2023年河南省信阳市潢川县重点中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年河南省信阳市潢川县重点中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  “南阳，一个值得三顾的地方”，为加快省城域期中心城市建设，市政府拟建多个城市休闲文化广场成公园，已知某正方形公园的边长为，则其面积用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知关于的方程，要使方程有两个不相等的实数根，则可以取的数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中，都与地面平行，，，当为度时，与平行(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  如图是由几个同样大小的小正方体组成的几何体，若将小正方体移到的上方，则下列说法正确的是(    )

A. 主视图与左视图都不变
B. 主视图改变，左视图不变
C. 左视图改变，俯视图不变
D. 主视图、左视图、俯视图都发生改变

7.  如图，在数学实践课上，某数学兴趣小组将两张矩形纸片重叠放置，重叠部分阴影部分为四边形下列说法正确的是(    )

A. 四边形一定为矩形
B. 四边形一定为菱形
C. 四边形一定为正方形
D. 四边形一定为平行四边形

8.  若点，，在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图所示，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  杆秤是人类发明的各种布器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器如图所示是数学兴趣小组自制的一个无刻度简易杆秤，使用原理：将待测重物挂于秤钩处，提起提纽在秤杆上移动金属秤锤质量为当秤杆水平时，金属秤锤所在的位置对应的刻度就是重物的质量量程范围内为了给秤杆标上刻度，兴趣小组做了如下实验，用表示待测重物的质量，表示秤杆水平时秤锤与提纽之间的水平距离，则距离与质量的关系如图所示根据以上信息，下列说法正确的是(    )

 

A. 重物的质量越大量程范围内，则金属秤锥与提纽的水平距离越大
B. 待测重物的质量为时，测得的距离为
C. 若金属秤锤移动到处时，测得距离为，则秤杆处的刻度应为
D. 若，则待测物体的质量为

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  请你写出一个大于，且小于的无理数是______．

12.  不等式组的解集为，则的取值范围是______ ．

13.  现有张卡片，如图所示，甲、乙两人依次从中随机抽取一张，则甲、乙两人抽取的两张卡片能拼成如图“小房子”的概率为______．

14.  如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，均在小正方形的顶点上，点在弧上，且，则阴影部分的周长为______．

15.  如图，中，，，，点，分别是，的中点，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，，当，，三点共线时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：．

17.  本小题分
每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息：
七年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，．
八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据是：，，．

七，八年级抽取的学生竞赛成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述图表中，的值；
根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防漏水安全知识较好？请说明理由一条理由即可；
该校七、八年级共人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？

18.  本小题分
利用风力发电非常环保，且风能蕴量巨大，因此风力发电日益受到重视年月，河南省发改委下发关于年风电和集中式光伏发电项目建设有关事项的通知，共个风电项目进入河南省新能源前期项目库风电机组主要由塔杆和叶片组成如图，图是从图引出的平面图王丹同学站在处测得塔杆顶端的仰角是，她又沿方向水平前进米到达山底处，在山顶处发现当一叶片到达最高位置时，测得叶片的顶端的仰角是点、、在同一直线上已知塔杆的高为米塔杆与叶片连接处的长度忽略不计，山高为米，，，求叶片的长度答案精确到米，参考数据：，，

 

19.  本小题分
为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是元和元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多本．
求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；
该学校拟计划再订购这两种经典读本共本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于本且总费用不超过元，求该学校订购这两种读本的最低总费用．

20.  本小题分
将一个量角器和一个含度角的直角三角板如图放置，图是由它抽象出的几何图形，，点在半圆的直径的延长线上滑动，边始终与半圆相切，设切点为点，且．

求证：；
当时，若以、、为顶点的三角形与相似，求的长．

21.  本小题分
如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
求反比例函数和一次函数的表达式；
连接，，求的面积；
如图，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标．

 

22.  本小题分
小明将小球从斜坡点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标．
请求出和的值；
小球在斜坡上的落点为，求点的坐标；
点是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接，，当点的坐标为何值时？的面积最大，最大面积是多少？

23.  本小题分
综合与实践
在一次数学实践探究课上，老师带领学生对矩形纸片进行如下操作：
探究一：
如图，矩形纸片中，如图，点在上，点在上，，将纸片沿翻折，使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使落在直线上，对应点为，折痕为猜想：，之间的位置关系是______ ；
探究二：
如图，将纸片任意翻折，折痕为在上，在上，使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使点落在直线上，对应点为，折痕为．
猜想两折痕，之间的位置关系，并给出证明；
如图，连接，，若，求证：四边形是平行四边形．
探究三：
如图，若的角度在每次翻折的过程中都为，，，当为的三等分点时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，
所给的各数中比小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意．
故选：．
根据积的乘方，单项式乘以单项式，多项式除以单项式和合并同类项法则求解即可．
本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，多项式除以单项式和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：正方形的面积为：，

故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，确定的值是看小数点移动的位数．
本题考查了科学记数法的应用，会用的形式表示较大的数．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得：且，
即的取值范围是且，
可以取的数是．
故选：．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分，即可得出答案．
本题考查根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．也考查了一元二次方程的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：，都与地面平行，
，
，
，
，，
，
当时，．
故选：．
根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：移动前后的组合体的三视图如下：


所以左视图改变，俯视图不变，
故选：．
分别画出移动前后的组合体的三视图，再进行判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法是正确解答的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，作于，于．
纸条对边平行，
为平行四边形．
纸条等宽，
．
，
．
为菱形．
故选：．
首先，四边形显然是平行四边形．然后根据平行四边形的面积表达式，高相等则底相等，即邻边相等，说明为菱形．
此题考查了平行四边形的判定与性质和菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．利用了图形的等积表示法证明线段相等．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数图象分布在第二、四象限，在每一象限，随的增大而增大，
，
．
故选：．
根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第二、四象限，所以为负数，最小，然后利用在每一象限，随的增大而增大得到与的大小．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，，直线为的垂直平分线，
，，，
，
，
，
，即，
，
故选：．
根据题意得到，直线为的垂直平分线，根据勾股定理得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，重物的质量越大，则金属秤锥与提纽的水平距离越大，故A正确，符合题意；
由图可知，待测物体质量为，则秤杆水平时秤锤与提纽之间的水平距离为，
待测重物的质量为时，测得的距离为，故B错误，不符合题意；
若金属秤锤移动到处时，测得距离为，则秤杆处的刻度应为，故C错误，不符合题意；
若，则待测物体的质量为，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据题意，即可判断A正确；由待测物体质量为，秤杆水平时秤锤与提纽之间的水平距离为，可得待测重物的质量为时，测得的距离为，判断B错误；金属秤锤移动到为，则秤杆处的刻度应为，判断C错误；若，则待测物体的质量为，判断D错误，不符合题意．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
写出一个大于且小于的无理数是．
故答案为本题答案不唯一．
根据算术平方根的性质可以把和写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可．
此题考查了无理数大小的估算，熟悉算术平方根的性质．
 

12.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，
不等式组的解集为，
．
故答案为：．
不等式组整理后，根据已知解集，利用同小取小法则判断即可确定出的范围．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：把张卡片分别记为、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两人抽取的两张卡片能拼成如图“小房子”的结果有种，
甲、乙两人抽取的两张卡片能拼成如图“小房子”的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中甲、乙两人抽取的两张卡片能拼成如图“小房子”的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意知圆心位置如图所示，

，
，
，
即为等边三角形，，
弧的长度为：，
由勾股定理得：，
阴影部分的周长为：，
故答案为：．
先确定出圆心位置根据弧长公式求出弧的长度，根据等边三角形性质得的长度，再利用勾股定理求出线段的长度，即得答案．
本题考查了弧长的计算公式、勾股定理求格点中线段的长度、等边三角形的判定等知识点．解题关键是：确定出弧所在圆的圆心位置．
 

15.【答案】或 

【解析】解：中，，，，
，，
点，分别是，的中点，
，，
为等边三角形，
将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，
，
当，，三点共线时，有以下两种情况：
当点在，之间，

，
，
在中，；
当点不在，之间设为，

，
，
由可得：
在中，；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
先根据直角三角形的性质及中点的定义说明为等边三角形，可得，，然后再分：当点在，之间，当点不在，之间设为两种情况利用勾股定理进行计算即可．
本题考查直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理定理等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质及勾股定理的灵活运用是解题的关键．
 

16.【答案】解：


；




． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
八年级名学生的竞赛成绩的中位数是第和第个数据的平均数，
；
八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由如下写出其中一条即可：
七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的中位数高于七年级学生成绩的中位数；
七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的众数高于七年级学生成绩的众数；
七年级名学生中，成绩在，两组中有人，八年级名学生中，成绩在，两组中有人，
人，
人．
答：参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是人． 

【解析】根据中位数和扇形统计图即可得到结论；
根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查扇形统计图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

18.【答案】解：如图，过点作于点，则，．

在中，，
米，
米，
，
是等腰直角三角形，
米．
米，
米，
米．
答：叶片的长度约为米． 

【解析】过点作于点，首先得到，，然后利用三角函数值求出，然后证明出是等腰直角三角形，利用线段的和差求解即可．
此题考查了三角函数的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
 

19.【答案】解：设“传统文化”经典读本的单价是元，则“红色教育”经典读本的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：“红色教育”的订购单价是元，“传统文化”经典读本的单价是元；
设订购“红色教育”经典读本本，则订购“传统文化”经典读本本，
由题意得：，
解得：，
设订购两种读本的总费用为元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值为，
此时，，符合题意，
答：订购这两种经典读本的总费用最低为元． 

【解析】设“传统文化”经典读本的单价是元，则“红色教育”经典读本的单价是元，由题意：订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多本．列出分式方程，解方程即可；
设订购“红色教育”经典读本本，则订购“传统文化”经典读本本，由题意：“红色教育”经典读本订购数量不低于本且总费用不超过元，列出一元一次不等式组，解得，再设订购两种读本的总费用为元，由题意得出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式．
 

20.【答案】证明：连结，如图所示：

切半圆于点



，
四边形为平行四边形，
．

解：在中，
，，

由得：．
当∽时，，
在中，，
，
；
当∽时，，
在中，，
．
故：当或时，以、、为顶点的三角形与相似． 

【解析】根据切线性质得出，推出，，得出平行四边形，根据平行四边形性质推出即可．
分为两种情况，根据相似三角形的性质求出即可．
本题考查了相似三角形的性质，切线的性质，平行四边形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
 

21.【答案】解：点，点在反比例函数上，
，
，，
反比例函数为，点，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数为：；
令，则，
，
；
如图，过点作轴的平行线，作于，于，

设，
，
，，
把线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，恰好也落在这个反比例函数的图象上，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
恰好也落在这个反比例函数的图象上，
，
解得或舍去，
 

【解析】用待定系数法即可求解；
求得点的坐标，然后根据求得即可；
过点作轴的平行线，作于，于，设，通过证得≌，得到，代入，即可求得的值，从而求得点的坐标．
本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法．
 

22.【答案】解：，
，即关系式为，
当时，，
，；
由题意得，
解得或舍去，
即点的坐标为；
作轴，交于点，

设，则，
，
，
当时，有最大值为，此时 

【解析】根据对称轴为可得的值，再根据关系式可得的值；
根据二次函数的解析式和一次函数的解析式，列出一元二次方程，求得的方程的解就是点的坐标；
作轴，交于点，设，则，可得的面积关于的关系式，再根据二次函数的性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

23.【答案】 

【解析】解：．
四边形为矩形，
，
，
根据折叠的性质可得，，，
，
，
，
；
故答案为：；
证明如下：
四边形为矩形，
，
，
由折叠的性质可得，，，
，
；
证明：连接，，如图，

由知，，
四边形为矩形，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形；
解：当时，过点作于点，如图，

，，
，，，
，
，
在中，，
；
当时，过点作的延长线于点，如图，

，，
，，，
，
，
在中，，
．
综上，的值为或．
由矩形的性质可得，则，由折叠可知，，于是得到，进而得到，由内错角相等，两直线平行即可证明；
由矩形的性质可得，则，由折叠可知，，于是，由内错角相等，两直线平行即可证明；
易通过证明≌，得到，则可根据“对边平行且相等的四边形为平行四边形”来证明；
分两种情况讨论：当时，过点作于点，则，，，易得，于是可得，则；当时，过点作的延长线于点，则，，，易得，于是可得，则．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、解直角三角形，正确理解题意，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键．