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重庆市渝中区巴蜀中学校2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题
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重庆市西南大学附属中学2022—2023学年度九年级（下）3月月考
一、选择题（每小题4分，共48分）
1. 如图所示四个几何体中，棱锥是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】四棱锥的定义：四棱锥是指由四个三角形和一个四边形构成的空间封闭图形，根据定义识别并选出正确的选项．
【详解】解：选项是四棱锥；
选项是圆锥；
选项是圆柱；
选项是三棱柱．
故选．
【点睛】本题考查了立体几何的识别，掌握四棱锥的定义是解题的关键．
2. 中国科学技术大学完成的“祖冲之二号”和“九章二号”量子计算优越性实验入选2021年国际物理学十大进展．人们发现全球目前最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，“祖冲之二号”大约用时仅为0.00000023秒，将数字0.00000023用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【详解】解：A、∵，根据不等式两边同时减去一个数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意；
B、∵，根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变可知：，故选项成立，符合题意；
C、∵，当时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意；
D、∵，根据不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 不可能事件发生的概率为0，而随机事件发生的概率为；
B. 某校370名学生中肯定存在生日相同的同学；
C. 任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数的概率是；
D. 在疫情防控期间，有一天我市筛查出了一名新冠患者，小明当天拨错了电话号码，发现接电话的人正是这名患者，这是一个不可能事件．
【答案】B
【解析】
【分析】分别利用随机事件的定义以及利用频率估计概率的方法分析求出即可．
【详解】解：A、不可能事件发生的概率为0，而随机事件发生的概率为大于等于0、小于1，原说法错误，本选项不符合题意；
B、某校370名学生中肯定存在生日相同的同学，正确，本选项符合题意；
C、任意掷一枚均匀骰子，掷出的点数是奇数的概率是，原说法错误，本选项不符合题意；
D、在疫情防控期间，有一天我市筛查出了一名新冠患者，小明当天拨错了电话号码，发现接电话的人正是这名患者，这是一个随机事件，原说法错误，本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了随机事件以及确定时间和利用频率估计概率等知识，正确把握相关定义是解题关键．
5. 若自然数满足，则的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据，得出的取值范围，可得，即可确定n的值．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴即，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，运用“夹逼法”是解决本题的关键．
6. 根据如图所示的程序计算，若输入的值是1时，则输出的值是5．若输入的值是2，则输出值为（ ）
A. 3 B. 4 C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用已知代入得出的值，进而求出输入2时，得出的值．
【详解】∵当输入的值是1，输出的值是5，
∴，
解得：，
故输入的值是2时，，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数值，正确得出的值是解题的关键．
7. 东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，东东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家，东东和爸爸在整个运动过程中离家的距离（米），（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A. 两人前行过程中的速度为180米/分 B. m的值是15，n的值是2700
C. 爸爸返回时的速度为90米/分 D. 运动19分钟时，两人相距810米
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象可求两人共同的速度，再根据“路程时间速度”可求出爸爸返回的速度，根据“速度时间路程”求出两人之间的距离即可．
【详解】解：∵（米/分），
∴A选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴B选项正确，不符合题意；
∵（米/分），
∴C选项正确，不符合题意；
∵（米），
∴D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，理解图象的含义，熟练掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
8. 如图，每一幅图中有若干个正方形，第①幅图中有1个正方形，第②幅图中有3个正方形，第③幅图中有5个正方形…，那么第⑨幅图中正方形的个数是（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】观察图形发现每增加一个大正方形所有正方形的个数增加2，据此规律解题即可．
【详解】解：观察图形发现：
第①幅图中有1个正方形；
第②幅图中有3个正方形；
第③幅图中有5个正方形；
…
第n个图中有2n−1个正方形，
∴第⑨幅图中正方形的个数是2×9−1=17，
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并发现图形变化的规律．
9. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数等于（ ）
A. 40° B. 35° C. 30° D. 20°
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠BOC=100°，进而求出∠AOC=140°再，利用等腰三角形与内角和定理得到∠OAC=（180°-∠AOC）．
详解】解：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
又∠OBC=40°，
∴∠OBC=∠OCB=40°，
∴∠BOC=180°-2×40°=100°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=40°+100°=140°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∴∠OAC=．
故选D．
【点睛】考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和，角的和差运算，掌握圆的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和，角的和差运算是解题关键．
10. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式组的解集，确定，根据分式方程的负整数解，确定，根据分式方程的增根，确定 ，计算即可．
【详解】∵ ，
解①得解集为，
解②得解集为，
∵ 不等式组的解集为，
∴，
解得，
∵的解是，且，的解是负整数，
∴且，
∴且，
故或，
故满足条件的整数的值之和是，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键．
11. 如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，H为的中点，连接和，交于点G，则的长为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由菱形的性质得，，，再由三角形中位线定理得，，然后证，得，进而由勾股定理即可得出结论．
【详解】解：∵菱形的边长为4，，
∴，，，
∵F为的中点，H为的中点，
∴，是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
12. 按顺序排列的若干个数：，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于与它前面的那个数的差的倒数，即：，，……，下列说法正确的个数有（ ）
①若，则
②若，则
③若，则
④当时，代数式的值恒为负
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】①将代入式子依次计算即可；②从开始依次计算出，即可找到周期性规律；然后利用规律计算即可；③利用规律找到之间的规律，将分别用表示，解方程即可；④利用规律将化简得二次函数，利用二次函数求最值即可．
【详解】解：①将代入得：，
然后依次求得：
故①正确
② 由①可归纳得出规律：周期性为3；将可以求得：，
则：每个周期的和为，
中共个数据，
周期个数为：个
则：
故②错误
③由规律得：，，
当代入可得：，
将三个数值代入中得
故③正确
④将分别用表示得： ，，
则，，
化简得：上式
开口向下，最大值为，
的对称轴为，
，所以或时，有最大值0（取不到）
的值恒为负
故④正确
故选C
【点睛】本题考查了归纳概括能力，相关知识点有：分式的化简、二次根式的化简、二次函数求最值、有理数的运算等，归纳得出周期性规律是解题关键．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，负整指数幂的定义以及二次根式的加减进行计算即可
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，负整指数幂，二次根式的加减，熟练掌握相关知识是解题的关键
14. 盒子中有3白1黑四个除颜色外其余完全相同的球，从中任取2个球，则取出的两个球均为白球的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出表格得出所有等可能的情况数，找出取出的两个球均为白球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意，列出表格如下：
白1
白2
白3
黑
白1
白2、白1
白3、白1
黑、白1
白2
白1、白2
白3、白2
黑、白2
白3
白1、白3
白2、白3
黑、白3
黑
白1、黑
白2、黑
白3、黑
共有12种等可能的情况数，其中取出的两个球均为白球的有6种，
则取出的两个球均为白球的概率为．
故答案为：
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率，解题关键是熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比，注意：列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
15. 如图，矩形中，以为圆心，的长为半径画圆，交于点，再以为圆心，的长为半径画圆，恰好经过点．已知，，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】矩形中，可知，，如图所示（见详解），连接，可求出以为圆心，的长为扇形的面积，三角形的面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
以为圆心，的长为半径画圆，以为圆心，的长为半径画圆，
∴的半径，的半径，
∵矩形中，
∴，，，
∴，
∴，，，
∵
∴，，
，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆的知识，矩形的性质，扇形的面积的综合，掌握圆的知识，矩形的性质是解题的关键．
16. 材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为3，则称这个三位数为“尚美数”，例如：234，因为，所以234是“尚美数”；材料二：若(，，，且a，b，c均为整数)，记．已知，是两个不同的“尚美数(，，且y，z，m，n均为整数)，且能被13整除，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】，是两个不同的“尚美数，可得方程组；再根据列代数式，最后根据能被13整除进行分类讨论，即可得答案．
【详解】解：∵，是两个不同的“尚美数，
得，即
．
，，
．
能被整除，
，，其中．
①当时，即，
当时，；时，不符，
，，．
由，得，
当时，；，
由，得．
，是两个不同的尚美数，
舍去
②当时，即，
，
，
，，．
当，，，不符，
当，，，，
当，，，，
③当时，即时，
，
．
，
．
当，，，不合题意．
当，，，不合题意．
综上所述，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的运用、二元一次方程组的应用，新定义、数的整除、实数的运算等知识，分类讨论是解题的关键
三、解答题（每小题8分，共16分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据乘法公式以及单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可；
（2）根据分式的乘除法运算法则进行化简计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】此题考查了整式的乘法、乘法公式、分式的乘除运算等知识，熟练掌握乘法公式、整式的乘法运算法则、分式的乘除运算法则是解答此题的关键．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交对角线BD于点E．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的平分线，交对角线BD于点F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证：BE=DF．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，①__________，
∴∠ABE=∠CDF
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB
∴∠BAE=∠BAD，②___________，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴③_______________
∴∠BAE=∠DCF
在△ABE与△CDF中
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴BE=DF
【答案】（1）见解析 （2），，，
【解析】
【分析】（1）在CB，CD上，分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M，点N为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线CP交BD于点F，CF即为所求；
（2）根据平行四边形的性质得，根据平行线的性质得∠ABE=∠CDF，根据角平分线得，，根据平行四边形的性质得，即∠BAE=∠DCF，根据ASA即可得△ABE≌△CDF，即BE=DF．
【小问1详解】
解：如图，在CB，CD上，分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M，点N为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线CP交BD于点F，CF即为所求．
【小问2详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
四、解答题二
19. 为迎接中招体考，巴渝学校对九年级400名学生进行了一次体育测试，并随机抽取甲、乙两个班各50名学生的测试成绩（成绩均为整数，满分50分）进行整理、描述和分析．
下面给出了部分信息．（用x表示成绩，数据分成5组：A：，B：，C：，D：，E：）
甲班成绩扇形统计图 乙班成绩频数分布直方图
乙班成绩在D组的具体分数是：42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 43 44 45 45
甲，乙两班成绩统计表：
班级
甲班
乙班
平均分
44.1
44.1
中位数
44.5
n
众数
45
42
方差
7.7
17.4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）n= ；
（2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班谁更优秀，请说明理由（一条即可）；
（3）假设巴渝学校九年级学生全部参加此次模拟测试，成绩达到45分以上为优秀，请估计本次测试成绩优秀的学生人数．
【答案】（1）42； （2）答案见详解；
（3）188人．
【解析】
【分析】（1）根据中位数意义和计算方法求解即可；
（2）在平均数相等的条件下，可以比较中位数（或众数），哪个班级成绩的中位数（或众数）大说明哪个班级更好一些；
（3）先计算甲、乙两个班的整体优秀率，然后根据样本估计总体的方法，估计总体的优秀率，进而计算出总体的优秀人数．
【小问1详解】
解：乙班的成绩从小到大排列，处在第25、26的两个数都是42，因此中位数是42，
；
故答案为：42；
【小问2详解】
解：甲、乙两班的平均成绩都是，甲班的中位数是，乙班的中位数是，
，
甲班的成绩更优秀；
（或者：比较众数，甲班成绩的众数是45，乙班成绩的众数是42，，故甲班成绩更优秀．）
【小问3详解】
解：甲班的中位数是，即甲班成绩从小到大排列，第25、26位的两个数是44、45，
甲班得45分及45分以上的人数是：（人）；
乙班得45分及45分以上的人数是：；
甲、乙两班的整体优秀率为：，
（人）
答：该校本次测试成绩优秀的学生人数为188人．
【点睛】此题考查了中位数、众数、方差、用样本估计总体等知识，熟练掌握中位数、众数、方差的意义以及用样本估计总体的方法是解答此题的关键．
20. “绿水青山就是金山银山”，重庆市政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将某滨江路段改建成滨江步道．一期工程共有7000吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运走渣土．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的渣土比乙平均每天运走的渣土多，这样甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天．
（1）求原计划甲平均每天运渣土多少吨？
（2）实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务；剩下的渣土由乙再单独工作2天完成．若运走每吨渣土的运输费用为40元，请求出甲工程队的运输费用．
【答案】（1）500吨；
（2）154000元；
【解析】
【分析】（1）设原计划乙平均每天运渣土x吨，则甲平均每天运渣土x吨，根据甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天列方程求解即可；
（2）根据甲、乙两队的运送天数和每天运送量，总的运送量列方程求解即可；
【小问1详解】
解：设原计划乙平均每天运渣土x吨，则甲平均每天运渣土x吨，
根据题意得：，
解得，
经检验是原方程的解且符合题意，
则，
答：原计划甲平均每天运渣上500吨；
【小问2详解】
解：根据题意得：
，
解得，
则550×40×7＝154000元，
答：甲工程队的运输费用为154000元；
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用，找准题中等量关系列方程是解题关键．
21. 如图平行四边形，过点的直线交的延长线于，且，交、于．
（1）证明：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）9
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形和平行线的性质，证明，由相似三角形的性质可得，然后结合，即可证明；
（2）由（1）中，易得，再证明，可得，即可解得，；由，易得，求出，根据即可获得答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题关键．
22. 如图，大渡口义渡古镇某建筑物楼顶立有广告牌，小玲准备利用所学的三角函数知识估测该建筑的高度．由于场地有限，不便测量，所以小玲从点B处沿坡度为的斜坡步行25米到达点C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小玲的身高忽略不计），已知广告牌米．（参考数据：，，）
（1）求C处距离水平地面的高度；
（2）求建筑物的高度．
【答案】（1）20米；
（2）50米．
【解析】
【分析】（1）过点作于，根据坡比设，用勾股定理求，求解得出即可；
（2）过点作于，先证四边形为矩形，得，再利用三角函数解可得的长，从而得解．
【小问1详解】
解：过点作于，如图所示，
，
设，
，
，
，
，
答：点C处距离水平地面的高度为20米；
【小问2详解】
解：过点作于，如图所示，
，
四边形为矩形，
；
，
，
，
设，
，
在中，，
，
即，
，
答：建筑物的高度约为50米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用：坡比与仰角问题，熟练掌握坡比与仰角的定义、勾股定理、三角函数、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解答此题的关键．
23. 喷绘在商业广告、宣传等领域应用广泛，喷绘画面是使用喷绘机打印出来的，喷绘机工作时相当于一条直线（喷嘴）连续扫过一张画布．一家广告公司在一个直角梯形ABCD的画布上使用喷绘机印刷广告，画布的底角为，上底长4米，下底长8米，如图所示，直线MN垂直于AB，记（（）），记梯形ABCD位于直线MN左侧的图形（阴影部分）的面积为S，定义为平均喷绘率．
当时，，．
（1）求当时y与x的函数关系式；
（2）补全表格中的y的值：
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
0
1
2
以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，并在x的取值范围内画出y的函数图象；
（3）问在何时平均喷绘率y满足？请结合函数图象写出对应的x的取值范围．
【答案】（1）
（2），，，3；图象见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用图形的面积公式计算出S和x的函数关系式，进而得到y和x的函数关系式；
（2）根据函数解析式求解点的坐标；并描点作图；
（3）根据函数图象，求解关于x的不等式．
【小问1详解】
当时，
，
，
故答案为：．
【小问2详解】
由（1）知，当时，，
令，得；
令，得；
令，得；
令，得，
函数图象如图所示：
故答案为：；；；3．
【小问3详解】
令，得或，
解得或（舍去），
令，得或
解得（舍去）或，
根据图象可知，
当时，
故答案为．
【点睛】本题考查了根据实际问题建立函数模型应用，涉及根据函数图象解不等式，考查了学生的运算求解能力．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于点，对称轴为直线，点在该抛物线上．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）连接，点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，在射线上有一点使得．当周长取得最大值时，求点的坐标和周长的最大值；
（3）如图2，在（2）的条件下，直线与轴、轴分别交于点、，将原抛物线沿着射线方向平移，平移后的抛物线与轴的右交点恰好为点，动点在平移后的抛物线上，点是平面内任意一点，是否存在菱形，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的函数表达式；
（2）△PHG的周长最大值=，点P（，）；
（3）存在，点的横坐标为或．
【解析】
【分析】（1）先利用对称轴求b，在把点N坐标代入抛物线解析式求出c即可；
（2）先求CN解析式，再求出CN与x轴交点D坐标，利用勾股定理求出CD，根据三角函数定义求出∠DCO的余弦值，根据平行线性质得出∠PHE=∠DCO，利用等腰三角形性质，得出HE=GE，把△PHG周长转化为，利用函数坐标之差求出PH的最大值即可；
（3）先抛物线的函数表达式配方，求出顶点坐标，求出过抛物线顶点与EF平行的函数解析式为，设平移后的抛物线顶点（e， ），平移后的抛物线解析式，平移后的抛物线解析式过点E，得出，解方程平移后的抛物线为，以下分三种情况，设点T的横坐标为d，PE为对角线设点M（x， ），点P（-2，-5）四边形菱形，利用PM=EM，列方程，当PM为对角线时，四边形与所求四边形字母顺序不同，不符合要求舍去；当PT对角线时，四边形PMTE与所求四边形METP顺序不同不符合要求舍去，解方程即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线对称轴为直线，
∴，
解得，
∵点在该抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式
【小问2详解】
解：设CN直线解析式为，过点C（0，3），N（﹣4，﹣5），得：
，
解得，
∴
设CN与x轴的交点为D，过P作PS⊥CN于S，
当y=0时，，
解得，
∴点D（，0）
∴OC=3，OD=，CD=，
∴cos∠DCO=，
∵，
∴△HPG为等腰三角形，
∵PS⊥CN，
∴PS⊥HG，
∴HS=GE，
∵PH∥y轴，
∴∠PHS=∠DCO，
∴HS=HPcos∠PHS=PHcos∠DCO=，
∴△PHG的周长=2HS+2PH=，
∴当周长取得最大值时，即PH最大，
设点P（），
∴点H（）
∵点P在直线CN下方的抛物线上，
∴PH=
∵-1＜0，PH函数开口向下，有最大值，
当x=-2时，PH最大=4，
∴△PHG的周长最大值=，
当x=-2时，，
∴点P（﹣2，﹣5）；
【小问3详解】
解：抛物线的函数表达式，
抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣6）
过点（﹣3，﹣6）以直线EF平行的直线设为
∴
解得
过抛物线顶点与EF平行的函数解析式为，
∴平移后的抛物线顶点（e， ），
∴平移后的抛物线解析式，
令y=0，，解得，
点E（3，0），
∵平移后的抛物线解析式过点E，
∴，
整理得，
因式分解得，
解得，
∵e＜3，
∴，
∴平移后的抛物线为
以下分三种情况，设点T的横坐标为d
PE为对角线设点M（x， ），点P（﹣2，﹣5）
∵四边形菱形
∴PM=EM，
∴
整理得
解得，
当时，
∴四点横坐标满足，
解得，
当时，
∴四点横坐标满足，
解得，
此时点T的横坐标为或；
当PM为对角线时，四边形与所求四边形字母顺序不同，不符合要求舍去；
当PT对角线时，四边形PMTE与所求四边形METP顺序不同不符合要求舍去，
∴综合点的横坐标为或．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，待定系数法求直线解析式，直线与两轴交点坐标，锐角三角函数，等腰三角形性质，勾股定理，二次函数平移，函数的最值，菱形的判定与性质，一元二次方程的解法，本题难度较大，综合性强，是中考压轴题，要求全面掌握各方面知识是解题关键．
25. 在等腰直角中，，，外有一点D满足，与相交于点E，连接．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，点F为上一点，连接，点G为的中点，连接，若，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）问条件下，当F为的中点时，将沿直线翻折至所在平面内，得，连接、，，请直接写出的比值．
【答案】（1）；
（2），证明见解析；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，又因为，得到，根据30度角所对的直角边等于斜边一半得到，设，则，，由勾股定理得，求出，从而得到，再利用勾股定理即可求出的长；
（2）延长至使得，连接、、，利用“”证明，进而证明四边形为平行四边形，得到，，又因为，进而得到；过点C作于点M，过点H作于点N，先利用“”证明，得到，再利用“”证明，得到，最后通过证明A、B、C、D四点共圆，得到，从而推出，由勾股定理即可得到；
（3）如图3，以C为坐标原点，为x轴正半轴，为y轴正半轴建立坐标系，设与y轴交点为M，过点C作，先证明，，设，则，，求出点A的坐标为，点B的坐标为，先推出，得到，，由，求出，，设点D的坐标为，由两点距离公式可得 ，从而求出点D的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为，再求出，则，求出点M的坐标为，得到，则，再由，得到，即可得到答案．
【小问1详解】
解：是等腰直角三角形，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，（舍），
，，
在中，；
【小问2详解】
解：，证明如下：
如图，延长至使得，连接、、，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，，
，，
，
过点C作于点M，过点H作于点N，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
A、B、C、D四点共圆，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图3，以C为坐标原点，为x轴正半轴，为y轴正半轴建立坐标系，设与y轴交点为M，过点C作，
由（2）可知，
是的中点，
，
，
过点C作交于P，则，即点P与点F重合，
，，
设，则，，
，
，
，点A的坐标为，点B的坐标为，
，
，
，，
，
，
，
，
设点D的坐标为，
，
解得或
x轴上方，
点D的坐标为，
点F的坐标为，
点G的坐标为，
由折叠的性质可知，，
，
，
，，
点G的坐标为，点D的坐标为，
的中点坐标为 ，即点M的坐标为，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，三角形全等的性质及判定，四点共圆，解直角三角形，一次函数与几何综合，两点距离公式，坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识点灵活运用相关性质及判定是解题关键，属于中考压轴题．
重庆市西南大学附属中学2022—2023学年度九年级（下）3月月考
一、选择题（每小题4分，共48分）
1. 如图所示四个几何体中，棱锥是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】四棱锥的定义：四棱锥是指由四个三角形和一个四边形构成的空间封闭图形，根据定义识别并选出正确的选项．
【详解】解：选项是四棱锥；
选项是圆锥；
选项是圆柱；
选项是三棱柱．
故选．
【点睛】本题考查了立体几何的识别，掌握四棱锥的定义是解题的关键．
2. 中国科学技术大学完成的“祖冲之二号”和“九章二号”量子计算优越性实验入选2021年国际物理学十大进展．人们发现全球目前最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，“祖冲之二号”大约用时仅为0.00000023秒，将数字0.00000023用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【详解】解：A、∵，根据不等式两边同时减去一个数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意；
B、∵，根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变可知：，故选项成立，符合题意；
C、∵，当时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意；
D、∵，根据不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 不可能事件发生的概率为0，而随机事件发生的概率为；
B. 某校370名学生中肯定存在生日相同的同学；
C. 任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数的概率是；
D. 在疫情防控期间，有一天我市筛查出了一名新冠患者，小明当天拨错了电话号码，发现接电话的人正是这名患者，这是一个不可能事件．
【答案】B
【解析】
【分析】分别利用随机事件的定义以及利用频率估计概率的方法分析求出即可．
【详解】解：A、不可能事件发生的概率为0，而随机事件发生的概率为大于等于0、小于1，原说法错误，本选项不符合题意；
B、某校370名学生中肯定存在生日相同的同学，正确，本选项符合题意；
C、任意掷一枚均匀骰子，掷出的点数是奇数的概率是，原说法错误，本选项不符合题意；
D、在疫情防控期间，有一天我市筛查出了一名新冠患者，小明当天拨错了电话号码，发现接电话的人正是这名患者，这是一个随机事件，原说法错误，本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了随机事件以及确定时间和利用频率估计概率等知识，正确把握相关定义是解题关键．
5. 若自然数满足，则的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据，得出的取值范围，可得，即可确定n的值．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴即，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，运用“夹逼法”是解决本题的关键．
6. 根据如图所示的程序计算，若输入的值是1时，则输出的值是5．若输入的值是2，则输出值为（ ）
A. 3 B. 4 C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用已知代入得出的值，进而求出输入2时，得出的值．
【详解】∵当输入的值是1，输出的值是5，
∴，
解得：，
故输入的值是2时，，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数值，正确得出的值是解题的关键．
7. 东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，东东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家，东东和爸爸在整个运动过程中离家的距离（米），（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A. 两人前行过程中的速度为180米/分 B. m的值是15，n的值是2700
C. 爸爸返回时的速度为90米/分 D. 运动19分钟时，两人相距810米
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象可求两人共同的速度，再根据“路程时间速度”可求出爸爸返回的速度，根据“速度时间路程”求出两人之间的距离即可．
【详解】解：∵（米/分），
∴A选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴B选项正确，不符合题意；
∵（米/分），
∴C选项正确，不符合题意；
∵（米），
∴D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，理解图象的含义，熟练掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
8. 如图，每一幅图中有若干个正方形，第①幅图中有1个正方形，第②幅图中有3个正方形，第③幅图中有5个正方形…，那么第⑨幅图中正方形的个数是（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】观察图形发现每增加一个大正方形所有正方形的个数增加2，据此规律解题即可．
【详解】解：观察图形发现：
第①幅图中有1个正方形；
第②幅图中有3个正方形；
第③幅图中有5个正方形；
…
第n个图中有2n−1个正方形，
∴第⑨幅图中正方形的个数是2×9−1=17，
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并发现图形变化的规律．
9. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数等于（ ）
A. 40° B. 35° C. 30° D. 20°
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠BOC=100°，进而求出∠AOC=140°再，利用等腰三角形与内角和定理得到∠OAC=（180°-∠AOC）．
详解】解：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
又∠OBC=40°，
∴∠OBC=∠OCB=40°，
∴∠BOC=180°-2×40°=100°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=40°+100°=140°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∴∠OAC=．
故选D．
【点睛】考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和，角的和差运算，掌握圆的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和，角的和差运算是解题关键．
10. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式组的解集，确定，根据分式方程的负整数解，确定，根据分式方程的增根，确定 ，计算即可．
【详解】∵ ，
解①得解集为，
解②得解集为，
∵ 不等式组的解集为，
∴，
解得，
∵的解是，且，的解是负整数，
∴且，
∴且，
故或，
故满足条件的整数的值之和是，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键．
11. 如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，H为的中点，连接和，交于点G，则的长为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由菱形的性质得，，，再由三角形中位线定理得，，然后证，得，进而由勾股定理即可得出结论．
【详解】解：∵菱形的边长为4，，
∴，，，
∵F为的中点，H为的中点，
∴，是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
12. 按顺序排列的若干个数：，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于与它前面的那个数的差的倒数，即：，，……，下列说法正确的个数有（ ）
①若，则
②若，则
③若，则
④当时，代数式的值恒为负
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】①将代入式子依次计算即可；②从开始依次计算出，即可找到周期性规律；然后利用规律计算即可；③利用规律找到之间的规律，将分别用表示，解方程即可；④利用规律将化简得二次函数，利用二次函数求最值即可．
【详解】解：①将代入得：，
然后依次求得：
故①正确
② 由①可归纳得出规律：周期性为3；将可以求得：，
则：每个周期的和为，
中共个数据，
周期个数为：个
则：
故②错误
③由规律得：，，
当代入可得：，
将三个数值代入中得
故③正确
④将分别用表示得： ，，
则，，
化简得：上式
开口向下，最大值为，
的对称轴为，
，所以或时，有最大值0（取不到）
的值恒为负
故④正确
故选C
【点睛】本题考查了归纳概括能力，相关知识点有：分式的化简、二次根式的化简、二次函数求最值、有理数的运算等，归纳得出周期性规律是解题关键．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，负整指数幂的定义以及二次根式的加减进行计算即可
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，负整指数幂，二次根式的加减，熟练掌握相关知识是解题的关键
14. 盒子中有3白1黑四个除颜色外其余完全相同的球，从中任取2个球，则取出的两个球均为白球的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出表格得出所有等可能的情况数，找出取出的两个球均为白球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意，列出表格如下：
白1
白2
白3
黑
白1
白2、白1
白3、白1
黑、白1
白2
白1、白2
白3、白2
黑、白2
白3
白1、白3
白2、白3
黑、白3
黑
白1、黑
白2、黑
白3、黑
共有12种等可能的情况数，其中取出的两个球均为白球的有6种，
则取出的两个球均为白球的概率为．
故答案为：
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率，解题关键是熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比，注意：列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
15. 如图，矩形中，以为圆心，的长为半径画圆，交于点，再以为圆心，的长为半径画圆，恰好经过点．已知，，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】矩形中，可知，，如图所示（见详解），连接，可求出以为圆心，的长为扇形的面积，三角形的面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
以为圆心，的长为半径画圆，以为圆心，的长为半径画圆，
∴的半径，的半径，
∵矩形中，
∴，，，
∴，
∴，，，
∵
∴，，
，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆的知识，矩形的性质，扇形的面积的综合，掌握圆的知识，矩形的性质是解题的关键．
16. 材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为3，则称这个三位数为“尚美数”，例如：234，因为，所以234是“尚美数”；材料二：若(，，，且a，b，c均为整数)，记．已知，是两个不同的“尚美数(，，且y，z，m，n均为整数)，且能被13整除，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】，是两个不同的“尚美数，可得方程组；再根据列代数式，最后根据能被13整除进行分类讨论，即可得答案．
【详解】解：∵，是两个不同的“尚美数，
得，即
．
，，
．
能被整除，
，，其中．
①当时，即，
当时，；时，不符，
，，．
由，得，
当时，；，
由，得．
，是两个不同的尚美数，
舍去
②当时，即，
，
，
，，．
当，，，不符，
当，，，，
当，，，，
③当时，即时，
，
．
，
．
当，，，不合题意．
当，，，不合题意．
综上所述，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的运用、二元一次方程组的应用，新定义、数的整除、实数的运算等知识，分类讨论是解题的关键
三、解答题（每小题8分，共16分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据乘法公式以及单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可；
（2）根据分式的乘除法运算法则进行化简计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】此题考查了整式的乘法、乘法公式、分式的乘除运算等知识，熟练掌握乘法公式、整式的乘法运算法则、分式的乘除运算法则是解答此题的关键．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交对角线BD于点E．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的平分线，交对角线BD于点F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证：BE=DF．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，①__________，
∴∠ABE=∠CDF
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB
∴∠BAE=∠BAD，②___________，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴③_______________
∴∠BAE=∠DCF
在△ABE与△CDF中
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴BE=DF
【答案】（1）见解析 （2），，，
【解析】
【分析】（1）在CB，CD上，分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M，点N为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线CP交BD于点F，CF即为所求；
（2）根据平行四边形的性质得，根据平行线的性质得∠ABE=∠CDF，根据角平分线得，，根据平行四边形的性质得，即∠BAE=∠DCF，根据ASA即可得△ABE≌△CDF，即BE=DF．
【小问1详解】
解：如图，在CB，CD上，分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M，点N为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线CP交BD于点F，CF即为所求．
【小问2详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
四、解答题二
19. 为迎接中招体考，巴渝学校对九年级400名学生进行了一次体育测试，并随机抽取甲、乙两个班各50名学生的测试成绩（成绩均为整数，满分50分）进行整理、描述和分析．
下面给出了部分信息．（用x表示成绩，数据分成5组：A：，B：，C：，D：，E：）
甲班成绩扇形统计图 乙班成绩频数分布直方图
乙班成绩在D组的具体分数是：42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 43 44 45 45
甲，乙两班成绩统计表：
班级
甲班
乙班
平均分
44.1
44.1
中位数
44.5
n
众数
45
42
方差
7.7
17.4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）n= ；
（2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班谁更优秀，请说明理由（一条即可）；
（3）假设巴渝学校九年级学生全部参加此次模拟测试，成绩达到45分以上为优秀，请估计本次测试成绩优秀的学生人数．
【答案】（1）42； （2）答案见详解；
（3）188人．
【解析】
【分析】（1）根据中位数意义和计算方法求解即可；
（2）在平均数相等的条件下，可以比较中位数（或众数），哪个班级成绩的中位数（或众数）大说明哪个班级更好一些；
（3）先计算甲、乙两个班的整体优秀率，然后根据样本估计总体的方法，估计总体的优秀率，进而计算出总体的优秀人数．
【小问1详解】
解：乙班的成绩从小到大排列，处在第25、26的两个数都是42，因此中位数是42，
；
故答案为：42；
【小问2详解】
解：甲、乙两班的平均成绩都是，甲班的中位数是，乙班的中位数是，
，
甲班的成绩更优秀；
（或者：比较众数，甲班成绩的众数是45，乙班成绩的众数是42，，故甲班成绩更优秀．）
【小问3详解】
解：甲班的中位数是，即甲班成绩从小到大排列，第25、26位的两个数是44、45，
甲班得45分及45分以上的人数是：（人）；
乙班得45分及45分以上的人数是：；
甲、乙两班的整体优秀率为：，
（人）
答：该校本次测试成绩优秀的学生人数为188人．
【点睛】此题考查了中位数、众数、方差、用样本估计总体等知识，熟练掌握中位数、众数、方差的意义以及用样本估计总体的方法是解答此题的关键．
20. “绿水青山就是金山银山”，重庆市政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将某滨江路段改建成滨江步道．一期工程共有7000吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运走渣土．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的渣土比乙平均每天运走的渣土多，这样甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天．
（1）求原计划甲平均每天运渣土多少吨？
（2）实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务；剩下的渣土由乙再单独工作2天完成．若运走每吨渣土的运输费用为40元，请求出甲工程队的运输费用．
【答案】（1）500吨；
（2）154000元；
【解析】
【分析】（1）设原计划乙平均每天运渣土x吨，则甲平均每天运渣土x吨，根据甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天列方程求解即可；
（2）根据甲、乙两队的运送天数和每天运送量，总的运送量列方程求解即可；
【小问1详解】
解：设原计划乙平均每天运渣土x吨，则甲平均每天运渣土x吨，
根据题意得：，
解得，
经检验是原方程的解且符合题意，
则，
答：原计划甲平均每天运渣上500吨；
【小问2详解】
解：根据题意得：
，
解得，
则550×40×7＝154000元，
答：甲工程队的运输费用为154000元；
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用，找准题中等量关系列方程是解题关键．
21. 如图平行四边形，过点的直线交的延长线于，且，交、于．
（1）证明：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）9
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形和平行线的性质，证明，由相似三角形的性质可得，然后结合，即可证明；
（2）由（1）中，易得，再证明，可得，即可解得，；由，易得，求出，根据即可获得答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题关键．
22. 如图，大渡口义渡古镇某建筑物楼顶立有广告牌，小玲准备利用所学的三角函数知识估测该建筑的高度．由于场地有限，不便测量，所以小玲从点B处沿坡度为的斜坡步行25米到达点C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小玲的身高忽略不计），已知广告牌米．（参考数据：，，）
（1）求C处距离水平地面的高度；
（2）求建筑物的高度．
【答案】（1）20米；
（2）50米．
【解析】
【分析】（1）过点作于，根据坡比设，用勾股定理求，求解得出即可；
（2）过点作于，先证四边形为矩形，得，再利用三角函数解可得的长，从而得解．
【小问1详解】
解：过点作于，如图所示，
，
设，
，
，
，
，
答：点C处距离水平地面的高度为20米；
【小问2详解】
解：过点作于，如图所示，
，
四边形为矩形，
；
，
，
，
设，
，
在中，，
，
即，
，
答：建筑物的高度约为50米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用：坡比与仰角问题，熟练掌握坡比与仰角的定义、勾股定理、三角函数、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解答此题的关键．
23. 喷绘在商业广告、宣传等领域应用广泛，喷绘画面是使用喷绘机打印出来的，喷绘机工作时相当于一条直线（喷嘴）连续扫过一张画布．一家广告公司在一个直角梯形ABCD的画布上使用喷绘机印刷广告，画布的底角为，上底长4米，下底长8米，如图所示，直线MN垂直于AB，记（（）），记梯形ABCD位于直线MN左侧的图形（阴影部分）的面积为S，定义为平均喷绘率．
当时，，．
（1）求当时y与x的函数关系式；
（2）补全表格中的y的值：
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
0
1
2
以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，并在x的取值范围内画出y的函数图象；
（3）问在何时平均喷绘率y满足？请结合函数图象写出对应的x的取值范围．
【答案】（1）
（2），，，3；图象见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用图形的面积公式计算出S和x的函数关系式，进而得到y和x的函数关系式；
（2）根据函数解析式求解点的坐标；并描点作图；
（3）根据函数图象，求解关于x的不等式．
【小问1详解】
当时，
，
，
故答案为：．
【小问2详解】
由（1）知，当时，，
令，得；
令，得；
令，得；
令，得，
函数图象如图所示：
故答案为：；；；3．
【小问3详解】
令，得或，
解得或（舍去），
令，得或
解得（舍去）或，
根据图象可知，
当时，
故答案为．
【点睛】本题考查了根据实际问题建立函数模型应用，涉及根据函数图象解不等式，考查了学生的运算求解能力．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于点，对称轴为直线，点在该抛物线上．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）连接，点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，在射线上有一点使得．当周长取得最大值时，求点的坐标和周长的最大值；
（3）如图2，在（2）的条件下，直线与轴、轴分别交于点、，将原抛物线沿着射线方向平移，平移后的抛物线与轴的右交点恰好为点，动点在平移后的抛物线上，点是平面内任意一点，是否存在菱形，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的函数表达式；
（2）△PHG的周长最大值=，点P（，）；
（3）存在，点的横坐标为或．
【解析】
【分析】（1）先利用对称轴求b，在把点N坐标代入抛物线解析式求出c即可；
（2）先求CN解析式，再求出CN与x轴交点D坐标，利用勾股定理求出CD，根据三角函数定义求出∠DCO的余弦值，根据平行线性质得出∠PHE=∠DCO，利用等腰三角形性质，得出HE=GE，把△PHG周长转化为，利用函数坐标之差求出PH的最大值即可；
（3）先抛物线的函数表达式配方，求出顶点坐标，求出过抛物线顶点与EF平行的函数解析式为，设平移后的抛物线顶点（e， ），平移后的抛物线解析式，平移后的抛物线解析式过点E，得出，解方程平移后的抛物线为，以下分三种情况，设点T的横坐标为d，PE为对角线设点M（x， ），点P（-2，-5）四边形菱形，利用PM=EM，列方程，当PM为对角线时，四边形与所求四边形字母顺序不同，不符合要求舍去；当PT对角线时，四边形PMTE与所求四边形METP顺序不同不符合要求舍去，解方程即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线对称轴为直线，
∴，
解得，
∵点在该抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式
【小问2详解】
解：设CN直线解析式为，过点C（0，3），N（﹣4，﹣5），得：
，
解得，
∴
设CN与x轴的交点为D，过P作PS⊥CN于S，
当y=0时，，
解得，
∴点D（，0）
∴OC=3，OD=，CD=，
∴cos∠DCO=，
∵，
∴△HPG为等腰三角形，
∵PS⊥CN，
∴PS⊥HG，
∴HS=GE，
∵PH∥y轴，
∴∠PHS=∠DCO，
∴HS=HPcos∠PHS=PHcos∠DCO=，
∴△PHG的周长=2HS+2PH=，
∴当周长取得最大值时，即PH最大，
设点P（），
∴点H（）
∵点P在直线CN下方的抛物线上，
∴PH=
∵-1＜0，PH函数开口向下，有最大值，
当x=-2时，PH最大=4，
∴△PHG的周长最大值=，
当x=-2时，，
∴点P（﹣2，﹣5）；
【小问3详解】
解：抛物线的函数表达式，
抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣6）
过点（﹣3，﹣6）以直线EF平行的直线设为
∴
解得
过抛物线顶点与EF平行的函数解析式为，
∴平移后的抛物线顶点（e， ），
∴平移后的抛物线解析式，
令y=0，，解得，
点E（3，0），
∵平移后的抛物线解析式过点E，
∴，
整理得，
因式分解得，
解得，
∵e＜3，
∴，
∴平移后的抛物线为
以下分三种情况，设点T的横坐标为d
PE为对角线设点M（x， ），点P（﹣2，﹣5）
∵四边形菱形
∴PM=EM，
∴
整理得
解得，
当时，
∴四点横坐标满足，
解得，
当时，
∴四点横坐标满足，
解得，
此时点T的横坐标为或；
当PM为对角线时，四边形与所求四边形字母顺序不同，不符合要求舍去；
当PT对角线时，四边形PMTE与所求四边形METP顺序不同不符合要求舍去，
∴综合点的横坐标为或．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，待定系数法求直线解析式，直线与两轴交点坐标，锐角三角函数，等腰三角形性质，勾股定理，二次函数平移，函数的最值，菱形的判定与性质，一元二次方程的解法，本题难度较大，综合性强，是中考压轴题，要求全面掌握各方面知识是解题关键．
25. 在等腰直角中，，，外有一点D满足，与相交于点E，连接．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，点F为上一点，连接，点G为的中点，连接，若，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）问条件下，当F为的中点时，将沿直线翻折至所在平面内，得，连接、，，请直接写出的比值．
【答案】（1）；
（2），证明见解析；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，又因为，得到，根据30度角所对的直角边等于斜边一半得到，设，则，，由勾股定理得，求出，从而得到，再利用勾股定理即可求出的长；
（2）延长至使得，连接、、，利用“”证明，进而证明四边形为平行四边形，得到，，又因为，进而得到；过点C作于点M，过点H作于点N，先利用“”证明，得到，再利用“”证明，得到，最后通过证明A、B、C、D四点共圆，得到，从而推出，由勾股定理即可得到；
（3）如图3，以C为坐标原点，为x轴正半轴，为y轴正半轴建立坐标系，设与y轴交点为M，过点C作，先证明，，设，则，，求出点A的坐标为，点B的坐标为，先推出，得到，，由，求出，，设点D的坐标为，由两点距离公式可得 ，从而求出点D的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为，再求出，则，求出点M的坐标为，得到，则，再由，得到，即可得到答案．
【小问1详解】
解：是等腰直角三角形，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，（舍），
，，
在中，；
【小问2详解】
解：，证明如下：
如图，延长至使得，连接、、，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，，
，，
，
过点C作于点M，过点H作于点N，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
A、B、C、D四点共圆，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图3，以C为坐标原点，为x轴正半轴，为y轴正半轴建立坐标系，设与y轴交点为M，过点C作，
由（2）可知，
是的中点，
，
，
过点C作交于P，则，即点P与点F重合，
，，
设，则，，
，
，
，点A的坐标为，点B的坐标为，
，
，
，，
，
，
，
，
设点D的坐标为，
，
解得或
x轴上方，
点D的坐标为，
点F的坐标为，
点G的坐标为，
由折叠的性质可知，，
，
，
，，
点G的坐标为，点D的坐标为，
的中点坐标为 ，即点M的坐标为，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，三角形全等的性质及判定，四点共圆，解直角三角形，一次函数与几何综合，两点距离公式，坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识点灵活运用相关性质及判定是解题关键，属于中考压轴题．
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