湖北省武汉市江夏实验高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.在数列{an}中，Sn＝2n2－3n(n∈N*)，则a4等于(　　)

A. 11 B. 15

C. 17 D. 20

【答案】A

【解析】

【分析】

利用求得，由此求得.

详解】当时，，

当时，，

当时，上式也满足，故.

所以.

故选：A

点睛】本小题主要考查已知求，属于基础题.

2.已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，b＝，c＝，B＝，那么a等于 (　　)

A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或4

【答案】C

【解析】

中，，，

由余弦定理得：即

解得或（舍去）

故选

3.已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是(    )

A. c(b－a)＜0 B. ab＞ac C. cb2＜ab2 D. ac(a－c)＞0

【答案】B

【解析】

【分析】

根据不等式的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】由于且，所以，且.

对于A选项，由于，所以，故A选项错误.

对于B选项，由于，所以，故B选项正确.

对于C选项，由于可能为零，此时不成立，故C选项错误.

对于D选项，由于，所以，故D选项错误.

故选：B

【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.

4.不等式(1＋x)(1－|x|)＞0的解集是(    )

A.  B.    

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.

【详解】当时，不等式化为，解得；

当时，不等式化为成立；

当时，不等式化为，解得且；

综上所述，不等式的解集为且.

故选：B

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.

5.在△ABC中,角C为90°,=(k,1).=(2,3)则k值为(    )

A. 5 B. -5 C.  D. -

【答案】A

【解析】

：∵.
则

故选A．

6.如果x＞0，y＞0，且，则xy有(    )

A. 最大值64 B. 最小值64 C. 最大值 D. 最小值

【答案】B

【解析】

分析】

利用基本不等式，求得的最值.

【详解】依题意，当且仅当时等号成立，所以.所以的最小值为.

故选：B

【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.

7.已知等差数列的前项和为，若，，则的值为（　　）

A.  B.  C.  D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

利用前项和的性质可求的值.

【详解】设，则

，故，故，

，故选C.

【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：

（1）若，则；

（2） 且 ；

（3）且为等差数列；

（4） 为等差数列.

8.当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

当x＞0时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立⇔m＜（x）min，利用基本不等式可求得（x）min＝6，从而可得实数m的取值范围．

【详解】当x＞0时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立⇔当x＞0时，不等式m＜x恒成立⇔m＜（x）min，

当x＞0时，x26（当且仅当x＝3时取“＝”），

因此（x）min＝6，

所以m＜6，

故选A．

【点睛】本题考查函数恒成立问题，分离参数m是关键，考查等价转化思想与基本不等式的应用，属于中档题．

9.在中，三个内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，则等于（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

∵，

∴，

代入已知等式得：即，

∵ab≠0，∴，

∵，

∴解得：cosC=−1(不合题意,舍去)，cosC=0，

∴sinC=1，

则.

故选C.

10.与1的大小关系是(　　)

A. ＞1 B. ＝1

C. ＜1 D. 不能确定

【答案】C

【解析】

【详解】∵ ，

∴选C.

点睛：本题是均值不等式的灵活运用问题，属于难题.解决此类问题，需要观察条件和结论，结合二者构造新的式子，对待求式子进行变形，方能形成使用均值不等式的条件，本题注意到对数的运算法则，所以把条件构造为运用均值不等式的变形形式，从而解决问题.

11.现有含盐7%的食盐水200克，生产需要含盐在5%以上且6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水克，则的范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】原来的食盐水含食盐克，依题意，

由于，所以，

即，

即，

解得.

故选：B

【点睛】本小题主要考查不等式的解法，属于基础题.

12.已知不等式x2－ax＋a－2＞0的解集为(－∞，x1)∪ (x2，＋∞)，其中x1＜0＜x2，则x1＋x2＋的最大值为（    ）　　

A.  B. －

C. 2 D. 0

【答案】D

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解集以及根与系数关系，结合基本不等式，求得所求表达式的最大值.

【详解】由于不等式的解集为，

所以，

且.

由于，所以，则.

所以

，

当且仅当，即时，等号成立.

所以的最大值为.

故选：D

【点睛】本小题主要考查根与系数关系，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13.已知不等式的解集为或，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

先化简分式不等式，再等价于一元二次不等式，结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，转化为对应方程的根，即可求出的值.

【详解】由，得，

等价于，

不等式的解集为或，

和为方程的两个实数根，

，

解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查了分式不等式的解法以及一元二次不等式的解法，考查了转化思想，属于基础题.

14.已知是等差数列，且，，则________

【答案】

【解析】

【分析】

将已知条件转化为的形式，由此求得.

【详解】依题意，解得.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，属于基础题.

15.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长______．

【答案】

【解析】

【分析】

由已知条件首先在△ABD中应用余弦定理可求得BD长度，再在△BCD中由正弦定理求得BC边长度.

【详解】试题解析：在△ABD中，由余弦定理得BD=16，

在△BCD中，由正弦定理得BC=

16.“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列第20项为________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据大衍数列前项找规律，由此求得数列第项.

【详解】依题意，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查数列中的归纳推理，属于基础题.

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.在△中，角对边分别为，且，．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若， ，求边的长和△的面积.

【答案】（I）；（II） ，面积为.

【解析】

【分析】

（I）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的值.

（II）利用余弦定理求得，即可求得三角形的面积.

【详解】（I）由于，由正弦定理得，由于，所以为锐角，所以

（II）由余弦定理得，所以.

由三角形的面积公式得.

【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.

18.已知等差数列的前n项和为，且

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和Tn.

【答案】(1);(2)

【解析】

【分析】

(1)根据等差数列的性质以及可以求出首项和公差，进而求得数列的通项公式；（2）结合（1）可得是一个等比数列，利用等比数列求和公式可以求得Tn.

【详解】(1)设公差为d，则

解得：

∴

所以数列的通项公式为;

(2)由(1)得

∴

考点：等差数列，等比数列，通项公式，前n项和公式.

19.已知.

(1)当时,解不等式；

(2)若,解关于的不等式.

【答案】（1）；（2）当时,原不等式的解集为；当时,原不等式的解集为；当时,原不等式的解集为.

【解析】

【分析】

（1）当时,解出即可；

（2）因式分解得，对进行分类讨论求解.

【详解】解: (1)当时,,

即,解得.故原不等式的解集为.

(2)由得,

当时,有,所以原不等式的解集为；

当时,有,所以原不等式的解集为；

当时,原不等式的解集为.

综上所述：当时,原不等式的解集为；

当时,原不等式的解集为；

当时,原不等式的解集为.

【点睛】此题考查解一元二次不等式和含有一个参数的一元二次不等式，关键在于进行因式分解求出方程的根，并准确进行分类讨论求解不等式.

20.（1）求证：

（2）已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.求证：.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用两边平方的方法证得不等式成立.

（2）利用基本不等式证得等式成立.

【详解】（1）由于，，

，所以，所以.

（2）由于，所以

，

当且仅当时等号成立.

【点睛】本小题主要考查不等式的证明，考查利用基本不等式证明不等式，属于基础题.

21.四边形如图所示，已知，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）记与的面积分别是与，时，求的最大值.

【答案】（1）;（2）14.

【解析】

试题分析: (1)在中,分别用余弦定理,列出等式,得出 的值; (2)分别求出 的表达式,利用(1)的结果,得到是关于的二次函数,利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,求出 的范围,由 的范围求出的范围,再求出的最大值.

试题解析:（1）在中，，

在中，，

所以.

（2）依题意，，

所以

，

因为，所以.

解得，所以，当时取等号，即的最大值为14.

22.已知数列的前项和满足 .

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，

（I）求数列的前项和；

（II）求的最小值.

【答案】（1）；（2）（I）；（II）

【解析】

试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式得结果，（2）（I）根据错位相减法求数列的前项和；（II）先化简，再根据数列单调性确定其最小值取法.

试题解析：（1）由题知得,

当时,

所以,

得,即,

是以为首项,2为公比的等比数列,则.

（2）

（I），

∴Tn=1+221+322+…(n-1) 2n-2+n2n-1，①

∴2Tn=    2+222+323+…   +(n-1)2n-1+n2n，②

由①②得Tn=1+2+22+23+24+…+2n-1-n2n

．∴．

（II）

当且仅当 时即时取等号，又因为，不合题意，当时，，当时，，所以当 取到最小值

点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.