2023年湖南省郴州市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年湖南省郴州市中考数学试卷（含答案解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣2的倒数是（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．
2．（3分）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a4•a3＝a7 B．（a2）3＝a5
C．3a2﹣a2＝2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．（3分）下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列问题适合全面调查的是（　　）
A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命
B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况
C．了解郴江河的水质情况
D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查
6．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（　　）
A． B．
C． D．x+1.5x＝240
8．（3分）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（　　）

A．途中修车花了30min
B．修车之前的平均速度是500m/nin
C．车修好后的平均速度是80m/min
D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）计算＝　 　．
10．（3分）在一次函数y＝（k﹣2）x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是 　 　（任写一个符合条件的数即可）．
11．（3分）在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是 　 　．
12．（3分）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝　 　．
13．（3分）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是 　 　分．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝　 　．

15．（3分）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 　 　台．

16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，∠B＝60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若点B的对应点B'恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是 　 　cm（结果用含π的式子表示）．

三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）
17．（6分）计算：（）﹣1﹣tan30°+（π﹣2023）0+|﹣2|．
18．（6分）先化简，再求值：•+，其中x＝1+．
19．（6分）某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．
（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；
（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；
（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．

20．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；
（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．

21．（8分）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，浏得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1km）．

22．（8分）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
23．（8分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．

24．（10分）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/cm
30
25
20
15
10
容器与水的总质量y1/g
10
12
15
20
30
加入的水的质量y2/g
5
7
10
15
25
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．

（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；
②求y2关于x的函数表达式；
③当0＜x≤60时，y1随x的增大而 　 　（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 　 　（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向 　 　（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．

25．（10分）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE交射线AC于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；
（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，
①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AE．设AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四边形BDFC的面积．

26．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2023年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣2的倒数是（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．
【分析】根据倒数：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣．
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
2．（3分）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据平移的定义逐个判断即可．
【解答】解：由平移定义得，平移只改变图形的位置，
观察图形可知，选项B中图形是由图形a通过平移得到，
A，C，D均不能由图形a通过平移得到，
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质的应用，熟练掌握平移的性质是解题关键．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a4•a3＝a7 B．（a2）3＝a5
C．3a2﹣a2＝2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】根据完全平方公式及多项式的计算得出结论即可．
【解答】解：A选项中，a4•a3＝a7，结论正确；
B选项中，（a2）3＝a6，故B选项结论错误；
C选项中，3a2﹣a2＝2a2，故C选项结论错误；
D选项中，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故D选项结论错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查完全平方公式及多项式的运算，熟练掌握完全平方公式及多项式的运算方法是解题的关键．
4．（3分）下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：A．三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
B．圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
C．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
D．球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
5．（3分）下列问题适合全面调查的是（　　）
A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命
B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况
C．了解郴江河的水质情况
D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查
【分析】由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故选项不符合题意；
B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；
C．了解郴江河的水质情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；
D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，适合全面调查，故选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3﹣x≥0，得：x≤3，
解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（　　）
A． B．
C． D．x+1.5x＝240
【分析】设原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度为（1+50%）x＝1.5xkm/h，根据走过相同的距离时间缩短了1小时，列方程即可．
【解答】解：设原计划平均速度为xkm/h，
由题意得，﹣＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
8．（3分）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（　　）

A．途中修车花了30min
B．修车之前的平均速度是500m/nin
C．车修好后的平均速度是80m/min
D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
【分析】根据图象即可判断A选项，根据“路程÷时间＝速度”即可判断B和C选项，进一步可判断D选项．
【解答】解：由图象可知，途中修车时间是9：10到9：30共花了20min，
故A不符合题意；
修车之前的平均速度是6000÷10＝600（m/min），
故B不符合题意；
车修好后的平均速度是（13200﹣6000）÷8＝900（m/min），
故C不符合题意；
900÷600＝1.5，
∴车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解一次函数图象上各点的含义是解题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）计算＝　3　．
【分析】如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：，由此即可得到答案．
【解答】解：＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查立方根，关键是掌握立方根的定义．
10．（3分）在一次函数y＝（k﹣2）x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是 　3（答案不唯一）　（任写一个符合条件的数即可）．
【分析】由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k﹣2＞0，解之即可得出k的值，再取其内的任意一值即可得出结论．
【解答】解：∵在一次函数y＝（k﹣2）x+3的图象中，y随x的增大而增大，
∴k﹣2＞0，
解得：k＞2．
∴k值可以为3．
故答案为：3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
11．（3分）在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是 　　．
【分析】从袋子中随机摸出1个球共有10种等可能结果，其中是红球的有7种结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵从袋子中随机摸出1个球共有10种等可能结果，其中是红球的有7种结果，
∴从袋子中随机取出一个球，是红球的概率为．
故选：．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
12．（3分）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝　9　．
【分析】利用判别式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，
∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．
即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，
解得：m＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点知识，明确Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数是解题的关键．
13．（3分）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是 　93　分．
【分析】根据加权平均数的计算公式列式计算可得．
【解答】解：根据题意，该参赛队的最终成绩是：30%×90+20%×95+50%×94＝93（分）．
故答案为：93．
【点评】本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝　5　．

【分析】由勾股定理可求解AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线可求解．
【解答】解：连接CM，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，
∵点M是AB的中点，
∴CM＝AB＝5．
故答案为：5．

【点评】本题主要考查由勾股定理，直角三角形斜边上的中线，求解AB的长是解题的关键．
15．（3分）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 　4　台．

【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是110°，则共需安装360°÷110°＝3≈4台．
【解答】解：∵∠P＝55°，
∴∠P所对弧所对的圆心角是110°，
∵360°÷110°＝3，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．
故答案为：4．
【点评】此题考查了要圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生活联系起来．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，∠B＝60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若点B的对应点B'恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是 　　cm（结果用含π的式子表示）．

【分析】根据旋转的性质得到点C的运动路径是CC′圆弧的长度，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：以A为圆心作圆弧CC′，如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB＝2×3＝6（cm），
∴AB＝＝＝3（cm），
∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，
∴AB＝AB′，
∵∠B＝60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠BAB′＝60°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝60°，
∴点C的运动路径长为＝（cm）．
故答案为：．

【点评】解：本题考查了轨迹，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，弧长的计算，解题的关键是明确点C的运动轨迹．
三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）
17．（6分）计算：（）﹣1﹣tan30°+（π﹣2023）0+|﹣2|．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣×+1+2
＝2﹣1+1+2
＝4．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）先化简，再求值：•+，其中x＝1+．
【分析】根据分式的乘法法则、加法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•+
＝+
＝
＝，
当x＝1+时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19．（6分）某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．
（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；
（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；
（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．

【分析】（1）用B的人数除以20%求得本次调查的学生总数，进而得出最喜欢去A地的人数；
（2）用360°乘“C”所占比例可以求得“C”部分所占圆心角的度数；
（3）用1200乘样本中D所占比例即可．
【解答】解：（1）本次调查的学生人数为：20÷20%＝100（人），
最喜欢去A地的人数为：100﹣20﹣40﹣25﹣5＝10（人），
补全条形统计图如下：

（2）研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数为：360°×＝144°；
（3）1200×＝300（名），
答：估计最喜欢去D地研学的学生人数约300名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；
（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．

【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】（1）解：如图，直线MN即为所求；

（2）证明：设AC与EF交于点O．由作图可知，EF垂直平分线段AC，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
21．（8分）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，浏得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1km）．

【分析】由题意得，AB＝40×2＝80（海里），∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，过C作CD⊥AB于D，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：由题意得，AB＝40×2＝80（海里），∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，
过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴，
∵AB＝80海里，
∴CD+CD＝80，
解得CD＝40﹣40≈29.2，
答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2海里．

【点评】本题考查解直角三角形应用﹣方向角问题、勾股定理的应用等知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
22．（8分）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5，
解得：x＝25%，x＝﹣（不合题意舍去），
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，
由题意可得：2.125+a≤2.5（1+25%），
解得：a≤1，
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
23．（8分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．

【分析】（1）连接OC，由AB是直径，可得∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，再证∠OCA＝∠A＝∠BCD，从而有∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，即可证明．
（2）由圆周角定理求得∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，
∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°，
∴∠AOC＝2∠A＝60°，
在Rt△OCD中，tan∠AOC＝＝tan60°，CD＝2，
∴，解得OC＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形BOC＝﹣＝2﹣．
【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式及解直角三角形，熟练掌握性质是解题关键．
24．（10分）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/cm
30
25
20
15
10
容器与水的总质量y1/g
10
12
15
20
30
加入的水的质量y2/g
5
7
10
15
25
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．

（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；
②求y2关于x的函数表达式；
③当0＜x≤60时，y1随x的增大而 　减小　（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 　减小　（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向 　下　（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．

【分析】（1）描点作出图象即可；
（2）①用待定系数法可得y1关于x的函数表达式；
②由y2与y1关系，结合①可得答案；
③观察图象可得答案；
（3）根据19≤y2≤45可得关于x的不等式，可解得x的范围．
【解答】解：（1）作出y2关于x的函数图象如下：

（2）①观察表格可知，y1是x的反比例函数，
设y1＝，把（30，10）代入得：10＝，
∴k＝300，
∴y1关于x的函数表达式是y1＝；
②∵y1＝y2+5，
∴y2+5＝；
∴y2＝﹣5；
③观察图象可得，当0＜x≤60时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而减小，y2的图象可以由y1的图象向下平移得到；
故答案为：减小，减小，下；
（3）∵y2＝﹣5，19≤y2≤45，
∴19≤﹣5≤45，
∴24≤≤50，
∴6≤x≤12.5．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
25．（10分）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE交射线AC于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；
（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，
①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AE．设AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四边形BDFC的面积．

【分析】（1）由“AAS”可证△DGF≌△ECF，得到CF＝GF＝CG＝BD；
（2）①由“AAS”可证△DGF≌△ECF，得到CF＝FG＝CG＝BD；
②根据已知条件推出tan∠AEH＝tan∠MDN，得到 ，证明△ABC∽△ADG，得到 ，可以DG的长，由面积的和差关系可求解．
【解答】解：（1），理由如下：
如图，过点D作DG∥BC，交AC于点G，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，
∴△ADG为等边三角形，
∴AD＝AG＝DG，
∵AD＝CE，AB﹣AD＝AC﹣AG，
∴DG＝CE，BD＝CG，
又∠DFG＝∠CFE，
∴△DGF≌△ECF（AAS），
∴CF＝GF＝CG＝BD；
（2）①成立，理由如下：
如图2，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD＝AG＝DG，
∵AD＝CE，AD﹣AB＝AG﹣AC，
∴DG＝CE，BD＝CG，
又∠DFG＝∠CFE，
∴△DGF≌△ECF（AAS），
∴CF＝FG＝CG＝BD；
②如图，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，过点A作 AN⊥DG，交BC于点H，交DE于点N，则：AN⊥BC，

由①知：△ADG为等边三角形，△DGF≌△ECF（AAS），
∴，
∵△ABC为等边三角形，，，
∵∠AEB＝∠DEB，EH＝EH，∠AHE＝∠MEE＝90°，
∴△AEH≌△MEH（ASA），
∴，，
∵△DGF≌ECF，
∴∠CEF＝∠MDN，DG＝CE，
∴∠AEH＝∠MDN，
∴tan∠AEH＝tan∠MDN，
∴，
设MN＝y，DG＝CE＝x，则：EH＝CE+CH＝2+x，，
∴①，
∵DG∥BC，
∴△ABC∽△ADG，
∴，
即：，
联立①②可得： （负值已舍去），
经检验 是原方程的根，
∴，，，
∴，
∴S△ACE＝CE•AH＝×（4+4）×2＝4+4，
∴＝＝，
∴S△CEF＝（4）＝4+2，
∴四边形BDFC的面积为＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△DFG＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△CEF＝＝．
【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角 形．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，全等和相似 三角形．
26．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据△PAC的周长等于PA+PC+AC，以及AC为定长，得到当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，根据抛物线的对称性，得到A，B关于对称轴对称，则：PA+PC＝PB+PC≥BC，得到当P，B，C三点共线时，PA+PC＝BC，进而求出P点坐标，即可得解；
（3）求出D点坐标为（0，2），进而得到，得到∠QDB＝∠OBD，分点Q在D点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），
，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4；
（2）由（1）知y＝x2﹣5x+4，当x＝0时，y＝4，

∴C（0，4），抛物线的对称轴为直线，
∵△PAC的周长等于PA+PC+AC，AC为定长，
∴当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，
∵A，B关于抛物线的对称轴对称，
∴PA+PC＝PB+PC≥BC，当P，B，C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点，
设直线BC的解析式为：y＝mx+n，
则：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
当 时，，
∴，
∵A（1，0），C（0，4），
∴PA＝＝，PC＝＝，
∴；
（2）存在，
∵D为OC的中点，
∴D（0，2），
∴OD＝2，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
在Rt△BOD中，，
，
∴∠QDB＝∠OBD；
①当Q点在D点上方时：过点D作DQ∥OB，交抛物线于点Q，则：∠QDB＝∠OBD，此时Q点纵坐标为2，

设Q点横坐标为t，则：t2﹣5t+4＝2，解得：，
∴Q（，2）或（，2）；
②当点Q在D点下方时：设DQ与x轴交于点E，

则：DE＝BE，
设E（p，0），则：DE2＝OE2+OD2＝p2+4，BE2＝（4﹣p）2，
∴p2+4＝（4﹣p）2，
解得：，
∴，
设DE的解析式为：y＝kx+q，
则：，
解得：，
∴，
联立，
解得：或，
∴Q（3，﹣2）或；
综上所述， 或 或Q（3，﹣2）或．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，轴对称的性质，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
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