2022年上海市金山区高考数学二模试卷

这是一份2022年上海市金山区高考数学二模试卷，共21页。

2022年上海市金山区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）已知集合A＝{﹣1，3，0}，B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m的值为 　 　．
2．（4分）已知（1+i）z＝2i（i为虚数单位），则z＝　 　．
3．（4分）已知等比数列{an}各项均为正数，其中a1＝1，a2+a3＝12，则{an}的公比为 　 　．
4．（4分）（1﹣2x）4的二项展开式中x2项的系数为 　 　．（结果用数字作答）
5．（4分）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则顶点A到平面BB1D1D的距离为 　 　．
6．（4分）不等式组表示的平面区域的面积等于 　 　．
7．（5分）已知向量，，则函数，的单调递增区间为 　 　．
8．（5分）将一枚骰子先后抛两次，则向上的点数之积为12的概率为 　 　．（结果用最简分数表示）
9．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|•|BF|＝8，则p的值为 　 　．
10．（5分）已知平面向量、满足，若关于x的方程有实数解，则△AOB面积的最大值为 　 　．
11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝3an﹣1（n∈N*），函数f（x）定义域为R，对任意x∈R都有f（x+1）＝．若f（2）＝1﹣，则f（a2022）的值为 　 　．
12．（5分）设f（x）＝a+sinx，若存在，使f（x1）+f（x2）+⋯+f（xn﹣1）＝f（xn）成立的最大正整数n为9，则实数a的取值范围是 　 　．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）设m，n∈R，则“m•n＜0”是“方程表示的曲线为双曲线”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
15．（5分）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如图频率直方图．根据此频率直方图，下列结论中不正确的是（　　）


A．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业
B．该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为35%
C．估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过2.7小时
D．估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间
16．（5分）对于定义在D上的函数y＝f（x），若同时满足：
（1）对任意的x∈D，均有f（﹣x）+f（x）＝0；
（2）对任意的x1∈D，存在x2∈D，且x2≠﹣x1，使得f（x1）﹣x1＝x2﹣f（x2）成立，
则称函数y＝f（x）为“等均”函数．下列函数中：①f（x）＝x；②；③；④f（x）＝sinx，“等均”函数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（14分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝BC＝1，AD＝2，．
（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；
（2）求直线BS与平面SCD所成角的大小．

18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知，且B为锐角．
（1）求角B的大小；
（2）若，证明△ABC是直角三角形．
19．（14分）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量m（t）（百件）与时间第t天的关系如表所示：
第t天
1
3
10
…
30
日销售量m（t）（百件）
2
3
6.5
…
16.5
未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润f1（t）（元）与时间第t天的函数关系式为f1（t）＝﹣3t+88（1≤t≤15，且t为整数），而后15天此商品每天每件的利润f2（t）（元）与时间第t天的函数关系式为（16≤t≤30，且t为整数）．
（1）现给出以下两类函数模型：①m（t）＝kt+b（k、b为常数）；②m（t）＝b•at（a、b为常数，a＞0且a≠1）．分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；
（2）若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型．请判断该公司是否需要转型？并说明理由．
20．（16分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，设P是第一象限内椭圆Γ上一点，PF1、PF2的延长线分别交椭圆Γ于点Q1、Q2，直线Q1F2与Q2F1交于点R．
（1）求△PQ1F2的周长；
（2）当PF2垂直于x轴时，求直线Q1Q2的方程；
（3）记△F1Q1R与△F2Q2R的面积分别为S1、S2，求S2﹣S1的最大值．

21．（18分）对于集合A＝{a1，a2，a3，⋯，an}，n≥2且n∈N*，定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A且x≠y}．集合A中的元素个数记为|A|，当时，称集合A具有性质Γ．
（1）判断集合A1＝{1，2，3}，A2＝{1，2，4，5}是否具有性质Γ，并说明理由；
（2）设集合B＝{1，3，p，q}（p，q∈N，且3＜p＜q）具有性质Γ，若B+B中的所有元素能构成等差数列，求p、q的值；
（3）若集合A具有性质Γ，且A+A中的所有元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

2022年上海市金山区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）已知集合A＝{﹣1，3，0}，B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m的值为 　0　．
【分析】根据集合间的关系确定m值，求解即可．
【解答】解：集合A＝{﹣1，3，0}，B＝{3，m2}，且B⊆A，
∴m2＝0，m2＝﹣1（舍），
解得：m＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查的知识点是集合的包含关的应用，集合关系中的参数问题，是基础题．
2．（4分）已知（1+i）z＝2i（i为虚数单位），则z＝　1+i　．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：∵（1+i）z＝2i，
∴＝．
故答案为：1+i．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3．（4分）已知等比数列{an}各项均为正数，其中a1＝1，a2+a3＝12，则{an}的公比为 　3　．
【分析】由题意，根据等比数列的通项公式，求出公比．
【解答】解：∵等比数列{an}各项均为正数，其中a1＝1，设它的公比为q，则q＞0，
∵a2+a3＝a1•（q+q2）＝12，则{an}的公比q＝3，或q＝﹣4（舍去），
故答案为：3．
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
4．（4分）（1﹣2x）4的二项展开式中x2项的系数为 　24　．（结果用数字作答）
【分析】根据二项式定理求出展开式中含x2的项，由此即可求解．
【解答】解：展开式中含x2项为C＝24x2，
所以x2项的系数为24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
5．（4分）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则顶点A到平面BB1D1D的距离为 　　．
【分析】连接AC、BD，设AC∩BD＝O，则AO⊥BD，可得AO⊥平面BB1D1D，由已知棱长求得AO，则答案可求．
【解答】解：如图，

在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由正方体的结构特征可知平面BB1D1D⊥平面ABCD，
且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，
连接AC、BD，设AC∩BD＝O，则AO⊥BD，可得AO⊥平面BB1D1D，
∴AO即为顶点A到平面BB1D1D的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．
6．（4分）不等式组表示的平面区域的面积等于 　25　．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，求面积即可．
【解答】解：先作出不等式组的对应的平面区域如图：

由，可得B（3，﹣3），由，可得C（3，7），由，可得A（﹣2，2），
∴S△ABC＝•BC•d＝×10×5＝25．
故答案为：25．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，属于基础题，注意利用数形结合．
7．（5分）已知向量，，则函数，的单调递增区间为 　[]　．
【分析】先求出f（x）的解析式，并化简，然后再结合正余弦函数的单调性求解．
【解答】解：f（x）＝﹣1
＝+cos2x
＝2sin（2x），要求f（x）的单调递增区间，
只需，k∈Z，
解得，k∈Z，
又因为，当k＝0时，
可得f（x）的单调递增区间为[]．
故答案为：[]．
【点评】本题考查了数量积的运算以及三角函数的性质，属于中档题．
8．（5分）将一枚骰子先后抛两次，则向上的点数之积为12的概率为 　　．（结果用最简分数表示）
【分析】利用古典概型公式计算即可．
【解答】解：由于骰子是均匀的，将它向桌面先后抛掷2次，所有36种结果是等可能出现的，其中向上的点数之积是12的结果有（2，6）、（3，4）、（4，3）、（6，2）共4个，
所以，其概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
9．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|•|BF|＝8，则p的值为 　2　．
【分析】设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可x1+x2＝3p，x1x2＝，由抛物线的定义可知，|AF|＝x1+，|BF|＝x2+，即可得到p．
【解答】解：抛物线y2＝2px的焦点F（，0），
准线方程为x＝﹣，设A（x1，y2），B（x2，y2）
∴直线AB的方程为y＝x﹣
代入y2＝2px可得x2﹣3px+＝0
∴x1+x2＝3p，x1x2＝，
由抛物线的定义可知，|AF|＝x1+，|BF|＝x2+，
∴|AF|•|BF|＝（x1+）（x2+）＝x1x2+（x1+x2）+＝2p2＝8，
解得p＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线的定义、性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题
10．（5分）已知平面向量、满足，若关于x的方程有实数解，则△AOB面积的最大值为 　　．
【分析】设的夹角为θ（0＜θ＜π），把两边平方，可得关于x的一元二次方程，利用判别式大于等于0求得cosθ的范围，进一步得到sinθ的最大值，则答案可求．
【解答】解：设的夹角为θ（0＜θ＜π），
由，，
得，
∴，
由题意可得：，解得cosθ或cosθ≥．
∴当cos时，，
此时△AOB面积的最大值为S＝|OA||OB|sin．
故答案为：．
【点评】本题考查数量积的性质及运算，考查运算求解能力，是中档题．
11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝3an﹣1（n∈N*），函数f（x）定义域为R，对任意x∈R都有f（x+1）＝．若f（2）＝1﹣，则f（a2022）的值为 　﹣1　．
【分析】f（x+1）＝．可得f（x）周期为4，由2Sn＝3an﹣1（n∈N*），可得an＝3n﹣1，a2022＝32021，
【解答】解：∵f（x+1）＝．∴f（3）＝＝＝﹣1，
f（4）＝＝＝+1，f（5）＝＝﹣﹣1，
f（6）＝＝1﹣，⋯易得f（x）周期为4，
又由2Sn＝3an﹣1（n∈N*），得2Sn﹣1＝3an﹣1﹣1（n≥2），
两式相减得2an＝3an﹣3an﹣1，即an＝3an﹣1，又当n＝1时，2S1＝3a1﹣1，解得a1＝1，
故数列{an}是以a1＝1为首项，3为公比的等比数列，故an＝3n﹣1，
∴a2022＝32021，又32021＝（4﹣1）2021＝42021（﹣1）0+42020（﹣1）1+⋯+41（﹣1）2020+（﹣1）2021，
故a2022＝32021除以4的余数为（﹣1）2021+4＝3，故f（a2022）＝f（3）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】题考查由数列的递推式求数列的通项公式，以及函数的性质，属中档题．
12．（5分）设f（x）＝a+sinx，若存在，使f（x1）+f（x2）+⋯+f（xn﹣1）＝f（xn）成立的最大正整数n为9，则实数a的取值范围是 　　．
【分析】依题意，，且，然后分以及1+a＜0解不等式即可．
【解答】解：依题意，，
而当时，，
∴，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数的最值以及恒成立问题，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）设m，n∈R，则“m•n＜0”是“方程表示的曲线为双曲线”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：当mn＜0，则m＞0且n＜0或m＜0且n＞0，此时方程表示的曲线一定为双曲线；则充分性成立；
若方程表示的曲线为双曲线，则mn＜0，则必要性成立，
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
14．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，平行于同一个平面的两条直线可以平行、异面或相交，A错误；
对于B，垂直于同一个平面的两条直线平行，B正确；
对于C，平行于同一直线的两个平面可能相交，C错误；
对于D，若m⊥α，α⊥β，则m⊂β或m∥β，D错误；
故选：B．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面垂直、平行的判断和性质，属于基础题．
15．（5分）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如图频率直方图．根据此频率直方图，下列结论中不正确的是（　　）


A．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业
B．该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为35%
C．估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过2.7小时
D．估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间
【分析】计算在[2，2.5）小时的频数可判断A，计算超过3小时的频率可判断B；求出平均数与2.7比较，可判断C；计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D．
【解答】解：A选项，在2小时至2.5小时之间完成作业的人数为100×0.5×0.5＝25，A正确；
B选项，完成作业的时间超过3小时的频率为（0.3+0.2+0.1+0.1）×0.5＝0.35，B正确；
C选项，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为1.25×0.05+1.75×0.15+2.25×0.25+2.75×0.2+3.25×0.15+3.75×0.1+4.25×0.05+4.75×0.05＝2.744，所以平均数大于2.7，所以C正确；
做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为（0.5+0.4）×0.5＝0.45＜0.5，所以D错误．
故选：D．
【点评】本题考查由频率分布直方图求频数、频率、平均数，属于基础题．
16．（5分）对于定义在D上的函数y＝f（x），若同时满足：
（1）对任意的x∈D，均有f（﹣x）+f（x）＝0；
（2）对任意的x1∈D，存在x2∈D，且x2≠﹣x1，使得f（x1）﹣x1＝x2﹣f（x2）成立，
则称函数y＝f（x）为“等均”函数．下列函数中：①f（x）＝x；②；③；④f（x）＝sinx，“等均”函数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分析函数满足的两个条件，再分别判断所给的函数是否同时满足这两个条件即可．
【解答】解：由（1）知，f（x）是定义域上的奇函数；
由（2）知，对任意的x1∈D，存在x2∈D，且x2≠﹣x1，使得f（x1）﹣x1＝x2﹣f（x2）成立；
对于①，f（x）＝x，是定义域R上的奇函数，满足（1），
对任意的x1∈R，f（x1）﹣x1＝x1﹣x1＝0，x2≠x1时，x2﹣f（x2）＝x2﹣x2＝0，
所以对任意的x1∈R，存在x2∈R，且x2≠﹣x1，使得f（x1）﹣x1＝x2﹣f（x2）成立，满足（2）；是“均等”函数．
对于②，，所以f（x）的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）；
当x＝1时，﹣x＝﹣1，此时不存在f（﹣x），所以不满足（1），所以不是“均等”函数；
对于③，是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，满足（1）；
任取x1∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x1）﹣x1＝﹣x1＝，x2﹣f（x2）＝x2﹣＝，
若满足f（x1）﹣x1＝x2﹣f（x2），则有＝，所以（2﹣x1x2）（x1+x2）＝0，
因为x1+x2≠0，所以x2＝，
所以对任意的x1∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），存在x2∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），且x2≠﹣x1，
使得f（x1）﹣x1＝x2﹣f（x2）成立，满足（2）；是“均等”函数．
对于④，f（x）＝sinx是定义域R上的奇函数，所以满足（1）；
对任意的x1∈R，f（x1）﹣x1＝sinx1﹣x1，x2﹣f（x2）＝x2﹣sinx2，
若满足f（x1）﹣x1＝x2﹣f（x2），则有sinx1﹣x1＝x2﹣sinx2＝sin（﹣x2）﹣（﹣x2），
设g（x）＝sinx﹣x，g′（x）＝cosx﹣1≤0，所以g（x）是R上的单调减函数，
所以x1＝﹣x2，此时不满足（2）；所以不是“均等”函数．
综上知，以上为“等均”函数的序号是①③，共2个．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的概念与应用问题，也考查了推理与判断能力，是难题．
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（14分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝BC＝1，AD＝2，．
（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；
（2）求直线BS与平面SCD所成角的大小．

【分析】（1）由已知易求四棱锥S﹣ABCD的体积；
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AS为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求直线BS与平面SCD所成角的大小．
【解答】解：（1）底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝1，AD＝2，．
∴SABCD＝（1+2）×＝，
又SA⊥平面ABCD，SA＝1，
四棱锥S﹣ABCD的体积为×SABCD×1＝××1＝；
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AS为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则B（，0，0），S（0，0，1），C（，1，0），D（0，2，0），
则＝（，0，﹣1），＝（﹣，﹣1，1），＝（0，2，﹣1），
设平面SCD的一个法向量为＝（x，y，z），
则，令y＝1，则z＝2，x＝，
∴平面SCD的一个法向量为＝（，1，2），
直线BS与平面SCD所成角为θ，
∴sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝．
所以直线BS与平面SCD所成角的大小为arcsin．

【点评】本题考查空间几何体的体积的求法，考查线面角的求法，属中档题．
18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知，且B为锐角．
（1）求角B的大小；
（2）若，证明△ABC是直角三角形．
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，可得sinB的值，从而得解；（2）利用正弦定理化边为角，再结合正弦的两角和公式、辅助角公式，即可得证．
【解答】（1）解：由正弦定理知，＝，
∵，
∴2sinBsinA＝sinA，
又在△ABC中，sinA＞0，
∴2sinB＝，即sinB＝．
∵B为锐角，∴B＝．
（2）证明：由正弦定理知，＝＝，
∵，∴3sinC﹣3sinA＝sinB＝×＝，
∴3sinC﹣3sin（C+）＝，即sinC﹣sinC﹣cosC＝，即sinC﹣cosC＝，
∴sin（C−）＝，
又∵C∈（0，），∴C−∈（﹣，），
∴C−＝，即C＝，
故△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合应用，熟练掌握正弦定理、两角和差公式与辅助角公式等基础知识是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．（14分）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量m（t）（百件）与时间第t天的关系如表所示：
第t天
1
3
10
…
30
日销售量m（t）（百件）
2
3
6.5
…
16.5
未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润f1（t）（元）与时间第t天的函数关系式为f1（t）＝﹣3t+88（1≤t≤15，且t为整数），而后15天此商品每天每件的利润f2（t）（元）与时间第t天的函数关系式为（16≤t≤30，且t为整数）．
（1）现给出以下两类函数模型：①m（t）＝kt+b（k、b为常数）；②m（t）＝b•at（a、b为常数，a＞0且a≠1）．分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；
（2）若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型．请判断该公司是否需要转型？并说明理由．
【分析】（1）将将（1，2）以及（3，3）分别代入对应的函数模型，求得对应的函数解析式，再代入计算m（10）判断是否满足即可；
（2）记日销售利润为y，根据一次函数与二次函数的单调性分析y的最大值，判断与4万元的大小关系判断即可
【解答】解：（1）若选择模型①，将（1，2）以及（3，3）代入可得，
解得，即m（t）＝+，经验证，符合题意；
若选择模型②，将（1，2）以及（3，3）代入可得，
解得，即m（t）＝，
当t＝10时，m（10）≈12.4，故此函数模型不符题意，
因此选择函数模型①，其解析式为m（t）＝+（1≤t≤30且t为整数）；
（2）记日销售利润为y，
当1≤t≤15且t为整数时y＝m（t）•f1（t）＝（+）•（﹣3t+88）＝﹣t2+t+132，
对称轴t＝，故当t＝13时，利润y取得最大值，且最大值为392（百元）
当16≤t≤30且t为整数时，y＝m（t）•f2（t）＝（+）•（+2）＝303+t+，
当16≤t≤30时，利润y单调递减，
故当t＝16时取得最大值，且最大值为375.25（百元）
所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型．
【点评】本题考查函数模型的运用，考查二次函数及双勾函数的性质，了考查了学生的计算能力，属于中档题．
20．（16分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，设P是第一象限内椭圆Γ上一点，PF1、PF2的延长线分别交椭圆Γ于点Q1、Q2，直线Q1F2与Q2F1交于点R．
（1）求△PQ1F2的周长；
（2）当PF2垂直于x轴时，求直线Q1Q2的方程；
（3）记△F1Q1R与△F2Q2R的面积分别为S1、S2，求S2﹣S1的最大值．

【分析】（1）根据椭圆的定义直接可以得出答案；
（2）根据题意可得P，Q2的坐标，进而得到直线PF1的方程，与椭圆方程联立，可求得Q1的坐标，进而得到直线Q1Q2的方程；
（3）设P（x0，y0），直线PF1的方程为x+1＝ty，与椭圆方程联立，根据韦达定理可将Q1，Q2的纵坐标用x0，y0表示，进而可得，然后利用三角换元，结合基本不等式即可求得最值．
【解答】解：（1）由椭圆的方程可得a2＝4，b2＝3，可得c2＝a2﹣b2＝4﹣3＝1，
可得a＝2，c＝1，
由椭圆的定义可得：△PQ1F2的周长为4a＝8，
所以△PQ1F2的周长为8；
（2）由（1）可得F1（﹣1，0），F2（1，0），当PF2垂直于x轴时，则Q2的纵坐标为y＝﹣＝﹣，
所以Q2（1，﹣），P（1，），
∴k＝，直线PF1的方程为：y＝（x+1），
联立，解得或，则，
∴，
∴直线Q1Q2的方程为，即3x+10y+12＝0；
（3）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），设直线PF1的方程为x+1＝ty，其中，
联立，消去x并整理可得，（3t2+4）y2﹣6ty﹣9＝0，
由韦达定理可得，，
又，则，
∴，
同理可得，
∴＝，
令，
则＝，当且仅当25sin2θ＝9cos2θ时等号成立，
∴S2﹣S1的最大值为．
【点评】本题考查椭圆的定义及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，同时还涉及了基本不等式的运用，考查换元思想，转化思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于较难题目．
21．（18分）对于集合A＝{a1，a2，a3，⋯，an}，n≥2且n∈N*，定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A且x≠y}．集合A中的元素个数记为|A|，当时，称集合A具有性质Γ．
（1）判断集合A1＝{1，2，3}，A2＝{1，2，4，5}是否具有性质Γ，并说明理由；
（2）设集合B＝{1，3，p，q}（p，q∈N，且3＜p＜q）具有性质Γ，若B+B中的所有元素能构成等差数列，求p、q的值；
（3）若集合A具有性质Γ，且A+A中的所有元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据集合A具有性质Γ的定义进行判断，可得答案；
（2）写出B+B中的所有元素，分类讨论，结合等差数列的性质，列出相应的方程组，解得答案；
（3）一数列新定义得在集合A+A中，a1+a2＜a1+a3＜⋯＜an﹣2+an＜an﹣1+an，得到a3+an﹣2＝a2+an﹣1，由此分类讨论，可确定n的取值，可得答案．
【解答】解：（1）A1+A1＝{3，4，5}，|A1+A1|＝3，故集合A1具有性质「．
，故集合A2不具有性质Γ
（2）因集合B具有性质Γ，
故|B+B|＝6，B+B＝{4，1+p，1+q，3+p，3+q，p+q}．
（i）若4＜1+p＜1+q＜3+p＜3+q＜p+q，
则，解得，
经检验，符合题意，故p，q的值分别为4，5．
（ii）若4＜1+p＜3+p＜1+q＜3+q＜p+q，
则，解得，
经检验，符合题意，故p，q的值分别为5，9．
（3）不妨设a1＜a2＜a3＜⋯＜an﹣1＜an，
则在集合A+A中，a1+a2＜a1+a3＜⋯＜an﹣2+an＜an﹣1+an．
又A+A中的所有元素能构成等差数列，设公差为d，
则d＝（a1+a3）﹣（a1+a2）＝（an﹣1+an）﹣（an﹣2+an），
即d＝a3﹣a2＝an﹣1﹣an﹣2，故a3+an﹣2＝a2+an﹣1．
从而，与集合A具有性质Γ矛盾．
当n＝5时，2a3＝a2+a4，即a2，a3，a4成等差数列，且公差也为d，
故A+A中的元素从小到大的前三项为a1+a2，a1+a3，a1+a4，
且第四项只能是a1+a5或a2+a3．
（i）若第四项为a1+a5，则a1+a4+d＝a1+a5，从而a5﹣a4＝d＝a3﹣a2，
于是a5+a2＝a3+a4，故，与集合A具有性质Γ矛盾．
（ii）若第四项为a2+a3，则a1+a4+d＝a2+a3，故a1+2d＝a2．
另一方面，（a4+a5）﹣（a1+a2）＝9d，即a5＝a1+7d．
于是a1+a5＝2a1+7d＝2a2+3d＝a3+a4，
故，与集合A具有性质Γ矛盾．
因此，n≤4．
由（2）知，n＝4时，存在集合A具有性质，
故集合A中的元素个数存在最大值，最大值为4．
【点评】本题考査了数列的新定义问题，综合考查了学生的阅读理解接受并理解新信息的能力，属于难题．
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