新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第3章 3.2.2 第2课时 奇偶性的应用(含解析)

这是一份新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第3章 3.2.2 第2课时 奇偶性的应用(含解析)，共11页。

第2课时　奇偶性的应用
学习目标　1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式．

知识点一　用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
知识点二　函数的奇偶性与单调性
1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a 思考　若奇函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么它在区间[－b，－a]∪[a，b]上单调递增吗？
答案　不一定．如f(x)＝x在[0,2]上单调递增，则在[－2,0]∪[0,2]＝[－2,2]上也单调递增；而函数f(x)＝－在[1,3]上单调递增，但在[－3，－1]∪[1,3]上不单调递增．

1．若f(x)为R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)________f(1)．(填“>”“＝”或“<”)
答案　>
解析　因为f(x)为R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(－2)>f(1)．
2．若f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，则f(－1)________f(1)．(填“>”“＝”或“<”)
答案　>
解析　∵f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在R上单调递减，∴f(－1)>f(1)．
3．若奇函数f(x)在区间[－4，－2]上的最大值为2，则f(x)在区间[2,4]上的最小值为________．
答案　－2
4．函数f(x)为偶函数，若x>0时，f(x)＝x，则x<0时，f(x)＝________.
答案　－x
解析　方法一　令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－x，
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－x(x<0)．
方法二　利用图象(图略)可得x<0时，f(x)＝－x.

一、利用函数的奇偶性求解析式
例1　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
解　当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.
故f(x)＝
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝.①
用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
(教师)
延伸探究
1．在本例(1)中，把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式．
解　当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，
所以f(x)＝x2＋2x＋3.
即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
2．在本例(2)中，把条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式．
解　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
又f(x)＋g(x)＝，①
用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝，
即f(x)－g(x)＝.②
联立①②得f(x)＝，g(x)＝.
(学生)
反思感悟　(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
(2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解．
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
跟踪训练1　(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式．
解　设x>0，则－x<0，
则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.
又f(x)是R上的奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.
又∵函数定义域为R，∴f(0)＝0，
综上可知f(x)＝
(2)已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式．
解　设x<0，则－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
又f(x)在R上为偶函数，
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1.
二、利用函数的单调性与奇偶性比较大小
例2　设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π) D．f(π) 答案　A
解析　由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)，f(x)单调递增，则x∈(－∞，0)时，f(x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2)．
(学生)
反思感悟　比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上
(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
跟踪训练2　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2,6]上单调递减，则f(－5)________f(3)．(填“>”或“<”)
答案　<
解析　∵f(x)为偶函数，
∴f(－5)＝f(5)，而函数f(x)在[2,6]上单调递减，
∴f(5) 三、利用函数的单调性与奇偶性解不等式
例3　已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f(－3)＝0，则<0的解集为________________．
答案　{x|－33}
解析　∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．
∴f(3)＝f(－3)＝0.
当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；
当x<0时，由f(x)>0，解得－3 故所求解集为{x|－33}．
反思感悟　利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类
(1)利用图象解不等式．
(2)转化为简单不等式求解．
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．
提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域．
跟踪训练3　设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m) 解　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减，
所以f(x)在[－2,2]上单调递减．
所以不等式f(1－m) 解得－1≤m<.
所以实数m的取值范围为.

1．已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则(　　)
A．f(1)>f(2) B．f(1) C．f(1)＝f(2) D．以上都有可能
答案　A
解析　∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(1)>f(2)．
2．设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　)
A．f  B．f(2) C．f(2) D．f(－1) 答案　B
解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(2)＝f(－2)．
又f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，且－2<－<－1，∴f(2)＝f(－2) 3．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上单调递减，那么函数f(x)在区间[3,7]上________．
答案　单调递减
解析　∵f(x)为奇函数，
∴f(x)在[3,7]上的单调性与在[－7，－3]上的单调性一致，
∴f(x)在[3,7]上单调递减．
4．已知函数f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
答案　x－1
解析　当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，
又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x－1.
5．已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是________．
答案　(－3,3)
解析　由题意可知|a|<3，解得－3
1．知识清单：
(1)利用奇偶性求函数的解析式．
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．
2．方法归纳：转化法、数形结合法．
3．常见误区：解不等式易忽视函数的定义域．


1．设函数f(x)＝且f(x)为偶函数，则g(－2)等于(　　)
A．6 B．－6 C．2 D．－2
答案　A
解析　g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.
2．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)
答案　A
解析　因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，
即该函数f(x)＝－2x2＋1，
所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．
3.一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图，下列说法正确的是(　　)

A．这个函数仅有一个单调递增区间
B．这个函数有两个单调递减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7
D．这个函数在其定义域内有最小值－7
答案　C
解析　根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7,0]上的图象，如图所示，

可知这个函数有三个单调递增区间；有三个单调递减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.
4．若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有(　　)
A．最大值－ B．最大值
C．最小值－ D．最小值
答案　B
解析　方法一　当x<0时，f(x)＝x2＋x＝2－，
所以f(x)有最小值－，因为f(x)是奇函数，
所以当x>0时，f(x)有最大值.
方法二　(直接法)当x>0时，－x<0，
所以f(－x)＝－x(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－2＋，
所以f(x)有最大值.
5．如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1,3]上(　　)
A．单调递增且最小值为－5
B．单调递增且最大值为－5
C．单调递减且最小值为－5
D．单调递减且最大值为－5
答案　A
解析　∵f(x)为奇函数，
∴f(x)在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值，
又已知f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，
∴f(1)＝－5.
6．函数f(x)在R上为偶函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
答案　＋1
解析　∵f(x)为偶函数，x>0时，f(x)＝＋1，
∴当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝＋1，
即x<0时，f(x)＝＋1.
7．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
答案　(－1,3)
解析　因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|)．
又因为f(2)＝0，
所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2)．
又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
所以|x－1|<2，解得－2 8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是______________．
答案　f(－2) 解析　∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，
∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(2) 9．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.
解　∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得
f(1－x)<－f(1－2x)，即f(1－x) 又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，
∴解得0 ∴原不等式的解集为.
10．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上单调递增还是单调递减？证明你的结论．
解　F(x)在(－∞，0)上单调递减．
证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1 则有－x1>－x2>0.
因为y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，
所以f(－x2) 又因为f(x)是奇函数，
所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，②
由①②得f(x2)>f(x1)>0.
于是F(x1)－F(x2)＝>0，
即F(x1)>F(x2)，
所以F(x)＝在(－∞，0)上单调递减．



11．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
答案　C
解析　∵f(x)为奇函数，<0，即<0，
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减且f(1)＝0，
∴当x>1时，f(x)<0，<0.
∵奇函数图象关于原点对称，
∴在(－∞，0)上f(x)单调递减且f(－1)＝0，
∴当x<－1时，f(x)>0，<0.
综上，<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
12．函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)
A．f(1) C．f  答案　B
解析　∵函数f(x＋2)是偶函数，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f ＝f ，f ＝f ，
又f(x)在[0,2]上单调递增，
∴f  即f  13．已知y＝f(x)＋x2是奇函数且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
答案　－1
解析　∵y＝f(x)＋x2是奇函数，
∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，
∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0，
∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.
∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.
∵g(x)＝f(x)＋2，
∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
14．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上单调递减，则当x＝________时，f(x)取得最大值；若不等式f(0) 答案　1　(0,2)
解析　由f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)在[1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时f(x)取得最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，由f(0)
15．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x5－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，则f(2 020)等于(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．2
答案　D
解析　因为当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，
所以当x>0时，
所以f(2 020)＝f(2 019)＝f(2 018)＝…＝f(1)，
又因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，
所以f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)5－1]＝2.
16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
解　(1)因为a>b，所以a－b>0，
由题意得>0，
所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．