河北省邯郸市六校2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

2021级高二期中考试

数  学

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4. 本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ）

A. 10种 B. 12种 C. 20种 D. 60种

【答案】B

【解析】

【分析】分三类计数相加即可得解.

【详解】分三类：

第一类，从3幅不同的油画中任选一幅，有种；

第二类，从4幅不同的国画中任选一幅，有种；

第三类，从5幅不同的水彩画任选一幅，有种，

根据分类加法计数原理得共有种不同的选法.

故选：B

2. 某物体沿直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则在这段时间内，该物体位移的平均速度为（    ）

A. 2 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案.

【详解】由题意可得该物体位移的平均速度为（），

故选：C

3. 随机变量的分布列为

则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据分布列的性质求出，再根据方差公式可求出结果.

【详解】由，得，

，

.

故选：A

4. 用0，1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（    ）

A. 16 B. 36 C. 48 D. 60

【答案】C

【解析】

【分析】根据分步乘法计数原理可求出结果.

【详解】第一步，从中任选一个数字排在百位，有种；

第二步，从剩下的个数字中任选个排在十位和个位，有种，

根据分步乘法计数原理得共有个无重复数字的三位数.

故选：C

5. 已知函数，则的极值点的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】求出函数导数，讨论a的正负，判断函数的单调性，即可得到答案.

【详解】由于，故，

当时，，则时，，

时，，

故在上都单调递增，在在上单调递减，

故是函数的极大值点，是函数的极小值点，

同理判断当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点，

故的极值点的个数为2，

故选：B

6. 一个盒子中装有白色乒乓球4个，橘黄色乒乓球2个.现从盒子中任取2个乒乓球，记取出的2个乒乓球的颜色为橘黄色的个数为X，则（    ）

A. 1 B. 2 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可知橘黄色球的个数X的所有可能取值为，分别计算出其概率即可得出结果.

【详解】由题意可知取出的橘黄色球的个数X的所有可能取值为，

则，,；

所以可得.

故选：D

7. 如图，小华从图中处出发，先到达处，再前往处，则小华从处到处可以选择的最短路径有（    ）

A. 25条 B. 48条 C. 150条 D. 512条

【答案】C

【解析】

【分析】利用组合、分步乘法计数原理可得答案.

【详解】从处到处的最短路径有条，从处到处的最短路径有条，则小华从处到处可以选择的最短路径有条．

故选：C.

8. 某地区一个家庭中孩子个数X的情况如下．

每个孩子的性别是男是女的概率均为，且相互独立，则一个家庭中男孩比女孩多的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意分析男孩比女孩多的可能情况，结合互斥事件以及独立事件概率乘法公式运算求解.

【详解】一个家庭中男孩比女孩多有三种可能：“1个小孩，且男孩”、“有2个小孩，且为男孩”、“3个小孩，3个男孩或2个男孩”，

所以概率

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 由一组样本数据，，，，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，则下面说法正确的是（    ）

A. 直线至少经过点，，，中的一个点

B. 直线必经过点

C. 相关系数r与回归系数同号

D. 相关系数r越大，两个变量之间的线性相关性越强

【答案】BC

【解析】

【分析】根据回归直线、相关系数、回归系数的概念逐项分析可得答案.

【详解】对于A，直线有可能不经过点，，，中的任何一个点，故A不正确；

对于B，显然正确；

对于C，当两个变量正相关时，相关系数r与回归系数同为正号，当两个变量负相关时，相关系数r与回归系数同为负号，故C正确；

对于D，相关系数r的绝对值越大，两个变量之间的线性相关性越强，故D不正确.

故选：BC

10. 已知函数导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是（    ）

A. 在上单调递增 B. 在上单调递增

C. 曲线在处的切线的斜率为0 D. 曲线在处的切线的斜率为4

【答案】BD

【解析】

【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系可判断A，B；根据导数的几何意义可判断C，D.

【详解】由导函数的图象可知当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，A错误；

由图象可知当时，，在上单调递增，B正确；

由于，根据导数的几何意义可知在处的切线的斜率为4，C错误，D正确，

故选：BD

11. 某商场开业期间举办抽奖活动，已知抽奖箱中有30张奖券，其中有5张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，记表示甲中奖，表示乙中奖，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据题意直接计算出，，，即可.

【详解】由题意可知，则A正确；

，则B错误；

，则C正确；

，则D错误；

故选：AC.

12. 已知函数，函数，下列结论正确的是（    ）

A. 有2个零点

B. 若，则有4个零点

C. 若只有1个零点，则m的取值范围是

D. 若恰有5个零点，则m的取值范围是

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用导数，确定时函数的单调性，并作出函数的图象，结合图象分及讨论即可得答案.

【详解】当时，，所以，

当时，单调递增；

当时，单调递减，

所以当时，取极大值，

，，，，，，，

的图象如图所示：

由图可知有2个零点，则A正确；

设，由，得，

当时，

的解是，所以有2个不同实根，

有2个不同实根，则有4个不同实根，故B正确；

当时，

有3个不同实根，设．

有2个不同实根，有2个不同实根，有3个不同实根，

则有7个不同实根；

当时，

有2个不同实根，设，

有2个不同实根，有3个不同实根，则有5个不同实根；

当时，

有2个不同实根，设，

有2个不同实根，有2个不同实根，则有4个不同实根；

当时，

有且只有1个实根，且，

当时，则有2个不同实根；当时，只有1个实根；

当时，

有且只有1个实根，且，则只有1个实根．

故C错误，D正确．

故选：ABD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 在的展开式中，的系数为______.

【答案】150

【解析】

【分析】根据二项式展开式的通项即可求得答案.

【详解】由题意可得在的展开式中，通项为，

的系数为，

故答案为：150

14. 某科研院校培育枇杷新品种，新培育的枇杷单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种枇杷100000个，估计单果质量不低于28g的枇杷有______个.

附：若，则，，.

【答案】

【解析】

【分析】根据正态分布特殊区间的概率可求出结果.

【详解】因为，所以，，

所以

，

所以估计单果质量不低于28g的枇杷有个.

故答案为：.

15. 某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有______.

【答案】540

【解析】

【分析】给5块不同的区域标别布置A，B，D区域的花卉，继而讨论B，E是否布置同种花卉，根据分步计数原理，即可得答案.

【详解】如图：给5块不同的区域标上字母，

可先在A中布置花卉，有5种不同的布置方案，

再在B中布置花卉，有4种不同的布置方案，

再在D中布置花卉，有3种不同的布置方案，

若区域B，E布置同种花卉，则C有3种不同的布置方案，

若区域B，E布置不同的花卉，则E有2种不同的布置方案，C有3种不同的布置方案，

故不同的布置方案有种，

故答案为：540

16. 已知直线与曲线相切，则的最小值是______．

【答案】

【解析】

【分析】设出切点，得到方程组，得到，故，构造，利用导函数求出最小值，得到答案.

【详解】直线与曲线相切，设切点为，

则，所以，

因为，所以，

即，

又，，故，

将代入得，，

解得，

故，

令，

则，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故在处取得极小值，也时最小值，

故，

故的最小值为-1.

故答案为：-1

【点睛】当已知切点坐标为时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用求出切线方程；

当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，已逐渐成为社交平台发展的新方向，同时出现了利用短视频平台进行直播销售的模式.已知甲公司和乙公司两家购物平台所售商品类似，存在竞争关系.现对某时段100名观看过这两家短视频的用户与使用这两家购物平台购物的情况进行调查，得到如下数据：

参考公式：，其中.

（1）依据的独立性检验，能否认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关？

（2）为了了解用户观看两家短视频后选择哪家公司购物原因，用频率近似概率，从观看过这两家短视频且使用这两家平台购物的用户中抽取10名用户进行回访，记抽出的10人中年龄段为19~24岁，且选择甲公司购物平台的人数为，求的期望.

【答案】（1）能认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关   

（2）

【解析】

【分析】（1）先零假设，然后计算，对照临界值表可得结论；

（2）根据二项分布的期望公式可求出结果.

【小问1详解】

零假设为：使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄无关，

，

所以依据的独立性检验，推断不成立，即能认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关.

【小问2详解】

由列联表可知，观看过这两家短视频且使用这两家平台购物的用户中，年龄段为19~24岁，且选择甲公司购物平台的人数频率为，

用频率估计概率，所以，故.

18. 某视频UP主采购了8台不同价位的航拍无人机进行测评，并从重量、体积、画质、图传、续航、避障等多方面进行综合评分.以下是价格和对应的评分数据：

（1）根据以上数据，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.1）；

（2）某网友准备购买一台评分不低于90分的航拍无人机，根据（1）中线性回归方程，预估最少需要多少元（结果精确到整数）.

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.

参考数据：，.

【答案】（1）   

（2）2400元

【解析】

【分析】（1）求出，，根据最小二乘法估计求得，，即可得答案；

（2）由（1）的结果可列出不等式，即可求得答案.

【小问1详解】

由题意得，

，

故，

所以，

y关于x的线性回归方程为.

【小问2详解】

令，解得，

即预估最少需要2400元.

19. 从6名男生，5名女生中选举3人分别担任班长，学习委员和体育委员.

（1）若担任班长，学习委员和体育委员的3人中有女生，则不同的情况有多少种？

（2）若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的情况有多少种？

【答案】（1）870    （2）540

【解析】

【分析】（1）从11人中人选3人，减去全是选男生的情况，再分配担任不同的职务，可得答案

（2）先从男女生中各选一人，分别担任班长和学习委员，再从剩余的9人中选一人担任体育委员即可.

【小问1详解】

由题意知担任班长，学习委员和体育委员的3人中有女生，

可从11人中人选3人，减去全是选男生的情况，再分配担任不同的职务，

故不同的情况有种；

【小问2详解】

若担任班长和学习委员的学生性别不同，

则不同的情况有种

20. 已知函数.

（1）当时，证明：.

（2）讨论的单调性.

【答案】（1）证明见解析   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）由导数求出的最小值，与的最大值比较可证不等式成立；

（2）求导后，分类讨论，解导函数的不等式可得结果.

【小问1详解】

当时，，，

令，得，令，得，

所以在上为减函数，在上为增函数，

所以，当且仅当时，等号成立，

而当时，，当且时，，

所以.

【小问2详解】

的定义域为，

，

当时，，令，得，令，得，

所以在上为减函数，在上为增函数.

当时，令，得或，

若，即时，令，得或；令，得，

所以在和上为减函数，在上为增函数；

若，即时，在上恒成立，所以在上为减函数；

若，即时，令，得或，令，得，所以在和上为减函数，在上为增函数.

综上所述：当时，在上为减函数，在上为增函数；

当时，在和上为减函数，在上为增函数；

当时，在上为减函数；

当时，在和上为减函数，在上为增函数.

21. 甲、乙两位围棋选手进行围棋比赛，比赛规则如下：比赛实行三局两胜制（假定没有平局），任何一方率先贏下两局比赛时，比赛结束，围棋分为黑白两棋，第一局双方选手通过抽签的方式等可能的选择棋色下棋，从第二局开始，上一局的败方拥有优先选棋权.已知甲下黑棋获胜的概率为，下白棋获胜的概率为，每位选手按有利于自己的方式选棋.

（1）求甲选手以2:1获胜的概率；

（2）比赛结束时，记这两人下围棋的局数为，求的分布列与期望.

【答案】（1）   

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）由题意可知甲选手以2:1获胜必须前两局双方各胜一局，且第三局甲获胜，则分第一局甲下黑棋和第一局甲下白棋两种情况求出概率，然后利用互斥事件的概率公式求解，

（2）由题意可知的取值可能为2，3，7，然后求出各自对应的概率，从而可求出的分布列与期望.

【小问1详解】

甲选手以2:1获胜，则前两局双方各胜一局，且第三局甲获胜.

若第一局乙选棋，则所求概率为；

若第一局甲选棋，则所求概率为.

故甲选手以2:1获胜的概率为.

【小问2详解】

由题可知，的取值可能为2，3，则

，.

则的分布列为

.

22. 已知函数（其中e为自然对数的底数），且曲线在处的切线方程为．

（1）求实数m，n的值；

（2）证明：对任意的，恒成立．

【答案】（1），   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由已知得，代入求解即可；

（2）由题知，求导研究函数的单调性证得恒成立，即可证得结论.

【小问1详解】

因为，所以．

则

解得，．

【小问2详解】

证明：设

则．

设，则．

设，则．

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，即在

上单调递减，在上单调递增．

因为，，，

所以存在，，使得．

故当时，；当时，．

所以在与上单调递增，在上单调递减．

因为，，所以存在唯一的，使得，

所以当时，当时，，

则在与上单调递减，在与上单调递增．

故是与中的较小值．

因为，，所以恒成立，

即对任意的．恒成立．

【点睛】关键点睛：在本题第二小问中，判断的单调性需要进行二阶求导，多次运用导数确定函数的单调性是解题关键，证明过程中需理清解题思路，运算难度较大，属于较难题.