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2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练15 利用导数研究函数的单调性
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这是一份2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练15 利用导数研究函数的单调性，共7页。
课时规范练15 利用导数研究函数的单调性
基础巩固组
1.若f(x)=-12x2+mln x在12,+∞上单调递减,则m的取值范围是( )
A.-∞,14 B.-∞,14
C.12,+∞ D.12,+∞
2. 已知函数f(x)的导函数为f'(x),且函数f(x)的图象如图所示,则函数y=xf'(x)的图象可能是( )
3.已知函数f(x)=2x-log2x,则不等式f(x)>0的解集是( )
A.(0,1) B.(-∞,2)
C.(2,+∞) D.(0,2)
4.(2023江西模拟预测)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足xf'(x)
C.b>a>c D.a>c>b
5.(2022河南重点高中月考)已知函数f(x)=2x2-ln x在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是( )
A.12,32 B.1,32
C.12,32 D.1,32
6.设函数f(x)=12x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是 .
7.已知函数f(x)=x(2x-2-x),则不等式2f(x)-3<0的解集为 .
8. 已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf'(x)≥0的解集为 .
9.已知函数f(x)=x+1x-m1x+lnx(m∈R).当m>1时,讨论f(x)的单调性.
综合提升组
10.定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断,其导函数为f'(x),对任意正实数x恒有xf'(x)>2f(-x),若g(x)=x2f(x),则不等式g(log3(x2-1))+g(-1)<0的解集是( )
A.(0,2)
B.(-2,2)
C.(-3,2)
D.(-2,-1)∪(1,2)
11.已知f(x)是定义在R上的可导函数,f'(x)是f(x)的导函数,若f(x)+1+x[f'(x)+1]=ex,则f(x)在(0,+∞)上( )
A.恒为正值
B.恒为负值
C.单调递增
D.单调递减
12.已知函数f(x)=xex+xex,且f(1+a)+f(-a2+a+2)>0,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.(-1,3)
C.(-∞,-3)∪(1,+∞)
D.(-3,1)
13.已知f(x)是奇函数,当x>0时,f'(x)-f(x)>1,f(1)=3,则下列结论中不正确的是( )
A.f(4)>ef(3)
B.f(4)>4e3-1
C.f(-4)>e2f(-2)
D.f(-4)<-4e2-1
14.若0ln x2-ln x1;④ex1−ex2
创新应用组
15.已知函数f(x)=ex-1-axln x+(a-1)·x(x>0).
(1)若a=0,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)为定义域内的增函数,求实数a的取值范围.
参考答案
课时规范练15 利用导数
研究函数的单调性
1.B 由题意可得f'(x)=-x+mx≤0对于x∈12,+∞恒成立,即m≤x2对于x∈12,+∞恒成立,设y=x2,因为y=x2在12,+∞上单调递增,所以x2∈14,+∞,即x2>14,所以m≤14,m的取值范围是-∞,14.
2.C 由图可知函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,则当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,且f'(-1)=0.对于函数y=xf'(x),当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)>0,当x∈(-1,0)时,xf'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,xf'(x)>0,且当x=-1时,xf'(x)=0,当x=0时,xf'(x)=0,显然选项C符合.
3.D f(x)=2x-log2x的定义域为(0,+∞),由f'(x)=-2x2−1xln2<0,可知f(x)=2x-log2x在(0,+∞)上单调递减,又因为f(2)=22-log22=0,所以不等式f(x)>0的解集是(0,2).
4.A 设g(x)=f(x)x,则g'(x)=xf'(x)-f(x)x2<0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递减.∵3>ln 4>1,∴g(3)b>c.故选A.
5.D 函数f(x)的定义域为(0,+∞),由ƒ'(x)=4x-1x=0,得x=12,∵f(x)在(k-1,k+1)上不是单调函数,∴f(x)在(k-1,k+1)内存在极值点,即12∈(k-1,k+1),∴k-1<120且a+1≤3,解得1
在定义域R上都有f(-x)=(-x)(2-x-2x)=x(2x-2-x)=f(x),则函数f(x)为偶函数.
函数f(x)=x(2x-2-x),其导数f'(x)=2x-2-x+xln 2(2x+2-x),
当x>0时,f'(x)>0,则f(x)单调递增;又因为f(1)=2-12=32,
由2f(x)-3<0可得f(x)
8.0,12∪[2,+∞) 由f(x)图象特征可得,在-∞,12和[2,+∞)上f'(x)≥0,在12,2内f'(x)<0,所以xf'(x)≥0,即x≥0,f'(x)≥0或x≤0,f'(x)≤0,解得0≤x≤12或x≥2,
所以xf'(x)≥0的解集为0,12∪[2,+∞).
9.解函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f'(x)=1-1x2+mx2−mx=1+m-1x2−mx=x2-mx+m-1x2=(x-1)[x-(m-1)]x2,
因为m>1,所以m-1>0.
①当00可得x>1或0
②当m-1=1,即m=2时,f'(x)≥0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;
③当m-1>1,即m>2时,由f'(x)>0得x>m-1或0
综上可知,当1
当m>2时,f(x)在(0,1),(m-1,+∞)上单调递增,在(1,m-1)内单调递减.
10.D 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以当x∈R时,有g(-x)=x2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以g(x)为奇函数.且对于任意正实数x,有xf'(x)>2f(-x)=-2f(x),即xf'(x)+2f(x)>0,因为g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0,
所以g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上单调递增,又因为g(x)为奇函数,
所以g(x)为R上的增函数,
由g(log3(x2-1))+g(-1)<0得g(log3(x2-1))<-g(-1)=g(1),
所以log3(x2-1)<1,即0
12.B 因为f(x)定义域为R,f(-x)=-xe-x+-xe-x=-xex+xex=-f(x),所以f(x)是奇函数,f'(x)=ex+xex+1-xex=e2x(1+x)+1-xex,令g(x)=e2x(1+x)+1-x,则g'(x)=e2x(3+2x)-1,令h(x)=e2x(3+2x)-1,则h'(x)=e2x(8+4x),当x≥0时,h'(x)≥0,所以h(x)是增函数,h(x)≥h(0)=2>0,即g'(x)>0,所以当x≥0时g(x)单调递增,g(x)≥g(0)=2>0,所以f'(x)>0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,因为f(x)是奇函数,所以f(x)在R上是增函数.由f(1+a)+f(-a2+a+2)>0,可得f(1+a)>-f(-a2+a+2)=f(a2-a-2),所以1+a>a2-a-2,解得-14e3-1,即-f(-4)>4e3-1,变形可得f(-4)<1-4e3,而1-4e3-(-4e2-1)=2-4e3+4e2=2-4e2(e-1)<0,则有f(-4)<1-4e3<-4e2-1,D正确.
14.①④ 构造函数f(x)=exx(0
所以f(x)在(0,1)内单调递减.
因为0x1ex2,所以选项①正确,选项②错误.
构造函数h(x)=ex-ln x(0
所以∃x0∈(0,1),使h'(x0)=0,所以h(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,1)内单调递增,
所以无法判断③选项的正确性.
构造函数g(x)=ex+ln x(0
当x>1时,f'(x)=ex-1-1>0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增;
当0
(2)由题知f'(x)=ex-1-a(1+ln x)+(a-1)≥0在(0,+∞)上恒成立,即ex-1-aln x-1≥0在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=ex-1-aln x-1,g'(x)=ex-1-ax,
①当a≤0时,g'(x)=ex-1-ax>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
又因为g(1)=0,所以当0
所以g'(x)在(0,+∞)上单调递增,而g'(1)=1-a,
(ⅰ)当00,
所以∃x0∈(a,1),使得g'(x0)=0,且当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,
因此当x∈(x0,1)时g'(x)>0,此时g(x)
所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,
所以g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故g(x)≥g(1)=0,符合题意;
(ⅲ)当a>1时,g'(a)=ea-1-1>0,g'(1)=1-a<0,
所以∃x1∈(1,a),使得g'(x1)=0,且当x∈(0,x1)时,g'(x)<0,当x∈(x1,+∞)时,g'(x)>0,
因此当x∈(1,x1)时,g'(x)<0,此时g(x)
课时规范练15 利用导数研究函数的单调性
基础巩固组
1.若f(x)=-12x2+mln x在12,+∞上单调递减,则m的取值范围是( )
A.-∞,14 B.-∞,14
C.12,+∞ D.12,+∞
2. 已知函数f(x)的导函数为f'(x),且函数f(x)的图象如图所示,则函数y=xf'(x)的图象可能是( )
3.已知函数f(x)=2x-log2x,则不等式f(x)>0的解集是( )
A.(0,1) B.(-∞,2)
C.(2,+∞) D.(0,2)
4.(2023江西模拟预测)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足xf'(x)
C.b>a>c D.a>c>b
5.(2022河南重点高中月考)已知函数f(x)=2x2-ln x在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是( )
A.12,32 B.1,32
C.12,32 D.1,32
6.设函数f(x)=12x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是 .
7.已知函数f(x)=x(2x-2-x),则不等式2f(x)-3<0的解集为 .
8. 已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf'(x)≥0的解集为 .
9.已知函数f(x)=x+1x-m1x+lnx(m∈R).当m>1时,讨论f(x)的单调性.
综合提升组
10.定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断,其导函数为f'(x),对任意正实数x恒有xf'(x)>2f(-x),若g(x)=x2f(x),则不等式g(log3(x2-1))+g(-1)<0的解集是( )
A.(0,2)
B.(-2,2)
C.(-3,2)
D.(-2,-1)∪(1,2)
11.已知f(x)是定义在R上的可导函数,f'(x)是f(x)的导函数,若f(x)+1+x[f'(x)+1]=ex,则f(x)在(0,+∞)上( )
A.恒为正值
B.恒为负值
C.单调递增
D.单调递减
12.已知函数f(x)=xex+xex,且f(1+a)+f(-a2+a+2)>0,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.(-1,3)
C.(-∞,-3)∪(1,+∞)
D.(-3,1)
13.已知f(x)是奇函数,当x>0时,f'(x)-f(x)>1,f(1)=3,则下列结论中不正确的是( )
A.f(4)>ef(3)
B.f(4)>4e3-1
C.f(-4)>e2f(-2)
D.f(-4)<-4e2-1
14.若0
创新应用组
15.已知函数f(x)=ex-1-axln x+(a-1)·x(x>0).
(1)若a=0,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)为定义域内的增函数,求实数a的取值范围.
参考答案
课时规范练15 利用导数
研究函数的单调性
1.B 由题意可得f'(x)=-x+mx≤0对于x∈12,+∞恒成立,即m≤x2对于x∈12,+∞恒成立,设y=x2,因为y=x2在12,+∞上单调递增,所以x2∈14,+∞,即x2>14,所以m≤14,m的取值范围是-∞,14.
2.C 由图可知函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,则当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,且f'(-1)=0.对于函数y=xf'(x),当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)>0,当x∈(-1,0)时,xf'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,xf'(x)>0,且当x=-1时,xf'(x)=0,当x=0时,xf'(x)=0,显然选项C符合.
3.D f(x)=2x-log2x的定义域为(0,+∞),由f'(x)=-2x2−1xln2<0,可知f(x)=2x-log2x在(0,+∞)上单调递减,又因为f(2)=22-log22=0,所以不等式f(x)>0的解集是(0,2).
4.A 设g(x)=f(x)x,则g'(x)=xf'(x)-f(x)x2<0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递减.∵3>ln 4>1,∴g(3)
5.D 函数f(x)的定义域为(0,+∞),由ƒ'(x)=4x-1x=0,得x=12,∵f(x)在(k-1,k+1)上不是单调函数,∴f(x)在(k-1,k+1)内存在极值点,即12∈(k-1,k+1),∴k-1<12
在定义域R上都有f(-x)=(-x)(2-x-2x)=x(2x-2-x)=f(x),则函数f(x)为偶函数.
函数f(x)=x(2x-2-x),其导数f'(x)=2x-2-x+xln 2(2x+2-x),
当x>0时,f'(x)>0,则f(x)单调递增;又因为f(1)=2-12=32,
由2f(x)-3<0可得f(x)
8.0,12∪[2,+∞) 由f(x)图象特征可得,在-∞,12和[2,+∞)上f'(x)≥0,在12,2内f'(x)<0,所以xf'(x)≥0,即x≥0,f'(x)≥0或x≤0,f'(x)≤0,解得0≤x≤12或x≥2,
所以xf'(x)≥0的解集为0,12∪[2,+∞).
9.解函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f'(x)=1-1x2+mx2−mx=1+m-1x2−mx=x2-mx+m-1x2=(x-1)[x-(m-1)]x2,
因为m>1,所以m-1>0.
①当0
②当m-1=1,即m=2时,f'(x)≥0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;
③当m-1>1,即m>2时,由f'(x)>0得x>m-1或0
综上可知,当1
当m>2时,f(x)在(0,1),(m-1,+∞)上单调递增,在(1,m-1)内单调递减.
10.D 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以当x∈R时,有g(-x)=x2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以g(x)为奇函数.且对于任意正实数x,有xf'(x)>2f(-x)=-2f(x),即xf'(x)+2f(x)>0,因为g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0,
所以g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上单调递增,又因为g(x)为奇函数,
所以g(x)为R上的增函数,
由g(log3(x2-1))+g(-1)<0得g(log3(x2-1))<-g(-1)=g(1),
所以log3(x2-1)<1,即0
12.B 因为f(x)定义域为R,f(-x)=-xe-x+-xe-x=-xex+xex=-f(x),所以f(x)是奇函数,f'(x)=ex+xex+1-xex=e2x(1+x)+1-xex,令g(x)=e2x(1+x)+1-x,则g'(x)=e2x(3+2x)-1,令h(x)=e2x(3+2x)-1,则h'(x)=e2x(8+4x),当x≥0时,h'(x)≥0,所以h(x)是增函数,h(x)≥h(0)=2>0,即g'(x)>0,所以当x≥0时g(x)单调递增,g(x)≥g(0)=2>0,所以f'(x)>0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,因为f(x)是奇函数,所以f(x)在R上是增函数.由f(1+a)+f(-a2+a+2)>0,可得f(1+a)>-f(-a2+a+2)=f(a2-a-2),所以1+a>a2-a-2,解得-1
14.①④ 构造函数f(x)=exx(0
所以f(x)在(0,1)内单调递减.
因为0
构造函数h(x)=ex-ln x(0
所以∃x0∈(0,1),使h'(x0)=0,所以h(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,1)内单调递增,
所以无法判断③选项的正确性.
构造函数g(x)=ex+ln x(0
当x>1时,f'(x)=ex-1-1>0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增;
当0
(2)由题知f'(x)=ex-1-a(1+ln x)+(a-1)≥0在(0,+∞)上恒成立,即ex-1-aln x-1≥0在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=ex-1-aln x-1,g'(x)=ex-1-ax,
①当a≤0时,g'(x)=ex-1-ax>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
又因为g(1)=0,所以当0
所以g'(x)在(0,+∞)上单调递增,而g'(1)=1-a,
(ⅰ)当0
所以∃x0∈(a,1),使得g'(x0)=0,且当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,
因此当x∈(x0,1)时g'(x)>0,此时g(x)
所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,
所以g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故g(x)≥g(1)=0,符合题意;
(ⅲ)当a>1时,g'(a)=ea-1-1>0,g'(1)=1-a<0,
所以∃x1∈(1,a),使得g'(x1)=0,且当x∈(0,x1)时,g'(x)<0,当x∈(x1,+∞)时,g'(x)>0,
因此当x∈(1,x1)时,g'(x)<0,此时g(x)
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