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(新高考)高考物理一轮复习讲义 第7章 第2讲 电场能的性质（含解析）
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这是一份(新高考)高考物理一轮复习讲义 第7章 第2讲 电场能的性质（含解析），共19页。试卷主要包含了静电力做功和电势能，电势 等势面，电势差，静电感应和静电平衡等内容，欢迎下载使用。
第2讲 电场能的性质
一、静电力做功和电势能
1．静电力做功
(1)特点：静电力做功与路径无关，只与电荷量和电荷移动过程始、末位置间的电势差有关．
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为带电体在沿电场方向的位移．
②WAB＝qUAB，适用于任何电场．
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能．
(2)说明：电势能具有相对性，通常把无穷远处或大地的电势能规定为零．
3．静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB.
(2)通过WAB＝EpA－EpB可知：静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少．
(3)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功．
自测1 关于静电力做功和电势能的理解，下列说法正确的是( )
A．静电力做功与重力做功相似，均与路径无关
B．正电荷具有的电势能一定是正的，负电荷具有的电势能一定是负的
C．静电力做正功，电势能一定增加
D．静电力做功为零，电荷的电势能也为零
答案 A
二、电势 等势面
1．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值．
(2)定义式：φ＝.
(3)矢标性：电势是标量，有正负之分，正(负)号表示该点电势比零电势高(低)．
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同．
2．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面．
(2)四个特点：
①在同一等势面上移动电荷时电场力不做功．
②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面．
③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．
④任意两个等势面都不相交．
自测2 (2016·全国卷Ⅲ·15)关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
答案 B
解析 若两个不同的等势面相交，则在交点处存在两个不同电势数值，与事实不符，A错；电场线一定与等势面垂直，B对；同一等势面上的电势相同，但电场强度不一定相等，C错；将一负电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做负功，D错．
三、电势差
1．定义：电荷在电场中由一点A移到另一点B时，电场力所做的功WAB与移动电荷的电荷量q的比值．
2．定义式：UAB＝.
3．影响因素
电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB无关，与零电势点的选取无关．
4．电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA.
5．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与电场强度的关系式：UAB＝E·d，其中d为电场中两点间沿电场方向的距离．
(2)电场强度的方向和大小与电势差的关系：电场中，电场强度方向指向电势降低最快的方向；在匀强电场中，电场强度在数值上等于沿电场强度方向每单位距离上降低的电势．
自测3 (多选)关于电势差的计算公式，下列说法正确的是( )
A．电势差的计算公式UAB＝说明两点间的电势差UAB与电场力做功WAB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比
B．把正电荷从A点移动到B点电场力做正功，则有UAB>0
C．电势差的计算公式UAB＝中，UAB与移动电荷的电荷量q无关
D．电场中A、B两点间的电势差UAB等于把正电荷q从A点移动到B点时电场力所做的功
答案 BC
四、静电感应和静电平衡
1．静电感应
当把一个不带电的金属导体放在电场中时，导体的两端分别感应出等量的正、负电荷，“近端”出现与施感电荷异种的感应电荷，“远端”出现与施感电荷同种的感应电荷．这种现象叫静电感应．
2．静电平衡
(1)定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场的场强在导体内部大小相等且方向相反，使得叠加场强为零时，自由电荷不再发生定向移动，导体处于静电平衡状态．
(2)处于静电平衡状态的导体的特点
①导体内部的场强处处为零；
②导体是一个等势体，导体表面是等势面；
③导体表面处的场强方向与导体表面垂直；
④导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上；
⑤在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有净电荷.
1．电势高低的四种判断方法
(1)依据电场线方向：沿电场线方向电势逐渐降低．
(2)依据电场力做功：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低．
(3)电荷的正负：取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低．
(4)依据电势能的高低：正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低．
2．电势能大小的四种判断方法
(1)做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大．
(2)电荷电势法：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大．
(3)公式法：由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式进行判断．
(4)能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大时，电势能减小，反之电势能增大．
例1 (多选)(2019·全国卷Ⅲ·21)如图1，电荷量分别为q和－q(q>0)的点电荷固定在正方体的两个顶点上，a、b是正方体的另外两个顶点．则( )
图1
A．a点和b点的电势相等
B．a点和b点的电场强度大小相等
C．a点和b点的电场强度方向相同
D．将负电荷从a点移到b点，电势能增加
答案 BC
解析 a、b两点到两点电荷连线的距离相等，且关于两点电荷连线中点对称，可知a、b两点的电场强度大小相等，方向相同，选项B、C正确；电荷量分别为q和－q(q>0)的点电荷(等量异种点电荷)固定在正方体的两个顶点上，正方体的另外两个顶点a、b在两点电荷q和－q连线的垂直平分面两侧，故a点和b点电势不相等，且φb>φa，将负电荷从a点移到b点，电场力做正功，电势能减少，选项A、D错误．
变式1 (2019·山东烟台市上学期期末)如图2所示，圆心为O、半径为R的圆周上有A、B、C、D四点，A、B是一条直径的两个端点，CD与AB平行，A、C之间的距离也为R.在A、B两点分别放置电荷量绝对值均为Q的正、负点电荷，静电力常量为k.下列说法正确的是( )
图2
A．C、D两点电场强度相同，大小都为
B．负电荷在C点的电势能大于在D点的电势能
C．一正电荷沿着圆弧从C点移动到D点电场力不做功
D．C、O两点的电势差等于O、D两点的电势差
答案 D
解析 根据等量异种电荷的电场线特点，C、D两点电场强度大小相等，方向不同，故A错误；根据等量异种电荷的电场线特点，C点电势高，D点电势低，根据负电荷在电势低的地方电势能大，故负电荷在C点的电势能小于D点的电势能，故B错误；根据等量异种电荷的电场线特点，C点电势高，D点电势低，根据正电荷在电势高的地方电势能大，正电荷在C点的电势能大于D点的电势能，故正电荷从C到D电场力做正功，故C错误；根据等量异种电荷的电场线特点，C、O的电势差等于O、D的电势差，故D正确．
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离．
(2)沿电场强度方向电势降落得最快．
(3)在同一直线上或相互平行的两条直线上距离相等的两点间电势差相等．
2．E＝在非匀强电场中的几点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密．
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系：如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小．
3．解题思路
例2 (多选)(2017·全国卷Ⅲ·21)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图3所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V．下列说法正确的是( )
图3
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
答案 ABD
解析 如图所示，设a、c之间的d点电势与b点电势相同，则＝＝，所以d点的坐标为(3.5 cm,6 cm)，过c点作等势线bd的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势．由几何关系可得，cf的长度为3.6 cm，电场强度的大小E＝＝＝2.5 V/cm，故选项A正确；因为Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb ，可知坐标原点O处的电势为1 V ，故选项B正确；a点电势比b点电势低7 V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，故选项C错误；b点电势比c点电势低9 V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV，故选项D正确．
变式2 (多选)(2019·安徽安庆市下学期第二次模拟)有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图4所示，cd、cb 分别垂直于x轴、y轴，其中a、b、c三点电势分别为：4 V、8 V、10 V，使一电荷量为q＝－2×10－5 C的负点电荷由a点开始沿abcd路线运动，则下列判断正确的是( )
图4
A．坐标原点O的电势为6 V
B．电场强度的大小为 V/m
C．该点电荷在c点的电势能为2×10－5 J
D．该点电荷从a点移到d点过程中，电场力做功为 8×10－5 J
答案 AD
解析 由于是匀强电场，所以沿同一方向前进相同距离电势的变化量相等，所以φc－φb＝φO－φa，代入数据解得：φO＝6 V，故A正确；ab中点e的电势为φe＝6 V，连接Oe则为等势面，如图所示
由几何关系可知，ab垂直于Oe，则ab为一条电场线，且方向由b指向a，电场强度为：
E＝＝ V/m＝100 V/m，故B错误；该点电荷在c点的电势能为：
Epc＝qφc＝－2×10－4 J，故C错误；由题意结合几何知识可知b、d在同一等势面上，该点电荷从a点移动到d点电场力做功为：Wad＝qUad＝qUab＝(4－8)×(－2×10－5) J＝8×10－5 J，故D正确．
1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．
2．判断电场力(或电场强度)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断电场强度的方向．
3．判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．
例3 (多选)(2019·全国卷Ⅱ·20)静电场中，一带电粒子仅在电场力的作用下自M点由静止开始运动，N为粒子运动轨迹上的另外一点，则( )
A．运动过程中，粒子的速度大小可能先增大后减小
B．在M、N两点间，粒子的轨迹一定与某条电场线重合
C．粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能
D．粒子在N点所受电场力的方向一定与粒子轨迹在该点的切线平行
答案 AC
解析 在两个同种点电荷的电场中，一带同种电荷的粒子在两电荷的连线上自M点(非两点电荷连线的中点)由静止开始运动，粒子的速度先增大后减小，选项A正确；带电粒子仅在电场力作用下运动，若运动到N点的动能为零，则带电粒子在N、M两点的电势能相等；仅在电场力作用下运动，带电粒子的动能和电势能之和保持不变，可知若粒子运动到N点时动能不为零，则粒子在N点的电势能小于其在M点的电势能，故粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能，选项C正确；若静电场的电场线不是直线，带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹不会与电场线重合，选项B错误；若粒子运动轨迹为曲线，根据粒子做曲线运动的条件，可知粒子在N点所受电场力的方向一定不与粒子轨迹在该点的切线平行，选项D错误．
变式3 (2019·广东揭阳市下学期第二次模拟)如图5所示，实线MN是某匀强电场中的一条电场线．一带正电粒子射入电场后，仅在电场力作用下沿虚线ABC运动．下列说法中正确的是( )
图5
A．粒子在A点的加速度比在C点的加速度大
B．粒子在A点的电势能比在C点的电势能小
C．M、N两点的电势：φM>φN
D．电场线的方向水平向右
答案 B
解析 由于电场为匀强电场，可得到粒子在A点的加速度与C点的加速度大小相等，故A错误；由题图可知，粒子在B点所受电场力方向向左，又因为粒子带正电，故电场线方向向左，由沿着电场线方向电势降低，则φN>φM，故带正电粒子从A点到C点电场力做负功，电势能增加，所以粒子在A点的电势能比在C点的电势能小，故B正确，C、D错误．
类型1 v－t图象
根据v－t图象的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．
例4 (多选)(2019·四川宜宾市第二次诊断)如图6甲所示，光滑绝缘水平面上有一沿水平方向的电场，MN是其中的一条直线，线上有A、B、C三点，一带电荷量为＋2×10－3 C、质量为1×10－3 kg的小物块从A点由静止释放，沿MN做直线运动，其运动的v－t图象如图乙所示，其中B点处的切线斜率最大(图中标出了该切线)，C点处的切线平行于t轴，运动过程中小物块电荷量保持不变，则下列说法中正确的是( )
图6
A．A、B两点电势差UAB＝－4 V
B．小物块从B点到C点电场力做的功W＝10－2 J
C．B点为AC间电场强度最大的点，场强大小E＝1 V/m
D．由A到C的过程中小物块的电势能先减小后变大
答案 BC
解析 从A到B由动能定理：qUAB＝mv，解得UAB＝4 V，选项A错误；小物块从B点到C点电场力做的功WBC＝mv－mv＝10－2 J，选项B正确；在B点的加速度最大，则所受的电场力最大，则由图象：a＝＝ m/s2＝2 m/s2；由Eq＝ma，解得E＝1 V/m，选项C正确；由A到C的过程中小物块的动能一直增大，电场力一直做正功，则电势能一直减小，选项D错误．
类型2 φ－x图象(如图7所示)
1．电场强度的大小等于φ－x图线的斜率的绝对值，电场强度为零处φ－x图线存在极值，其切线的斜率为零．
2．在φ－x图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向．
图7
3．在φ－x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断．
4．在φ－x图象中可以判断电场类型，如图8所示，如果图线是曲线，则表示电场强度的大小是变化的，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，则表示电场强度的大小是不变的，电场为匀强电场．
图8
5．在φ－x图象中可知电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向．
例5 (多选)(2019·山东聊城市二模)两电荷量分别为q1和q2的点电荷固定在x轴上的A、B两点，两点电荷连线上各点电势φ随坐标x变化的关系图象如图9所示，其中P点电势最高，且xAP
图9
A．q1和q2都是负电荷
B．q1的电荷量大于q2的电荷量
C．在A、B之间将一负点电荷沿x轴从P点左侧移到右侧，电势能先减小后增大
D．一点电荷只在电场力作用下沿x轴从P点运动到B点，加速度逐渐变小
答案 AC
解析 由题图知，越靠近两点电荷，电势越低，则q1和q2都是负电荷，故A项正确；φ－x图象的斜率表示电场强度，则P点场强为零，据场强的叠加知两点电荷在P处产生的场强等大反向，即k＝k，又xAP
类型3 E－x图象
1．E－x图象反映了电场强度随位移变化的规律，E>0表示电场强度沿x轴正方向；E<0表示电场强度沿x轴负方向．
2．在给定了电场的E－x图象后，可以由图线确定电场强度、电势的变化情况，E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图10所示)，两点的电势高低根据电场方向判定．在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况．
图10
3．在这类题目中，还可以由E－x图象画出对应的电场，利用这种已知电场的电场线分布、等势面分布或场源电荷来处理相关问题．
例6 (多选)(2019·四川综合能力提升卷(三))空间内有一沿x轴分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图11所示．－x1、x1、x2、x3是x轴上的四个点，图象关于坐标原点O中心对称，下列说法中正确的是( )
图11
A．－x1处的电势比x1的电势高
B．将正电荷由－x1移到x2，电势能先增大，后减小
C．将一负电荷由－x1处由静止释放，若只受电场力作用，它将在－x1和x1之间往复运动
D．负电荷在4个点中位于x2处电势能最大
答案 BC
解析 根据题意，电场关于x轴对称分布，作出电场线如图所示．根据顺着电场线电势降低，则O电势最高，从图线看出，电场强度关于原点O对称，则x轴上关于O点对称位置的电势相等．则－x1处的电势与x1处的电势相等，故A错误；将正电荷由－x1移到x2，电势能先增大，后减小，选项B正确；－x1和x1之间的电场是对称的，将一负电荷由－x1处由静止释放，负电荷先向右做加速运动，经过O点之后做减速运动，到x1处速度减为零，则它将在－x1和x1之间往复运动，选项C正确；4个点中，x3点的电势最低，则负电荷在4个点中位于x3处电势能最大，选项D错误．
类型4 Ep－x图象
1．反映了电势能随位移变化的规律．
2．图线的切线斜率大小等于电场力大小．
3．进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况．
例7 (2020·江西重点中学协作体第一次联考)将两个点电荷A、B分别固定在水平面上x轴的两个不同位置上，将一带负电的试探电荷在水平面内由A点的附近沿x轴的正方向移动到B点附近的过程中，该试探电荷的电势能随位置变化的图象如图12所示，已知xAC>xCB，图中过C点的水平虚线与图线相切，两固定点电荷带电荷量的多少分别用qA、qB表示．则下列分析正确的是( )
图12
A．两固定点电荷都带正电，且qA>qB
B．在AB连线内，C点的电场强度最小但不等于零
C．因试探电荷的电势能始终为正值，可知A、B两点间沿x轴方向的电场强度始终向右
D．如果将试探电荷的电性改为正电，则该电荷在C点的电势能最大
答案 D
解析 负试探电荷从A运动到C，电势能降低，则从A到C电势逐渐升高，电场方向从C到A；负电荷从C到B电势能增加，则电势逐渐降低，则电场方向从C到B.即电场方向先沿x轴负方向，后沿x轴正方向，则qA和qB均为负电荷．因为在qA和qB连线中点处的合场强沿x轴负方向，故qA>qB，故A、C均错误；Ep－x图象的斜率大小代表电场力，而C点的切线斜率为零，说明该试探电荷在C点处受到的电场力为零，B错误；在C点负电荷的电势能最低，则正电荷在C点的电势能最大，故D正确．
1．(2019·北京市东城区上学期期末)下列各个物理量中属于矢量的有( )
A．电场强度 B．电势差
C．电场力做的功 D．电势能
答案 A
解析 电场强度为矢量，其定义式为E＝，其方向为正电荷的受力方向，故选项A正确；电势差、电场力做的功以及电势能只有大小，没有方向，是标量，故选项B、C、D错误．
2．(多选)(2019·山东济宁市第二次摸底)电子在电场中仅在电场力作用下运动时，由a点运动到b点的轨迹如图1中虚线所示．图中一组平行等距实线可能是电场线，也可能是等势线．下列说法正确的是( )
图1
A．若a点的电势比b点低，图中实线一定是等势线
B．不论图中实线是电场线还是等势线，电子在a点的电势能都比b点小
C．若电子在a点动能较小，则图中实线是电场线
D．如果图中实线是等势线，则电子在b点电势能较大
答案 CD
解析 若题图中实线是电场线，根据粒子运动轨迹可以判断，电子所受电场力水平向右，则电场线向左，a点电势比b点低，所以若a点的电势比b点低，图中实线可能是电场线，A错误．若图中实线是电场线，根据A选项的分析，电场线向左，a点的电势小于b点的电势，根据电势能Ep＝φ(－e)，电子在电势低的位置电势能大，所以电子在a点的电势能大于b点电势能，B错误．若电子在a点动能小，说明由a到b加速，如果图中实线是电场线，结合A选项的分析，电场线方向向左，电子受力向右，加速，a点动能小，C正确．如果图中实线是等势线，则电场线与等势线垂直，根据电子运动轨迹可以判断电子受力竖直向下，所以由a到b电场力做负功，电子在b点动能小，电势能大，D正确．
3．(2019·四川南充市第二次适应性考试)在正点电荷Q形成的电场中，一检验电荷q的运动轨迹如图2中实线所示，轨迹上a、b、c三点在以Q为圆心的同心圆上，下列说法正确的是( )
图2
A．检验电荷q可能为正电荷，也可能为负电荷
B．a、b、c三点中，检验电荷q在c点的动能最小
C．a、b、c三点中，a点的电势最高
D．a、b、c三点中，检验电荷q在a点的电势能最大
答案 B
解析 由运动轨迹可知，检验电荷q一定和Q带同种电荷，即带正电荷，选项A错误；检验电荷q在运动的过程中，电势能和动能之和守恒，则当动能最小时，电势能最大，电荷所处的位置电势最高，则a、b、c三点中， c点的电势最高，检验电荷q在c点的电势能最大，即a、b、c三点中，检验电荷q在c点的动能最小，选项B正确，C、D错误．
4. (2019·陕西宝鸡市高考模拟检测(二))真空中有一带负电的电荷q绕固定的点电荷＋Q运动，其运动轨迹为椭圆，如图3所示．已知a、b、c、d为椭圆的四个顶点，＋Q处在椭圆的一个焦点上，则下列说法正确的是( )
图3
A．＋Q产生的电场中a、c两点的电场强度相同
B．负电荷q在b点的速度大于在d点的速度
C．负电荷q在b点电势能大于在d点电势能
D．负电荷q在运动过程中电场力始终不做功
答案 B
解析 a、c两点的电场强度方向不同，故A错误；负电荷q由b运动到d的过程中，电场力做负功，电势能增加，动能减小，所以负电荷q在b点的速度大于在d点速度，负电荷q在b点的电势能小于在d点的电势能，故B正确，C错误；若负电荷逆时针转动，则负电荷q由a经d运动到c的过程中，电场力先做负功再做正功，故D错误．
5. (2019·山东滨州市上学期期末)真空中某静电场，虚线表示等势面，各等势面电势的值如图4所示，一带电粒子只在电场力的作用下，沿图中的实线从A经过B运动到C，B、C两点位于同一等势面上，则以下说法正确的是( )
图4
A．带电粒子在A点的电势能大于在C点的电势能
B．A点电场强度大于B点电场强度
C．带电粒子从A点经过B点运动到C点的过程中动能先增大再减小
D．带电粒子从A点到C点电场力所做的功等于从A点到B点电场力所做的功
答案 D
解析 根据电场线与等势面垂直，且由高电势指向低电势，可知电场线方向大致向右，根据粒子轨迹的弯曲方向可知，粒子所受的电场力方向大致向左，则知粒子一定带负电．从A点到C点，由W＝qU，知U>0，q<0，则W<0，即电场力做负功，电势能增加，带电粒子在A处电势能小于C处电势能，故A错误；等差等势面的疏密反映电场强度的大小，则A处场强小于B处场强，故B错误；带电粒子从A点运动到B点的过程中，电场力做负功，动能减小，故C错误；由题图知，A、C间电势差等于A、B间的电势差，根据W＝Uq知，带电粒子从A点到C点电场力所做的功等于从A点到B点电场力所做的功，故D正确．
6. (多选)(2019·山东泰安市3月第一轮模拟)如图5，在正点电荷Q的电场中，A、B、C为直角三角形的三个顶点，D为AC的中点，∠A＝30°，A、B、C、D四点处的电势满足φA＝φC，φB＝φD，点电荷Q在A、B、C三点所在平面内，则( )
图5
A．点电荷Q在AB的连线上
B．点电荷Q在BD连线的中点处
C．φD>φC
D．将负试探电荷从C点移动到B点，电场力做负功
答案 AC
解析 因φA＝φC，则点电荷Q在AC连线的垂直平分线上；又φB＝φD，由几何关系可知点电荷Q又在BD连线的垂直平分线上，则点电荷Q在AB的连线上，如图所示，选项A正确，B错误；D点距离点电荷的距离比C点距离点电荷的距离近，可知φD>φC，选项C正确；将负试探电荷从C点移动到B点，电场力做正功，选项D错误．
7. (多选)(2019·四川德阳市第三次诊断)两个不规则带电导体间的电场线分布如图6所示，已知导体附近的电场线均与导体表面垂直，a、b、c、d为电场中几个点，并且a、d为紧靠导体表面的两点，选无穷远处为电势零点，则( )
图6
A．场强大小关系有Eb>Ec
B．电势大小关系有φb>φd
C．将一负电荷放在d点时其电势能为负值
D．将一正电荷由a点移到d点电场力做正功
答案 BD
解析 电场线越密的地方，电场强度越大，由题图可得c点的电场线比b点的电场线密，所以有Ec＞Eb，故A错误；沿着电场线，电势逐渐降低，可知b点电势高于d点的电势，故B正确；电势能的正负与零电势点的选取有关，该题以无穷远为零电势点，所以说负电荷放在d点时电势能为正值，故C错误；从题图中可以看出，a点的电势高于b点的电势，而b点的电势又高于d点的电势，所以a点的电势高于d点的电势，正电荷在电势高处电势能大，在电势低处电势能小，故正电荷从a点移到d点电势能减小，则电场力做正功，故D正确．
8．(2019·山西运城市5月适应性测试)一带负电的微粒只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能随位移x变化的关系如图7所示，其中0～x1段是曲线，x1～x2段是平行于x轴的直线，x2～x3段是倾斜直线，则下列说法正确的是( )
图7
A．0～x1段电势逐渐升高
B．0～x1段微粒的加速度逐渐减小
C．x2～x3段电场强度减小
D．x2处的电势比x3处的电势高
答案 B
解析 电势能Ep＝φq，由于微粒带负电，0～x1段电势能变大，所以电势降低，A错误；根据电场力做功与电势能关系：|ΔEp|＝E|q|Δx，图象斜率的大小反映场强大小，0～x1段图象斜率变小，场强变小，受力减小，加速度逐渐变小，B正确；x2～x3段斜率不变，场强不变，C错误；x2到x3，电势能减小，微粒带负电，所以电势增大，D错误．
9. (多选)(2019·安徽蚌埠市第二次质检)电场中有一条电场线与x轴重合，x轴上各点的电场强度与位置的关系如图8所示，一质子仅在电场力作用下，从坐标原点由静止释放沿x轴正方向运动，已知Oa＝ab＝bc＝d，b点电势φb＝0.则下列结论正确的是( )
图8
A．质子沿x轴做匀速直线运动
B．质子在a、c两点的电势能相等
C．质子在a、b、c三点的动能之比为2∶3∶4
D．坐标原点O的电势为1.5E0d
答案 CD
解析 由E－x图象和F＝qE可知，质子沿x轴先做匀加速直线运动，后做加速度减小的加速直线运动，最后做加速度增大的加速直线运动，故A错误；质子一直做加速直线运动，电场力做正功，电势能减小，故B错误；由E－x图象与x轴所围“面积”表示电势差，因此UOa＝E0d，UOb＝E0d，UOc＝2E0d，由动能定理有Eka＝qUOa＝qE0d，Ekb＝qUOb＝qE0d，Ekc＝qUOc＝2qE0d，所以质子在a、b、c三点的动能之比为2∶3∶4，故C正确；根据UOb＝φO－φb可得坐标原点O的电势为φO＝1.5E0d，故D正确．
10. (多选)(2020·湖北恩施州教学质量检测)如图9所示为某静电场中x轴上各点电势分布图，一个带电粒子在坐标原点O由静止释放，仅在电场力作用下沿x轴正向运动，则下列说法正确的是( )
图9
A．粒子一定带正电
B．粒子运动到坐标轴上x2处速度最大
C．粒子从坐标轴上x1处运动到x3处，电场力的冲量为零
D．粒子从坐标轴上x1处运动到x2处，加速度先增大后减小
答案 BC
解析 由于从坐标原点沿x轴正向电势先升高后降低，因此电场方向先向左后向右，由于带电粒子在坐标原点由静止沿x轴正向运动，因此可知粒子带负电，选项A错误；粒子从O到x2做加速运动，从x2向右做减速运动，因此粒子运动到坐标轴上x2处速度最大，选项B正确；由于粒子只受电场力作用，因此电势能和动能之和为定值，由题图可知粒子在x1处和x3处电势相等，则粒子在x1处和x3处电势能相等，动能相等，由于运动方向相同，因此速度相同，根据动量定理可知，粒子从坐标轴上x1处运动到x3处，电场力的冲量为零，选项C正确；由E＝可知，坐标轴上x1处到x2处，电场强度一直减小，由a＝可知，粒子的加速度一直减小，选项D错误．
11．(多选)(2019·河南郑州市第一次模拟)如图10所示，在竖直平面内有一匀强电场，一带电荷量为＋q、质量为m的小球在力F的作用下，沿图中虚线由M至N做竖直向上的匀速运动．已知力F和MN之间的夹角为45°，MN之间的距离为d，重力加速度为g.则下列说法正确的是( )
图10
A．电场的方向可能水平向左
B．电场强度E的最小值为
C．当qE＝mg时，小球从M运动到N时电势能变化量为零
D．F所做的功一定为mgd
答案 BC
解析 对小球受力分析：小球受到重力mg、拉力F与电场力qE，因为小球做匀速直线运动，合力为零，则F与qE的合力与mg大小相等、方向相反，作出F与qE的合力，如图所示，
由图可知，电场力方向指向右侧，由于小球带正电，电场方向与电场力方向相同，故指向右侧，故A错误；由图可知，当电场力qE与F垂直时，电场力最小，此时场强也最小．则得：qEmin＝mgsin θ，所以电场强度的最小值为Emin＝＝，故B正确；当mg＝Eq时，根据几何关系，电场力水平向右，与MN垂直，小球从M运动到N电场力不做功，即小球从M运动到N时电势能变化量为零，故C正确；由于电场力变化时，F大小也跟着改变，所以不能确定F所做功的具体值，故D错误．
12．(多选) (2019·河南名校联盟2月联考)如图11所示，固定于同一条竖直线上的A、B是两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量分别为＋Q和－Q，A、B相距为2d.MN是竖直放置的光滑绝缘细杆，另有一个穿过细杆的带电小球P质量为m，电荷量为＋q(可视为点电荷，放入电场后不影响电场的分布)，现将小球P 从与点电荷A等高的C处由静止开始释放，小球P向下运动到距C点距离为d的O点时， 速度为v，已知MN与AB之间的距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g.则( )
图11
A．C、O两点间的电势差UCO＝
B．O点处的电场强度E＝
C．小球下落过程中重力势能和电势能之和不变
D．小球P经过与点电荷B等高的D点时的速度为v
答案 BD
解析 小球P由C运动到O时，由mdg＋qUCO＝mv2－0，得UCO＝，选项A错误；对小球P在O点处时受力分析，如图所示，F1＝F2＝＝，它们的合力为：
F＝F1cos 45°＋F2cos 45°＝，则O点处的电场强度E＝＝，选项B正确；小球下落过程中重力势能、动能和电势能之和不变，选项C错误；小球P由O运动到D的过程，由动能定理得：mgd＋qUOD＝mv－mv2，由等量异种点电荷的电场特点可知UCO＝UOD，联立解得vD＝v，选项D正确．
第2讲 电场能的性质
一、静电力做功和电势能
1．静电力做功
(1)特点：静电力做功与路径无关，只与电荷量和电荷移动过程始、末位置间的电势差有关．
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为带电体在沿电场方向的位移．
②WAB＝qUAB，适用于任何电场．
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能．
(2)说明：电势能具有相对性，通常把无穷远处或大地的电势能规定为零．
3．静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB.
(2)通过WAB＝EpA－EpB可知：静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少．
(3)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功．
自测1 关于静电力做功和电势能的理解，下列说法正确的是( )
A．静电力做功与重力做功相似，均与路径无关
B．正电荷具有的电势能一定是正的，负电荷具有的电势能一定是负的
C．静电力做正功，电势能一定增加
D．静电力做功为零，电荷的电势能也为零
答案 A
二、电势 等势面
1．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值．
(2)定义式：φ＝.
(3)矢标性：电势是标量，有正负之分，正(负)号表示该点电势比零电势高(低)．
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同．
2．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面．
(2)四个特点：
①在同一等势面上移动电荷时电场力不做功．
②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面．
③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．
④任意两个等势面都不相交．
自测2 (2016·全国卷Ⅲ·15)关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
答案 B
解析 若两个不同的等势面相交，则在交点处存在两个不同电势数值，与事实不符，A错；电场线一定与等势面垂直，B对；同一等势面上的电势相同，但电场强度不一定相等，C错；将一负电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做负功，D错．
三、电势差
1．定义：电荷在电场中由一点A移到另一点B时，电场力所做的功WAB与移动电荷的电荷量q的比值．
2．定义式：UAB＝.
3．影响因素
电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB无关，与零电势点的选取无关．
4．电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA.
5．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与电场强度的关系式：UAB＝E·d，其中d为电场中两点间沿电场方向的距离．
(2)电场强度的方向和大小与电势差的关系：电场中，电场强度方向指向电势降低最快的方向；在匀强电场中，电场强度在数值上等于沿电场强度方向每单位距离上降低的电势．
自测3 (多选)关于电势差的计算公式，下列说法正确的是( )
A．电势差的计算公式UAB＝说明两点间的电势差UAB与电场力做功WAB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比
B．把正电荷从A点移动到B点电场力做正功，则有UAB>0
C．电势差的计算公式UAB＝中，UAB与移动电荷的电荷量q无关
D．电场中A、B两点间的电势差UAB等于把正电荷q从A点移动到B点时电场力所做的功
答案 BC
四、静电感应和静电平衡
1．静电感应
当把一个不带电的金属导体放在电场中时，导体的两端分别感应出等量的正、负电荷，“近端”出现与施感电荷异种的感应电荷，“远端”出现与施感电荷同种的感应电荷．这种现象叫静电感应．
2．静电平衡
(1)定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场的场强在导体内部大小相等且方向相反，使得叠加场强为零时，自由电荷不再发生定向移动，导体处于静电平衡状态．
(2)处于静电平衡状态的导体的特点
①导体内部的场强处处为零；
②导体是一个等势体，导体表面是等势面；
③导体表面处的场强方向与导体表面垂直；
④导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上；
⑤在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有净电荷.
1．电势高低的四种判断方法
(1)依据电场线方向：沿电场线方向电势逐渐降低．
(2)依据电场力做功：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低．
(3)电荷的正负：取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低．
(4)依据电势能的高低：正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低．
2．电势能大小的四种判断方法
(1)做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大．
(2)电荷电势法：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大．
(3)公式法：由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式进行判断．
(4)能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大时，电势能减小，反之电势能增大．
例1 (多选)(2019·全国卷Ⅲ·21)如图1，电荷量分别为q和－q(q>0)的点电荷固定在正方体的两个顶点上，a、b是正方体的另外两个顶点．则( )
图1
A．a点和b点的电势相等
B．a点和b点的电场强度大小相等
C．a点和b点的电场强度方向相同
D．将负电荷从a点移到b点，电势能增加
答案 BC
解析 a、b两点到两点电荷连线的距离相等，且关于两点电荷连线中点对称，可知a、b两点的电场强度大小相等，方向相同，选项B、C正确；电荷量分别为q和－q(q>0)的点电荷(等量异种点电荷)固定在正方体的两个顶点上，正方体的另外两个顶点a、b在两点电荷q和－q连线的垂直平分面两侧，故a点和b点电势不相等，且φb>φa，将负电荷从a点移到b点，电场力做正功，电势能减少，选项A、D错误．
变式1 (2019·山东烟台市上学期期末)如图2所示，圆心为O、半径为R的圆周上有A、B、C、D四点，A、B是一条直径的两个端点，CD与AB平行，A、C之间的距离也为R.在A、B两点分别放置电荷量绝对值均为Q的正、负点电荷，静电力常量为k.下列说法正确的是( )
图2
A．C、D两点电场强度相同，大小都为
B．负电荷在C点的电势能大于在D点的电势能
C．一正电荷沿着圆弧从C点移动到D点电场力不做功
D．C、O两点的电势差等于O、D两点的电势差
答案 D
解析 根据等量异种电荷的电场线特点，C、D两点电场强度大小相等，方向不同，故A错误；根据等量异种电荷的电场线特点，C点电势高，D点电势低，根据负电荷在电势低的地方电势能大，故负电荷在C点的电势能小于D点的电势能，故B错误；根据等量异种电荷的电场线特点，C点电势高，D点电势低，根据正电荷在电势高的地方电势能大，正电荷在C点的电势能大于D点的电势能，故正电荷从C到D电场力做正功，故C错误；根据等量异种电荷的电场线特点，C、O的电势差等于O、D的电势差，故D正确．
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离．
(2)沿电场强度方向电势降落得最快．
(3)在同一直线上或相互平行的两条直线上距离相等的两点间电势差相等．
2．E＝在非匀强电场中的几点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密．
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系：如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小．
3．解题思路
例2 (多选)(2017·全国卷Ⅲ·21)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图3所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V．下列说法正确的是( )
图3
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
答案 ABD
解析 如图所示，设a、c之间的d点电势与b点电势相同，则＝＝，所以d点的坐标为(3.5 cm,6 cm)，过c点作等势线bd的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势．由几何关系可得，cf的长度为3.6 cm，电场强度的大小E＝＝＝2.5 V/cm，故选项A正确；因为Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb ，可知坐标原点O处的电势为1 V ，故选项B正确；a点电势比b点电势低7 V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，故选项C错误；b点电势比c点电势低9 V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV，故选项D正确．
变式2 (多选)(2019·安徽安庆市下学期第二次模拟)有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图4所示，cd、cb 分别垂直于x轴、y轴，其中a、b、c三点电势分别为：4 V、8 V、10 V，使一电荷量为q＝－2×10－5 C的负点电荷由a点开始沿abcd路线运动，则下列判断正确的是( )
图4
A．坐标原点O的电势为6 V
B．电场强度的大小为 V/m
C．该点电荷在c点的电势能为2×10－5 J
D．该点电荷从a点移到d点过程中，电场力做功为 8×10－5 J
答案 AD
解析 由于是匀强电场，所以沿同一方向前进相同距离电势的变化量相等，所以φc－φb＝φO－φa，代入数据解得：φO＝6 V，故A正确；ab中点e的电势为φe＝6 V，连接Oe则为等势面，如图所示
由几何关系可知，ab垂直于Oe，则ab为一条电场线，且方向由b指向a，电场强度为：
E＝＝ V/m＝100 V/m，故B错误；该点电荷在c点的电势能为：
Epc＝qφc＝－2×10－4 J，故C错误；由题意结合几何知识可知b、d在同一等势面上，该点电荷从a点移动到d点电场力做功为：Wad＝qUad＝qUab＝(4－8)×(－2×10－5) J＝8×10－5 J，故D正确．
1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．
2．判断电场力(或电场强度)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断电场强度的方向．
3．判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．
例3 (多选)(2019·全国卷Ⅱ·20)静电场中，一带电粒子仅在电场力的作用下自M点由静止开始运动，N为粒子运动轨迹上的另外一点，则( )
A．运动过程中，粒子的速度大小可能先增大后减小
B．在M、N两点间，粒子的轨迹一定与某条电场线重合
C．粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能
D．粒子在N点所受电场力的方向一定与粒子轨迹在该点的切线平行
答案 AC
解析 在两个同种点电荷的电场中，一带同种电荷的粒子在两电荷的连线上自M点(非两点电荷连线的中点)由静止开始运动，粒子的速度先增大后减小，选项A正确；带电粒子仅在电场力作用下运动，若运动到N点的动能为零，则带电粒子在N、M两点的电势能相等；仅在电场力作用下运动，带电粒子的动能和电势能之和保持不变，可知若粒子运动到N点时动能不为零，则粒子在N点的电势能小于其在M点的电势能，故粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能，选项C正确；若静电场的电场线不是直线，带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹不会与电场线重合，选项B错误；若粒子运动轨迹为曲线，根据粒子做曲线运动的条件，可知粒子在N点所受电场力的方向一定不与粒子轨迹在该点的切线平行，选项D错误．
变式3 (2019·广东揭阳市下学期第二次模拟)如图5所示，实线MN是某匀强电场中的一条电场线．一带正电粒子射入电场后，仅在电场力作用下沿虚线ABC运动．下列说法中正确的是( )
图5
A．粒子在A点的加速度比在C点的加速度大
B．粒子在A点的电势能比在C点的电势能小
C．M、N两点的电势：φM>φN
D．电场线的方向水平向右
答案 B
解析 由于电场为匀强电场，可得到粒子在A点的加速度与C点的加速度大小相等，故A错误；由题图可知，粒子在B点所受电场力方向向左，又因为粒子带正电，故电场线方向向左，由沿着电场线方向电势降低，则φN>φM，故带正电粒子从A点到C点电场力做负功，电势能增加，所以粒子在A点的电势能比在C点的电势能小，故B正确，C、D错误．
类型1 v－t图象
根据v－t图象的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．
例4 (多选)(2019·四川宜宾市第二次诊断)如图6甲所示，光滑绝缘水平面上有一沿水平方向的电场，MN是其中的一条直线，线上有A、B、C三点，一带电荷量为＋2×10－3 C、质量为1×10－3 kg的小物块从A点由静止释放，沿MN做直线运动，其运动的v－t图象如图乙所示，其中B点处的切线斜率最大(图中标出了该切线)，C点处的切线平行于t轴，运动过程中小物块电荷量保持不变，则下列说法中正确的是( )
图6
A．A、B两点电势差UAB＝－4 V
B．小物块从B点到C点电场力做的功W＝10－2 J
C．B点为AC间电场强度最大的点，场强大小E＝1 V/m
D．由A到C的过程中小物块的电势能先减小后变大
答案 BC
解析 从A到B由动能定理：qUAB＝mv，解得UAB＝4 V，选项A错误；小物块从B点到C点电场力做的功WBC＝mv－mv＝10－2 J，选项B正确；在B点的加速度最大，则所受的电场力最大，则由图象：a＝＝ m/s2＝2 m/s2；由Eq＝ma，解得E＝1 V/m，选项C正确；由A到C的过程中小物块的动能一直增大，电场力一直做正功，则电势能一直减小，选项D错误．
类型2 φ－x图象(如图7所示)
1．电场强度的大小等于φ－x图线的斜率的绝对值，电场强度为零处φ－x图线存在极值，其切线的斜率为零．
2．在φ－x图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向．
图7
3．在φ－x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断．
4．在φ－x图象中可以判断电场类型，如图8所示，如果图线是曲线，则表示电场强度的大小是变化的，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，则表示电场强度的大小是不变的，电场为匀强电场．
图8
5．在φ－x图象中可知电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向．
例5 (多选)(2019·山东聊城市二模)两电荷量分别为q1和q2的点电荷固定在x轴上的A、B两点，两点电荷连线上各点电势φ随坐标x变化的关系图象如图9所示，其中P点电势最高，且xAP
图9
A．q1和q2都是负电荷
B．q1的电荷量大于q2的电荷量
C．在A、B之间将一负点电荷沿x轴从P点左侧移到右侧，电势能先减小后增大
D．一点电荷只在电场力作用下沿x轴从P点运动到B点，加速度逐渐变小
答案 AC
解析 由题图知，越靠近两点电荷，电势越低，则q1和q2都是负电荷，故A项正确；φ－x图象的斜率表示电场强度，则P点场强为零，据场强的叠加知两点电荷在P处产生的场强等大反向，即k＝k，又xAP
类型3 E－x图象
1．E－x图象反映了电场强度随位移变化的规律，E>0表示电场强度沿x轴正方向；E<0表示电场强度沿x轴负方向．
2．在给定了电场的E－x图象后，可以由图线确定电场强度、电势的变化情况，E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图10所示)，两点的电势高低根据电场方向判定．在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况．
图10
3．在这类题目中，还可以由E－x图象画出对应的电场，利用这种已知电场的电场线分布、等势面分布或场源电荷来处理相关问题．
例6 (多选)(2019·四川综合能力提升卷(三))空间内有一沿x轴分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图11所示．－x1、x1、x2、x3是x轴上的四个点，图象关于坐标原点O中心对称，下列说法中正确的是( )
图11
A．－x1处的电势比x1的电势高
B．将正电荷由－x1移到x2，电势能先增大，后减小
C．将一负电荷由－x1处由静止释放，若只受电场力作用，它将在－x1和x1之间往复运动
D．负电荷在4个点中位于x2处电势能最大
答案 BC
解析 根据题意，电场关于x轴对称分布，作出电场线如图所示．根据顺着电场线电势降低，则O电势最高，从图线看出，电场强度关于原点O对称，则x轴上关于O点对称位置的电势相等．则－x1处的电势与x1处的电势相等，故A错误；将正电荷由－x1移到x2，电势能先增大，后减小，选项B正确；－x1和x1之间的电场是对称的，将一负电荷由－x1处由静止释放，负电荷先向右做加速运动，经过O点之后做减速运动，到x1处速度减为零，则它将在－x1和x1之间往复运动，选项C正确；4个点中，x3点的电势最低，则负电荷在4个点中位于x3处电势能最大，选项D错误．
类型4 Ep－x图象
1．反映了电势能随位移变化的规律．
2．图线的切线斜率大小等于电场力大小．
3．进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况．
例7 (2020·江西重点中学协作体第一次联考)将两个点电荷A、B分别固定在水平面上x轴的两个不同位置上，将一带负电的试探电荷在水平面内由A点的附近沿x轴的正方向移动到B点附近的过程中，该试探电荷的电势能随位置变化的图象如图12所示，已知xAC>xCB，图中过C点的水平虚线与图线相切，两固定点电荷带电荷量的多少分别用qA、qB表示．则下列分析正确的是( )
图12
A．两固定点电荷都带正电，且qA>qB
B．在AB连线内，C点的电场强度最小但不等于零
C．因试探电荷的电势能始终为正值，可知A、B两点间沿x轴方向的电场强度始终向右
D．如果将试探电荷的电性改为正电，则该电荷在C点的电势能最大
答案 D
解析 负试探电荷从A运动到C，电势能降低，则从A到C电势逐渐升高，电场方向从C到A；负电荷从C到B电势能增加，则电势逐渐降低，则电场方向从C到B.即电场方向先沿x轴负方向，后沿x轴正方向，则qA和qB均为负电荷．因为在qA和qB连线中点处的合场强沿x轴负方向，故qA>qB，故A、C均错误；Ep－x图象的斜率大小代表电场力，而C点的切线斜率为零，说明该试探电荷在C点处受到的电场力为零，B错误；在C点负电荷的电势能最低，则正电荷在C点的电势能最大，故D正确．
1．(2019·北京市东城区上学期期末)下列各个物理量中属于矢量的有( )
A．电场强度 B．电势差
C．电场力做的功 D．电势能
答案 A
解析 电场强度为矢量，其定义式为E＝，其方向为正电荷的受力方向，故选项A正确；电势差、电场力做的功以及电势能只有大小，没有方向，是标量，故选项B、C、D错误．
2．(多选)(2019·山东济宁市第二次摸底)电子在电场中仅在电场力作用下运动时，由a点运动到b点的轨迹如图1中虚线所示．图中一组平行等距实线可能是电场线，也可能是等势线．下列说法正确的是( )
图1
A．若a点的电势比b点低，图中实线一定是等势线
B．不论图中实线是电场线还是等势线，电子在a点的电势能都比b点小
C．若电子在a点动能较小，则图中实线是电场线
D．如果图中实线是等势线，则电子在b点电势能较大
答案 CD
解析 若题图中实线是电场线，根据粒子运动轨迹可以判断，电子所受电场力水平向右，则电场线向左，a点电势比b点低，所以若a点的电势比b点低，图中实线可能是电场线，A错误．若图中实线是电场线，根据A选项的分析，电场线向左，a点的电势小于b点的电势，根据电势能Ep＝φ(－e)，电子在电势低的位置电势能大，所以电子在a点的电势能大于b点电势能，B错误．若电子在a点动能小，说明由a到b加速，如果图中实线是电场线，结合A选项的分析，电场线方向向左，电子受力向右，加速，a点动能小，C正确．如果图中实线是等势线，则电场线与等势线垂直，根据电子运动轨迹可以判断电子受力竖直向下，所以由a到b电场力做负功，电子在b点动能小，电势能大，D正确．
3．(2019·四川南充市第二次适应性考试)在正点电荷Q形成的电场中，一检验电荷q的运动轨迹如图2中实线所示，轨迹上a、b、c三点在以Q为圆心的同心圆上，下列说法正确的是( )
图2
A．检验电荷q可能为正电荷，也可能为负电荷
B．a、b、c三点中，检验电荷q在c点的动能最小
C．a、b、c三点中，a点的电势最高
D．a、b、c三点中，检验电荷q在a点的电势能最大
答案 B
解析 由运动轨迹可知，检验电荷q一定和Q带同种电荷，即带正电荷，选项A错误；检验电荷q在运动的过程中，电势能和动能之和守恒，则当动能最小时，电势能最大，电荷所处的位置电势最高，则a、b、c三点中， c点的电势最高，检验电荷q在c点的电势能最大，即a、b、c三点中，检验电荷q在c点的动能最小，选项B正确，C、D错误．
4. (2019·陕西宝鸡市高考模拟检测(二))真空中有一带负电的电荷q绕固定的点电荷＋Q运动，其运动轨迹为椭圆，如图3所示．已知a、b、c、d为椭圆的四个顶点，＋Q处在椭圆的一个焦点上，则下列说法正确的是( )
图3
A．＋Q产生的电场中a、c两点的电场强度相同
B．负电荷q在b点的速度大于在d点的速度
C．负电荷q在b点电势能大于在d点电势能
D．负电荷q在运动过程中电场力始终不做功
答案 B
解析 a、c两点的电场强度方向不同，故A错误；负电荷q由b运动到d的过程中，电场力做负功，电势能增加，动能减小，所以负电荷q在b点的速度大于在d点速度，负电荷q在b点的电势能小于在d点的电势能，故B正确，C错误；若负电荷逆时针转动，则负电荷q由a经d运动到c的过程中，电场力先做负功再做正功，故D错误．
5. (2019·山东滨州市上学期期末)真空中某静电场，虚线表示等势面，各等势面电势的值如图4所示，一带电粒子只在电场力的作用下，沿图中的实线从A经过B运动到C，B、C两点位于同一等势面上，则以下说法正确的是( )
图4
A．带电粒子在A点的电势能大于在C点的电势能
B．A点电场强度大于B点电场强度
C．带电粒子从A点经过B点运动到C点的过程中动能先增大再减小
D．带电粒子从A点到C点电场力所做的功等于从A点到B点电场力所做的功
答案 D
解析 根据电场线与等势面垂直，且由高电势指向低电势，可知电场线方向大致向右，根据粒子轨迹的弯曲方向可知，粒子所受的电场力方向大致向左，则知粒子一定带负电．从A点到C点，由W＝qU，知U>0，q<0，则W<0，即电场力做负功，电势能增加，带电粒子在A处电势能小于C处电势能，故A错误；等差等势面的疏密反映电场强度的大小，则A处场强小于B处场强，故B错误；带电粒子从A点运动到B点的过程中，电场力做负功，动能减小，故C错误；由题图知，A、C间电势差等于A、B间的电势差，根据W＝Uq知，带电粒子从A点到C点电场力所做的功等于从A点到B点电场力所做的功，故D正确．
6. (多选)(2019·山东泰安市3月第一轮模拟)如图5，在正点电荷Q的电场中，A、B、C为直角三角形的三个顶点，D为AC的中点，∠A＝30°，A、B、C、D四点处的电势满足φA＝φC，φB＝φD，点电荷Q在A、B、C三点所在平面内，则( )
图5
A．点电荷Q在AB的连线上
B．点电荷Q在BD连线的中点处
C．φD>φC
D．将负试探电荷从C点移动到B点，电场力做负功
答案 AC
解析 因φA＝φC，则点电荷Q在AC连线的垂直平分线上；又φB＝φD，由几何关系可知点电荷Q又在BD连线的垂直平分线上，则点电荷Q在AB的连线上，如图所示，选项A正确，B错误；D点距离点电荷的距离比C点距离点电荷的距离近，可知φD>φC，选项C正确；将负试探电荷从C点移动到B点，电场力做正功，选项D错误．
7. (多选)(2019·四川德阳市第三次诊断)两个不规则带电导体间的电场线分布如图6所示，已知导体附近的电场线均与导体表面垂直，a、b、c、d为电场中几个点，并且a、d为紧靠导体表面的两点，选无穷远处为电势零点，则( )
图6
A．场强大小关系有Eb>Ec
B．电势大小关系有φb>φd
C．将一负电荷放在d点时其电势能为负值
D．将一正电荷由a点移到d点电场力做正功
答案 BD
解析 电场线越密的地方，电场强度越大，由题图可得c点的电场线比b点的电场线密，所以有Ec＞Eb，故A错误；沿着电场线，电势逐渐降低，可知b点电势高于d点的电势，故B正确；电势能的正负与零电势点的选取有关，该题以无穷远为零电势点，所以说负电荷放在d点时电势能为正值，故C错误；从题图中可以看出，a点的电势高于b点的电势，而b点的电势又高于d点的电势，所以a点的电势高于d点的电势，正电荷在电势高处电势能大，在电势低处电势能小，故正电荷从a点移到d点电势能减小，则电场力做正功，故D正确．
8．(2019·山西运城市5月适应性测试)一带负电的微粒只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能随位移x变化的关系如图7所示，其中0～x1段是曲线，x1～x2段是平行于x轴的直线，x2～x3段是倾斜直线，则下列说法正确的是( )
图7
A．0～x1段电势逐渐升高
B．0～x1段微粒的加速度逐渐减小
C．x2～x3段电场强度减小
D．x2处的电势比x3处的电势高
答案 B
解析 电势能Ep＝φq，由于微粒带负电，0～x1段电势能变大，所以电势降低，A错误；根据电场力做功与电势能关系：|ΔEp|＝E|q|Δx，图象斜率的大小反映场强大小，0～x1段图象斜率变小，场强变小，受力减小，加速度逐渐变小，B正确；x2～x3段斜率不变，场强不变，C错误；x2到x3，电势能减小，微粒带负电，所以电势增大，D错误．
9. (多选)(2019·安徽蚌埠市第二次质检)电场中有一条电场线与x轴重合，x轴上各点的电场强度与位置的关系如图8所示，一质子仅在电场力作用下，从坐标原点由静止释放沿x轴正方向运动，已知Oa＝ab＝bc＝d，b点电势φb＝0.则下列结论正确的是( )
图8
A．质子沿x轴做匀速直线运动
B．质子在a、c两点的电势能相等
C．质子在a、b、c三点的动能之比为2∶3∶4
D．坐标原点O的电势为1.5E0d
答案 CD
解析 由E－x图象和F＝qE可知，质子沿x轴先做匀加速直线运动，后做加速度减小的加速直线运动，最后做加速度增大的加速直线运动，故A错误；质子一直做加速直线运动，电场力做正功，电势能减小，故B错误；由E－x图象与x轴所围“面积”表示电势差，因此UOa＝E0d，UOb＝E0d，UOc＝2E0d，由动能定理有Eka＝qUOa＝qE0d，Ekb＝qUOb＝qE0d，Ekc＝qUOc＝2qE0d，所以质子在a、b、c三点的动能之比为2∶3∶4，故C正确；根据UOb＝φO－φb可得坐标原点O的电势为φO＝1.5E0d，故D正确．
10. (多选)(2020·湖北恩施州教学质量检测)如图9所示为某静电场中x轴上各点电势分布图，一个带电粒子在坐标原点O由静止释放，仅在电场力作用下沿x轴正向运动，则下列说法正确的是( )
图9
A．粒子一定带正电
B．粒子运动到坐标轴上x2处速度最大
C．粒子从坐标轴上x1处运动到x3处，电场力的冲量为零
D．粒子从坐标轴上x1处运动到x2处，加速度先增大后减小
答案 BC
解析 由于从坐标原点沿x轴正向电势先升高后降低，因此电场方向先向左后向右，由于带电粒子在坐标原点由静止沿x轴正向运动，因此可知粒子带负电，选项A错误；粒子从O到x2做加速运动，从x2向右做减速运动，因此粒子运动到坐标轴上x2处速度最大，选项B正确；由于粒子只受电场力作用，因此电势能和动能之和为定值，由题图可知粒子在x1处和x3处电势相等，则粒子在x1处和x3处电势能相等，动能相等，由于运动方向相同，因此速度相同，根据动量定理可知，粒子从坐标轴上x1处运动到x3处，电场力的冲量为零，选项C正确；由E＝可知，坐标轴上x1处到x2处，电场强度一直减小，由a＝可知，粒子的加速度一直减小，选项D错误．
11．(多选)(2019·河南郑州市第一次模拟)如图10所示，在竖直平面内有一匀强电场，一带电荷量为＋q、质量为m的小球在力F的作用下，沿图中虚线由M至N做竖直向上的匀速运动．已知力F和MN之间的夹角为45°，MN之间的距离为d，重力加速度为g.则下列说法正确的是( )
图10
A．电场的方向可能水平向左
B．电场强度E的最小值为
C．当qE＝mg时，小球从M运动到N时电势能变化量为零
D．F所做的功一定为mgd
答案 BC
解析 对小球受力分析：小球受到重力mg、拉力F与电场力qE，因为小球做匀速直线运动，合力为零，则F与qE的合力与mg大小相等、方向相反，作出F与qE的合力，如图所示，
由图可知，电场力方向指向右侧，由于小球带正电，电场方向与电场力方向相同，故指向右侧，故A错误；由图可知，当电场力qE与F垂直时，电场力最小，此时场强也最小．则得：qEmin＝mgsin θ，所以电场强度的最小值为Emin＝＝，故B正确；当mg＝Eq时，根据几何关系，电场力水平向右，与MN垂直，小球从M运动到N电场力不做功，即小球从M运动到N时电势能变化量为零，故C正确；由于电场力变化时，F大小也跟着改变，所以不能确定F所做功的具体值，故D错误．
12．(多选) (2019·河南名校联盟2月联考)如图11所示，固定于同一条竖直线上的A、B是两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量分别为＋Q和－Q，A、B相距为2d.MN是竖直放置的光滑绝缘细杆，另有一个穿过细杆的带电小球P质量为m，电荷量为＋q(可视为点电荷，放入电场后不影响电场的分布)，现将小球P 从与点电荷A等高的C处由静止开始释放，小球P向下运动到距C点距离为d的O点时， 速度为v，已知MN与AB之间的距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g.则( )
图11
A．C、O两点间的电势差UCO＝
B．O点处的电场强度E＝
C．小球下落过程中重力势能和电势能之和不变
D．小球P经过与点电荷B等高的D点时的速度为v
答案 BD
解析 小球P由C运动到O时，由mdg＋qUCO＝mv2－0，得UCO＝，选项A错误；对小球P在O点处时受力分析，如图所示，F1＝F2＝＝，它们的合力为：
F＝F1cos 45°＋F2cos 45°＝，则O点处的电场强度E＝＝，选项B正确；小球下落过程中重力势能、动能和电势能之和不变，选项C错误；小球P由O运动到D的过程，由动能定理得：mgd＋qUOD＝mv－mv2，由等量异种点电荷的电场特点可知UCO＝UOD，联立解得vD＝v，选项D正确．
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