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备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第9节 函数模型及其应用
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这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第9节 函数模型及其应用，共21页。试卷主要包含了几种常见的函数模型，不正确，))等内容，欢迎下载使用。
第9节 函数模型及其应用
考试要求 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
2.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关的模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关的模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( )
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.( )
(3)不存在x0，使ax0
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)9折出售的售价为100(1＋10%)×＝99(元).
∴每件赔1元，(1)错误.
(2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.
(3)中，如a＝x0＝，n＝，不等式成立，因此(3)错误.
2.(易错题)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)
D.f(x)>h(x)>g(x)
答案 B
解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度大小排列为g(x)>f(x)>h(x).
3.(易错题)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
答案 C
解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，由<，得n≥10.
所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.
4.(2022·江苏新高考基地大联考)香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C＝Blog2来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W).已知平均信号功率为1 000 W，平均噪声功率为10 W，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为( )
A.0.1 W B.1.0 W C.3.2 W D.5.0 W
答案 A
解析 由题意可得S＝1 000，N＝10，则在信道容量未增大时，信道容量为
C1＝Blog2＝Blog2101，
设信道容量增大到原来的2倍时，平均噪声功率为N′ W，
此时信道容量C2＝Blog2＝2C1，则log21012＝log2，即1＋＝1012，解得N′≈0.1，故选A.
5.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.
答案 3
解析 设隔墙的长度为x(0
6.(2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.
给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是__________.
答案 ①②③
解析 －表示在[a，b]上割线斜率的相反数，－越大治理能力越强.
对于①，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于②，要比较t2时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于③，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；对于④，甲在[t1，t2]这段时间内的污水治理能力最强，错误.综上，正确的序号为①②③.
考点一 利用函数图象刻画变化过程
1.已知高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
答案 B
解析 当h＝0时，v＝0，故可排除A，C；
当h∈[0，H]时，不妨将水“流出”设想为“流入”.
当h每增加一个单位增量Δh时，根据鱼缸形状可知，函数v的变化，开始其增量越来越大，经过中截面后增量越来越小，故v＝f(h)的图象是先凹后凸的，故选B.
2.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝
则下列说法错误的是( )
A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%
D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
答案 D
解析 由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；
由图象可得B正确；
当1＜x≤30时，f(x)＝＋x－，则f(9)＝＋×9－＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C正确；
f(26)＝＋×26－＞，故D错误.
3.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：
①0时到3时只进水不出水；
②3时到4时不进水只出水；
③4时到5时不进水也不出水.
则一定正确的论断是________(填序号).
答案 ①
解析 由甲、乙、丙图可得进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2，故①正确；
不进只出水时，蓄水量减少的速度为2，故②不正确；
两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0，故③不正确.
4.(2021·西安调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝t＋a；④y＝＋a中(其中a为正的常实数)，拟合生长年数与树高的关系最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米.
答案 ②
解析 由散点图的走势，知模型①不合适.曲线过点，则后三个模型的解析式分别为②y＝＋log2t；③y＝t＋；④y＝＋，当t＝1时，代入④中，得y＝，与图不符，易知拟合最好的是②.将t＝8代入②式，得y＝＋log28＝(米).
感悟提升 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.
2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.
考点二 二次函数模型
例1 (1)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A.10.5万元 B.11万元
C.43万元 D.43.025万元
(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，
Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求：
①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
②最低种植成本是________元/100 kg.
答案 (1)C (2)①120 ②80
解析 (1)设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润
y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)
＝－0.1x2＋2.1x＋32
＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32.
因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.
(2)因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得
解得
所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.
感悟提升 1.二次函数的最值问题一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错.
2.解决函数的应用问题时，最后要还原到实际问题.
训练1 (1)(2021·广州模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.
(2)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是( )
A.[4，8] B.[6，10]
C.[4%，8%] D.[6%，10%]
答案 (1)2 500 (2)A
解析 (1)总利润L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500，则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元.
(2)根据题意，要使附加税不少于128万元，
需×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].
考点三 指数、对数函数模型
例2 (1)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 C
解析 设这种放射性物质最初的质量为1，经过x(x∈N)年后，剩余量是y，
则有y＝.
依题意得≤.
则22x≥100，解得x≥4.
所以至少需要的年数是4.
(2)(2021·唐山联考)尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.
①已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为“破坏性地震”，若某次地震释放能量约1012焦耳，试确定该次地震的类型；
②2008年汶川地震为里氏8级，2011年日本地震为里氏9级，问：2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍？(取＝3.2)
解 ①该次地震释放能量约1012焦耳，即E＝1012代入lg E＝4.8＋1.5M，化简得M＝＝＝4.8.
因为4.8>4.7，所以该次地震为“破坏性地震”.
②设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E1，E2.
由题意知，lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，
lg E2＝4.8＋1.5×9＝18.3，
即E1＝1016.8，E2＝1018.3，
所以＝101.5＝10，取＝3.2，得＝32.
故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍.
感悟提升 指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.
训练2 (2021·贵阳调研)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0
解得x＝1－.
故每年砍伐面积的百分比为1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，把x＝1－代入，
即＝，即＝，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年.
考点四 分段函数模型
例3 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元).在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元).每件产品售价5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
解 (1)每件产品售价为5元，
则x万件产品的销售收入为5x万元.
当0
当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.
故L(x)＝
(2)当0
当x＝6时，L(x)取最大值为L(6)＝9(万元)；
当x≥8时，L(x)＝35－
≤35－2＝15(万元)(当且仅当x＝，即x＝10时，取等号).
综上，当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.
感悟提升 1.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再合到一起.要注意各段变量的范围，特别是端点值.
2.分段函数求最值时，要分段求，然后比较大小得到最值.
训练3 某校高三(1)班学生为了筹措经费给班上购买课外读物，班委会成立了一个社会实践小组，决定利用暑假八月份(按30天计算)轮流换班去销售一种时令水果.在这30天内每斤水果的收入p(元)与时间t(天)满足如图所示的函数关系，已知日销售量Q(斤)与时间t(天)满足一次函数关系(具体数据如下表所示).
t(天)
2
8
16
24
Q(斤)
38
32
24
16
(1)根据提供的图象和表格，写出每斤水果的收入p(元)与时间t(天)所满足的函数关系式及日销售量Q(斤)与时间t(天)的一次函数关系式；
(2)写出销售水果的日收入y(元)与t的函数关系式，并求这30天中第几天的日收入最大？最大为多少元？
解 (1)依题意可设
p＝
当0
令Q＝mt＋n，由表中数据得m＝－1，n＝40，所以Q＝－t＋40(0
y＝
当0
当20
1.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )
答案 A
解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
2.(2022·绵阳诊断)某数学小组进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1 000万元利润目标，准备制订激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合公司要求的是(参考数据：1.0021 000≈7.37，lg 7≈0.845)( )
A.y＝0.25x B.y＝1.002x
C.y＝log7x＋1 D.y＝tan
答案 C
解析 选项A，B，C均满足条件①，但当x>20时，A选项不满足条件②，所以A不符合题意；
当x＝1 000时，有y＝1.0021 000≈7.37>5，不符合条件②，所以B不符合题意；
而对于选项C，当10
A.最大长度为8米
B.最大长度为4米
C.最小长度为8米
D.最小长度为4米
答案 D
解析 设BC＝a米，CD＝b米，则ab＝4，
所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为
2a＋b＝2a＋≥2＝4，
当且仅当2a＝，即a＝时取等号.
故篱笆最小长度为4米.
4.(2022·兰州质检)设光线通过一块玻璃，光线强度损失10%，如果光线原来的强度为k(k>0)，通过x块这样的玻璃以后光线的强度为y，则y＝k·0.9x(x∈N*)，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃的块数为(参考数据：
lg 3≈0.477)( )
A.9 B.10 C.11 D.12
答案 C
解析 由题意得k·0.9x<(k>0)，化得0.9x<，两边同时取常用对数，可得xlg 0.9<
lg ，因为lg 0.9<0，所以x>＝≈≈10.37，则至少通过11块玻璃.
5.(2021·济南检测)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的( )
A.1倍 B.10倍
C.100倍 D.1 000倍
答案 B
解析 设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为x1 W/m2，x2 W/m2，
根据题意得d(x1)＝9lg＝63，
解得x1＝10－6，
d(x2)＝9lg＝54，
解得x2＝10－7，所以＝10，
因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.
6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )
A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B.结余最高的月份是7月
C.1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同
D.前6个月的平均收入为40万元
答案 D
解析 由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；
由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；
由题图可知，1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同，故C正确；
由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误.
7.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋17，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为________米.
答案 28
解析 因为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋17，
所以烟花冲击后在爆裂的最佳时刻为
t＝－＝1.5，
此时h(1.5)＝－4.9×1.52＋14.7×1.5＋17≈28.
8.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.
答案 (1)130 (2)15
解析 (1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元).
(2)由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，所以x≤15.即x的最大值为15.
9.(2021·武汉模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1 000元选择合适方式存满5年，可以多获利息________元.
(参考数据：1.022 55≈1.118，1.040 15≈1.217)
答案 99
解析 将1 000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋4.01%)5≈1 217(元)，故共得利息1 217－
1 000＝217(元).
将1 000元存入银行，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋2.25%)5≈1 118(元)，即获利息1 118－1 000＝118(元).故可以多获利息217－118＝99(元).
10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，
故有a＋blog3＝0，即a＋b＝0.
当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，
故有a＋blog3＝1，即a＋2b＝1.
解方程组得
即a，b的值分别为－1和1.
(2)由(1)知，v＝－1＋log3.
所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，
故－1＋log3≥2，解得Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s时，其耗氧量至少要270个单位.
11.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).
(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；
(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？
解 (1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，
所以f(128)＝4×－6＋×112＋2＝88(万元).
因此，此时公司的总收益为88万元.
(2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，
依题意得
解之得80≤x≤160，
当80≤x<120，即120<240－x≤160时，
f(x)＝4－6＋32
＝4＋26<26＋16.
当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时，
f(x)＝4－6＋(240－x)＋2
＝－x＋4＋56.
令t＝，则t∈[2，4]，
所以y＝－t2＋4t＋56
＝－(t－8)2＋88.
当t＝8，即x＝128时，y取最大值88.
因为88－(26＋16)＝2×(31－8)>0，故f(x)的最大值为88.
因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元.
12.(2022·保定质检)分子间作用力是只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下，两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U，其计算式子为U＝kcq2·(＋－－)，其中，kc为静电常量，x1，x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知R＋x1－x2＝R，R＋x1＝R，R－x2＝R，且(1＋x)－1≈1－x＋x2，则U的近似值为( )
A. B.－
C. D.－
答案 D
解析 U＝kcq2(＋－－)
＝kcq2[＋－－]
≈·[1＋1－＋－1＋－－1－－]
＝－.故选D.
13.天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，它就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1).其中星等为mi的天体的亮度为Ei(i＝1，2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)( )
A.1.24 B.1.25 C.1.26 D.1.27
答案 C
解析 由题意，得1－1.25＝2.5(lg E2－lg E1)，
∴lg ＝，解得r＝＝10.
又10x≈1＋2.3x＋2.7x2(|x|较小)，
所以r≈1＋2.3×＋2.7×＝1.257.
故与r最接近的是1.26.
14.已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数.现有以下几种说法：
①PA≥1；
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；
③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5
答案 ③
解析 当nA＝1时，PA＝0，故①错误；
若PA＝1，则nA＝10；
若PA＝2，则nA＝100，故②错误；
设B菌的个数为nB＝5×104，∴nA＝＝2×105，
则PA＝lg nA＝5＋lg 2.
又lg 2≈0.3，∴PA≈5.3，因此5
第9节 函数模型及其应用
考试要求 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
2.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关的模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关的模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( )
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.( )
(3)不存在x0，使ax0
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)9折出售的售价为100(1＋10%)×＝99(元).
∴每件赔1元，(1)错误.
(2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.
(3)中，如a＝x0＝，n＝，不等式成立，因此(3)错误.
2.(易错题)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)
D.f(x)>h(x)>g(x)
答案 B
解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度大小排列为g(x)>f(x)>h(x).
3.(易错题)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
答案 C
解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，由<，得n≥10.
所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.
4.(2022·江苏新高考基地大联考)香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C＝Blog2来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W).已知平均信号功率为1 000 W，平均噪声功率为10 W，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为( )
A.0.1 W B.1.0 W C.3.2 W D.5.0 W
答案 A
解析 由题意可得S＝1 000，N＝10，则在信道容量未增大时，信道容量为
C1＝Blog2＝Blog2101，
设信道容量增大到原来的2倍时，平均噪声功率为N′ W，
此时信道容量C2＝Blog2＝2C1，则log21012＝log2，即1＋＝1012，解得N′≈0.1，故选A.
5.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.
答案 3
解析 设隔墙的长度为x(0
6.(2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.
给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是__________.
答案 ①②③
解析 －表示在[a，b]上割线斜率的相反数，－越大治理能力越强.
对于①，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于②，要比较t2时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于③，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；对于④，甲在[t1，t2]这段时间内的污水治理能力最强，错误.综上，正确的序号为①②③.
考点一 利用函数图象刻画变化过程
1.已知高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
答案 B
解析 当h＝0时，v＝0，故可排除A，C；
当h∈[0，H]时，不妨将水“流出”设想为“流入”.
当h每增加一个单位增量Δh时，根据鱼缸形状可知，函数v的变化，开始其增量越来越大，经过中截面后增量越来越小，故v＝f(h)的图象是先凹后凸的，故选B.
2.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝
则下列说法错误的是( )
A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%
D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
答案 D
解析 由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；
由图象可得B正确；
当1＜x≤30时，f(x)＝＋x－，则f(9)＝＋×9－＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C正确；
f(26)＝＋×26－＞，故D错误.
3.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：
①0时到3时只进水不出水；
②3时到4时不进水只出水；
③4时到5时不进水也不出水.
则一定正确的论断是________(填序号).
答案 ①
解析 由甲、乙、丙图可得进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2，故①正确；
不进只出水时，蓄水量减少的速度为2，故②不正确；
两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0，故③不正确.
4.(2021·西安调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝t＋a；④y＝＋a中(其中a为正的常实数)，拟合生长年数与树高的关系最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米.
答案 ②
解析 由散点图的走势，知模型①不合适.曲线过点，则后三个模型的解析式分别为②y＝＋log2t；③y＝t＋；④y＝＋，当t＝1时，代入④中，得y＝，与图不符，易知拟合最好的是②.将t＝8代入②式，得y＝＋log28＝(米).
感悟提升 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.
2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.
考点二 二次函数模型
例1 (1)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A.10.5万元 B.11万元
C.43万元 D.43.025万元
(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，
Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求：
①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
②最低种植成本是________元/100 kg.
答案 (1)C (2)①120 ②80
解析 (1)设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润
y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)
＝－0.1x2＋2.1x＋32
＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32.
因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.
(2)因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得
解得
所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.
感悟提升 1.二次函数的最值问题一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错.
2.解决函数的应用问题时，最后要还原到实际问题.
训练1 (1)(2021·广州模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.
(2)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是( )
A.[4，8] B.[6，10]
C.[4%，8%] D.[6%，10%]
答案 (1)2 500 (2)A
解析 (1)总利润L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500，则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元.
(2)根据题意，要使附加税不少于128万元，
需×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].
考点三 指数、对数函数模型
例2 (1)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 C
解析 设这种放射性物质最初的质量为1，经过x(x∈N)年后，剩余量是y，
则有y＝.
依题意得≤.
则22x≥100，解得x≥4.
所以至少需要的年数是4.
(2)(2021·唐山联考)尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.
①已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为“破坏性地震”，若某次地震释放能量约1012焦耳，试确定该次地震的类型；
②2008年汶川地震为里氏8级，2011年日本地震为里氏9级，问：2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍？(取＝3.2)
解 ①该次地震释放能量约1012焦耳，即E＝1012代入lg E＝4.8＋1.5M，化简得M＝＝＝4.8.
因为4.8>4.7，所以该次地震为“破坏性地震”.
②设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E1，E2.
由题意知，lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，
lg E2＝4.8＋1.5×9＝18.3，
即E1＝1016.8，E2＝1018.3，
所以＝101.5＝10，取＝3.2，得＝32.
故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍.
感悟提升 指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.
训练2 (2021·贵阳调研)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0
解得x＝1－.
故每年砍伐面积的百分比为1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，把x＝1－代入，
即＝，即＝，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年.
考点四 分段函数模型
例3 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元).在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元).每件产品售价5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
解 (1)每件产品售价为5元，
则x万件产品的销售收入为5x万元.
当0
当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.
故L(x)＝
(2)当0
当x＝6时，L(x)取最大值为L(6)＝9(万元)；
当x≥8时，L(x)＝35－
≤35－2＝15(万元)(当且仅当x＝，即x＝10时，取等号).
综上，当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.
感悟提升 1.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再合到一起.要注意各段变量的范围，特别是端点值.
2.分段函数求最值时，要分段求，然后比较大小得到最值.
训练3 某校高三(1)班学生为了筹措经费给班上购买课外读物，班委会成立了一个社会实践小组，决定利用暑假八月份(按30天计算)轮流换班去销售一种时令水果.在这30天内每斤水果的收入p(元)与时间t(天)满足如图所示的函数关系，已知日销售量Q(斤)与时间t(天)满足一次函数关系(具体数据如下表所示).
t(天)
2
8
16
24
Q(斤)
38
32
24
16
(1)根据提供的图象和表格，写出每斤水果的收入p(元)与时间t(天)所满足的函数关系式及日销售量Q(斤)与时间t(天)的一次函数关系式；
(2)写出销售水果的日收入y(元)与t的函数关系式，并求这30天中第几天的日收入最大？最大为多少元？
解 (1)依题意可设
p＝
当0
令Q＝mt＋n，由表中数据得m＝－1，n＝40，所以Q＝－t＋40(0
y＝
当0
当20
1.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )
答案 A
解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
2.(2022·绵阳诊断)某数学小组进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1 000万元利润目标，准备制订激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合公司要求的是(参考数据：1.0021 000≈7.37，lg 7≈0.845)( )
A.y＝0.25x B.y＝1.002x
C.y＝log7x＋1 D.y＝tan
答案 C
解析 选项A，B，C均满足条件①，但当x>20时，A选项不满足条件②，所以A不符合题意；
当x＝1 000时，有y＝1.0021 000≈7.37>5，不符合条件②，所以B不符合题意；
而对于选项C，当10
A.最大长度为8米
B.最大长度为4米
C.最小长度为8米
D.最小长度为4米
答案 D
解析 设BC＝a米，CD＝b米，则ab＝4，
所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为
2a＋b＝2a＋≥2＝4，
当且仅当2a＝，即a＝时取等号.
故篱笆最小长度为4米.
4.(2022·兰州质检)设光线通过一块玻璃，光线强度损失10%，如果光线原来的强度为k(k>0)，通过x块这样的玻璃以后光线的强度为y，则y＝k·0.9x(x∈N*)，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃的块数为(参考数据：
lg 3≈0.477)( )
A.9 B.10 C.11 D.12
答案 C
解析 由题意得k·0.9x<(k>0)，化得0.9x<，两边同时取常用对数，可得xlg 0.9<
lg ，因为lg 0.9<0，所以x>＝≈≈10.37，则至少通过11块玻璃.
5.(2021·济南检测)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的( )
A.1倍 B.10倍
C.100倍 D.1 000倍
答案 B
解析 设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为x1 W/m2，x2 W/m2，
根据题意得d(x1)＝9lg＝63，
解得x1＝10－6，
d(x2)＝9lg＝54，
解得x2＝10－7，所以＝10，
因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.
6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )
A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B.结余最高的月份是7月
C.1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同
D.前6个月的平均收入为40万元
答案 D
解析 由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；
由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；
由题图可知，1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同，故C正确；
由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误.
7.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋17，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为________米.
答案 28
解析 因为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋17，
所以烟花冲击后在爆裂的最佳时刻为
t＝－＝1.5，
此时h(1.5)＝－4.9×1.52＋14.7×1.5＋17≈28.
8.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.
答案 (1)130 (2)15
解析 (1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元).
(2)由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，所以x≤15.即x的最大值为15.
9.(2021·武汉模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1 000元选择合适方式存满5年，可以多获利息________元.
(参考数据：1.022 55≈1.118，1.040 15≈1.217)
答案 99
解析 将1 000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋4.01%)5≈1 217(元)，故共得利息1 217－
1 000＝217(元).
将1 000元存入银行，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋2.25%)5≈1 118(元)，即获利息1 118－1 000＝118(元).故可以多获利息217－118＝99(元).
10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，
故有a＋blog3＝0，即a＋b＝0.
当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，
故有a＋blog3＝1，即a＋2b＝1.
解方程组得
即a，b的值分别为－1和1.
(2)由(1)知，v＝－1＋log3.
所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，
故－1＋log3≥2，解得Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s时，其耗氧量至少要270个单位.
11.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).
(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；
(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？
解 (1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，
所以f(128)＝4×－6＋×112＋2＝88(万元).
因此，此时公司的总收益为88万元.
(2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，
依题意得
解之得80≤x≤160，
当80≤x<120，即120<240－x≤160时，
f(x)＝4－6＋32
＝4＋26<26＋16.
当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时，
f(x)＝4－6＋(240－x)＋2
＝－x＋4＋56.
令t＝，则t∈[2，4]，
所以y＝－t2＋4t＋56
＝－(t－8)2＋88.
当t＝8，即x＝128时，y取最大值88.
因为88－(26＋16)＝2×(31－8)>0，故f(x)的最大值为88.
因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元.
12.(2022·保定质检)分子间作用力是只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下，两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U，其计算式子为U＝kcq2·(＋－－)，其中，kc为静电常量，x1，x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知R＋x1－x2＝R，R＋x1＝R，R－x2＝R，且(1＋x)－1≈1－x＋x2，则U的近似值为( )
A. B.－
C. D.－
答案 D
解析 U＝kcq2(＋－－)
＝kcq2[＋－－]
≈·[1＋1－＋－1＋－－1－－]
＝－.故选D.
13.天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，它就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1).其中星等为mi的天体的亮度为Ei(i＝1，2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)( )
A.1.24 B.1.25 C.1.26 D.1.27
答案 C
解析 由题意，得1－1.25＝2.5(lg E2－lg E1)，
∴lg ＝，解得r＝＝10.
又10x≈1＋2.3x＋2.7x2(|x|较小)，
所以r≈1＋2.3×＋2.7×＝1.257.
故与r最接近的是1.26.
14.已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数.现有以下几种说法：
①PA≥1；
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；
③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5
答案 ③
解析 当nA＝1时，PA＝0，故①错误；
若PA＝1，则nA＝10；
若PA＝2，则nA＝100，故②错误；
设B菌的个数为nB＝5×104，∴nA＝＝2×105，
则PA＝lg nA＝5＋lg 2.
又lg 2≈0.3，∴PA≈5.3，因此5
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