初中数学中考复习：38图形的相似(含答案)

中考总复习：图形的相似--巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题

1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为，则点P的个数为（　　）．

A．1  B．2  C．3 　　D．4

2. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（　　）．

A.　2：5　　B.　14:25　　C.　16:25　　D.　4:21

3.（2011湖北荆州）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（　　）．

A．1对　　B．2对　　　C．3对　　　D．4对　

4.如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长(　　)．

A．　 B.　　C.　　D.

5．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD②△ADC是等腰直角三角形③∠ADB=∠AEB④CD•AE=EF•CG；一定正确的结论有（　　）．

A．1个 　B．2个 　C．3个　 D．4个

6．如图，中，于一定能确定为直角三角形的条件的个数是（    ）．

①②③④⑤

A．1　  B．2     C．3     D．4

;

二、填空题

7.如图已知△ABC的面积是的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于__________（结果保留根号）.

            第7题                                第8题          

8. 已知三个边长分别为2、3、5的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为　　　．

9.如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=

60°，则CD的长为　　　．

  第9题                       第10题     

10．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为

　　　　　．

11.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为，，则+的值为　　　　．

第11题                     第12题

12.锐角△ABC中，BC＝6,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y ＞0）,当x ＝        ，公共部分面积y最大，y最大值 ＝         ,

三、解答题

13. 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上.

活动一：如图甲所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒.

数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答:_________.（填“能”或“不能”）

（2）设AA1=A1A2=A2A3=1.

①=_____度；

②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.

活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1.

数学思考：

（3）若已经向右摆放了3根小棒，则=___，=____，=____；（用含的式子表示）

（4）若只能摆放4根小棒，求的范围.

14. 如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；

（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；

（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

15.已知:直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D．E，连结AD、BD、BE.

(1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形.

_____________________，______________________；

(2)直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线经过点A．B．D，且B为抛物线的顶点.

①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________；

②求抛物线的解析式；

③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

16．（2011上海）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=．

（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

图1                       图2                   备用图

【答案与解析】

一．选择题

1．【答案】B．

2．【答案】B．

3．【答案】C；

【解析】先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP，再证明时注意图形中隐含的相等的角．

4．【答案】B．

5．【答案】Ｄ；

【解析】①利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD，
②利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；
③利用SAS证明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB；
④利用已知得出∠GFD=∠AFE，以及∠GDF+∠GFD=90°，得出∠GCD=∠AEF，进而得出△CGD∽△EAF，得出比例式．

6．【答案】Ｃ；

【解析】①因为∠A+∠2=90°，∠1=∠A，所以∠1+∠2=90°，即△ABC为直角三角形，故正确；
②根据CD2=AD•DB得到，再根据∠ADC=∠CDB=90°，则△ACD∽△CBD，∴∠1=∠A，∠2=∠B，根据三角形内角和定理可得：∠ACB=90°，故正确；
③因为∠B+∠2=90°，∠B+∠1=90°，所以推出∠1=∠2，无法得到两角和为90°，故错误；
④设BC的长为3x，那么AC为4x，AB为5x，由9x2+16x2=25x2，符合勾股定理的逆定理，故正确；
⑤由三角形的相似无法推出AC•BD=AD•CD成立，所以△ABC不是直角三角形，故错误．
所以正确的有三个．故选C．

二．填空题

7．【答案】．

8．【答案】．

9．【答案】；

【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，
∵∠APB=∠PAC+∠C，∠PDC=∠PAC+∠APD，
∵∠APD=60°，∴∠APB=∠PAC+60°，∠PDC=∠PAC+60°，∴∠APB=∠PDC，
又∵∠B=∠C=60°，∴△ABP∽△PCD，
∴，即，
∴CD=．

10．【答案】７；

【解析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值答题．

11.【答案】17；

【解析】如图，设正方形S2的边长为x，
根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，
∴AC=2CD，CD=2，∴EC2=22+22，即EC=2，∴S2的面积为EC2=8，
∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．

12．【答案】3；6．

三.综合题

13．【解析】（1）∵根据已知条件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去．
故答案为：能；

（2）①∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3=45°，
∴∠AA2A1+∠θ=45°，
∵∠AA2A1=∠θ，
∴∠θ=22.5°；
②∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3
∴A1A3=，AA3=1+
又∵A2A3⊥A3A4
A1A2∥A3A4
同理；A3A4∥A5A6
∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5
∴AA3A3A4，AA5=A5A6
∴a2=A3A4=AA3=1+
a3=AA3+A3A5=a2+A3A5
∵A3A5=a2
∴a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2
∴an=(+1)n-1；
（3）∵A1A2=AA1
∴∠A1AA2=∠AA2A1=θ
∴∠A2A1A3=θ1=θ+θ
∴θ1=2θ
同理可得：θ2=3θ
θ3=4θ；
（4）如图：

∵A4A3=A4A5，
∴∠A4A3A5=∠A4A5A3=4θ，
∵∠A4A3A5+∠A4A5A3+∠A3A4A5=180°，
∴4θ+4θ+∠A3A4A5=180°，
∴∠A4A3A5=∠A4A5A3=4θ＜90°，
∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，
当∠A5A4B是钝角或直角时，不能继续摆放小棒了，
∴∠A5A4B=5θ是钝角或直角时，只能摆放4根小棒，
∴5θ≥90°，
即，
∴18°≤θ＜22.5°．
故答案为：能，22.5°，2θ，3θ，4θ．

14．【解析】（1）△HGA及△HAB；

（2）由（1）可知△AGC∽△HAB

∴，即，

所以，

（3）当CG＜时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH

∵AG＜AC，∴AG＜GH

又AH＞AG，AH＞GH

此时，△AGH不可能是等腰三角形；

当CG=时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；

此时，GC=，即x=

当CG＞时，由（1）可知△AGC∽△HGA

所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH

若AG=AH，则AC=CG，此时x=9

综上，当x=9或时，△AGH是等腰三角形．

15．【解析】（1）△OAD∽△CDB.△ADB∽△ECB；

（2）①（1，－4a）；

②∵△OAD∽△CDB

∴

∵ax2－2ax－3a=0，可得A（3，0）

又OC=－4a，OD=－3a，CD=－a，CB=1，

∴，　∴，　

∵，　　∴．

故抛物线的解析式为： ．

③存在，设P（x，－x2+2x+3），

∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形，

∴PN=AN．

当x<0（x<－1）时，－x+3=－(－x2+2x+3)，x1=－2，x2=3(舍去)，

∴P（－2，－5），

当x>0（x>3）时，x－3=－(－x2+2x+3)，x1=0，x2=3(都不合题意舍去)，

符合条件的点P为（－2，－5）．

16.【解析】

（1）∵∠ACB=90°，∴AC===40．

∵S==,

∴CP===24．

在Rt△CPM中，∵sin∠EMP=，

∴．

∴CM===26．

（2）由△APE∽△ACB，得，即，∴PE=．

在Rt△MPE中，∵sin∠EMP=，∴．

∴EM===．

∴PM=PN===．

∵AP+PN+NB=50，∴x++y=50．

∴y=(0<x<32)．

（3）①当点E在线段AC上时，

△AME∽△ENB，．

∵EM=EN，∴．

设AP=x，由（2）知EM=，AM==，NB=．

∴

解得x1=22，x2=0（舍去），即AP=22．

②当点E在线段BC上时，

根据外角定理，△ACE∽△EPM，

∴．

∴CE==．

设AP=x，易得BE=，

∴CE=30．

∴30=．

解得x=42．即AP=42．

∴AP的长为22或42．