高考数学一轮复习基础版讲义（适合艺术生、基础生一轮复习）——特征数及抽样方法

第41讲 特征数及抽样方法

两种抽样方法

（一）简单随机抽样

1.概念：一般地，从元素个数为N的总体中逐个不放回地抽取容量为的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．

2.最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法

3.适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小.

（二）．分层抽样

1.概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不交叉的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．

2.应用范围是：总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．

3.特征：等比例抽样

二．频率分布直方图（表）

 1.频率分布直方图基础概念

①纵轴表示，

②频率：数据落在各小组内的频率用各长长方形的面积表示

③各小长方形的面积总和等于1．

④分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．

随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精细的反映出总体的分布规律．

2.频率分布直方图的步骤如下

(ⅰ)求极差；(ⅱ)确定组距和组数；(ⅲ)将数据分组；(ⅳ)列频率分布表；

(ⅴ)画频率分布直方图．频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状．

三．茎叶图

1.概念：当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．

当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)．

2.两个突出的优点：其一是统计图上没有原始数据的损失，所有信息都可以从这个茎叶图中得到，其二是在比赛时随时记录，方便记录与表示．

四．样本的数字特征

【题型一：三种抽样法】

1．（石嘴山市第三中学高二月考）下列说法正确的个数是（    ）.

②总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法；

②在对总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；

③西货商场的抽奖活动是抽签法；

④整个抽样过程中，每个个体被抽取的机率相等（有剔除时例外）.

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（全国高一课时练习）关于简单随机抽样，下列说法中正确的是（    ）

①它要求被抽取样本的总体的个数有限；

②它是从总体中逐个地进行抽取；

③它是一种不放回抽样；

④它是一种等可能性抽样．

A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④

3．（广州大学附属中学高二月考）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：

若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（    ）

A．10 B．05 C．09 D．20

4．（全国高三专题练习（文））采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，则抽到的32人中，编号落入区间的人数为（    ）

A．10 B．14 C．15 D．16

5．（河南商丘·高一月考）从个体编号为的总体中，用系统抽样(等距)的方法抽取个个体，若抽取的第一个个体的编号为则抽取的最后一个个体的编号为（  ）

A． B． C． D．

6．（内蒙古集宁二中）采用系统抽样方法，从个体数为1001的总体中抽取一个容量为40的样本，则在抽取过程中，被剔除的个体数与抽样间隔分别为（    ）

A．1，25 B．1，20 C．3，20 D．3，25

7．（广西梧州·蒙山中学高一月考）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要抽取10人参加某项调査，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，．．．，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽到的号码有下列四种情况:

①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;   

②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;

③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254;     

④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270．

关于上述样本的下列结论中，正确的是（    ）

A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样

C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样

8．（大同市平城中学校高一月考）我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层简单抽样的方法），则北面共有多少人（    ）

A．8000 B．8100 C．8200 D．8300

9．（陕西省黄陵县中学高一月考）某校高二年级有男生600人，女生500人，为了解该年级学生的体育达标情况，从男生中任意抽取30人，从女生中任意抽取25人进行调查．这种抽样方法是（    ）

A．系统抽样法 B．抽签法

C．随机数法 D．分层抽样法

10．（渭南市尚德中学高一月考）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为（    ）件.

A．1800 B．1600 C．1900 D．1000

11．（崇仁县第二中学（文））某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名.现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了10名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

12．（黑龙江让胡路·大庆中学）从一个容量为（，）的总体中抽取一个容量为的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（    ）

A． B． C． D．

13．（罗平县第二中学）某奶制品工厂某天甲、乙、丙、丁四类奶制品的产量分别为2000盒、1250盒、1250盒、500盒．若按产量比例用分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为60的样本，则样本中甲类奶制品的数量为（　　）

A．6盒 B．15盒 C．20盒 D．24盒

【题型二：频率分布直方图】

1．（广西南宁·高三模拟预测（文））北京舞蹈学院为了解大一舞蹈专业新生的体重情况，对报到的1000名舞蹈专业生的数据（单位：）进行统计，得到如图所示的体重频率分布直方图，则体重在以上的人数为（    ）

A．100 B．150 C．200 D．250

2．（天津市第四十七中学高三月考）天津中学为了调查该校学生对于新冠肺炎防控的了解情况，组织了一次新冠肺炎防控知识竞赛，并从该学校1500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测，这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（    ）

A．120 B．360 C．420 D．480

3．（沙坪坝·重庆南开中学）某部门为了了解一批树苗的生长情况，在棵树苗中随机抽取棵，统计这棵树苗的高度，将所得个高度数据分为组：，，，，，，，并绘制了频率分布直方图（如图），那么根据该图可推测，在这棵树苗中高度小于cm的树苗棵数是（    ）

A．360 B．600 C．840 D．1320

4．（江苏南京·高二月考）为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在内，其中支出金额在内的学生有234人，频率分布直方图如图所示，则等于（    ）

A．300 B．320 C．340 D．360

5．（嘉峪关市第一中学高一期中）在高一（1）班组织的“我爱古诗词”的调研考试中，全班40名学生的成绩数据（均为整数且都在）统计为如下的频率分布直方图，则第四小组（成绩分布在）的频率为（    ）

A．0.001 B．0.01 C．0.03 D．0.3

6．（北京牛栏山一中）某工厂对一批元件进行抽样检测.经检测，抽出的元件的长度（单位：mm）全部介于93至105之间.将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：[93，95），[95，97），[97，99），[99，101），[101，103），[103，105]，得到如图所示的频率分布直方图.若长度在[97，103）内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的不合格率是（    ）

A．80% B．11% C．20% D．14.5%

7．（陕西韩城·高一期末）抽样统计某校部分学生的物理测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是（    ）

A． B．

C． D．

8．（河南商丘·）某校高三年级共有名学生选修地理，某次考试地理成绩均在分之间，分数统计后绘成频率分布直方图，如图所示，则成绩在分的学生人数为（    ）

A． B． C． D．

9．（陕西铜川·高一期末）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部不小于13秒且小于19秒，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…；第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和的值分别是（    ）

A．，35 B．，45

C．，35 D．，45

10．（全国高一专题练习）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在的同学有人，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【题型三：平均数、众数、中位数】

1．（全国高一课时练习）下面表格记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则的值分别为（    ）

A．15，18 B．14，19 C．16，17 D．13，10

2．（全国）阳澄湖大闸蟹在国内外享誉盛名，某超市从批发商那里购得10000只大闸蟹，这批大闸蟹的平均重量是100克.现在某超市员工随机抽取了一个样本容量为100的样本，检测得这100只大闸蟹的平均重量为克，则以下说法正确的是（    ）

A．大于100 B．等于100 C．小于100 D．以上都有可能

3．（吉林长春外国语学校高二开学考试）甲组数据为：5，12，16，21，25，37，乙组数据为：1，6，14，18，38，39，则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是（    ）

A．极差 B．平均数 C．中位数 D．都不相同

4．（北京101中学高一期中）一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则下列说法正确的是（    ）

A．这组新数据的平均数为 B．这组新数据的平均数为

C．这组新数据的方差为 D．这组新数据的标准差为

5．（山西省长治市第二中学校高一月考）在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天每天新增加疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（    ）

A．甲地总体均值为3，中位数为4 B．乙地总体均值为2，总体方差大于0

C．丙地总体均值为2，总体方差为3 D．丁地中位数为3，众数为3

6．（全国高三月考（文））某大学共有名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，该校随机地从全校学生中抽取名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（    ）

（注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表）

A．众数为 B．平均数为

C．中位数为 D．该校读书不低于本的人数约为人

7．（甘肃张掖市第二中学高三月考（理））联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年10月11日至15日和2022年上半年分两阶段在中国昆明举行．为了让广大市民深入了解COP15，展现春城昆明的城市形象，2021年6月5日全国30个城市联动举行了“2021COP15春城之邀——一粒来自昆明的种子”活动，活动特别准备了2万份“神秘”花种盲盒，其中有一种花种的花卉，其植株高度的一个随机样本的频率分布直方图如图所示，根据这个样本的频率分布直方图，下面结论中不正确的是（    ）

A．这种花卉的植株高度超过的估计占25%

B．这种花卉的植株高度低于的估计占5%

C．这种花卉的植株高度的平均数估计超过

D．这种花卉的植株高度的中位数估计不超过

8．（邯山区新思路学本文化辅导学校高一月考）跳水比赛共有7名裁判分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，一定不会改变的数字特征是（    ）

A．众数 B．标准差 C．中位数 D．极差

9．（江苏通州·高一期中）某机构调査了10种食品的卡路里含量，结果如下：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195.则这组数据的第25百分位数和中位数分别是（　　）

A．138，160.5 B．138，146 C．138，175 D．135，160.5

10．（宁夏大学附属中学高二月考（文））某次数学检测中，某一题目的得分情况如下：

其中众数是（    ）

A．37.0% B．20.2% C．0分 D．4分

11．（四川雅安·高二期末（文））某中学有10个学生社团，每个社团的人数分别是70，60，60，50，60，40，40，30，30，10，则这组数据的平均数，众数，中位数的和为（    ）

A．165 B．160 C．150 D．170

12．（福建省福州第一中学）福州地铁二号线“福州大学站”的一个安保员，某日将负责的车箱从中午一点开始的十班下车的人数统计如下：3､6､7､3､10､4､6､7､6､8，则这组数据的众数为（    ）

A．3 B．6 C．7 D．8

【题型四：方差、标准差】

1．（全国高二课时练习）有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值，方差分别为，.由此可以估计（    ）

A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐

B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐

C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同

D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较

2．（玉林市第十一中学高二月考）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的极差是（    ）

A．56 B．53 C．55 D．51

3．（全国（文））在五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如图所示.下列说法正确的是（    ）

A．甲得分的中位数和极差都比乙大

B．甲得分的中位数比乙小，但极差比乙大

C．甲得分的中位数和极差都比乙小

D．甲得分的中位数比乙大，但极差比乙小

4．（咸阳百灵学校高一月考）甲､乙两个样本的方差分别为，，由此反映（    ）

A．样本甲的波动比样本乙大 B．样本乙的波动比样本甲大

C．样本甲和样本乙的波动一样大 D．样本甲和样本乙的波动大小无法确定

5．（山西怀仁·高二期末（文））有一组样本数据，，，…，，由这组数据得到新样本数据，其中，，，…，，为非零常数，则（    ）

A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差不同

6．（长春市第二十九中学）如果，，，的方差是，则，，，的方差为（    ）

A．9 B．3 C． D．6

7．（广东惠州·高一期末）已知有样本数据2、4、5、6、8，则该样本的方差为（    ）

A．5 B．4 C．2 D．0

8．（浙江台州·高一期末）若数据的方差为2，则的方差为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

9．（云南昆明·高二期末（文））设一组样本数据的方差为1，则数据的方差为（    ）

A．36 B．7 C．6 D．1

10．（湖南天心·长郡中学高二期末）已知数据 的方差为 4 ， 若 ， 则新数据 的方差为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

11．（全国高一期末）已知五个数据3，4，x，6，7的平均数是，则该样本标准差为（    ）

A．1 B． C． D．2

12．（山西）数据，，，的平均数为4，标准差为2，则数据，，，的方差和平均数分别为（    ）

A．36，14 B．14，36 C．12，19 D．4，12

13．（广州大学附属中学高二开学考试）若数据，，…，的平均数为4，标准差为1，则，，…，的平均数和标准差分别为（    ）

A．4，1 B．17，8 C．17，9 D．17，3