠BCF的度数；
②求CD的长．
深入探究：（3）若∠BAC＜90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°＜α＜360°，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，则MN是△ABC的中位线，即可得出结论；
（2）特例研讨：①连接EM，MN，NF，证明△BME是等边三角形，△BNF是等边三角形，得出∠FCB＝30°；
②连接AN，证明△ADN∽△BDE，则 ，设DE＝x，则，在Rt△ABE中，BE＝2，，则，在Rt△ADN中，AD2＝DN2+AN2，勾股定理求得，则；
（3）当点C，E，F在同一直线上时，且点E在FC上时，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝180°﹣2θ，得出∠BEC+∠BAC＝180°，则A．B，E，C 在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出∠EAC＝∠EBC＝α﹣θ，表示∠BAE与∠ABF，即可求解；当F在EC上时，可得A，B，E，C在同一个圆上，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝∠BEF＝180°﹣2θ，设∠NBF＝β，则∠EBM＝β，则 α+β＝360°，表示∠BAE 与∠ABF，即可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴，MN∥AC；
故答案是：MN＝AC，MN∥AC；

（2）特例研讨：①如图所示，连接EM，MN，NF，

∵MN是△BAC的中位线，
∴MN∥AC，
∴∠BMN＝∠BAC＝90°，
∵将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，
∴BE＝BM，BF＝BN；∠BEF＝∠BMN＝90°，
∵点A，E，F在同一直线上，
∴∠AEB＝∠BEF＝90°，
在Rt△ABE中，M是斜边AB的中点，
∴，
∴BM＝ME＝BE，
∴△BME是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，即旋转角α＝60°，
∴∠NBF＝60°，BN＝BF，
∴△BNF是等边三角形，
又∵BN＝NC，BN＝NF，
∴NF＝NC，
∴∠NCF＝∠NFC，
∴∠BNF＝∠NCF+∠NFC＝2∠NFC＝60°，
∴∠FCB＝30°；
（2）如图所示，连接AN，

∵AB＝AC，∠BAC＝90° ，
∴，∠ACB＝∠ABC＝45°，
∵∠ADN＝∠BDE，∠ANB＝∠BED＝90°，
∴△ADN∽△BDE，
∴，
设DE＝x，则，
在Rt△ABE中，，则，
在Rt△ADN中，AD2＝DN2+AN2，
∴，
解得： 或 （舍去），
∴；
（3）如图所示，当点C，E，F在同一直线上时，且点E在FC上时，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝180°﹣2θ，
∵MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，
∴∠MNB＝∠MBN＝θ，
∵将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，
∴△EBF≌△MBN，∠MBE＝∠NBF＝α，
∴∠EBF＝∠EFB＝θ，
∴∠BEF＝180°﹣2θ，
∵点C，E，F在同一直线上，
∴∠BEC＝2θ，
∴∠BEC+∠BAC＝180°，
∴A，B，E，C在同一个圆上，

∴∠EAC＝∠EBC＝α﹣θ，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝（180°﹣2θ）﹣（α﹣θ）＝180°﹣α﹣θ，
∵∠ABF＝α+θ，
∴∠BAE+∠ABF＝180°，
如图所示，当F在EC上时，

∵∠BEF＝∠BAC，BC＝BC，
∴A，B，E，C在同一个圆上，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝∠BEF＝180°﹣2θ，
将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，设∠NBF＝β，则∠EBM＝β，则 α+β＝360°，
∴∠ABF＝θ﹣β，
∵∠BFE＝∠EBF＝θ，∠EFB＝∠FBC+∠FCB，
∴∠ECB＝∠FCB＝∠EFB﹣∠FBC＝θ﹣β，
∵，
∴∠EAB＝∠ECB＝θ﹣β，
∴∠BAE＝∠ABF，
综上所述，∠BAE＝∠ABF或∠BAE+∠ABF＝180°．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位 线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌 以上知识是解题的关键．
24．（10分）已知抛物线Q1：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点，交y轴于点C（0，3）．
（1）请求出抛物线Q1的表达式．
（2）如图1，在y轴上有一点D（0，﹣1），点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E，F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK＝∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）过点E作EG⊥x轴于点G，则∠AGE＝90°＝∠AOD，由正方形性质可得AE＝AD＝DF，∠DAE＝∠ADF＝90°，进而可证得△EAG≌△ADO（AAS），得出AG＝OD＝1，EG＝OA＝3，即E（﹣2，3），再证明点E在抛物线上，过点F作FL⊥y轴于点L，同理，△DFL≌△ADO（AAS），即可求得F（1，2）．
（3）先求得抛物线Q2的解析式为y＝﹣（x+1﹣2）2+4＝﹣（x﹣1）2+4，得出K（1，4），H（3，0），运用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，过点K作KT⊥y轴于点T，连接BC，设KP交直线BC于M或N，如图2，过点C作PS⊥y轴交BK于点S，交抛物线Q1于点P，连接PK，利用等腰直角三角形性质和三角函数定义可得tan∠CHK＝＝＝，进而可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线Q1：y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0），C（0，3）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线Q1的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）存在点E，F使得四边形DAEF为正方形．
理由：
如图1，过点E作EG⊥x轴于点G，则∠AGE＝90°＝∠AOD，

∵A（﹣3，0），D（0，﹣1），
∴OA＝3，OD＝1，
∵四边形DAEF是正方形，
∴AE＝AD＝DF，∠DAE＝∠ADF＝90°，
∵∠EAG+∠DAO＝90°，∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠EAG＝∠ADO，
∴△EAG≌△ADO（AAS），
∴AG＝OD＝1，EG＝OA＝3，
∴E（﹣2，3），
当x＝﹣2时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，
∴点E在抛物线上，
过点F作FL⊥y轴于点L，
同理，△DFL≌△ADO（AAS），
∴FL＝OD＝1，DL＝OA＝3，
∴OL＝DL﹣OD＝3﹣1＝2，
F（1，2）．
（3）抛物线Q1上存在点P，使得∠CPK＝∠CHK．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线Q1的顶点坐标为（﹣1，4），
∵将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，
∴抛物线Q2的解析式为y＝﹣（x+1﹣2）2+4＝﹣（x﹣1）2+4，
∵抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，
∴K（1，4），H（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，把C（0，3），H（3，0）代入得，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
过点K作KT⊥y轴于点T，连接BC，设KP交直线BC于M或N，如图2，过点C作PS⊥y轴交BK于点S，交抛物线Q1于点P，连接PK，
则T（0，4），M（m，﹣m+3），N（t，﹣t+3），

∴KT＝TC＝1，∠KTC＝90°，
∴△CKT是等腰直角三角形，
∴∠KCT＝45°，CK＝KT＝，
∵OH＝OC＝3，∠COH＝90°，
∴△COH是等腰直角三角形，
∴∠HCO＝45°，CH＝OC＝3，
∴∠KCH＝180°﹣∠KCT﹣∠HCO＝90°，
∴tan∠CHK＝＝＝，
∵∠CPK＝∠CHK，
∴tan∠CPK＝tan∠CHK＝，
∵tan∠BCO＝＝，
∴∠BCO＝∠CHK，
∵BK∥OC，
∴∠CBK＝∠BCO，
∴∠CBK＝∠CHK，
即点P与点B重合时，∠CPK＝∠CHK，
∴P1（1，0）；
∵SK＝1，PS＝3，
∴tan∠CPK＝＝，
∴∠CPK＝∠CHK，
∵点P与点C关于直线x＝﹣1对称，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，抛物线Q1上存在点P，使得∠CPK＝∠CHK，点P的坐标为（1，0）或（﹣2，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数定义，抛物线的平移变换等，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．
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